Modelli di progetto delle reti di trasporto collettivo

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Dipartimento di Ingegneria Civie Corso di Trasporti Urbani e Metropoitani Docente: Ing. Pieruigi Coppoa Mei di progetto dee reti di trasporto coettivo (Bozza in corso di revisione) ANNO ACCADEMICO

2 SOMMARIO Intruzione Le variabii di esercizio La formuazione de meo compessivo di progetto dee variabii di esercizio Vincoi di coerenza Vincoi tecnici Vincoi esterni La determinazione dee frequenze Definizione de probema Determinazione dea frequenza di una inea singoa a domanda fissata Le frequenze dee inee di una rete a fussi preassegnati La determinazione de numero di convogi per inea con numero totae di convogi prefissato

3 Intruzione I cico di vita di un servizio di trasporto pubbico prevede quattro fasi: a fase di Pianificazione a fase di Programmazione a Gestione (o controo de esercizio) a Consuntivazione Tipicamente in un azienda di trasporto coettivo, a Pianificazione è attività che porta aa definizione de servizio da offrire in termini di topoogia dea rete di trasporto (percorsi dee inee) e di frequenze da reaizzare, mentre a Programmazione è attività che porta aa definizione dettagiata de servizio da offrire in termini di corse da effettuare e di risorse necessarie (veicoi e personae) per a reaizzazione effettiva de servizio. Soitamente e informazioni di Pianificazione devono raggiungere un iveo di dettagio tae da consentire ipotesi attendibii di costi e benefici derivanti da attuazione de servizio. L attività di programmazione si concretizza invece nea definizione degi orari e dei turni dee macchine e degi autisti. Le attività di Pianificazione e Programmazione esauriscono a fase progettuae in senso tradizionae de servizio. Questa può dunque essere schematicamente scomposta in cinque sottofasi sequenziai (Figura 1): (1) i progetto degi itinerari dee inee; (2) i progetto dee frequenze; (3) i progetto de orario; (4) assegnazione dee corse ai veicoi (vehices scheduing); (5) assegnazione dei veicoi a personae (drivers scheduing). A fine di aumentare a pruttività e efficienza de sistema ne suo compesso sarebbe auspicabie che e cinque fasi dea progettazione avvenissero congiuntamente. Tuttavia, ciò si tradurrebbe in un architettura meistica di progetto moto compessa e in un onere computazionae straordinario. Per tae ragione tipicamente, i progetto di una rete di trasporto coettivo viene scomposto in tanti sottoprocessi ciascuno finaizzato a ottimizzazione di una o a più di due 3

4 componenti de sistema separatamente (ad esempio frequenze e percorsi o turni-uomo e turni macchina). Disegno degi itinerari Domanda di mobiità Ottimizzazione dee frequenze Definizione degi orari Vehices-scheduing e crew-scheduing Figura 1: e fasi dea progettazione dea rete di trasporto coettivo. I servizio che risuta de attività di Pianificazione e Programmazione (servizio progettato ), si basa su ipotesi sempificative necessarie per a rappresentazione anaitica dea reatà ( ad esempio, come si vedrà in seguito, per i cacoo de tempo di giro dee inee si assume un tempo di percorrenza degi archi dea rete a fusso nuo ovvero invariante rispetto ai fussi di arco). A causa di queste sempificazioni e degi eventi aeatori che possono verificarsi in fase di esercizio (ad esempio a rottura di un veicoo in inea, assenza di un autista per motivi di saute, i ritardo dovuto aa congestione degi archi dea rete stradae) i servizio progettato può discostarsi da queo che effettivamente si reaizza (servizio reaizzato ). A vae dea Pianificazione e dea Programmazione i cico di vita di un servizio di trasporto prevede pertanto e attività di Gestione e di Consuntivazione che mirano rispettivamente a garantire e controare attuazione quotidiana de servizio e a quantificare esercizio reae. La gestione de servizio può prevedere: sistemi di gestione dee presenze / assenze de personae; sistemi di gestione de parco rotabie disponibie per attribuzione de turno ae vetture; sistemi di monitoraggio e controo de servizio; sistemi di sincronizzazione semaforica; atri sistemi di controo dea mobiità ne area servita. 4

