LA SOLUZIONE DELL EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER IN PRESENZA DI UN POTENZIALE

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1 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 1 LA SOLUZIONE DELL EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER IN PRESENZA DI UN POTENZIALE Consideriamo una particea che si muova in un potenziae indipendente da tempo V (x). L equazione di Schrödinger è operatore H essendo dato da i ħ t ψ t (x) = H ψ t (x), H = ħ2 2m + V (x). Considerate e autofunzioni proprie w nm (x) = x w nm e improprie w E (x) = x w E, souzioni dee equazioni agi autovaori H x w nm = E n x w nm, H x w E = E x w E, che intendiamo normaizzate in modo che sia (1) w n m w nm = δ nn δ mm, w E w E = δ(e E ) δ, otre che w E w nm = 0, a souzione generae si scrive (E n = ħ ω n, E = ħ ω) (2) ψ t (x) = x ψ t = c nm x w nm exp ( i ω n t) + de c (E) x w E exp ( i ω t). nm Dunque ψ t (x) è sovrapposizione di Ci chiediamo e inotre Nota componenti monocromatiche discrete di frequenza ω n 2π, componenti monocromatiche continue di frequenza ω 2π dove sono situati gi autovaori E n discreti (propri) e gi autovaori E continui (impropri) che significato hanno gi uni, gi atri e e corrispondenti autofunzioni degi uni e degi atri. La possibie presenza di uno spettro di frequenze discreto per un sistema non confinato da vincoi costituisce una novità rispetto ai fenomeni onduatori noti (come e onde uminose e quee sonore). Nota Abbiamo supposto che e autofunzioni w E (x) deo spettro continuo corrispondenti ao stesso E siano distinte da indice discreto. È anche possibie usare ao stesso scopo un indice continuo Ω, ne qua caso a seconda dee (1) e i secondo termine nea (2) si modificano in modo ovvio. I due tipi di autovettori impropri saranno egati da reazioni de tipo w EΩ = c (E, Ω) w E, w E = dω C Ω (E, ) w EΩ, C Ω (E, ) = c (E, Ω).

2 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 2 DISCUSSIONE EURISTICA DELLO SPETTRO DI H. Supponiamo che i potenziae V (x) tenda a zero per x, come iustrato simboicamente ad esempio daa curva continua nea figura. V (x) V max x V min Sceto un quasiasi vaore come possibie autovaore di H esistono certamente souzioni in senso generaizzato de equazione agi autovaori, ma tai souzioni non sono necessariamente accettabii come autofunzioni proprie o improprie. Per sempicità imitiamo a discussione a caso di un potenziae costante in ogni regione R i di un opportuna scomposizione deo spazio fisico, come esempificato daa spezzata tratteggiata nea figura. Indicando provvisoriamente con E un numero reae eventuamente autovaore proprio o improprio di H e con w(x) una corrispondente autofunzione equazione differenziae che traduce equazione agi autovaori di H nea regione R i risuta (3) w(x) = 2m ħ 2 dove V i è i vaore costante di V (x) nea regione R i. (V i E) w(x), Come sappiamo, e souzioni nee diverse regioni dovranno poi essere raccordate per mezzo dee condizioni di continuità attraverso e superfici di discontinuità di V (x). Nea regione R i, per un fissato E > V i a souzione generae de equazione (3) è un integrae sugi angoi Ω ki di souzioni de tipo (4) c(ω ki ) exp(i k i x) dove k 2 i = 2m ħ 2 (E V i). Sempre nea regione R i, per un fissato E < V i a souzione generae de equazione (3) è un integrae sugi angoi Ω κi di souzioni de tipo (5) c(ω κi ) exp(κ i x) dove κ 2 i = 2m ħ 2 (V i E).

