Esempio di risoluzione di struttura iperstatica col metodo delle forze. Complemento alla lezione 42/50: Il metodo delle forze I

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1 Esempio di risouione di struttura iperstatica co metodo dee fore ompemento aa eione 4/50: I metodo dee fore I Per a struttura sotto riportata, cacoare i diagrammi dee caratteristiche dea soecitaione interna. Inotre cacoare e reaioni vincoari e a curva dee pressioni. nitutto si procede a conteggio dei gradi di ibertà/vincoo dea struttura. Essendo a struttura piana e composta da un unico corpo, ha tre gradi di ibertà (g = 3). La struttura è vincoata esternamente tramite cerniere esterne (vincoi doppi). Dunque v = = 4 e: g v = 3 4 = Non essendoci madisposiione vincoare, ne segue che a struttura è vota iperstatica. Si proceda ora aa risouione tramite i metodo dee fore e appicaione de PLV. Occorre anitutto identificare a struttura isostatica principae: si osservi che a sua sceta è arbitraria, mentre univoci sono i diagrammi finai dee caratteristiche dea soecitaione. La struttura isostatica principae si ottiene abbassando di un unità i gradi di vincoo. iò può avvenire attraverso uno svincoamento esterno ma anche interno. Si noti che non si deve incappare in una madisposiione vincoare; ad esempio non è possibie scegiere come reaione vincoare incognita a reaione verticae in poiché a struttura così ottenuta è abie aniché isostatica a causa dea madisposiione dei vincoi. È invece ecita a sceta dea componente oriontae dea reaione in.

2 Svincoamento non ecito Svincoamento ecito Nea presente risouione a struttura isostatica principae viene ottenuta inserendo una cerniera interna ne nodo E: D E Struttura isostatica principae La struttura così ottenuta è isostatica essendo g = 3 3 = 6 e v = = 6 (e non c è madisposiione). L isostatica principae è in tutto equivaente aa struttura iperstatica originaria una vota che ad venga sostituito i suo effettivo vaore. ome si vedrà ne seguito, a sceta dea isostatica principae risuta particoarmente vantaggiosa in quanto porta a diagrammi di momento particoarmente sempici. Prima di procedere è opportuno definire un sistema di riferimento su ogni tratto, in modo da definire univocamente i segno de momento fettente. Sistema di riferimento Si passi ora a cacoo dei diagrammi di momento fettente sua isostatica principae causati rispettivamente daa fora (M 0 ) e da incognita iperstatica posta pari a (M ). Si noti che è possibie tracciari sena fare (quasi) acun cacoo:

3 ) Per M 0 si osservi che i tratto E (biea) è soggetto soo a sforo normae. Per equiibrio de corpo DE, a reaione in deve passare per i punto d incontro dea retta d aione di e dea retta E (retta d aione dea reaione vincoare interna in E). Tae punto è i punto ; dunque a reaione in è verticae ed anche i tratto è soggetto a soo sforo normae. Osservando che i momento fettente aa base deo sbao D è pari a, i tracciamento di M 0 si competa rapidamente. ) Per M occorre osservare che e componenti verticai dee reaioni verticai devono essere nue (come mostra un equaione di equiibrio gobae aa rotaione attorno a o ). Ne segue che su ED i tagio è nuo e quindi i momento è costante. Essendo, per imposiione, unitario i momento in E, i tracciamento di M è immediato. M 0 M Si proceda ora a cacoo degi integrai, appicando, dove comodo, a formua di Simpson: M M 0 d = 4 6 Md = ( ) ( ) 4 = ( 4 ) 6 Si noti che soo i tratto DE dà un contributo non nuo a vaore de secondo integrae. Si appica ora i Principio dei Lavori Virtuai assumendo come sistema di spostamenti/deformaioni queo reae e come sistema di fore / soecitaioni queo generato da incognita iperstatica resa unitaria. In accordo aa simboogia usata nea eione: η = M χ d dove a curvatura reae χ è data da rapporto tra i momento reae e e rigidee EI. Ma per i principio di sovrapposiione degi effetti i momento reae è dato da M = M 0 M, dunque: 3 η M = M 0 d X EI M EI d Questa equaione impone a congruena e permette di scegiere, tra e infinite souioni equiibrate, unica congruente; permette cioè di determinare que particoare vaore di che annua a rotaione reativa in E. ome evideniato a eione, equaione precedente può scriversi come:

4 η X = η0 η ove η è a rotaione reativa (nea cerniera interna E) reae, η 0 è a rotaione reativa dovuta a carico e η quea dovuta a incognita iperstatica posta pari ad. Ma η è nua, dunque: η X 0 η = 0 Sostituendo i vaore degi integrai: EI X 3EI ( 4 ) = 0 da cui, raionaiando: ( ) X = 77 8 Una vota noto i vaore de incognita iperstatica, i probema si riconduce aa risouione dea struttura isostatica principae soggetta a carico esterno (a fora in ) ed a incognita iperstatica ora nota ( in E). ta fine sono sufficienti e sempici equaioni cardinai dea statica. In aternativa, se si sono già cacoati i diagrammi pariai (M 0, N 0, T 0 ed M, N, T ) si può procedere per sovrapposiione, osservando che M = M 0 M, N = N 0 N, T = T 0 T. I diagrammi pariai sono: N 0 / N / (/) T 0 / T / (/)

5 La sovrapposiione degi effetti porta ai seguenti diagrammi dee caratteristiche dea soecitaione interna per a struttura iperstatica assegnata: T M N Per quanto riguarda e reaioni vincoari R, anche per esse è appicabie a sovrapposiione degi effetti: R = R 0 R. Ne caso in esame, tuttavia, è sufficiente osservare che in a componenti dea reaione coincidono co tagio e o sforo normae. Tramite equiibrio aa trasaione gobae è infine immediato ricavare i vaori dea reaione in. Si noti infine che e rette d aione dee reaioni nee cerniere e e a retta d aione dea fora esterna s incontrano in unico punto. Questo risutato non ci garantisce però di aver trovato i vaore esatto di, in quanto è una sempice conseguena dee equaioni cardinai dea statica. Viceversa, se non ci fosse stata interseione dee 3 rette in unico punto, ciò avrebbe significato un errore nei cacoi che seguono a determinaione de incognita iperstatica. La curva dee pressioni è indicata, tratto per tratto, nea tabea seguente. Si osservi che a retta c passa per i punto di nuo de momento su tratto DE. Tratto D D ED urva dee pressioni retta a retta b retta c

6 a D E b c Reaioni vincoari e curva dee pressioni NOTE La stessa struttura qui presentata viene risota con diverso metodo di souione nea eione 47 (i metodo misto per i teai a nodi mobii). Si noti che i metodo dee fore (cui si è ricorso ne presente svogimento) porta aa scrittura di un unica equaione di congruena addove i metodo misto comporterà a scrittura di un sistema di tre equaioni (una di equiibrio e due di congruena). I coefficienti dee equaioni non richiedono però cacoi ad hoc. Inotre, ne metodo misto, gi spostamenti nodai sono tra e incognite de sistema (otre ai momenti nei nodi stessi): ne segue che i tracciamento dea configuraione deformata dea struttura co metodo misto è immediato.