In relazione alla teoria dei progetti economico- nanziari, precisare:

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1 MATEMATICA FINANZIARIA e ATTUARIALE Pavia 7/ 4/006 COGNOME e NOME: n. di matricoa: CODICE ESAME: :.. (Come noto, i risutato finae de importo dei capitai, espresso in euro, deve essere arrotondato a centesimo più prossimo) Questioni di teoria In reazione ae assicurazioni, precisare quanto segue: T.1a) i concetto di premio e i suo signi cato nanziario T.1b) i diversi tipi di premio T.1c) e basi tecniche dee assicurazioni con particoare riferimento ai fattori nanziari e demogra ci. In reazione aa teoria dei progetti economico- nanziari, precisare: T.a) a struttura de probema decisionae reativo aa sceta fra progetti T.b) e proprietà di omogeneità dei progetti T.c) i concetto di operazione nanziaria integrativa T.d) i tipi di ordinamento di preferibiità fra progetti. Esercizio n. 1 Considerati i seguenti progetti nanziari A e B: anni 0 1 A: capitai in e 100: : : B: capitai in e 100: : : a) quai cati motivatamente i progetti come investimento o nanziamento, individuare ordinamento di preferibiità sua base de T IR 1.b) caratterizzare, e rappresentare su asse dei tempi, i progetto C = A + 1 B e indicare motivatamente e proprietà de indice T IR che, senza e ettuare cacoi, consentono di determinare i possibii vaori che può assumere i T IR de progetto C 1.c) cacoare i vaore i de tasso i in corrispondenza a quae, sua base de criterio REA i progetti A e B sono indi erenti per operatore nanziario 1.d) studiare anaiticamente e rappresentare gra camente a funzione REA A (i) de progetto A a variare de tasso i annuo composto, con i > 1 suo stesso sistema di assi cartesiani tracciare motivatamente anche i gra co quaitativo dea funzione REA B (i) 1.e) individuare motivatamente, senza e ettuare cacoi, ordinamento di preferibiità fra i progetti A e B sua base de REA a variare de tasso i: 1

2 Esercizio n. Considerati i seguenti progetti nanziari A e B: anni A: capitai in e : : : : B: capitai in e : : K con K > 0 cacoare quanto segue:.a) determinare ordinamento di preferibiità fra i progetti A e B sua base de montante nae, REF (i + i ) dei progetti, a variare di K e ettuando e vautazioni ai tassi annui composti i + = 1 % e i = 8%, rispettivamente, per e poste positive e per quee negative.b) determinare ordinamento di preferibiità fra i progetti A e B sua base de T RM(i + i ) dei progetti, a variare di K e ettuando e vautazioni ai tassi annui composti i + = 1 % e i = 8%, rispettivamente, per i sadi positivi e negativi.c) motivatamente e senza e ettuare cacoi, precisare se ordinamento di preferibiità fra i progetti A e B, a variare di K è o stesso oppure cambia, ne caso sia individuato prima, sua base de T RM(i) poi de REF (i) e, in ne, de REA(i) dei progetti, con i tre indici cacoati e ettuando e vautazioni a un unico tasso i annuo composto.d) scrivere a reazione che permette di ottenere i REA(i) noto i REF (i).e) determinare ordinamento di preferibiità fra i progetti A e B sua base de pay a variare di K. back dei progetti, Esercizio n. 3 Un 35-enne stipua un contratto di assicurazione che prevede, tra 0 anni, a riscossione dei seguenti capitai: e 100: se sia ui che a mogie, che ora ha 30 anni, saranno vivi e 00: se sarà vivo uno soo dei due. Utiizzando i simboo v = (1 + i) 1 di attuaizzazione composta e, prima, e probabiità di vita tp x e di morte t q x e, poi, a funzione di sopravvivenza x, scrivere e espressioni che, in reazione aa assicurazione di cui sopra, permettono di cacoare quanto segue: 3.a) importo U de premio unico puro 3.b) importo P di ciascuno dei quattro premi, costanti, periodici annui, puri, i primo dei quai pagato aa stipuazione de contratto 3.c) importo U C de premio unico caricato, ne ipotesi che i caricamento sia pari a 15% de corrispondente premio puro 3.d) a riserva matematica, nei diversi casi, dopo 5 anni daa stipuazione de contratto.