3 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 3 Ne caso E > V max, e souzioni sono de tipo osciante (4) in tutte e regioni. Sceta una souzione in una quasiasi regione e imposte e condizioni di raccordo (fascicoo 2/5), a souzione ne intero spazio così determinata è ovunque de tipo osciante e in particoare nea regione asintotica ed è pertanto accettabie come autofunzione impropria. Ne caso V max > E > 0, e souzioni sono di nuovo de tipo osciante ameno nea regione asintotica. Sceta una souzione in una quasiasi regione e imposte e condizioni di raccordo, a corrispondente souzione è di nuovo accettabie come autofunzione impropria. L unica differenza da caso precedente è che in taune regioni a finito e souzioni sono de tipo esponenziae reae (5). In tai regioni e condizioni di raccordo fanno si che, aontanandosi daa superficie di discontinuità, a souzione si annui tanto più rapidamente quanto maggiore è κ i, cioè quanto maggiore è V i E. Ciò significa che autofunzione è sostanziamente confinata nee atre regioni, in cui E > V i. Ne caso 0 > E > V min, e souzioni sono certamente de tipo esponenziae reae nea regione asintotica. Aora, per un E generico ne intervao considerato, imposte e condizioni di raccordo, non esiste acuna souzione che non diverga esponenziamente nea regione asintotica. Se i potenziae V (x) è sufficientemente attrattivo, possono tuttavia esistere vaori particoari di E per i quai invece esistono particoari souzioni che si comportano asintoticamente come exp( κ x ), κ = 2mE/ħ 2. Tai souzioni sono a moduo quadrato integrabii e sono quindi autofunzioni proprie. Esse sono sostanziamente confinate nee regioni in cui E > V i. Ne caso V min > E, e souzioni sono de tipo esponenziae reae in tutte e regioni e non esiste acuna souzione che non diverga esponenziamente nea regione asintotica. In concusione per ogni E > 0 esistono autofunzioni necessariamente improprie de operatore H e questo ha uno spettro continuo che si estende da 0 a +. Per V min < E < 0 possono esistere autofunzioni necessariamente proprie de operatore H e questo ha aora uno spettro discreto in tae intervao.

4 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 4 Nota In una regione R i in cui E > V i, motipicando e souzioni (4) per i fattore temporae exp( i ω t) si ottiene che rappresenta un onda di unghezza λ = 2π / k i exp ( i (k i x ω t) ) che si propaga nea direzione indicata da k i con veocità di fase v f = ω k i = E 2m(E Vi ) In una regione R i in cui E < V i, motipicando e souzioni (5) per i fattore temporae si ottiene invece exp ( κ i x i ω t ) che non rappresenta un onda (e cui corrisponderebbe una veocità di fase immaginaria). Generaizzazione Se i potenziae V (x) è continuo anziché costante per regioni neo spazio fisico i ruoo giocato dae condizioni di raccordo attraverso e superfici di discontinuità è svoto da equazione differenziae unica in tutto o spazio, a quae genera a souzione in senso generaizzato de probema agi autovaori di H a partire dai vaori dea souzione ne intorno di un quasiasi punto. L intuizione fisica ci permette di affermare che e concusioni cui siamo giunti circa o spettro di H e a corrispondente natura propria o impropria dee autofunzioni vagono anche a di fuori de ipotesi di costanza de potenziae per regioni deo spazio fisico. Notazioni Quando non siano possibii confusioni useremo, per gi autostati de operatore H fin qui indicati con w E e w nm, e notazioni sempificate E e E n m o anche, per questi utimi, nm.

