1 LA LEGGE DI FARADAY

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1 1 LA LEGGE D FARADAY n un precedente capitoo abbiamo anaizzato azione di un campo magnetico costante su di un circuito percorso da corrente. n questo capitoo, vogiamo anaizzare a possibiità da parte de campo magnetico di generare una corrente. Abbiamo visto che per generare una corrente occorre porre in un circuito una batteria (generatore di corrente). E a batteria che mediante a sua energia chimica fornisce energia ae cariche per far oro compiere i giro de circuito. Non a caso abbiamo caratterizzato a batteria mediante una forza eettromotrice V fem (energia per unità di carica). Ancora, possiamo dire che è a batteria a generare i campo eettrico che muove e cariche nei conduttori. La questione che ora vogiamo anaizzare è se, per esempio, un campo magnetico esterno possa generare un campo eettrico in un conduttore e questi a sua vota possa far muovere i portatori e generare una corrente. n atre paroe, vogiamo sapere se otre ae batterie, esistono dei meccanismi che possano mettere in moto i portatori di carica nei conduttori. La risposta a questa domanda fu trovata da ingese Michae Faraday ( ) che ne 1831 eseguì e quantificò i seguente esperimento. Supponiamo di avere un circuito, ne quae inseriamo un gavanometro, ma in cui non è presente acun generatore di corrente (figura a sinistra). Non essendoci acuna sorgente di energia (forza eettromotrice) non dovremmo avere acun passaggio di corrente. nfatti, i gavanometro non segna acuna corrente. Prendiamo ora un magnete naturae ed avviciniamoo a circuito (figura a centro): i gavanometro segna i passaggio di una corrente. Ao stesso identico risutato giungiamo se avviciniamo i circuito a magnete (figura a destra). Possiamo immaginare che i quache modo si è prodotta ne circuito una forza eettromotrice, che diremo indotta, a quae causa i passaggio di corrente ne circuito: 1

2 Modifichiamo un poco esperimento. Supponiamo che iniziamente i circuito ed i magnete siano vicini ma fermi. Ne circuito non passa acuna corrente, come conferma i gavanometro. Se ora si aontana o i magnete o i circuito, finchè vi è un moto reativo tra i due, i gavanometro segna una corrente, ma di segno opposto aa precedente. Tutto accade come se vi fosse una forza eettromotrice (indotta) ma di segno opposto ne circuito. risutato compessivo di tutti gi esperimenti è sintetizzabie daa seguente affermazione: Finché i magnete e i circuito sono in moto reativo, ne circuito appare una forza eettromotrice indotta che genera un passaggio di corrente. Discutiamo ancora un esperimento. Si abbia un magnete naturae (per esempio, un aneo di ferro) a forma di ciambea. Da un ato(a destra) sia avvoto un circuito, coegato ad una batteria (circuito primario), mentre da atro ato (a sinistra) si abbia un circuito (circuito secondario) senza batteria ma connesso ad un gavanometro. Quando si chiude i circuito primario appare ne secondario una corrente, che diventa di segno opposto se si riapre i circuito primario. Poiché ne secondo circuito è cambiato soo i campo magnetico possiamo concudere dicendo che quando un circuito è immerso in un campo magnetico variabie, si genera in esso una forza eettromotrice indotta. La risposta aa domanda di partenza è che un campo magnetico per poter generare una corrente deve essere variabie. Ma non è a sempice variazione de campo a generare a corrente indotta. Faraday, per primo, giunse aa seguente 2

