Esercitazione 1 - Soluzioni

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1 CORSO DI APPROFONDIMENTI DI MICROECONOMIA ANNO ACCADEMICO 6-7 Esercitazione - Souzioni Esercizio Un individuo dispone di tempo in misura pari a T. La sua funzione di utiità è : u( C, C Dove C, sono rispettivamente i consumo ed i tempo ibero. I prezzi sono rispettivamente p, w 5. a Scrivete espressione de vincoo di biancio de consumatore e rappresentateo graficamente, indicando i vaore dee intercette, de coefficiente angoare ed i punto corrispondente ae dotazioni iniziai. 5 C 5T Intercetta asse C: 5T Intercetta asse : T Coefficiente angoare 5 C T b Sapendo che T, determinate e quantità ottimai di consumo e di tempo ibero.

2 ma C, C sotto i vincoo 5 C 5. Condizioni de primo ordine: / 5 di conseguenza: / / da cui, e C , 95 c Supponete che i avoratore riceva ora un sussidio fisso pari a euro. Rappresentate, ne grafico precedente, i nuovo vincoo di biancio. (vedi inea tratteggiata d Cacoate i paniere di equiibrio dopo 'introduzione de sussidio. I vincoo di biancio diviene 5 C 5. Le condizioni de primo ordine sono identiche ae precedenti, per cui, e C , 95 Esercizio Considerate i probema ma u (,, 3,, 3 sotto i vincoi:. M p p p33. ; 3. ; dove M, p, p, p3,,, sono costanti strettamente positive. Supponete inotre che u u(,, u u(,, u(, 3 3 3,, u3 siano ovunque strettamente positive. 3, a Formuate e condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange per questo probema. La funzione agragiana per questo probema è a seguente : u (,, 3 M p p p Condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange :.

3 u p u p 3 u p M p p p A questi andrebbero aggiunti i vincoi di non-negatività per i motipicatori di Lagrange ed i vincoi originai de probema (e condizioni di compatibiità con i vincoi. Per non appesantire troppo esposizione, non riporteremo queste condizioni espicitamente, citandoe però quando necessario. b Supponete che e souzioni de probema siano caratterizzate dae condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange e che, ne punto di souzione, vaga a seguente diseguaguagianza: M p p p33. Quai sono i possibii vaori di,, in tae punto? 3 I testo de esercizio pone come ipotesi che, ne punto di souzione, sia M p p p33. Per a compementary sackness condition 4, ciò impica. Ma aora, dae condizioni --3, otteniamo u and u 3 3. Dato che, per ipotesi u, u3 necessariamente avremo, 3. Quindi, per e CSC 5 e 7 ne punto di souzione deve essere vero che 3 3 e Ora, dato c he ( per a condizione è vero che u, tre sono i casi possibii: a, b,, c Ne caso a e. Ma poichè, questo caso si verificherà soo se. Ne caso b e. Dato che, questo caso si verificherà soo se. Ne caso c e. Dato che, questo caso si verificherà soo se. Esercizio 3 Considerate i probema ma( sotto i vincoi y y ; ( y y ;,, y.,,y sono costanti date. Supponete che, y e. Dimostrate che: a non esiste una souzione nea quae,

4 La funzione agrangiana per questo probema è : ( y y ( y y Le condizioni de primo ordine sono: a ( b ( c + 3 = d y y e ( y y f g h 3 y 3 y Per assurdo, supponiamo che sia,. In virtù dee CSC f e g, ciò impicherebbe. Di conseguenza (condizioni a e b : ( sostituendo nea condizione c, avremmo: ( = 3, i che è in contraddizione con ipotesi che.. Ma aora, b non esiste una souzione nea quae Ne ipotesi che, non può essere una souzione, dato che e condizioni a e b non sarebbero nemmeno definite in questo caso. c. c. c esiste una unica possibie souzione I soi casi possibii rimasti sono i seguenti ; ; C aso c. : e y impica che ( y y. Per a condizione e, questo comporta ch e ; ma aora (condizione b dovrebbe vaere a seguente diseguagianza: ( che invece è fasa N e caso c., e impicano, a soa possibie souzione è:, y y e y(. Perciò y y e y(. Quindi