5 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 5 LA GRANDEZZA ENERGIA Inserendo ne espressione de operatore hamitoniano H = ħ2 2m + V (x) e definizioni de operatore posizione ˆx e de operatore momento ineare ˆp si ottiene Notiamo anaogia di questa espressione H = ˆp2 2m + V (ˆx). con quea cassica dea funzione hamitoniana in termini dee variabii canoniche x e p. Ricordiamo anche che a funzione hamitoniana cassica ha i significato di energia totae dea particea. Ciò induce a ritenere che operatore H possa essere associato aa grandezza energia dea particea neo stesso senso in cui o sono gi operatori ˆx e ˆp ae grandezze posizione e momento ineare. Ci chiediamo se, con argomenti anaoghi a quei usati per operatore ˆp e i momento ineare, sia possibie assegnare tae significato a operatore H, sia possibie definire una distribuzione ϱ E (E, t) di vaori de energia, sia a distribuzione ϱ E (E, t) data dai modui quadrati dee componenti di ψ t sugi autostati di H, e infine a funzione ϱ E (E, t) rappresenti anche a distribuzione di probabiità dei risutati di un eventuae misurazione de energia. La risposta è affermativa con riferimento a stati ψ t costruiti sovrapponendo autostati (impropri) E deo spettro continuo di H. Per stati ψ t ottenuti da autostati (propri) E n m deo spettro discreto o oro sovrapposizioni argomenti simii non possono essere ripetuti e per essi dovranno essere estesi per anaogia i risutati ottenuti per gi stati costruiti da autostati impropri.

6 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 6 Sovrapposizioni di autostati deo spettro continuo di H Significato dee autofunzioni e degi autovaori Le autofunzioni deo spettro continuo x E, E = ħ ω > 0, sono improprie e non normaizzabii e quindi non corrispondono a stati dea nostra particea. Integrai (sovrapposizioni continue) di autofunzioni improprie con coefficiente a moduo quadrato integrabie sono tuttavia normaizzabii, e sono souzioni de equazione di Schrödinger se integrando contiene opportuno fattore temporae. Consideriamo aora una funzione d onda (6) ψ t (x) = x ψ t = + 0 de c (E) x E exp( i ω t), c (E) exp( i ω t) = E ψ t tae che approssimi per quanto possibie una singoa autofunzione deo spettro continuo, cioè c (E) sia apprezzabimente diverso da zero soo in un piccoo intorno di un vaore E 0 di E. Con riferimento a potenziae V (x) costante per regioni deo spazio fisico già considerato, supponiamo inotre che, in un certo intervao di tempo, ψ t (x) sia un singoo pacchetto situato in una certa regione R i tae che, per tutti i vaori di E rievanti in reazione aa forma di c (E), sia E > V i. Aora possiamo scrivere, per x R i, ψ t (x) = dk i c(k i ) 1 (2π) 3/2 exp ( i(k i x ω t) ), dove k 2 i = 2m ħ 2 (E V i), e i coefficiente c(k i ) è apprezzabimente diverso da zero soo in un piccoo intorno de vaore k 0i tae che k 2 0i = 2m ħ 2 (E 0 V i ), cioè E 0 = ħ2 k 2 0i 2m + V i. I pacchetto si propaga dunque con veocità di gruppo [ ] dω dk i k i =k 0i = ħ k 0i m = v 0i e a veocità v 0i è tanto più precisamente definita quanto più c(k i ) è concentrato attorno a vaore k 0i di k i cioè quanto più i coefficienti c (E) sono concentrati attorno a vaore E 0 (a direzione di propagazione de pacchetto dipende daa forma in Ω ki di c(k i ) e può non avere un vaore sostanziamente definito). La reazione tra E 0 e v 0i è (7) E 0 = 1 2 m v2 0i + V i.

