a.oc~a.~o 172 4/1981 ANALISI STATICA E DINAMICA DELLE STRUTTURE RETICOLARI SPAZIALI - KIOO e 0100 rigidezza e spostamento per una forza unitaria

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1 ANALS STATCA E DNAMCA DELLE STRUTTURE RETCOLAR SPAZAL Prof. Gianfranco Vaente, stituto di Scienza dee Costruzioni dea Facotà di ngegneria de L'Aquia Si esamina i probema da punto di vista dea rappresentazione geometrica e si prospetta a souzione anaitica sia con metodi di cacoo de mezzo discreto che de mezzo continuo. Si riporta, come esempio numerico, i cacoo di una struttura soggetta a più condizioni di carico statiche, a cinematismi ed aa azione dinamica de sisma. 1. ntroduzione Gi studi di acuni Autori su questo tipo di struttura hanno eontribuito in maniera decisiva a formuare metodi di cacoo che passano da mezzo discreto reae a queo continuo in un modo che appare assoutamente spontaneo. È aperta così a strada a'impiego dei vari risutati per e strutture bidimensionai continue, trascurando o no a deformazione dovuta ae forze tagianti, nea anaisi di strutture reticoari a queste assimiabìi. Le compessità geometriche di rappresentazione grafica di queste strutture sono sempre mitigate dae simmetrie e dae ripetitività cristaine.. L'aspetto più pecuiare e caratteristico di tai strutture è senz'atro a chiarezza de oro funzionamento statico. Le moderne strutture reticoari sfruttano sistemi costruttivi caratterizzati da grande rigidità e eggerezza: ciò che si ottiene appunto con a motepicità dee connessioni spaziai (aste) tra i nodi. Vagono ad esempio e piastre a doppio strato, embematiche dee più grandi reaizzazioni. n questa nota verrà presentato i metodo di cacoo fondato su'uso de'eaboratore eettronico e denominato «metodo diretto»; esso affronta i probema nea sua generaità assumendone come incogniti tutti gi spostamenti nei nodi dea struttura. La demarcazione operativa fra i «metodo indiretto» basato su passaggio a continuo e queo qui proposto è connessa aa capacità di memoria de'eaboratore eettronico di cui si può disporre; i suo uso ha consentito a risouzione di un probema con più di mie incognite cinematiche. a.oc~a.~o 172 4/1981 2_Esempio numerfco Si considera una struttura reticoare in cui 'eemento generatore è una piramide a base quadrata composta ad aste di unghezza costante pari a 2,40 m. La struttura ha un ingombro in pianta pari a 48,00 X 19,20 m con una sporgenza su ato ungo di 28,80 X 2,40 m. vincoi sono costituiti da: - appoggi su un gruppo di teai in c.a. in corrispondenza de ato ungo; - 4 pendoi" sui due ati corti; - 6 ombrei in prossimità de'atro ato ungo. Si riportano e proiezioni di Monge di tae struttura nee seguenti figure e 2. Le caratteristiche de gruppo di teai tradizionai sono raccote nea Tabea con e notazioni seguenti: - ; FX forze sismiche totai, - [arghezza di infuenza nea direzione Y, - K. e O. rigidezza e spostamento reativo a ; FX computato ae quote di coegamento con a struttura spazi aie, - KOO e 0100 rigidezza e spostamento per una forza unitaria in direzione X appicata aa quota di coegamento con a struttura reticoare spazi aie, - M = K100 o)g massa de'osciatore sempice equivaente a teaio in oggetto ed appicata aa quota di coegamento con a struttura reticoare.

2 t~.-""",~,,,q,.,'m J 'if Q~ Ci N ";:. ;: zt fv\/\zil2v\/vvv\z\/\/\/\/\/\zv\/\ _~ - i ' ~ + "-,/',:Y",,, :,..., FA '""'.'0 O,~~""' ~v.q,..~.d>-.~ +-..q, -q> + y y ~21-41 T r! 11 PUNT VNCOt.AT AL CORPO N C. A. 8 OMBREi 8 PENDoL PUNT V1NCOAT AL CORPO N C A ,'ìS OMBAELL OMBRELL ~ /:'~ :..,a X ~ )~~ 6. APPOGG su TEFLON 'VvV~S7S07VVVV\Aif-t ~. ~.~ ~ ~ ~ ~ X'- 11.oo '------i _ i( (X 20.40J i. + APPOGGO su CA. -t- PENDOO -+. ""'''''ELLO ~.:... CO ~D Ot~ VERTCE OMBRELL ( Z p,891 -L 1»: Fig. 1. Proiezioni di Monge dea struttura... '0 w ~' retico/are spazia/e. -~----_._,.-

