ELABORATO 1 TEORIA DEI VETTORI
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- Bernarda Gattini
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1 ELABOATO 1 TEOIA DEI VETTOI DATI q 1 = 5 kn/m q = 7 kn/m q 3 = 1 kn/m q 4 = 14 kn/m q 5 = 5 kn/m L = 1 m F 1 = 10 kn F = 15 kn M = -35 knm Anaisi dea parte superiore dea struttura Si assegna un sistema di riferimento con origine ne punto di appicazione de vettore F1. Si sostituiscono i carichi distribuiti (campi vettoriai) con e risutanti nei rispettivi assi centrai. Definizione di asse centrae : uogo dei punti tai che M ; 1
2 I modui dei vettori ed M M 0 oz 0 0 q( x) dx q( x) xdx M q( x) ( x x ) dx 0 segue che M q( x) xdx q( x) x dx q( x) xdx x q( x) dx M x 0 x oz M oz dove con X si indica a posizione de asse centrae su carico distribuito. Aora x 1 q i carico trapezoidae può essere diviso in un carico costante ed un carico triangoare x q 0
3 x q 0 3 x q Tae operazione è possibie perché i due sistemi sono equivaenti (stessa risutante e stesso momento rispetto ao stesso poo) Ora si riportano e grandezze trovate per ciascun carico nea seguente tabea, ricordando che: ix è a componente de risutante su asse x iy è a componente de risutante su asse y Definizione di componente: a componente di un vettore u su una retta orientata re (e versore dea retta) è i prodotto scaare ur u r u r cos dove con si indica angoo minore di compreso tra e frecce dei vettori. Carico ix iy M ioz 1 16, ,6667 8, , , F1-9, , M Σsup -11, , ,333 dove con si sono indicati rispettivamente i carichi paraboico (minore), costante, triangoare (superiore), paraboico (maggiore). Si scrive ora equazione de asse centrae M o t 3
4 dove i numeratore de primo termine de secondo membro è un prodotto vettoriae Definizione di prodotto vettoriae: è un vettore u v u v sin di moduo angoo compreso tra i vettori direzione ortogonae a piano dei vettori u, v verso tae che a terna u, v, u x v sia evogira : X Y [ M o ] [ M ] o y x t t y x Eseguendo i cacoi (vedi aegato in MATLAB) si perviene a equazione de asse centrae in forma espicita: Y 3.613X
5 Si compara questo metodo anaitico con un metodo grafico ( = 5mm) Le forze si compongono con a regoa de paraeogramma (si veda a proposito a composizione dei vettori 1 e F 1 ne disegno seguente). La coppia M si scompone in due forze uguai ed opposte, separate da un braccio. Essendo M = -35 knm si è sceto i braccio pari ad = 1 m e e forze 35 kn 5
6 per quanto riguarda i vettori paraei e 3 si è proceduto come ne modo seguente poiché i due vettori in questione, otre che paraei e concordi, sono uguai, asse centrae si trova a metà dea distanza che i separa. 6
7 7
8 Adesso riconsideriamo intera struttura e spostiamo a risutante sup ne punto M, aggiungendo una coppia di trasporto 8
9 dove a distanza d è stata cacoata con a formua dea distanza retta-punto d ax by c M a M b dove x M e y M sono e coordinate de punto M, a ed b sono rispettivamente i coefficiente angoare ed i termine noto de equazione de asse centrae: per cui a = b = Y 3.613X a coppia di trasporto M t M t sup d kN m 9
10 Si ripetono e stesse operazioni per a parte inferiore dea struttura Σsup -11, , , , F Σ -18, , ,333 I nuovo asse centrae avrà equazione (si veda ancora aegato in MATLAB) Y.186X Costruzione grafica: si parte da risutante dea parte superiore dea struttura sup e o si compone con i risutante dee forze F ed 5. Si ottiene così i nuovo risutante tot ed i nuovo asse centrae 10
11 11
12 Si scompone infine i risutante in due vettori componenti: P verticae, appicato su vincoo carreo in P e N passante per a cerniera in N. 1
13 ed ecco come appare a struttura finae 13
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