C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A Fisica Generale Prova del

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1 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 7-8 Fisica Generae Prova de -7-8 ESECIZIO Un corpo di massa m. kg e dimensioni trascurabii iniiamente fermo su un piano oriontae iscio è messo in moto con veocità iniiae oriontae (vd figura) di moduo v ms. Durante i moto esso attraversa una porione di piano scabro di unghea d 4m e coefficiente di attrito µ, e ne esce con veocità v ms. Quindi urta una moa ideae a riposo di costante eastica k Nm vincoata ad un estremo e rimbaa indietro. Cacoare: a) a massima compressione x dea moa a seguito de urto con i corpo di massa m; b) i coefficiente di attrito µ. c) Dire se ne percorso verso sinistra i corpo riuscirà ad uscire da tratto scabro. Souione L energia cinetica iniiae è: ( )( ). Ek mv kg ms J mentre energia cinetica a termine de tratto scabro è: ( )( ). Ek mv kg ms 6 J a) Quando a moa si trova neo stato di massima compressione energia cinetica E k si è totamente convertita in energia poteniae eastica( Ep Ek ). Si ha quindi: m. kg k( x) mv x v ( ms ).8m k Nm b) Per i teorema de avoro e de energia cinetica si ha: W Fa d µ mgd Ek Ek Ek 6 J J 64 J da cui: Ek 64 J µ. mgd (. kg )( 9.8m s )( 4 m) c) Quando i corpo iniia i suo moto verso sinistra ha nuovamente un energia cinetica E k che è inferiore a avoro compiuto ne tratto d daa fora di attrito. Pertanto i corpo non riuscirà ad uscire da tratto scabro. ESECIZIO Due sbarrette rigide A e B uguai di unghea.m e di massa m kg si stanno muovendo su un piano oriontae privo di attrito rispettivamente con veocità costanti pari a v.4 ˆ A ux ms e v. ˆ B ux ms. Durante i moto, e due sbarrette entrano in contatto ad un oro estremo e rimangono attaccate formando un unica sbarretta rigida di unghea. Cacoare: a) a veocità v (moduo direione e verso) de centro di massa de corpo dopo urto; b) i moduo ω dea veocità angoare de corpo dopo urto; c) energia E diss dissipata ne urto. Souione I moto piano de sistema formato dae due sbarrette si compone di un moto di trasaione de c.d.m. e di un moto di rotaione attorno ad un asse verticae passante per i c.d.m.

2 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 7-8 Fisica Generae Prova de -7-8 a) Essendo i piano su cui si muovono e due sbarrette privo di attrito si avrà a conservaione dea quantità di moto ( Pf Pi). Le due sbarrette sono uguai, per cui i centro di massa si troverà ne punto in cui e due sbarrette si sadano. Si ha quindi: mv ( ma + mb) vcm ovvero m ( va + vb) (.4 uˆ ) ( ˆ x ms +. ux ms ) mv ( ma + mb) vcm. uˆ x ms m Si potrebbe anche dire così (appicando i teorema de c.d.m.): su sistema formato dae due sbarrette a risutante dee fore esterne e nua, quindi i c.d.m. deve continuare a muoversi di moto rettiineo uniforme con a veocità che possedeva prima de urto, cioè mv v. ˆ cm ux ms ma + mb Ne momento de urto, essendo e due sbarrette uguai, i c.d.m. di troverà posiionato ne punto in cui e due sbarrette si sadano. b) Si verifica inotre a conservaione de momento assiae dea quantità di moto ( Lf Li) avendo preso i versore u ˆ perpendicoare a piano de fogio ed entrante. Subito prima de urto i momento dea quantità di moto rispetto a c.d.m. ha componente assiae: Li ma va + mb vb Una vota sadate e due sbarrette formano un unica sbarra di massa m e unghea, che ha momento d ineria rispetto a centro: I ( m)( ) m ( kg)(.m).kgm Subito dopo urto, a componente assiae de momento dea quantità di moto rispetto a c.d.m. è: Lf Iω Si ha di conseguena: ma va + mb vb Iω m ( kg )(.m) ω ( va + vb ).4 ms +. ms.7rads I.kg m ( ) ( ) c) energia E diss dissipata ne urto è data daa differena di energia cinetica prima e dopo urto. Si ha: ( ) ( ) (.4 ) (. Eki mv mva + vb kg ms + ms ). J Dopo urto energia cinetica sarà in parte dovuta aa rotaione e in parte aa trasaione; Si ha perciò: Ekf ( m) vcm + Iω ( kg)(.ms ) + (.kgm )(.7rads ).8 J e quindi E E E. J.8 J.47 J ESECIZIO diss ki kf Un corpo rigido è costituito da una sbarretta AB di massa trascurabie e unghea e da una sfera di massa m 4kg e raggio attaccata a estremo B. I sistema può ruotare attorno ad un asse oriontae O privo