3 concusione generae (egge di Faraday): a corrente eettrica indotta in un circuito, in presenza di un campo magnetico, è proporzianae a numero di inee di forza de campo che attraversano i circuito ne unità di tempo. Parare di corrente indotta significa anche parare di forza eettromotrice indotta Vfem ind.nfatti,serèaresistenza de circuito avremo sempre ind = V fem ind (1) R D atra parte, i vantaggio di parare di forza eettromotrice è ne suo egame diretto con i campo eettrico indotto. nfatti, se indichiamo con i generico circuito potremo scrivere Vfem ind = E d (2) dove E è i campo eettrico indotto. Ed è in termini dea forza eettromotrice indotta che Newmann e Lenz formuarono quantitativamente a egge di Faraday. Tae egge, tradotta in inguaggio matematico, dice che a forza eettromotrice indottainuncircuito è uguae aa variazione, co segno cambiato, de fusso de campo magnetico,concatenato con i circuito: E d = d µz B u a d 2 a (3) dt a dove a è una quaunque superficie che abbia per contorno. La prima considerazione che viene da fare è che non sono i campi magnetici stazionari a generare e correnti ma i campi variabii; inotre, dobbiamo aspettarci sempre un associazione tra campi magnetici variabii (secondo membro) e campi eettrici variabii (primo membro). La egge (3) è a prima egge espicita de eettromagnetismo. Dobbiamo usare, per a prima vota a paroa eettromagnetismo, e non eettricità o magnetismo, perché essa coega (per a prima vota) i campo magnetico (attraverso a variazione de suo fusso) aa variazione de campo eettrico (variazione de campo eettrico ungo un circuito-percorso). n atre paroe, per a prima vota, si evidenzia che una variazione di un campo magnetico genera una variazione di un campo eettrico. nfine, osserviamo in maniera espicita, che i campo eettrico, in generae, non è più conservativo: E d 6= 0 La forza eettromotrice indotta è, per quanto riguarda a corrente che percorre un circuito, esattamente uguae aa f.e.m. di una batteria, per cui se ne circuito è presente anche una batteria, bisognerà sommare agebricamente e differenti forze eettromotrici. Aora, in generae, i campo eettrico, sarà costituito di una parte a cui origine è dovuta ad una distribuzione di carica e di un atra a cui origine sarà egata a variazioni di fusso di campo magnetico attraverso a superficie concatenata con i circuito. 3

4 2 nduzione in un circuito in moto Ne precedente paragrafo per spiegare i moto degi eettroni in un circuito (corrente) abbiamo fatto ricorso ad un campo eettrico indotto. Ora mostreremo che a stessa egge può essere spiegata facendo ricorso aa forza di Lorentz, ameno ne caso particoare in esame. Supponiamo di avere un circuito giacente ne piano xy (vedi Figura) immerso in un campo di induzione magnetica B uniforme, diretto ungo a direzione de asse z. tratto AB di unghezza si può spostare, ne piano xy, senza attrito. Supponiamo che ne intervao di tempo infinitesimo dt, itrattocompreso tra A e B si sposti con veocità v verso destra, nea direzione positiva de asse y. Lo spostamento infinitesimo subito da tratto AB sarà stato dr =vdt. Quando i tratto AB si sposta, anche gi eettroni di conduzione si spostano con veocità v e a forza di Lorentz F = q e vb agisce su di oro e i fa muovere ne verso che va da B ad A (q e = e) (per convenzione, deve circoare ne circuito una corrente antioraria, verso ABCD). Per capire queo che accade facciamo un passo indietro e supponiamo di considerare i ato de circuito che si sposta come se fosse isoato da resto de circuito. La forza di Lorentz tenderebbe ad accumuare ne estremo A degi eettroni (e dee cariche positive su estremo B). Tra i punti A e B si genera una differenza di potenziae (forza eettromotrice indotta). Ciò che è accaduto finora si può sintetizzare ne modo seguente. Abbiamo spostato un pezzo di metao (fatto un avoro). Poiché siamo in un campo magnetico, viene indotta ai capi dea barretta una forza eettromotrice. Abbiamo trasformato, mediante a presenza de campo magnetico un avoro meccanico in una differenza di potenziae, quindi in una possibiità di utiizzo eettrico deo stesso. nfatti, se ora poggiamo i tratto di circuito tra A e B su resto de circuito passa una corrente, che in parte dissiperà energia in effetto Joue ma unapartepuòcomunqueessereutiizzata (è nato i motore eettrico!). Riguardiamo quantitativamente queo che sta succedendo. La forza magnetica genera a differenza di potenziae indotta ai capi A e B. Questadifferenza asuavotagenerauncampoeettricoindottoe che si opporrà aa forza magnetica, ovvero 4