5 Gi aspetti di consuntivazione possono invece essere reativi a andamento de servizio, in termini di: prestazioni de personae, chiometri eserciti (corse), regoarità de servizio. L attività di consuntivazione può inotre prevedere verifiche e controi interni per a vautazione dea quaità de servizio effettivamente offerto; meccanismi di report ad enti amministrativi per a rendicontazione dee attività svote (concessioni e contributi). In questa dispensa vengono affrontati gi aspetti di progettazione egati aa Pianificazione de servizio. Dopo avere introtto e variabii che tipicamente sono oggetto di studio dea Pianificazione (variabii di esercizio), si presenta a formuazione generae di un meo di progetto degi itinerari e dee frequenze dee inee. Successivamente sono descritti acuni agoritmi per ottimizzazione dee frequenze ad itinerari fissati di una rete di trasporto coettivo. 1 Le variabii di esercizio. Le variabii di base che caratterizzano esercizio di una generica inea sono: i vettore it de itinerario, composto daa sequenza degi archi che definiscono itinerario; a capacità dea generica vettura Cv, cioè i numero massimo di utenti che possono trovare posto a bordo; i numero di vetture per convogio n (1 per i bus); a frequenza di esercizio (numero medio di passaggi ne unità di tempo) o in aternativa i numero di convogi assegnati aa inea. Note o assegnate e variabii di cui sopra si possono ricavare e seguenti variabii derivate: a) Tempo di giro Tg dea inea, cioè i tempo necessario affinché un convogio, dopo e corse di andata e ritorno, si trovi ao stesso punto. Noto itinerario dea inea, esso può essere cacoato come: Tg = (Ta + Tr ) + Ts dove Ta e Tr sono i tempi di percorrenza da capoinea a capoinea degi itinerari di andata e di ritorno, e Ts è i tempo di sosta a capoinea. Quest utimo è composto da varie aiquote: tempo di 5

6 disattivazione e riattivazione dee cabine di guida, operazioni di controo, recupero irregoarità di marcia, riposo personae, instradamento. Se Vc è a veocità commerciae dea inea si ha: La + Lr Tg = + Ts (1) Vc essendo La ed Lr e unghezze degi itinerari in andata ed in ritorno; pertanto conosciuti gi itinerari è possibie determinare i tempo di giro. E bene notare che se a inea è circoare occorre considerare un unico tempo di percorrenza ed un unico tempo di inversione, cioè: Tg = Ta + Ts Data una inea, tra tempo di giro, frequenza e numero di convogi esiste a reazione: = Tg oppure = / Tg (2) b) Numero totae di vetture NV (materiae rotabie) per comporre gi convogi da utiizzare sua inea, che è ottenibie come: NV = n μ dove μ è un coefficiente di ampificazione derivante dae necessità di manutenzione, che può variare tra 1e 1,2 ed assume vaori maggiori a crescere dea vetustà de parco a disposizione. c) Capacità di passeggeri per convogio Cc Cc = n Cv d) Capacità di passeggeri per inea Ca Ca = Cc = n Cv (3) Se L è insieme dee inee, si può passare dae variabii specifiche dea singoa inea ai vettori dee variabii reative aa rete, indicando con: {it} = insieme degi itinerari, i cui generico eemento è it ; = vettore dee frequenze degi itinerari considerati; Tg = vettore dei tempi di giro; = vettore de numero di convogi per inea. I numero compessivo di convogi sua rete tot è: tot = = Tg (4) L dove i simboo indica i trasposto de vettore. 6