3 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 7-8 Fisica Generae Prova de -7-8 di attriti, perpendicoare aa sbarretta e posto sua sbarretta stessa a distana da estremo A (vedi figura). In A è attaccata una moa di costante eastica k vincoata a atro estremo e orientata ungo a direione verticae. I sistema è iniiamente in equiibrio con a sbarretta oriontae e a moa aungata di x cm rispetto aa sua posiione di riposo. Cacoare: a) a costante eastica k dea moa. Successivamente, si stacca a moa da A ed i sistema iniia ad osciare. b) Scrivere equaione de moto de sistema; c) Cacoare i periodo dee piccoe osciaioni. Souione a) I sistema è in equiibrio sotto aione dei due momenti, dea fora peso e dea fora eastica. Per quanto riguarda a fora peso agente sua sfera, essa si può considerare appicata ne centro di massa dea sfera stessa, quindi a distana 4 da asse di rotaione. L equaione che esprime equiibrio dei momenti è quindi: ( ) ( ) 4mg ( 4kg )( 9.8m s ) k x + mg 4 k 9 Nm x.m b) equaione de moto si ottiene daa II eq. cardinae dei sistemi dl M dt Chiamato θ angoo formato con a verticae, e preso i versore û perpendicoare a piano de fogio ed uscente (cioè fissato come positivo i verso di rotaione antiorario), si ha: dl I dω d θ I dt dt dt (dove I è i momento d ineria dea sfera rispetto a asse di rotaione) M mg( 4) sinθ (i segno meno è dovuto a fatto che a fora peso tende ad imprimere una rotaione oraria, cioè in verso negativo). L eq. de moto risuta perciò daa souione de equaione differeniae: d θ 4mg sin θ I dt c) Ne caso in cui ampiea de moto sia piccoa, si può approssimaresinθ θ e equaione de moto diventa: d θ 4mg + θ dt I a cui souione è θ ( t ) θ cos ( ωt+ ϕ ) 4mg con θ e ϕ costanti da determinare in base ae condiioni iniiai e ω π T ± a frequena I angoare de osciaione. I periodo dee piccoe osciaioni è pertanto: T π I a 4mg Per cacoare I a (momento d ineria rispetto a asse di rotaione), essendo a massa una sfera co centro a distana 4 da asse, per i teorema degi assi paraei si ha: ( ) 8 I 4 a Icm + mh m + m m da cui:

4 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 7-8 Fisica Generae Prova de T π m π π 4. mg ( 4 ) g g Nota: se aniché trattare i sistema come un pendoo reae o si fosse considerato, erroneamente, un pendoo sempice, si sarebbe ottenuto: T π 4 g ESECIZIO 4 Un sistema termodinamico costituito da n moi di gas biatomico iniiamente neo stato A ( p A. Pa, VA.6 m ) compiono i cico mostrato in figura. I cico è costituito da una trasformaione isoterma reversibie AB, seguita da una trasformaione isobara BC ed infine da una trasformaione adiabatica reversibie CA. I voume de gas in B è pari a VB.9 m. Cacoare: a) a temperatura T B de gas in B; b) a variaione di energia interna U BC de gas nea trasformaione BC; c) i avoro W BCA compiuto da gas nee trasformaioni BC+CA. Souione a) Si ha (. Pa)(.6 m ) ( 8.4 ) pava T B T A 6K n JK mo La trasformaione AB è caratteriata da equaione: p (. )(.6 ) AV Pa m A pava pbvb pb.67 Pa VB (.9m ) b) Lo stato termodinamico C è caratteriato da pressione pc pb. Essendo connesso ao stato A da una trasformaione adiabatica reversibie, i voume sarà con γ 7. Si ha quindi: e ( ) V V p p γ C C. Pa 7 7 ( ) ( )( ) VC.6 m.6 m..8m.67 Pa (.67 Pa)(.67 m ) ( 8.4 ) pcvc T C K n JK mo La variaione di energia interna è quindi: UBC ncv TBC ( 8.4 J K mo )(. K 6.6 K) 49, 4 J c) I avoro compiuto da una moe di gas in una trasformaione isobara è Wp T, mentre in una trasformaione adiabatica è WQ cv T, Considerando quindi e due trasformaioni BC e CA si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) W WBC + WCA n TC TB ncv TA TC n TB TC ncv TA TC 7 ( )( ) ( ) ( 8.4 n + c V TB TC n cp TB TC J K mo )( 6K K) 8 J 4

5 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 7-8 Fisica Generae Prova de -7-8 ESECIZIO Tre particee con carica uguae q nc si trovano su tre vertici (A, B e D) di un quadrato di ato mm (vedi figura). Cacoare: a) e componenti de campo eettrico ne centro de quadrato; b) e componenti de campo eettrico ne vertice ibero de quadrato (punto V); c) i avoro fatto per spostare una carica q. pc da centro de quadrato a vertice ibero. Souione a) Chiamato x asse oriontae e y queo verticae, si ha che ne punto C (a centro de quadrato) i campi generati dae cariche B e D si annuano a vicenda. esta pertanto soo i campo generato daa carica in A: qa π qa π ECx cos cos ( C) 97 Vm 4π ( 8.8 C Nm ) ( m) Per simmetria, a componente ungo asse y sarà uguae. b) Ne punto V si ha: ( + 4) qa π qd q EVx cos ( ) πε 9 ( + 4) C 86 Vm 6π ( 8.8 C Nm ) ( m) Anche in questo caso, per simmetria, a componente ungo asse y sarà uguae. c) I poteniae ne punto C è: q q VC 9 ( C ) 7 V 4π ( 8.8 C Nm ) ( m) mentre ne punto V è: q q q VP ( C) + 6 Vm 4π ( 8.8 C Nm ) ( m) I avoro fatto per spostare una carica q. pc da centro de quadrato a vertice è dato da: ( f i) ( )( ) W q V V. C 6V 7 V.nW

6 C.d.L. in Ingegneria Meccanica A.A. 7-8 Fisica Generae Prova de -7-8 ESECIZIO 6 Sia data una spira quadrata di ato cm, ruotante come indicato in figura. immersa in un campo magnetico B uniforme. diretto ortogonamente a asse di rotaione. di moduo B.T. La spira ha coefficiente di autoinduione trascurabie, resistena -.Ω e momento di ineria I. kg m, e ruota con veocità angoare costante. Cacoare: a) a corrente indotta nea spira e a potena dissipata. b) i rapporto tra energia dissipata durante un periodo di rotaione e 'energia cinetica dea spira. Souione a) Nea bobina viene indotta una f.e.m. ( ) E d Φ B d ( B cosω t ) B ωsinω t dt dt che genera una corrente indotta i i E /, ovvero: (.T)(.m) B ω ω ii sinωt sinωt.7 ωsinωt A.Ω La potena dissipata è data da: 4 Bω P ii sin ωt b) I rapporto richiesto si può cacoare da: π 4 ω 4 π 4 ω ω ω B Ediss sin tdt sin xdx ω π che divisa per energia cinetica dea spira fornisce: E (. ) (. diss Bω B T m) π.6 π π - E Iω Iω.Ω. kg m ω ω k ( )( ) 6