7 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 7 Se a un certo tempo i pacchetto urta contro a superficie di separazione tra a regione R i e a regione R j in cui V (x) = V j, esso subisce una rifessione parziae dovuta a sato di potenziae tra e due regioni (studieremo megio in seguito ne ambito dea meccanica quantistica questo processo che è comune a tutte e propagazioni ondose quando cambia a veocità di fase). La parte de pacchetto che penetra nea regione R j, poiché i coefficiente c (E) è sempre o stesso, si propaga ora con una diversa veocità di gruppo v 0j tae che (8) E 0 = 1 2 m v2 0j + V j. In particoare nea regione asintotica, in cui V (x) = 0, a veocità v 0 di propagazione de pacchetto è tae che (9) E 0 = 1 2 m v2 0. Notiamo che a reazione quantistica tra E 0 e a veocità di propagazione de pacchetto è a stessa che sussiste in meccanica cassica tra energia totae e a veocità dea particea. In particoare in entrambi gi ambiti a reazione coinvoge soo i moduo dea veocità e questo cambia neo stesso modo a cambiare de vaore de potenziae. Inotre, come abbiamo già notato, a veocità di propagazione de pacchetto in ogni regione deo spazio è tanto più precisamente definita quanto più i c (E) sono concentrati attorno a vaore E 0. Mutuando daa meccanica cassica a definizione di energia (10) E = 1 2 m v2 + V possiamo interpretare uno stato quantistico de tipo (6) con i coefficienti c (E) concentrati attorno a vaore E 0 di E come corrispondente a una particea quantistica di energia quasi definita E 0 = 1 2 m v2 0 + V, dove, come risuta da confronto dee equazioni (7) e (8), E 0 è costante e i vaore dea veocità v 0 dipende da vaore di V ne punto attorno a quae si trova i pacchetto. Appare quindi naturae, nea situazione che abbiamo considerato, associare operatore H aa grandezza fisica energia totae dea particea ne preciso senso che e sue autofunzioni corrispondono a stati impropri di energia definita e i suoi autovaori sono i corrispondenti vaori de energia.

8 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 8 Distribuzione di vaori de energia Secondo quanto abbiamo stabiito dianzi gi autovaori impropri de operatore H sono vaori possibii de energia e, sempre assumendo che V (x) si annui per x, sono tutti i numeri reai E > 0. Ci chiediamo se possiamo associare una distribuzione di vaori de energia su insieme dei vaori E > 0 a uno stato dea particea de tipo (6) già considerato (11) x ψ t = + de c (E) x E exp( i ω t) = dove e autofunzioni x E di Ĥ sono normaizzate in modo che sia de E ψ t x E (12) E E = δ(e E ) δ e dove ora i coefficienti c (E) possono non essere concentrati attorno a un particoare vaore di E (pur essendo comunque a moduo quadrato sommabii e integrabii). Notiamo che una particea cassica di energia E > 0, quaunque sia a sua posizione x(t) a tempo t, a trascorrere de tempo necessariamente si aontana indefinitamente da quasiasi regione finita e per tempi t sufficientemente grandi, diciamo maggiori di t, a sua energia è quindi data da E = 1 2 m v2 (t ) = 1 2 m x(t ) x( t ) t t 2 t 1 2 m x(t ) In meccanica quantistica, una funzione d onda ψ t (x) de tipo (11) è non egata cioè, ovunque sia situata a tempo t, essa si aontana indefinitamente da quasiasi regione finita e, a tempi t successivi a un tempo t abbastanza grande, essa giace fatamente nea regione asintotica (di questo fatto fisicamente de tutto pausibie daremo in seguito una dimostrazione formae) nea quae i potenziae è nuo e nea quae un pacchetto corrispondente a un piccoo intervao attorno a vaore E 0 si propaga con a veocità data daa (9) v(t ) = 2E 0 /m. t 2.

9 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 9 Aora, ammesso che aa funzione d onda x ψ t a tempo t si possa associare una distribuzione ϱ E (E, t) di vaori de energia E, appare naturae egare espressione di ϱ E (E, t) a quea dea distribuzione ϱ(x, t ) = x ψt 2 di vaori dea posizione a tempo grande t > t per mezzo dea reazione [ ] ϱ E (E, t) de = im t dω x ϱ(x, t ) x 2 dx nea quae E si intende egato a x daa reazione (13) E = 1 2 m x x t t 2 t ( 1 x 2 m ) 2, t dove incertezza da cui è affetto x a causa de estensione finita di ϱ( x, t) = x ψ t 2 diventa irrievante in conseguenza de imite t. ψ t( x) E 1 E 2 x x +dx x x +dx ψ t (x) E 1 E 2 Tenuto conto che, secondo a (13), possiamo quindi definire de = im t (14) ϱ E (E, t) = im t dove ϱ(x, t ) = x ψt 2, E è egato a x daa reazione (13), m t 2 x dx, [ ] t 2 m x dω x ϱ(x, t ), a funzione d onda x ψ t giace nea regione asintotica, ed è evouta daa funzione d onda x ψ t pure giacente nea regione asintotica che a sua vota è evouta daa funzione d onda x ψ t arbitrariamente situata. Da cacoo riportato in appendice risuta che (15) ϱ E (E, t) = c (E) 2 = c (E) exp( i ω t) 2 = E ψt 2. L utima espressione di ϱ E (E, t) mostra che, a distribuzione di vaori de energia E a tempo t quando a particea è neo stato ψ t è data da moduo quadrato de coefficiente deo sviuppo di ψ t sugi autostati E de operatore energia Ĥ assunti normaizzati secondo a (12) sommato su indice di degenerazione.