3 ", ',~. TABELLA - Caratteristiche dei teai. Wa quota Z Y - 2,40 0,00 0,90 4,27 0,00 7,20 98,549 14,175 28,877 71,385 16,80 22,80 30,00 57,313 12,15 34,187 ~,255 37,20 43,20 r:.fx K. O. «.; 0100 Koo 0100 M 9,143 3, , , ,930 8,086 21,333 8, , , ,509 18,867 19,809 7, , , ,186 17,519 16,762 6, , , ,543 14,824 14,829 7, , , ,901 14,170 13,593 6, , , ,741 12,989 6,179 3, , , ,792 5,904 t m t/m cm tm cm t t/massa teaio tipo 2 2 2,! f j j 3. Barìcentro dee moe Si fa riferiment~-;1a seguente figura 2. 4:?O t- 1 po, ~60 t,,\00 ~ ~?Q, J;?Q 6Q~ Cinematismo de corpo in c.a. Poiché si può ammettere che esso sia infinitamente rigidd ne piano X Ye che si abbia Oy = avremo una egge per gi spostamenti trasversai: o.(y) = ao + ay e costanti ao, a possono essere determinate imponendo e condizioni Y = 4,80 m Y = 43,20 m da cui si ha o. (y):::;: 0, , Y [ ao + 4,80 a = 0,143 ao + 43,20 a = 0,182 per cui i sistema di teai ha un comportamento gobae diverso da queo dei singoi teai considerati indipendenti fra di oro come nea precedente Tabea. dati caratteristici di tae comportamento sono raccoti nea seguente Tabea. Ciascuno di essi, in quanto facente parte de gruppo, assorbirà una azione orizzontae pari a quea che gi compete come teaio singoo con un coefficiente di ampificazione pari a rapporto égruppo'ésingoo. Fig. 2. Posizione de gruppo di teai in c.a. r; Ky = K 1 (7, , ,80) + K 2 ( , ,20) = = K X 46,80 + K 2 X 110,40 = tm/m r:. K = 4 K + 3 K 2 = tm Y. = 18,313 m E Ky = K (22, , ,84 2 ) + K 2 (0, , , ,56 2 ) = 785,07 K ,90 K 2 = tm Poiché è impedito o spostamento reativo nei nodi 3,19 dea struttura spaziae in direzione X [ K3 + K 19 = r; K K3. 4,80 + K9 K3 = t/m = E Ky K19 = tm TABELLA - Comportamento Y de sistema di teai. o r;fx 0.10"! singoo gruppo singoo gruppo 0,00 0, ,1381 2,080 9,143 19,012 7,20 0, ,1454 0,912 21,333 19,447 16,80 0,14388 j 0,1552 1,079 19,809 21,368 22,80 0, ,1613 1,325 16,762 22,207 30,00 0, ,1686 0,691 14,829 10,247 t 37,20 0, ,1759 0,786 13,593 10,691 43,20 0, ,1820 1,790 6,179 11, Nodi

