Esercizio 3. Telaio con ritto rigido. Carpentieri Gerardo 20/06/2009

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1 Scienza dee Costruzioni Esercizio Teaio con ritto rigido Carpentieri Gerardo 0/06/009 1 Descrizione preiminare dea struttura Studio dea struttura S 0 Studio dea matrice di rigidezza 4 Cacoo degi spostamenti nodai

2 Esercizio 1 Descrizione preiminare dea struttura È dato i teaio rappresentato in figura: Figura 1 Struttura S Si suppone ce i ritto di sinistra, tratteggiato in figura, sia rigido Si cacoino con i metodo degi spostamenti e caratteristice dea soecitazione ne teaio e se ne disegni, a maniera, a deformata ipotizzando ce : 8 Q= 10 E ; q=q/; H1=H=0,10 Q; =(/); I= Essendo E i moduo di Young de materiae e I i momento di inerzia, comune a tutte e aste non rigide 7

3 Esercizio In primo uogo si procede ao studio de grado di iperstaticità dea struttura utiizzando a formua: t s i, dove: - t è i numero di tronci (5); - s è a somma dee motepicità dei vincoi esterni ed interni (0); - è i grado di abiità (0); - i è i grado di iperstaticità (5) In definitiva a struttura in Figura 1 risuta cinque vote iperstatica Da sistema reticoare associato, ottenuto sostituendo ad ogni incastro interno una cerniera, si vede ce a struttura S è ad un nodo spostabie Figura Struttura reticoare associata 8

4 Esercizio Studio dea struttura S 0 Per appicare i metodo degi spostamenti si assumono come incognite gi spostamenti nodai: e due rotazioni dei nodi interni D ed E e o spostamento orizzontae di piano Per ricavare e incognite si procede aggiungendo a sistema S dei vincoi ausiiari (fittizi) ce boccano gi spostamenti incogniti e si ottiene a struttura a nodi boccati S Si procede quindi anaizzando i sistema a nodi boccati S 0, su quae si appicano i carici attivi Lo scopo è i cacoo dee reazioni vincoari dei morsetti e de appoggio, ovvero dee reazioni di incastro perfetto In seguito si considerano due sistemi S i in cui si assegnano dei cedimenti unitari ai vincoi ausiiari e se ne cacoano e reazioni, ce corrisponderanno ai termini dea matrice di rigidezza dea struttura Infine si appica i principio di sovrapposizione degi effetti e si sommano e varie reazioni dei vincoi ausiiari nei diversi scemi, in funzione degi spostamenti incogniti, e si pongono a zero I motivo, infatti, è ce i vincoi ausiiari non esistono e perciò e corrispondenti reazioni sono nue I probema consiste ne risovere i seguente sistema in forma matriciae: Dove: - è a matrice di rigidezza; - u è i vettore degi spostamenti; - Q è i vettore dei carici u Q 9

5 Esercizio I sistema S 0, per i quae si determinano e componenti de vettore dei termini noti è i seguente Figura Struttura a nodi boccati S 0 I vettore dei carici contiene e reazioni dei tre vincoi ausiiari neo scema a nodi boccati: Q 1 Q Q Q Vae: q Q 1 M E 1 ; Q Q M D 8 0

6 Esercizio Figura 5 Reazioni dei morsetti Figura 4 Reazione de appoggio Per i cacoo dea reazione de carreo, si impone i momento in A nuo: R c F Q q N ; 16 4 Dove, per equiibrio a nodo E: N Q q 6 Quindi: Q F Q q F RC F

7 Esercizio Studio dea matrice di rigidezza Si assegni un cedimento φ E unitario Figura 6 Struttura S Per vautare 1 facciamo equiibrio intorno ad A : N cos( 0 ) T T cos(60 ) 0 ; N N cos( 0 ) N T cos(0 ) 0; ED

8 Esercizio ) ( N N Figura 7 Cacoo di ) (6 6 6

9 Esercizio Si assegni un cedimento φ E unitario Figura 8 Struttura S Per vautare facciamo equiibrio intorno ad A: 6 N cos( 0) 0 ; 6 N N cos(60) 0 ; EB 4

10 Esercizio N N EB GF Figura 9 Cacoo di N CD 1 N 1 L 0 5

11 Esercizio Si assegni un cedimento δ C unitario Figura 10 Struttura S Le travi dea precedente struttura, otre ad avere un cedimento trasazionae, subiscono ance un cedimento rotazionae Figura 11 Sovrapposizione degi effetti 6

12 Esercizio M EB M CD M M DC T EB T T CD T DC 1 Per vautare facciamo equiibrio intorno ad A: Figura 1 Cacoo di 7

13 Esercizio N cos( 0) T cos(60)) T N 0; N T N co( 60) T cos(0) 0; EB ED EB ED N 4 8 N EB Cacoo degi spostamenti nodai Espicitando i precedente sistema matriciae: E Q D Q C Q 1 Invertendo i precedente sistema si ottiene a matrice dee deformabiità e quindi e incognite di spostamento Si possono cacoare i momenti agi estremi di ogni asta ed i rispettivi tagi Dae equazioni di equiibrio nodai aa trasazione orizzontae e verticae si ottengono gi sforzi normai nee aste Infine si possono ottenere i diagrammi dee caratteristice interne dea struttura 8