3 MATEMATICA FINANZIARIA e ATTUARIALE Pavia 7/ 4/006 RISOLUZIONE Per quanto riguarda e domande reative aa teoria, vedasi i manuae consigiato. Risouzione esercizio n. 1 1.a) I T IR A e i T IR B de progetto A e B con v = (1 + i) 1 sono ottenuti come segue: 100: :000v + 80:000v = 0! 4v + 4v 5 = 0! v = ! i = ' 37 98% annuo = T IR A 100: :000v + 18:000v = 0! 9v + 60v = 0! v = ! i = ' 33 48% annuo = T IR B con T IR A > T IR B! A(>)B 1.b) i progetto C = A + 1B : anni 0 1 A: capitai in e 00: : : B: capitai in e : : : A + 1 B: capitai in e : : : sua base dee proprietà de T IR si ha quanto segue: T IR A = T IR A T IR 1 = T IR B B T IR A > T IR C > T IR B 1.c) si ha REA A = REA B se: 100: :000 00v + 80:000 00v = 100: :000 00v + 18:000 00v da cui si ha 40v + 6v = 0! v = ! i = 0 55 = 55% annuo = i 1.d) i REA A (i) de progetto A con i > REA A (i) = 100: :000 00v + 80:000 00v 1 e v = (1 + i) 1 ha e seguenti caratteristiche: REA A (0) = +60: REA A (i) = 0! i = 37 98% annuo = T IR A im i! 1 +REA A(i) = +1 im REA A(i) = 100: i!+1 REA 0 A (i) = 80: v 80: v 3 < 0 con i > 1 REA 00 A (i) = + 80: v : v 4 > 0 con i > 1 REA B (0) = +38: y x 1.e) a variare de tasso i sua base de REA si ha i seguente ordinamento di preferibiità: 1 > i > i A(>)B i = i A(=)B i > i A(<)B: 3

4 Risouzione esercizio n..a) I montante nae, REF A (1 % 8%) ai due tassi, de progetto A si ottiene come segue: REF A (1 % 8%) = = : : : : = = +14: ' +14:18 6 i montante nae, REF B (1 % 8%) ai due tassi, de progetto B si ottiene come segue: REF B (1 % 8%) = : : K = = 3: K si ha REF A (1 % 8%) REF B (1 % 8%) con, 14:18 6 3: K! K 17: = K e, quindi: 0 < K < K A(>)B K = K A(=)B K > K A(<)B.b) i T RM A (1 % 8%) de progetto A: S 0 = :00 00 S 1 = : : = 4: S = 4: : = 36: S 3 = 36: : ' +18: = T RM A (1 % 8%) i T RM B (1 % 8%) de progetto B: S 0 = :00 00 S 1 = : : = S = K = K = T RM B (1 % 8%) si ha T RM A (1 % 8%) T RM B (1 % 8%) con +18: K! K 19:51 43 = K e, quindi: 0 < K < K A(>)B K = K A(=)B K > K A(<)B.c) gi ordinamenti individuati sua base di ciascuno dei tre indici REF (i) T RM(i) e REA(i) sono gi stessi.d) noto i REF (i) i REA(i) è ottenuto come segue:.e) i pay-back de progetto A: S 0 = : S 1 = : : = 0: S = 0: : = 30: S 3 = 30: : = +8: si ha, quindi, pay back A = 3 anni e 3 mesi i pay-back de progetto B: S 0 = : S 1 = : : = +10: S = +10: K > 0 si ha, quindi, pay back B = anni e 6 mesi. REA(i) = (1 + i) 35 REF (i) 4

5 3.a) Risouzione esercizio n. 3 U = 100:000 v 0 0 p 35 0 p :000 v 0 ( 0 p 35 0 q q 35 0 p 30 ) = = 100:000v :000v b) P (1 + v 1 p 35 + v p 35 + v 3 3 p 35 ) = U! P = 3.c) U C = U U = 1 15U 3.d) vivo viva = U = 1 + v 1 p 35 + v p 35 + v 3 3 p 35 U 1 + v 36 + v 37 +v V3530 = 100:000 v p p :000 v 15 ( 15 p q q p 35 ) = 100:000 v :000 v vivo morta 5V3530 = 00:000 v p 40 = 00:000 v morto viva 5V3530 = 00:000 v p 35 = 00:000 v morto morta 5V3530 = 0 : 5