7 2 La formuazione de meo compessivo di progetto dee variabii di esercizio. I progetto dee variabii di esercizio di una rete di trasporto coettivo viene trattato nee ipotesi che a domanda di utenza, reativa ad una determinata fascia oraria, sia rigida e nota da punto di vista mae e che sia distribuita uniformemente a interno dea fascia. Nee ipotesi che siano assegnati a capacità dea singoa vettura e a composizione de convogio, i probema dea determinazione dee variabii di esercizio che caratterizzano una inea o un insieme di inee può essere sostanziamente ricondotto aa progettazione degi itinerari e dee frequenze, considerando che tramite e (1) e (2) si possono ottenere Tg ed. E bene osservare che, essendo = / Tg, a variabie di progetto può essere sostituita con a variabie di progetto, per cui i progetto dee frequenze dee inee può essere impostato anche come probema di determinazione de numero di autobus per ogni inea. I progetto de insieme {it} e de vettore può essere formuato come un probema di progetto dee variabii di offerta, per i quae è necessario definire a funzione obiettivo e quindi i soggetto interessato ed i criteri da considerare. Ne seguito vengono considerati come soggetti azienda e gi utenti de servizio e come criteri i costo di esercizio e a quaità de servizio, misurata in termini di disutiità di viaggio. Si indichi con : UT ({it}, ) a funzione di disutiità degi utenti (da minimizzare); AZ ({it}, ) a funzione di costo di esercizio (da minimizzare); G i ({it}, ) i generico vincoo sue variabii. I probema di progetto può quindi essere espresso formamente come: ({} it, ) * { } = R[ it, ] = [ δut {} it, {} it, ({ it}, ) + AZ {} it, ( )] (5) con vincoi de tipo: G ({it}, ) = (6a) i g i G ({it}, ) > (6b) i g i G ({it}, ) < (6c) i g i essendo δ i fattore di omogeneizzazione e di peso reativo tra e due componenti dea funzione obiettivo. La disutiità degi utenti UT({it}, ), ne caso di rete non congestionata e con tariffa unica per quaunque coppia o/d, può essere espressa in termini di tempo speso dagi utenti de sistema e può essere specificata come 7

8 UT= UT({it}, )= d TV dove d e TV sono rispettivamente a domanda ed i tempo di viaggio sua reazione o/d. Questa reazione può essere espressa in termini vettoriai come UT= UT({it}, )= TV({it}, ) dove d e TV sono rispettivamente i vettori di domanda e dei tempi medi di viaggio. d I costo di esercizio per azienda può essere espresso tramite i costi medi orari di pruzione de servizio che possono essere cacoati come somma dei costi operativi dei singoi mezzi nea fascia oraria considerata. Questi costi sono ritenuti essere proporzionai ai convogi utiizzati secondo un parametro K c di costo orario per convogio in inea. Per tot convogi in rete, si ha Per a (4) si ha in forma compatta: AZ({it}, ) = K c tot AZ({it}, ) = K Tg (7) c Per quanto concerne i vincoi, questi possono essere cassificati in vincoi di coerenza (tra fussi, costi e domanda), vincoi tecnici e vincoi esterni (ad es. di budget). 2.1 Vincoi di coerenza I vincoo di coerenza tra domanda, fussi, variabii di progetto e prestazioni de sistema si riconduce aa simuazione de sistema di progetto e può essere espicitato come f = A[{it}] Q[{it}, ] PH[{it}, ] d (8) avendo indicato con: f = vettore di fussi di arco, di dimensione pari a numero di archi; A = matrice di incidenza archi-percorsi, di dimensione pari a numero di archi per i numero di percorsi, i cui generico eemento a k vae 1 se arco appartiene a percorso k, zero atrimenti; Q = matrice dee probabiità di sceta dei percorsi di ciascun ipercammino, di dimensione pari a numero di percorsi per i numero degi ipercammini, i cui generico eemento q kh rappresenta a probabiità di sceta de percorso k a interno de ipercammino h; 8