5 q e E = q e vb a differenza di potenziae tra A e B e quindi tra due punti quaunque de circuito, sarà data da E =vb (4) Mostriamo, ora, che i secondo membro di quest utima indica una variazione di fusso concatenato con i circuito. La variazione infinitesima de fusso concatenato con i circuito, poiché i campo è uniforme, dipenderà soo daa variazione infinitesima dea superficie, d 2 a = vdt (ovvero, in termini vettoriae, d 2 au z = dr d ), quindi si avrà dφ (B) =B u a d 2 a = Bd 2 a = Bvdt dove i segno meno deriva da fatto che orientamento dea corrente indotta, verso ABCD, è tae che a superficie spazzata ha una direzione positiva opposta a campo (usare a regoa di percorrenza de bordo). Si può anche dire che a corrente indotta genera un campo magnetico indotto i quae tende di opporsi aa variazione de fusso (vedi egge di Lenz, più avanti). La variazione, ne unità di tempo, de fusso concatenato sarà: µz d B u a d 2 a = Bv (5) dt a Ponendo insieme a (4) e a (5) troviamo E = d µz B u a d 2 a (6) dt a Poiché i tratto è parte di un circuito, possiamo dire che si è generata una f.e.m. indotta, Vfem ind data da: E d = d Z B u a d 2 a (7) dt a Abbiamo così mostrato che, ne caso di circuito in moto, a egge di Faraday è deducibie daa forza di Lorentz. Tuttavia, siccome è i soo caso in cui ciò avviene, dobbiamo concudere che comunque a egge di Faraday è una egge fondamentae de eettromagnetismo. 3 La egge di Lenz modo più sempice di determinare a poarità dea f.e.m indotta è dedura daa egge di Lenz: a f.e.m. indotta ha una poarità tae da opporsi sempre aa causa che ha prodotta. n termini di corrente, si può dire che a direzione dea corrente indotta è sempre tae da produrre un campo magnetico che si oppone aa variazione di fusso che ha generata (egge di Lenz). 5

6 L esempio dato ne precedente paragrafo è moto significativo e noi ora o approfondiremo. Mostriamo che ne caso de circuito in moto, i campo indotto, generaunaforzachetendeafrenareimotodetrattodicircuitoinmovimento, responsabie dea corrente indotta stessa. Sappiamo che i tratto AB ha unghezza, ma ora aggiungiamo ad esso una resistenza R ed una massa M. La corrente indotta, generata quando abbiamo mosso i fio verso destra, è diretta ne verso che va da A a B (direzione positiva de asse x). campo magnetico è nea direzione positiva de asse z, quindi a forza di Lapace agente su tae fio sarà, con e scete fatte, F = ind Bu y (a) La forza è nea direzione opposta a movimento de tratto di fio e quindi tende a frenare i movimento. Se si trascura autoinduzione e attrito tra i fii possiamo scrivere epoiché troviamo M v = ind B ind = V fem ind R = Bv R M v = 2 B 2 R v da cui v x (t) =v x (0) exp µ 2 B 2 MR t La veocità si sarà dimezzata dopo un tempo ovvero v x (0) 2 = v x (0) exp µ 2 B 2 MR t (b) t 1/2 = MR 2 B 2 n 2 4 Autoinduttanza ed induttanza Se i fusso di B concatenato con un circuito varia, a egge di Faraday ci dice che ne circuito si genera un campo eettrico indotto e quindi una f.e.m. indotta che tende a ridurre effetto dea variazione de fusso secondo a seguente egge: Vfem ind = d µz B u a d 2 a (8) dt a 6

7 Consideriamo ora un singoo circuito (si pensi ad una spira circoare) percorso da corrente. Se a corrente subisce una variazione, i fusso de campo B, generato daa stessa corrente, concatenato con o stesso circuito varierà. Ancheinquestocasonecircuitosigenererà una f.e.m. indotta (ora detta autoindotta) che tenterà di ostacoare a variazione de fusso concatenato. Si dimostra che i fusso di B, concatenato con i circuito, risuta essere sempre proporzionae aa corrente che circoa, ad un dato istante, ne circuito stesso: Z B u a d 2 a = L (9) a dove L èuncoefficiente che dipende soo daa geometria de circuito. Tae coefficiente è detto induttanza (o autoinduttanza) de circuito. Aora, a egge di Faraday può assumere una forma differente: Vfem ind = L d (10) dt ovvero, a f.e.m. autoindotta, in un circuito in cui circoa una corrente, è proporzionae aa variazione dea corrente che circoa ne circuito. L induttanza L si misura in henry (H): [L] =H = Ωs L henry è un vaore piuttosto grande di induttanza: i vaori dee induttanze di uso frequente sono compresi tra µh =10 6 H e mh =10 3 H. Si abbiano, ora, due circuiti separati (due spire circoari) percorsi da correnti 1 e 2 : 7