4 Le coordinate di tutti i nodi ed i reativi vincoi sono riportati nea figura _ Aste - orizzontai - diagonai - ombrei 1-: : : _ Schema statico Esso è queo dea figura 3 seguente:, 2,40 m' Fig. 4. Area di infuenza considerata. Fig. 3. Schema dee masse e dee moe. Corrispondente ad una struttura isostatica ne piano orizzontae x y e soggetta a ( ) = 25 vincoi perimetrai agi spostamenti verticai secondo Z. Le rigidezze dee moe e e masse concentrate nei punti 3,19 sono quee già cacoate in precedenza. Assumiamo per i carico permanente e per i sovraccarico accidentae: g = p = 100 kg/rna cui corrisponde una massa distribuita: m = (g + p/3) /981 = 0,13591 kgmassa/rn-. 8. Carichi esterni incidenti sue singoe aste Ne programma di cacoo usato tai carichi sono forniti come carichi ripartiti ne voume dee aste stesse. Se consideriamo 'area moduare indicata nea figura 4, essa vae A = 2,40 x 2,40 = 5,76 m? ed in essa ricadono e seguenti aste - superiori - inferiori - diagonai 4. 1 /2 = /2 = 2 4 Totae n. = 8 Un carico ripartito di 100 kg/m! si ripartirà su ciascuna asta con vaore costante p = A. 100/n = 72 kg. Si usano aste tubai ari aventi 4 tipi di sezione Si, affinché ciascuna di esse pesi P deve avere i peso specifico gi o a massa specifica mi fornita dae espressioni seguenti: Tai risutati Vi = Si 240 s. =PNi mi = P (1 + 1/3) /981 Vi sono stati raccoti nea Tabea. Per ciascuna dee 400 aste, tramite eaboratore, sono stati cacoati: - 'indice de primo nodo di estremità, - 'indice de secondo nodo di estremità J, - i tipo di sezione adottata. 9. Distribuzione dee aste Essa è quea dea seguente Tabea V: Asta tipo Si V, s. mi p. proprio 1 13, ,4 21, , ' 26,31 2, ,4 25, , ' 22,26 3 8, ,8 34, , ' 16,25 4 6,65 596,0 45, , ' '. 12,53 cm' kg/cm! kg massa/cm- kg TABELLA - Caratteristiche dee sezioni usate. Tipo Sezione n. totae superiori 90 sec. X sec. y 2,40 2, inferiori sec. X 2, sec. y 2, diagonai 4 x 172 2, pendoi 1, ombrei 6 x 4 2, n. totae Pesi in kg 026, , , , ,14 conteggio dee aste è stato dettagiatamente cacoato tramite e.aboratore. TABELLA V- Conteggio dee aste. cd ì~qj

5 1O. Conteggio dei nodi Essi si possono suddividere nei seguenti gruppi: - superiori 172 Z = 6,597 m - inferiori 202 Z = 4,900 m - ombrei 6 Z = 3,203 m - pendoi 8 Z = 3,700 Totae n. = 388 Peso totae dei nodi 388 x 1,5 = 582 kg. '-ncoefficienti non nui. Peso proprio strutturae Esso vae G = 22635, = 23217,14 kg L'area di ingombro è: A = 48,00 x 19, ,80 x 2,40 = 990,72 m- L/incidenza sua superficie unitaria ". g = G/A = 23,43 kg/m-. Fig. 5. Distribuzione dei coefficienti nea matrice. 12. Matrice di rigidezza Si ammette che i nodi si comportino come cerniere sferiche. Si è eseguita a numerazione dei nodi in maniera tae che a max differenza fra gi indici dee aste risutasse più contenuta possibie; ciò è stato ottenuto numerando successivamente i nodi degi aineamenti secondo 'asse passando da un aineamento a successivo secondo 'ascissa x crescente. n tae maniera si è potuta ottenere una matrice di rigidezza K di rango pari a: nodi totai 380 X nodi dea cerniera ci nodi mobii 126 vincoi di pendoi 2 X 4-8 vincoi degi ombrei - 6 gradi di ibertà = n. equazioni = ranifcì'k con una semi banda più contenuta possibie e pari a 227 unità. Dopodichè si considerano e varie condizioni di carico mei diante opportune combinazioni ineari come nea seguente Tabea V. TABELLA V - Combinazione dee azioni. A B C G -1 2 G+P -2 3 G + P + Sz - 2,13 4 S. 0,1~ 5 G + P + S. 0,1~ -2 6 G + P- S. - 0, s, 0,13 8 G + P + S, 0, G + P- S, - 0,13-2 O 03, 019 D Condizioni e combinazioni di carico Ogni asta viene supposta soggetta ae azioni seguenti: caso A gz = g, caso B g, = g, caso C gz = g, caso D cinematismo de gruppo di teai in c.a. casi A, B, C, corrispondono ad una azione di 0,100 t/m? di superficie orizzontae di copertura in ciascuna dee tre direzioni ortogonai x, y, z. 1'4. Reazioni verticai massime f Si sono esaminate tutte e condizioni di carico statiche e si sono desunte e forze massime riportate nea seguente Tabea V. 15. Componenti dee reazioni vincoari Per i vari gruppi di vincoo, si raccogono nea seguente Tabea V. i vaori massimi TABELLA V - Reazioni massime dei singoi vincoi verticai. Appoggi X = 0,00 Pendoi Nodo FZ y Nodo FZ X Nodo FZ O O e 8 o e 8 ~ Tutte e forze sono espresse in kg. e 8 oq acc(;~a~q) 176 4/1981