9 P H = matrice dee probabiità di sceta degi ipercammini, di dimensione pari a numero di ipercammini per i numero di coppie o/d, i cui generico eemento p hi rappresenta a probabiità di sceta de ipercammino h per a reazione i; d = vettore di domanda tra e coppie O/D de area di studio nea fascia di riferimento, di dimensione pari a numero di coppie o/d. 2.2 Vincoi tecnici I vincoi tecnici sono dei vincoi aa funzionaità tecnica de sistema; ne seguito vengono descritti acuni di questi vincoi. Per quanto concerne gi itinerari tai vincoi sono principamente egati aa ubicazione dei capoinea, aa struttura dea domanda e dea rete infrastrutturae utiizzabie dae inee di trasporto, otre che a vincoi sue caratteristiche degi itinerari dee inee. I vincoi sue caratteristiche dee inee vengono di soito espressi da imiti minimi e massimi su variabii di progetto, quai ad esempio i tempo di giro dee inee; tai tempi devono essere imitati inferiormente da un tempo di giro minimo, tae da contenere a minimo i tempi persi ai capoinea, e superiormente da un tempo di giro massimo, tae da assicurare una adeguata regoarità dea inea, in quanto è noto che (specie per inee di trasporto esercite in promiscuità con i traffico su autovettura) a puntuaità dei mezzi ae fermate è inversamente proporzionae aa distanza da capoinea di partenza. I vincoo viene posto come: Tg,min Tg Tg L (10), I vincoi reativi aa struttura dea rete (ubicazione capoinea, poi attrattori, ecc.) possono essere espressi su appartenenza degi itinerari {it} ad un insieme di possibii itinerari I {it}, cioè {it} I {it} (11) Per quanto concerne e frequenze, i vincoi tecnici esprimono prevaentemente dee condizioni sui vaori ammissibii dee frequenze e sua capacità dee inee. Le frequenze possono essere imitate inferiormente da una frequenza minima compatibie con eventuai standard preassegnati (es. 4 corse/ora) e da una frequenza massima compatibie con e potenziaità di inea (infrastruttura) o di fermata/stazione, perciò: L (12),min, E bene notare che i imite massimo su vaore dee frequenze più che riferirsi a vaore per singoa inea si riferisce aa frequenza cumuata dee inee che impegnano una stessa fermata/stazione. 9

10 Inotre e frequenze dee inee devono essere in grado di garantire una adeguata capacità di passeggeri. In questo caso se f, è i massimo fusso tra i fussi reativi agi archi a bordo rappresentativi dea inea e Cc è a capacità de singoo convogio dea inea, che coincide con Cv ne caso di servizio espetato con bus, i vincoo può essere posto come: Cc f L (13), 2.3 Vincoi esterni Ne caso de progetto di reti di trasporto coettivo i vincoo esterno più importante è rappresentato da vincoo di budget, che è generamente espresso come numero massimo di convogi disponibii, ovvero: tot = L Per espicitazione di questo vincoo si utiizza direttamente a (4), imponendo che: Tg In generae quindi i probema di progetto può essere formuato come ({it}, ) * = con: { it}, R[{it}, ] = [ δ d TV({it}, ) + K Tg({it})] (14) { it}, f = A[{it}] Q[{it}, ] PH[{it}, ] d c Tg,min Tg Tg L, {it} I {it} Tg,min L,, Cc f L Ne caso in cui si vogiono utiizzare tutti gi autobus a disposizione, i termine reativo a costo aziendae nea funzione obiettivo risuta essere costante e quindi può essere eiminato daa funzione stessa, ed i probema diventa: ({} it, ) * = R {} it, [ ({} it, ) ] = [ d TV({it}, )] (15) { it}, con: f = A[{it}] Q[{it}, ] PH[{it}, ] d 10

11 Tg,min Tg Tg L, {it} I {it} Tg =,min L,, Cc f L I probema (14) in termini dea variabie numero di convogi può scriversi come: ({it}, ) * = {it}, R[{it}, ] = {it}, [ c tot δ d TV({it}, ) + K ] (16) con: f = A[{it}] Q[{it}, ] PH[{it}, ] d Tg,min Tg Tg L, {it} I {it} L,min, L con,min =,mintg, =, Tg Cc / Tg f L, La formuazione de progetto in termini di ha i vantaggio, rispetto aa formuazione equivaente in termini di, di essere un probema di ottimizzazione a variabii intere, riducendo così i numero dee souzioni fattibii. 11