10 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 10 Nota L espressione intermedia nea (15) mostra anche che ϱ E (E, t) = ϱ E (E) è in reatà indipendente da tempo t. Questo fatto traduce evidentemente in meccanica quantistica a conservazione de energia che sussiste quando i potenziae V (x) è indipendente da tempo. Nota Secondo i risutato (15), i contributo degi stati deo spettro continuo compresi tra E 1 e E 1 + aa distribuzione di vaori de energia per o stato ψ t è (16) E1 + E 1 de E ψ t 2. Nota Ne definire a distribuzione di vaori de momento ineare abbiamo considerato, otre a tempo t a quae è definita a distribuzione, un soo tempo successivo t. Ne definire a distribuzione di vaori de energia abbiamo invece considerato, otre a tempo t, due tempi successivi t e t. La differenza è dovuta a fatto che, ne caso de momento ineare, a distribuzione di vaori è per definizione riferita a evouzione dea funzione d onda ne assunzione che a particea sia ibera. Ne caso de energia, invece, a distribuzione di vaori è per definizione riferita a evouzione dea funzione d onda tenuto conto dea presenza de potenziae, e proprio in ciò risiede i suo interesse poiché se evouzione è ibera e due distribuzioni sono chiaramente connesse in modo banae. Ne caso de energia quindi, per poter portare a compimento i cacoo dea distribuzione di vaori, è necessario considerare due tempi successivi t e t tra i quai a particea si muove ibera poiché a funzione d onda giace fuori dea regione in cui V (x) è diverso da zero. L estensione de intera regione in cui giacciono x ψ t e x ψ t è irrievante in conseguenza de imite t che comporta anche x.

11 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 11 Distribuzione di probabiità dei risutati di una misurazione de energia Possiamo definire una misurazione de energia di una particea in uno stato non egato (11) per mezzo deo stesso apparato ideae già utiizzato per definire una misurazione de momento ineare. La regione R in cui sono instaati i riveatori è situata interamente nea regione asintotica e non occorre acun dispositivo che annui i potenziae. A tempo t a distribuzione dea posizione ϱ( x, t) = ψ( x, t) 2 occupa una regione finita esterna aa regione in cui V (x) è diverso da zero. Attivati i riveatori a tempo t > t, se a particea è riveata nea cea attorno a un punto x attribuiamo a essa a tempo t e a quasiasi atro tempo energia data da E = 1 2 m x x t t 2 t ( 1 x 2 m ) 2, t dove incertezza da cui è affetto x a causa de estensione finita di ϱ( x, t) diventa irrievante in conseguenza de imite t. È aora evidente che a densità di probabiità di attribuire aa particea energia E è data daa distribuzione ϱ E (E) definita daa (14) e data daa (15). Nota Osserviamo di nuovo che a concusioni cui siamo giunti sua distribuzione di vaori de energia e sua distribuzione di probabiità dei risutati di un eventuae misurazione dea stessa discendono dae precedenti assunzioni sua distribuzione di vaori dea posizione e sua distribuzione di probabiità dei risutati di un eventuae misurazione di questa, otre che daa mutuazione dea definizione cassica di energia.