5 Esercizio 4 a Si consideri un mondo con due beni e y con i rispettivi prezzi p e.. Si determini a sceta ottimae per un individuo e cui preferenze sono rappresentate daa funzione di utiità U, y y e che dispone di un reddito pari a 4. y Bisogna massimizzare a finzione di utiità U, y sotto i vincoo y 4. L y 4 y. Condizioni de primo ordine: y 4 y Si ottengono souzioni:., y non accettabie., y accettabie. Come cambierebbe a sceta se a funzione di utiità de individuo fosse U, y og og y? Bisogna massi mizzare a finzione di utiità U, y og og y sotto i vincoo y 4. L og og y 37 4 y. Condizioni de primo ordine: y 4 y Si ottengono souzioni:. non accettabie., y accettabie b Le preferenze di un consumatore tra i beni e y sono rappresentate daa funzione y di utiità U, y.. Si determini a sceta ottimae se i prezzi dei due beni sono rispettivamente p 4 e p 8 mentre i reddito de consumatore è di 8. y y Bisogna massimizzare a finzione di utiità U, y sotto i vincoo 4 8y 8. p y

6 L y 8 4 8y. Condizioni de primo ordine: y Si ottiene a souzione:,, y 4 4. Come cambierebbe a sceta ottimae se i prezzi di entrambi i beni tripicassero e pure i reddito monetario de consumatore tripicasse? Bisogna massimizzare a finzione di utiità U, y sotto i vincoo y 3 8. L y y. Condizioni de primo ordine: y Si ottiene a souzione:,, y 4 y c Si consideri un consumatore con funzione di utiità U y y,. I prezzo de bene y è. Quae dovrebbe es sere i prezzo de bene e quae i reddito de consumatore, per far sì che i paniere, y sia ottimae? mizzare a finzione di utiità U, y y Bisogna massi sotto i vincoo p y R. L y R p y. Condizioni de primo ordine: y p R p y Si vuoe ottenere a souzione:, y, quindi daa seconda condizione si ottiene, daa prima si ottiene p e daa terza R 4. Esercizio 5

7 Considerate una situazione con tre individui (A,B,C e due beni, disponibii in quantità fisse.,, sono tre aocazioni possibii di queste quantità tra i tre individui (sono però possibii anche atre aocazioni. Supponete che i giudizi degi individui su queste aocazioni siano: Individuo A: è megio di, che è megio di Individuo B: è megio di, che è megio di Individuo C è megio di, che è megio di a Stabiite se è possibie individuare quae dee tre aocazioni è sicuramente un ottimo paretiano e se è possibie individuare un aocazione che sicuramente non o è. Motivate a vostra risposta. Se si passa da ad, a situazione di tutti e tre gi individui migiora. Quindi non è sicuramente un ottimo paretiano. Non possiamo dire atro, perché vi sono atre possibii aocazioni che dovremmo confrontare con e per poter stabiire se sono o meno ottimi paretiani. b Se, ferme restando e preferenze degi individui A e B, quee di C diventassero: Individuo C: è megio di, che è megio di come cambierebbero e vostre risposte? Non possiamo più dire che non è un ottimo paretiano. Per i resto vagono e stesse considerazioni di cui a punto precedente. c Supponete che esistano due atre aocazioni, e che sono entrambe ottimi paretiani. Dite, spiegando a vostra risposta, quai, tra i due casi esposti di seguito sono compatibii con ottimaità ne senso di Pareto. Caso A preferisce a, B e C preferiscono a Caso A, B e C preferiscono a I caso è compatibie, ne senso che pur essendo e entrambi ottimi paretiani, acuni individui possono trovarsi megio o peggio ne uno rispetto a atro. Queo che non può avvenire è che tutti gi individui si trovino megio (o peggio in rispetto a, ciò che avviene ne caso che è incompatibie.