12 iniziaizzazione progetto itinerari {it} progetto frequenze (o numero di convogi ) test di arresto souzione ottima ({it}, )* Figura 2: a procedura iterativa a due fasi per i progetto dee reti di trasporto coettivo Quae sia a formuazione, per a compessità de probema a souzione viene ricercata con un processo iterativo a due fasi (figura 2): nea prima si ottimizza a funzione obiettivo rispetto agi itinerari {it} a frequenze date e nea seconda si ottimizza a funzione rispetto a o in aternativa rispetto ad, ad itinerari fissati. I progetto degi itinerari, a frequenze date, può essere formuato come: {it} * = {it} R 1 [{it}] = [ δ d TV({it}) + K Tg] (17) {it} c con: f = A[{it}] Q[{it}] PH[{it}] d Tg,min Tg Tg L, {it} I {it} Tg f, Cc L I probema de progetto dee frequenze ad itinerari fissati viene formuato come: * = R 2 ( ) = [ δ d TV( ) + K Tg] (18) c con: f = A Q[ ] PH[ ] d 12

13 Tg,min L,, Cc f L Lo stesso probema in termini di numero di autobus per ogni inea, ad itinerari fissati, può porsi come: * = R 3 [] = [ c tot δ d TV() + K ] (19) con: f = A Q[] PH[] d L,min, L con,min =,mintg, =, Tg Cc / Tg f L, 3 La determinazione dee frequenze 3.1 Definizione de probema I probema de progetto dee frequenze dei servizi urbani ad itinerari fissati verrà trattato ne ambito dea formuazione (18) proposta ne paragrafo 2: * = R 2 ( ) = [ δ d TV ( ) + K Tg] (20) c con: f = A Q[ ] PH[ ] d Tg,min L,, Cc f L Anche dopo aver diviso i probema generae (15) in due probemi parziai, a souzione rimane compessa a causa dea dipendenza de vettore dei fussi f dae variabii di progetto e quindi dea necessità di dover risovere contemporaneamente anche i probema di assegnazione. Si preferisce pertanto, a partire da una souzione fattibie iniziae dee variabii di progetto, risovere ciascun 13

14 probema parziae con una procedura iterativa in due fasi: nea prima si determina i vettore dei fussi f con i vaori disponibii dee variabii di progetto; nea seconda fase, con i fussi dea fase precedente e quindi a sceta de percorso boccata, si ottimizza rispetto ae variabii di progetto con un agoritmo interno (figura 3). I tempo medio di viaggio TV può essere a sua vota espresso come TV = TW +TB dove TW è i tempo medio di attesa e TB è a restante componente de tempo medio di viaggio (tempo medio a bordo, ecc.) sua reazione o/d. I tempo medio di attesa TW può essere espresso come: TW ( ) = p ( ) q ( ) (21) h kh 1/ h k h k H dove p h è a probabiità di sceta de ipercammino h a interno de insieme dei possibii ipercammini H disponibii per a reazione o/d; q kh è a probabiità di sceta de percorso k a interno de ipercammino h; è a frequenza dea inea (i cui inverso rappresenta i tempo medio di attesa dea inea). 14

15 souzione iniziae ini assegnazione f = A Q[ ] PH[ ] d ottimizzazione variabii a fussi costanti cor = R( ) test di arresto souzione ottima * Figura : a procedura iterativa a due fasi per i progetto dee frequenze Poiché a sceta de percorso è boccata, e uniche componenti de tempo di viaggio funzioni dea frequenza sono quee reative a attesa e pertanto nea funzione obiettivo si può tenere conto soo di esse riscrivendo i probema (20) come: * = [R( ) = δ dtw + K c Tg L ] che considerando a (21) può essere scritto come: * = R( ) = δ [ d h kh + c p ({it}, ) q ({it}, ) 1/ ] K Tg h H k h k L (22) con: Tg L,min,, Cc f L Sotto e seguenti ipotesi: 15

