FISICA GENERALE I A.A Cognome Nome n. matr.

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1 FISICA GENERAE I A.A Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 1 crediti Esercizio n. 1 Un corpo di massa m 1 può muoversi senza attrito lungo l asse x. Partendo da fermo dall origine, sotto l effetto della forza F A =(3+4x) N, con x in metri, percorre un tratto d, al termine del quale la forza F A si annulla e inizia ad agire una forza F B =(3+4t)N, parallela all asse x, che perdura per un tempo t*. In quell istante il corpo urta elasticamente un secondo corpo fermo, di massa m e si arresta. Determinare la quantità di moto del corpo di massa m dopo l urto. Eseguire i calcoli per m 1 =6kg; d=3m; t*=3s. Teorema dell energia cinetica: m v A = F A xdx 3d d da cui v A 3 m/s, che è la velocità acquistata dal corpo al termine dell azione della forza F A. A questo punto inizia ad agire la forza F B per cui, dal teorema dell impulso, si avrà: F B tdt m v B v A da cui v B v A + = 7.5 m/s Poiché, in seguito all urto elastico, il corpo m 1 si ferma, il corpo m avrà la stessa massa di m 1 e quindi la sua quantità di moto sarà m v = m v B 45 Ns Esercizio n. Un disco omogeneo di massa m e raggio r può ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per P, perpendicolare al disco, posto a distanza r/ sia dal centro che dal bordo. Inizialmente il disco è in equilibrio grazie ad una fune tesa tra il bordo e il suolo. Calcolare la tensione della fune. Ad un certo istante la fune si rompe e il disco ruota: calcolare la reazione vincolare in P sia prima della rottura della fune, sia nell istante in cui il punto C si trova sulla verticale sotto il punto P. Eseguire i calcoli per m=kg; r=0.6m. P. C All equilibrio, prima che la fune si rompa, si ha: mg + T + R = 0 e - + = 0 dove l equazione dei momenti è espressa rispetto al polo P da cui T = mg =19.6 N e R = mg = 39. N che rappresenta la reazione vincolare in P all equilibrio. Dopo la rottura della corda, il corpo ruota intorno a P, per cui, nell istante in cui il punto C è sulla verticale sotto il punto P, si ha Inoltre, poiché si conserva l energia meccanica del sistema si ottiene 0 con da cui 1.4 / Quindi 3.7

2 Esercizio n. 3 Su una corda di lunghezza, fissata alle estremità, si vogliono eccitare onde stazionarie utilizzando oscillatori di frequenze tra 400 Hz e 1000 Hz. Sapendo che la velocità delle onde elastiche è v, determinare quali sono le frequenze che possono essere eccitate sulla corda. Se la massima ampiezza dell onda risultante è A, scrivere l equazione dell armonica fondamentale, indicando i valori numerici dei parametri caratteristici. Eseguire i calcoli per: =0.1π m, v=64 m/s, A=10-4 m. e frequenze possibili sono solo quelle per cui vale la relazione ν Quindi sulla corda si possono avere solo onde stazionarie corrispondenti a m=1 e m=, che rappresentano l armonica fondamentale e la seconda armonica, cioè ν v 40.4Hz e ν v 840.8Hz Essendo ω 1 =πν 1 =640s -1 e k 1 = ω 1 /v = 10m -1 l equazione dell armonica fondamentale è f 1 (x,t) = 10-4 sen(10x) cos(640t) m Esercizio n. 4 Un cilindro, munito di pistone mobile, è rivestito di un materiale termicamente isolante ed è diviso in due parti di uguale volume V da una parete interna fissa. Il pistone è inizialmente bloccato e in una delle due parti del cilindro si trova un gas ideale monoatomico a temperatura T 1 e pressione p 1, mentre nell altra metà è stato fatto il vuoto. a parete interna si rompe e il gas raggiunge un nuovo stato di equilibrio (trasformazione AB). Successivamente, si toglie il rivestimento isolante del sistema che viene posto a contatto con una sorgente a temperatura T, mantenendo il pistone bloccato (trasformazione BC). Raggiunto nuovamente l equilibrio, il gas, mantenuto in contatto con la sorgente a temperatura T,viene compresso reversibilmente e riportato al volume iniziale V (trasformazione CD). Infine si blocca il pistone e, ponendo il gas in contatto con una sorgente a temperatura T 1, lo si riporta nello stato iniziale (trasformazione DA). Determinare: a) la temperatura del gas dopo la trasformazione AB, b) il lavoro totale fatto dal gas, c) la variazione di entropia dell universo. Eseguire i calcoli per: V=1.5 l, p 1 = 10 5 Pa, T 1 =600K, T =300K. AB è un espansione libera, quindi la temperatura alla fine della trasformazione è ancora T 1 =600K. BC è un isocora irreversibile, CD una compressione isoterma reversibile e DA ancora una isocora irreversibile. Non viene scambiato lavoro né nelle due isocore, né nell espansione libera e quindi il lavoro totale è solo quello corrispondente all isoterma, per cui lnv/v = -104 J con n = p 1 V/RT 1 =0.06 moli + - = 0.7 J/K Con: Q BC = n c v (T - T 1 ) Q CD = W CD e Q DA = n c v (T 1 T )