12 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 12 Stati deo spettro discreto di H e oro sovrapposizioni Significato dee autofunzioni e degi autovaori Le autofunzioni deo spettro discreto x E n m, E n = ħ ω n < 0, sono proprie cioè normaizzabii e quindi, se normaizzate, corrispondono a stati dea nostra particea. Possiamo quindi considerare a singoa souzione de equazione di Schrödinger (17) ψ t (x) = x ψ t = x E n m exp( i ω n t). Essa è sostanziamente confinata nea regione fissa B(E n ) definita da V (x) < E n. La funzione d onda x ψ t descrive quindi uno stato egato dea particea. Non soo a regione B(E n ) è fissa, ma x ψ t dipende da tempo soo attraverso un fattore di fase gobae che non ha effetti sua distribuzione x ψ t 2 di vaori di x, nè, come abbiamo visto, sua distribuzione p ψt 2 di vaori di p, nè, come abbiamo anticipato, su acun atra proprietà dea particea. La funzione d onda x ψ t descrive quindi uno stato che non cambia ne tempo e che pertanto si dice stazionario. Quanto a significato degi autovaori propri E n di Ĥ, interpretazione già data agi autovaori impropri suggerisce anche per essi i significato di energia. L autovaore E n costituisce quindi energia deo stato stazionario x ψ t. Se energia potenziae V (x), come abbiamo supposto, si annua per x, autovaore E n è certamente negativo e i suo opposto E n > 0 è energia di egame cioè energia minima che occorre fornire aa particea per strappara ao stato egato e fara andare ibera per i mondo. Nota Gi stati stazionari corrispondono nea meccanica quantistica ae orbite priviegiate di Bohr. Nota Ne caso de potenziae couombiano e funzioni d onda (17) corrispondono ae orbite cassiche eittiche (E < 0), e funzioni d onda (6) ae orbite cassiche iperboiche (E > 0). Ma in meccanica cassica e energie negative sono continue e e energie positive sono perfettamente definite. Inotre, ne caso attrattivo, e energie negative cassiche non sono inferiormente imitate mentre e energie negative quantistiche sono, vedremo, inferiormente imitate (pur essendo i potenziae couombiano attrattivo inferiormente non imitato).

13 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 13 Distribuzione di vaori de energia Consideriamo una singoa funzione d onda (17) deo spettro discreto di Ĥ. Abbiamo già attribuito a una tae funzione d onda i vaore definito e costante E n de energia. Introducendo, anche ne caso de vaore definito E n, una distribuzione di vaori, questa sarà data da ϱ E (E) = δ(e E n ). Ne caso di una sovrapposizione de tipo (18) x ψ t = c nm x E n m exp( i ω n t) = E nm ψ n m n m t x E n m, dove E n m E n m = δ nn δ mm, i confronto con espressione (16) corrispondente a anaoga sovrapposizione di stati de continuo induce ad assumere che i contributo dei vari termini aa distribuzione ϱ E (E) sia proporzionae a oro contributo aa norma quadrata di ψ t, cioè (19) ϱ E (E) = δ(e E n) c nm 2 = δ(e E n) E n m ψ n m n m t 2. Misurazione de energia La misurazione de energia di una particea in uno stato egato e pertanto di energia negativa, non può evidentemente essere eseguita, nemmeno ideamente, con i tipo di dispositivo descritto per i momento ineare e per energia ne caso di stati di energia positiva. Essa può essere fatta, ad esempio, con intervento di una particea proiettie di energia per quanto possibie definita che, espeendo a particea misurata dao stato egato, dia uogo a uno stato in cui entrambe e particee hanno energia positiva, La misurazione dee energie dee due particee dopo urto, e i biancio dee energie in gioco permettono di risaire a energia deo stato egato. Oppure può essere fatta con metodi spettroscopici, sia in emissione che in assorbimento, cioè di nuovo con intervento di un atra particea, i fotone. Ne caso di uno stato de tipo (17) a misurazione darà come risutato i vaore definito E n, ne caso di una sovrapposizione de tipo (18) e probabiità dei diversi E n saranno E n m ψ m t 2. In tutti i casi a distribuzione di probabiità dei risutati è precisamente data daa distribuzione di vaori ϱ E (E).