16 - meo di sceta deterministico degi ipercammini, cioè a probabiità di sceta degi ipercammini h H vae 1 per ipercamminimo di minimo tempo medio di viaggio e zero per gi atri; - esiste un soo percorso k per ogni ipercammino h (ipercammino sempice) per ogni reazione o/d; a (22) può essere scritta come: * = δ [ d ( 1/ k ) + K c dove con K è indicato unico percorso appartenente a ipercammino di minimo tempo di viaggio. Senza edere a formuazione de probema è possibie intrurre nea (25) a variabie binaria x, che vae 1 se a inea è utiizzata daa coppia o/d e zero atrimenti, per cui si ha che * = δ [ d ( x / k, L ) + K Tg c ] L Tg ] (25) (26) Per cui i probema (22) può essere riscritto come * = δ [ d ( x / k, ) + K c L Tg ] (26a) con: Tg L,min,, Cc f L Ne seguito viene affrontato i probema de progetto dee frequenze per una rete di inee a fussi preassegnati (sceta de percorso boccata) per una singoa inea e per una rete di inee. 3.2 Determinazione dea frequenza di una inea singoa a domanda fissata Ne caso di una singoa inea a servizio dea domanda componente un soo ipercammino h, per cui a (x.6) diventa: * = R 4 ( ) = D = d, vi è un unico percorso k 1 δ D + K Tg] (23) [ c con: min Tg Cc f, 16

17 In figura 4 viene rappresentato andamento dea (23) e dee due funzioni componenti δ D / e K c Tg. Derivando i vaore dea funzione obiettivo rispetto a ed eguagiando a 0 si ha un vaore ottimae non vincoato * dea frequenza dato da: * = D δ KTg c (24) che è direttamente proporzionae aa radice quadrata dea domanda ed inversamente proporzionae aa radice quadrata de tempo di giro. Questo vaore deve essere confrontato con i vincoi per deciderne utiizzo. R() K c Tg δd / Figura 4: andamento dea funzione obiettivo ne caso di una singoa inea 3.3 Le frequenze dee inee di una rete a fussi preassegnati Ne caso di una rete di inee, riassando i vincoi de probema e svogendo e derivate prime e seconde dea (26), si ha: dr d 1 = δ d x, ( ) + K 2 ctg (27) 2 R 2 = δ d x, 2 ( ) 4 (28) La (28) per vaori positivi dea risuta positiva, mentre tutte e derivate seconde miste sono nue, e quindi Hessiano risuterà semidefinito positivo, da cui segue che a funzione R è convessa e 17

18 pertanto se insieme di definizione dee non è chiuso, avendo riassato i vincoi, a souzione si ottiene uguagiando e (27) a zero: 1 δ d x, ( ) + K ctg = 0 (29) 2 Indicando con d = d x a somma dea domanda sue reazioni i che utiizzano a inea i(), daa (29) si ottiene: i, δ di * i() = K ctg (30) che esprime a proporzionaità diretta di * aa radice quadrata dea domanda e a proporzionaità inversa aa radice quadrata de tempo di giro. La (30) cacoata per tutte e inee consente di ottenere a souzione di minimo gobae non vincoato per i probema (25). Per tenere conto dei vincoi, a souzione può essere ricercata utiizzando un meto di direzione ammissibie. Ne caso di ipercammini costituiti da più percorsi k h, con h H (ipercammino composto), non è diretto cacoare anaiticamente i vaori dee con un approccio agi ipercammini generaizzati. In questo caso i probema può essere ricondotto a probema (26a) se si utiizza un approccio agi ipercammini ridotti che consente di ottenere da una rete mificata soo ipercammini sempici, cioè composti da un unico percorso. In aternativa, a souzione de probema dee frequenze ottimai può essere ricercata in termini di aocazione ottimae de numero di convogi con agoritmi euristici de tipo riportato a paragrafo seguente. 3.4 La determinazione de numero di convogi per inea con numero totae di convogi prefissato I probema dea determinazione de numero ottimae di convogi per inea con assegnato vaore de vettore dei fussi f (sceta de percorso boccata), con itinerari dee inee prefissati, ne caso in cui si vogiono utiizzare tutti i convogi disponibii, può essere formaizzato come: * = R 3 [] = d TV() (31) 18