6 L TABELLA V.. Reazioni massime. Vincoi Punti FX FY FZ 1,5,7,9,11,13,15,17,21 0,00 0,00 O 062 Cerniera ciindrica , Pendoi Y = 0,00 83,165,247,329 0,00 0, Y = 48,00 103,185,267,349 0,00 0, Ombrei X = 20,40 375,376,377,378 0,00 0, X = 18,00 379,380 0,00 0, Periodi propri TABELLA V.. Periodi propri dea struttura (in secondi). Si vede che sono importanti soo i contributi cinematici dei primi tre modi di vibrazione, praticamente: si riportano questi spostamenti nee seguenti figure 6,7,8, e nea Tabea X. ] primo ed i terzo modo sono sostanziamente di tipo torsionae; mentre i secondo, che è i più importante come intensità è di tipo fessionae. 17. Tabea degi spostamenti Si è eseguita 'anaisi dinamica dea struttura soggetta a sisma Essi sono tutti espressi in centimetri e riportati in Tabea nee due direzioni ortogonai S" S,«si sono determina- X. ti i primi sei modi di vibrazione i cui periodi sono riportati nea seguente Tabea V. 18. Apparecchi di appoggio Modo 0,599 0,392 0,269 V 0,261 V 0,219 V 0,184 T A.. Sotto gi appoggi X = 0,00 m - n corrispondenza dei punti 1,5,7,9,, 13, 15, 17,21 si disporranno degi apparecchi capaci di: - impedire o spostamento verticae sopportando una forza massima di O 595 kg, - consentire spostamenti orizzontai reativi a corpo in c.a. di vaori massimi o, = ± 20 mrn, o, = ± 40 mm. - n corrispondenza de punto 3 si disporrà un apparecchio di appoggio capace di impedire ogni componente cinematica di trasazione ed in grado di resistere ae seguenti forze massime F, = kg, F, = kg, F» = kg. - n corrispondenza de punto 19 si disporrà un apparecchio di appoggio capace di: - impedire spostamenti nee direzioni x, y e resistere ae forze massime F, = 6605 kg, Fz = kg, - consentire spostamenti o.v = ± 40 mm. T ~ J...d J... J J...J. ""'f J r------;, " r, " '' 1911 \ ~.\ ( ~t..l ~ : ~ù \ i~; -t- i. ; 0. -i :- T i 1\.---!=~+~t-~- - -=-=-.,- -=-=-.r.'.-=--=-=1- j Li--; ~ t J! --T: ~~~~======~ ~========~-~, Fig modo di vibrazione. T = 0,599 sec. ~C{;ij~~(Qì ~t,

7 _ " _ f- ~ \ ; k {\ /::! ---'-, \..... / U + \~/ 0- f \ /::...'+-., \ V "fu, r, r. 1/, ~ --;,!- Fig. 7. 2" modo di vibrazione. T = 0,392 sec '--,,,,,,, -,,, <, -, ---..,,,... ~ /... '+- ",, -._.J.. { 1~ :-==-o$=3 _=-=-{ijì1---~+m---"---n+tn--i~--n+rm+,,----d!-\ r i ~ ~ ~ 1) t, 71 + t t- \ t! ~ '---f: --~ rj ~ } ;~ f """'" + H t- --{..i Fig modo di vibrazione. T = 0,269 sec. TABELLA X - Cacoo degi spostamenti massimi e minimi. Punti Carichi verticai max x y Sisma statico Sisma dinamico x y x y Spostamenti totai X y min max min max 1 0,611-0, ,00 0,00 o 5 0,101 0, ,005 0,062 ~ 9-0,060 0, ,088 0, ,103 0,069 O 15-0,112 0,074 8 e, o ,091 0,081.( 19 0,00 0, ;174 0,109 ~cda~o 178 4/1981 0,392 0,104 0,309 0,132 0,171 0,00 0,21 0,000 0,457 0,293 0,302 0,361 0,545 0,379 0,379 0,477 0,588 0,442 0,412 0,570 0,600 0,492 0,410 0,649 0,578 0,531 0,374 0,712 0;519 0,559 0,300 0,782 0,417 0,577 0,191 0,839 0,211 0,575 0,019 0,892 0,290 0,568 0,093 0,866-0,625 1,847-0,570 0,486-0,084 0,084 0,00 0,00-1,107 1,309-1,384 1,504-1,521 1,511-1,846 1,970-1,708 1,588-2,215 1,245-1,728 1,552-2,529 2,663-1,599 1,393-2,779 2,917 1,088-3,054 3,202 6:~~~ 0,673-3,275 3,437 ~ - 0,076 0,076-3,475 3,661-0,198 0,546-3,355 3,573 (\egte) :1