14 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 14 Sovrapposizioni di tipo generae Infine, ne caso generae x ψ t = = de c (E) x E exp( i ω t) + nm c nm x E n m exp( i ω n t), de E ψ t x E + nm E nm ψ t x E n m un ovvia estensione dee assunzioni già fatte porta a espressione ϱ E (E) = c (E) 2 + δ(e E n) c nm 2 n m (20) = E ψt 2 + δ(e E n) En m ψ n m t 2. Dunque ancora una vota a distribuzione di vaori dea grandezza considerata è data da moduo quadrato dei coefficienti deo sviuppo dea funzione d onda sue autofunzioni normaizzate de operatore che rappresenta a grandezza sommato (o integrato) sugi eventuai indici di degenerazione. Conservazione de energia La distribuzione ϱ E (E) di vaori de energia è indipendente da tempo. Questo fatto traduce a conservazione de energia, che sussiste quando i potenziae è V (x) indipendente da tempo. L operatore Ĥ Avendo attribuito a operatore hamitoniano H i significato di operatore associato a una grandezza fisica, energia, o denoteremo d ora in avanti con Ĥ. La sua espressione in termini degi operatori posizione ˆx e momento ineare ˆp è (21) Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆx). Questa espressione di Ĥ vae in ogni rappresentazione.

15 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 15 Rappresentazioni de energia Risuta spesso utie considerare rappresentazioni de energia cioè definite da basi ortonormai di autofunzioni proprie e improprie de operatore Ĥ. Poiché operatore Ĥ presenta sempre degenerazione, si possono, per un dato Ĥ, considerare basi ortonormai diverse. Le autofunzioni considerate di Ĥ possono essere de tipo (22) x nm, x E, con e proprietà di ortonormaità (23) n m nm = δ nn δ mm, E E = δ(e E ) δ, nm E = 0, oppure de tipo (24) x nm, x EΩ, con e proprietà di ortonormaità (25) n m nm = δ nn δ mm, E Ω EΩ = δ(e E ) δ(ω Ω ), nm EΩ = 0. I coefficienti deo sviuppo di una quasiasi funzione d onda x ψ sue autofunzioni (22) o (24) si scrivono immediatamente tenendo conto dee reazioni di ortonormaità (23) o (25).

16 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 16 Casi particoari Ne caso dea particea ibera manca a parte discreta deo spettro, e autofunzioni x k di ˆk = i normaizzate in modo che sia k k = δ (3) (k k ), sono anche autofunzioni di Ĥ con autovaori E = ħ2 k 2 2m e una base de secondo tipo è ad esempio dove è inteso che N k sia tae che x EΩ = [ ] N k x k k= 2mE/ħ, Ω k =Ω E Ω k EΩ k = δ(e E ) δ (2) (Ω k Ω k ). Poiché (fascicoo 2/6) δ (3) (k k ) = 1 k 2 δ(k k ) δ (2) (Ω k Ω k ) = 1 k 2 ħ 2 k m δ(e E ) δ (2) (Ω k Ω k ) deve essere Nk 2 ħ 2 mk = 1 e quindi, scegiendo N k reae positivo, N k = mk ħ Anche ne caso in cui a particea non sia ibera, conviene tavota, per a parte continua deo spettro, considerare autostati w k di Ĥ, Ĥ w k = ħ2 k 2 2m w k. Opportunamente normaizzati, essi costituiscono un sistema ortonormae w k w k = δ (3) (k k ) competo ne sottospazio ortogonae agi eventuai stati egati. Aora, posto EΩ k = dove N k ha i medesimo vaore già indicato, risuta [ ] N k w k k=, 2mE/ħ E Ω k EΩ k = δ(e E ) δ (2) (Ω k Ω k )