3 FISICA GENERAE I A.A Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 1 crediti Esercizio n. 1 Una massa m urta con velocità v ed in modo completamente anelastico una massa 3m appesa ad un filo inenstensibile di lunghezza, la quale si trova inizialmente in quiete in presenza di gravità (vedi figura). All istante dell urto, il vettore velocità della massa urtante forma un angolo θ con la verticale. Calcolare la massima quota raggiunta dal sistema delle due masse dopo l urto e l energia dissipata nell urto. Effettuare i calcoli per m=50 g, v=10 m/s e θ=60. Imponendo la conservazione del momento angolare rispetto all estremità fissa della fune durante l urto e dell energia meccanica dopo l urto: Esercizio n. Un sistema è composto da un rocchetto di momento di inerzia I, vincolato a ruotare senza attrito intorno al suo asse di simmetria ed una massa puntiforme m attaccata sul bordo del rocchetto in presenza di forza peso (vedi figura). Il sistema viene posto in rotazione tramite l applicazione di una forza di modulo F=F0 e-at, con a costante. Si calcoli al tempo t* la forza necessaria per mantenere attaccata m al bordo del rocchetto. Si effettuino i calcoli per: a= s-1, I=1 kg m, m=50 g, R=50 cm, t*=1 s, F0= 10 N.

4 Esercizio n. 3 Un cilindro aperto ad una sua estremità, di raggio R, altezza H e massa M, inizialmente in aria viene immerso capovolto in acqua ad una profondità d (vedi figura). aria contenuta nel recipiente è assimilabile ad un gas perfetto e non cambia la sua temperatura nell immersione. Ad una certa profondità d* il recipiente viene a trovarsi in condizioni di equilibrio statico. Calcolare la profondità d* e la quota h* alla quale l acqua sale all interno del recipiente in tali condizioni. Effettuare i calcoli per: R=1.5 m, H=3 m, ρaria=1.5 kg/m3, M=8000 kg. * Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico esegue un ciclo composto da: una espansione isobara reversibile (1 ), una espansione libera ( 3), un raffreddamento isocoro reversibile (3 4) ed una compressione adiabatica reversibile (4 1). Disegnare il ciclo nel piano (p,v) e calcolare il rendimento del ciclo e la variazione di entropia dell ambiente in un ciclo. Effettuare i calcoli per: T1 = 300 K, V = 6 V1, V3 = 11 V1. T 3 =T =(V /V 1 )T 1 Dato che lungo le trasformazioni reversibili 1- e 3-4 la variazione di entropia delle sorgenti è uguale e opposta a quella del gas (sorgenti + gas costituiscono sistemi isolati): S A = - nc p ln(t /T 1 ) - nc v ln(t 4 /T 3 ); quindi