19 con: = L,min, L con,min =,mintg, =, Tg Cc / Tg f L, Questo probema è un probema di ottimizzazione di una funzione non ineare con vincoi ineari a variabii intere che può essere risoto con una tecnica euristica di tipo greedy, come si vedrà ne seguito. L agoritmo si sviuppa partendo da una configurazione fattibie iniziae (quea esistente ne caso di rete già operativa o quea ricavata ad esempio con i meto riportato in appendice) e ricercando a souzione de probema di ottimo con una procedura iterativa di tipo «greedy», cioè ad ogni iterazione si considera come souzione di partenza a configurazione ottenuta a iterazione precedente, cercando di migiorare i vaore dea funzione obiettivo tramite a risouzione di un probema più sempice. La procedura termina quando non si riesce più a migiorare i vaore dea funzione obiettivo. In questo caso i probema più sempice riguarda o spostamento ottimae di un soo convogio da una inea ad un atra. A partire da una configurazione fattibie iniziae ini, aa iterazione j viene presa in esame una inea (s) aa quae viene sottratto un convogio s, j = s, j-1-1 ne rispetto dei vincoi de probema, cioè s,min s,j s, Cc / Tg f s s,j s Ad ogni passo interno a iterazione j, si aggiunge i convogio ad una inea (p) p, j = p, j con s p L ne rispetto de vincoo su numero massimo di convogi, e si cacoa i vaore dea funzione obiettivo R(). In questo mo ad ogni iterazione si può determinare per quae inea (p + ) dee n L inee si ha i vaore minimo dea funzione obiettivo R() e quindi a quae inea trasferire i convogio sottratto aa inea (s - ), ne rispetto dei vincoi. Nea iterazione successiva j+1 si anaizza una nuova inea (s) e a procedura ha termine quando, anaizzate ricorsivamente tutte e n L inee (s), non si riesce a ridurre i vaore dea funzione obiettivo R(). In figura 5 è riportato a fow-chart compessiva de agoritmo di souzione de probema 19 s,

20 j=0 = 0 = ini R =R( ini ) j=1 s=1 s - =s s,j = s,j-1 1 verifica vincoi no si R cor = cor = j-1 p=1 s,j = s,j-1-1 p,j = p,j m,j = m,j-1 m s,p L no verifica vincoi si cacoo R( j ) R( j )<R cor no si R cor =R( j ) cor = j p + =p s - =s p=p+1 no p=n L si p=1 no p=p + si R cor <R si R =R cor = cor j=j+1 s=s+1 no s=n L si s=1 no s=s - Figura 5: procedura per a determinazione de numero ottimae di convogi per inea si R*=R *= 20

21 APPENDICE: generazione di una configurazione fattibie iniziae di convogi Una conveniente souzione fattibie iniziae può essere ricavata risovendo i probema sempificato (26) per i quae, come si è visto, si ha: = δ K c d i() Tg i L La souzione ottenuta deve essere mificata opportunamente per tenere conto dei vincoi, così ne caso in cui e frequenze cacoate risutino minori/maggiori di quee imite, vengono poste pari a quee minime/massime st,, in mo da sdisfare i vincoo L (32) min Indicando con L* insieme dee inee che hanno frequenza esterna ai imiti posti nea (32), si ricava i numero di convogi necessari a sdisfare L * tramite a: * = L st, Infine, i rimanenti convogi res = - * vengono distribuiti tra e inee non appartenenti ad L*, per esempio in proporzione a numero di convogi risutanti da appicazione dee frequenze ottimai non vincoate, tramite a = res L Tg 21