17 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 17 Appendice per i cacoo dea distribuzione di vaori de energia Nea definizione (14) dea distribuzione di vaori ϱ E (E, t) a tempo t è considerata a funzione d onda (26) x ψ τ = de c (E) x E exp( iωτ), ω = E/ħ ai tempi τ = t, τ = t > t, a quae a funzione d onda giace ormai nea regione asintotica, τ = t > t, a quae a funzione d onda continua a giacere nea regione asintorica. Poiché ai tempi τ t a funzione d onda x ψτ giace nea regione asintotica ħ2ˆk2 dove hamitoniano Ĥ si riduce a hamitoniano ibero 2m, per tai tempi possiamo anche scrivere (27) x ψτ = dk c(k) x k exp( iω k τ), e quindi in particoare x ψt = d 3 x x ψ t d 3 k ω k = E k ħ = 1 ħ 2 k 2 ħ 2m 1 (2π) 3 exp ( i k (x x) ) exp ( i ω k (t t) ). Ripetendo o stesso cacoo che ha portato daa (14) aa (15) ne fascicoo 3/5 risuta ( ) ϱ(x, t m 3 1 ( ) = t t (2πħ) 3 d 3 x x ψ t exp i m ) ( 2ħ x2/ (t t ) exp i m ħ x x / ) 2 (t t ). Aora, poiché ( ) m 3 t t t ( exp i m ħ x x / ) (t t ) ( m ) 3 (, exp t i m ) 2ħ x2/ (t t ) a distribuzione ϱ E (E, t) definita daa (14) risuta [ ϱ E (E, t) = im t 2 ( ) m 3 1 t m x dω x t (2πħ) 3 1, t ( exp i m t ħ x x / t ), ( d 3 x x ψ t exp i m ħ x x / t ) ] 2. Tenuto conto dea (13), posto k E = 2mE / ħ, risuta ancora e pertanto, poiché t 2 ( ) m 3 m x = m t 2 x t si ottiene ϱ E (E, t) = m k E 1 ħ 2 (2π) 3 (28) = m k E ħ 2 1 (2π) 3 ħmk t E, exp( i ω k t ) c(k) = m ħ x t = m ħ x t e x 1 d x exp( ik (2π) x) x ψ t, 3/2 dω x d 3 x x ψ t exp( i k E e x x) 2 t k E e x [ ] 2 dω k d 3 x x ψ t exp( i k x) = m k [ E ħ 2 dω k c(k) ] 2. k=k k=ke E

18 3/6 L OPERATORE H E L ENERGIA 09/10 18 Poiché per tempi τ t vagono entrambe e espressioni (26) e (27) di x ψ τ, deve evidentemente esistere una reazione tra i coefficienti c (E) e c(k). Precisamente si ottiene c(k) = de c (E) k E exp ( i(ω ω k )τ ). I secondo membre è diverso da 0 ne imite τ soo se k E contiene i fattore δ(ω ω k ) = ħ δ(e E k ). Posto risuta e quindi (29) k E = δ(e E k ) F (E,, Ω k ), c(k) = c (E k ) F (E k,, Ω k ) dω k c(k) 2 = c (E k) c (E k ) dω k F (E k,, Ω k ) F (E k,, Ω k ). D atra parte, a reazione di ortonormaità E E = δ(e E ) δ si scrive e quindi cioè k 2 dk dω k δ(e E k ) F (E,, Ω k ) δ(e E k ) F (E,, Ω k ) = δ(e E ) δ k 2 dk δ(e E k ) dω k F (E,, Ω k ) F (E,, Ω k ) = δ dω k F (E,, Ω k ) F (E,, Ω k ) = ħ2 mk E δ. Inserendo questo risutato nea (29) si ottiene e infine daa (28) ϱ E (E, t) = m k E ħ 2 dω k c(k) 2 = [ ] dω k c(k) 2 ħ 2 mk E=Ek k=k E c (E k ) 2 = ħ2 mk c (E k ) 2 = c (E k=ke ) 2 = c (E) 2 = c (E) exp( iωt) 2 = E ψt 2.