8 (seguito Tabea X) Spostamenti totai Punti Carichi verticai max Sisma statico Sisma dinamico X y x y x y x y min max min max ,618-0,179 0,398 0,434 0,313 0,544-0,634,87O - 1,997 2,355 e 165 0,618-0,229 0,402 0,613 0,315 0,763-0,642 1,878-3,281 2,823 :: ,623-0,136 0,404 0,733 0,315 0,910-0,637 1,883-3,776 3,504 o ; ,642 0,120 0,403 0,835 0,314 1,042-0,614 1,898-4,048 4,288 C Z P. ~ 103 0,190 0,344 0,297 0,610 0,092 0,823-0,178 0,558-2,948 3,636 c, ,196 0,442 0,303 0,671 0,090 0,853-0,164 0,556-2,970 3,854 "<t- / 267 0,198 0,403 0,305 0,730 0,089 0,896-0,158 0,554-3,181 3,987 ; ,208 0,283 0,305 0,768 0,088 0,913-0,144 0,560-3,369 3,935 o "<te 376 1,859 0,190 0,563-0,053 0,433 1,040 0,127 3,591-3,970 4, ,428 0,078 0,463 0,850 0,354 1,065 0,012 2,844-4,182 4,338 N :: ,878 0,256 0,605 0,811 0,448 1,009 0,086 3,670-3,780 4, P. ~ 378 1,696 0,247 0,589 0,794 0,398 0,978 0,104 3,288-3,665 4,159 c:t: i ~ 8. o cc 379 2,046 0,530 0,520 0,765 0,299 0,930 0,850 3,242-3,190 4, ,976 0,350 0,384 0,756 0,144 0,906 0,400 1,552-3,274 3,974 ~ B- Pendoi Essi dovranno essere in grado di: - sopportare carichi verticai massimi N» = 4512 kg, - consentire spostamenti bidirezionai di ameno o. = ± O mm e Oy = ± 45 mm. [1] c - Sotto gi ombrei Si disporranno apparecchi con superfici a contatto in Tefon con coefficiente di attrito i s: 0,03 capace di: - sopportare carichi verticai massimi N«= kg, - consentire spostamenti bidirezionai di ameno o. = ± 20 mm e Oy = ± 45 mrn, 'apparecchio sarà montato con i suo asse verticae avanzato di f1. = 20 mm rispetto aa posizione di riposo de vertice de'ombreo. Si noti che gi spostamenti summenzionati derivano da un'anaisi dinamica de sisma con ampificazione quadrupa de corrispondente cinematismo. notre, tai spostamenti si potranno avere soo dopo i manifestarsi di fenomeni eastopastici per i retrostanti teai in cemento armato. BBLOGRAFA Beuzzi O., «Scienza dee costruzioni», Cap. XX, Le strutture reticoari neo spazio, pp , Boogna, Zanichei. [2] Di Pasquae S., «Metodi di cacoo per e strutture spaziai», CSA, 1978, Miano. [3] Fi.igge W., «Stresses in shes», Springer Verag, Berino, [4] Makowski Z.S., «nterconnected systems, two-and threedimensiona grids», The Guids' Engineer, 1955, pp [5] Makowski Z.S., «Stee space structures», Amice, Londra, [6] Soare M., «La coupe métaique reticuaire du pavion de-l'exposition de L'Economie Nationae a Bucarest», Proceedings, ASS Cooquium, Parigi, [7] Southwe R.V., «Prirnary stress determination in space frames», Engineering. 4/

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