5 FISICA GENERAE VP A.A Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 10 crediti Esercizio n. 1 Una massa m urta con velocità v ed in modo completamente anelastico una massa 3m appesa ad un filo inenstensibile di lunghezza, la quale si trova inizialmente in quiete in presenza di gravità (vedi figura). All istante dell urto, il vettore velocità della massa urtante forma un angolo θ con la verticale. Calcolare la massima quota raggiunta dal sistema delle due masse dopo l urto e l energia dissipata nell urto. Effettuare i calcoli per m=50 g, v=10 m/s e θ=60. Imponendo la conservazione del momento angolare rispetto all estremità fissa della fune durante l urto e dell energia meccanica dopo l urto: Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico esegue un ciclo composto da: una espansione isobara reversibile (1 ), una espansione libera ( 3), un raffreddamento isocoro reversibile (3 4) ed una compressione adiabatica reversibile (4 1). Disegnare il ciclo nel piano (p,v) e calcolare il rendimento del ciclo e la variazione di entropia dell ambiente in un ciclo. Effettuare i calcoli per: T1 = 300 K, V = 6 V1, V3 = 11 V1. T 3 =T =(V /V 1 )T 1 Dato che lungo le trasformazioni reversibili 1- e 3-4 la variazione di entropia delle sorgenti è uguale e opposta a quella del gas (sorgenti + gas costituiscono sistemi isolati): S A = - nc p ln(t /T 1 ) - nc v ln(t 4 /T 3 ); quindi

6 Esercizio n. 3 Nel sistema di figura, i due condensatori, tenuti ad una differenza di potenziale complessiva V, hanno capacità C 1 =C e C =C. A partire da questa situazione, mantenendo la differenza di potenziale V costante, il condensatore C viene completamente riempito con un dielettrico omogeneo ed isotropo di costante dielettrica relativa pari a ε r =. Calcolare la variazione di energia elettrostatica complessivamente immagazzinata nei condensatori e la variazione della differenza di potenziale ai capi del condensatore C prodotte dall introduzione del dielettrico. Eseguire i calcoli per: C= 10-6 F, V=15 V. I due condensatori sono in collegati in serie e presentano una capacità equivalente: ε 4 C eq, in = C C r eq, fin = C = C 3 ε r a variazione di energia elettrostatica è data da: 5 ( C C ) = 3 J 1 Ufin - Uin = V fin in 10 Tenendo conto che la carica presente sui condensatori è identica: q VC eq in V V in,, in = = = = 5 V C C 3 q VCeq fin V V fin,, fin = = = = 3 V C ε rc 5 V V = V, fin,in V C 1 C ε r Esercizio n.4 Una spira rettangolare di lati a e b viene mossa a velocità costante v, parallela all asse x della figura accanto, da una forza esterna F attraverso una zona (x>0) dove è presente un campo di induzione magnetica B uniforme, costante e diretto in verso entrante rispetto al piano della figura. Supponendo che la spira cominci ad entrare nella regione x>0 all istante t=0, calcolare, nell intervallo di tempo che la spira impiega per entrare completamente, la forza F e l energia complessivamente dissipata nella spira. Si assuma per la spira una resistenza complessiva pari a R. Eseguire i calcoli per: R=50 Ω, v= m/s, B= T, a=0 cm, b=5 cm. ( B) d( Bbx( t) ) dφ 0<x<a f i = - = = bvb dt dt a fem indotta produce un corrente circolante in verso orario pari a : fi bbv i = = R R Affinché la spira proceda a velocità costante la forza esterna deve essere pari alla forza risultante sui conduttori in movimento ovvero b a v 0 x B vb Fe = Fm = ibb = = 4x10 R B 4 N i F m F e Detto t 0 =a/v il tempo impiegato dalla spira per entrare totalmente nella zona dove è presente il campo B, l energia dissipata è pari a : U D t0 = 0 f i b B av 5 dt = = 810 R R J