8 Se varia a corrente che circoa ne circuito 1, i fusso concatenato con i secondo circuito varierà. Si dimostra che i fusso concatenato con i circuito 2 risuta proporzionae aa corrente 1 Z B 1 u a d 2 a = L 21 1 (11) a2 dove i coefficiente (detto di mutua induzione), dipende soo daa natura geometrica dei due circuiti. n maniera anaoga, a variare dea corrente 2,ne circuito 1 varierà i fusso concatenato e si dimostra che Z B 2 u a d 2 a = L 12 2 (12) a1 dove i coefficiente di mutua induzione dipende soo daa geometria dei due circuiti; anzi si verifica che L 21 = L 12. Anche i coefficienti di mutua induzione si misurano in henry. 5 Esempi Esempio 1: Determinare induttanza di un soenoide rettiineo ideae di unghezza costituito da N spire. 8

9 Per ciascuna spira de soenoide possiamo assumere che i fusso concatenato Φ (B) siaostesso. fusso concatenato con tutto i soenoide sarà NΦ (B) per cui, se con L indichiamo induttanza de soenoide, avremo NΦ (B) =L (E1) dove è a corrente che circoa ne soenoide. Aora, L = NΦ (B) (E2) Se con a indichiamo a sezione interna de soenoide, i fusso di B (B ècostante ed ortogonae aa sezione) attraverso una spira quaunque sarà Φ (B) =Ba (E3) campo magnetico ne soenoide rettiineo indefinito ideae (vedi capitoo sua egge di Ampère-Maxwe) è B = µ 0 n (E4) dove n = N/, è a densità ineare dee spire. Aora, a (E3) diventa Φ (B) =µ 0 na (E5) e induttanza, espressa daa (E2), divententà L = Nµ 0na = µ 0 n 2 a (E6) L induttanza è proporzionae a quadrato dea densità ineare dee spire (n 2 ) ed a suo voume (a) interno. Esempio 2: Cosa sta succedendo ne circuito? prodotto di R per a corrente che fuisce ne circuito è uguae aa somma dee f.e.m. presenti ne circuito: R = V fem + V ind fem da cui R = V fem L d (E7) dt dove V fem è a f.e.m. de generatore e Vfem ind è quea indotta. La souzione di tae equazione (vedi a carica di un condensatore) è (t) = V fem R [1 exp ( t/τ)] (E8) 9

10 dove abbiamo introdotto i tempo τ L R (E9) La corrente a inizio cresce rapidamente, poi raenta fino a tendere a vaore finae V fem /R. Arrivati a tae vaore, potremmo togiere f.e.m. esterna (generatore) e misurare in quanto tempo i circuito scarica energia accumuata. circuito, senza a f.e.m. esterna verifica a seguente equazione L d + R =0 dt (E10) con a condizione iniziae (i vaore finae è ora vaore iniziae) La souzione dea nostra equazione è 0 = V fem R (t) = V fem R exp RL t (E11) (E12) L intensità di corrente si smorza esponenziamente. Gi induttori sono costituiti da soenoidi ed i oro simboo è 6 L energia magnetica: eementi La simiarità tra i condensatore per i campo eettrico e induttore per i campo magnetico, ci inducono a pensare che anche ne induttore venga immagazzinata de energia magnetica. Su piano dea descrizione quaitativa, possiamo dire che quando un generatore esterno inizia ad erogare corrente ne circuito, a f.e.m indotta si oppone a aumento di corrente e quindi i generatore deve compiere un avoro per vincere tae opposizione. Questo avoro si trasforma in energia immagazzinata ne induttore e può essere riutiizzata, quando si scoega i generatore esterno. Passiamo a cacoo diretto. Quando a corrente cresce con una rapidità pari a d/dt, a f.e.m. indotta, Vfem ind èdata Vfem ind = L d (13) dt 10

11 Se motipichiamo per tae espressione otteniamo i avoro per unità di tempo compiuto da induttore: V ind fem = L d dt quindi, energia immagazzinata per unità di tempo è du dt = Ld dt (14) ovvero du = Ld che, integrata con (t =0)=0,darà U = 1 2 L2 (15) Una tae espressione può essere usata facimente per una verifica sperimentae. Per i condensatore avevamo trovato U = Q 2 /2C. PoichéL = Φ (B) /, avremo una seconda forma per energia magnetica 6.1 La densità di energia magnetica U = 1 Φ (B) (16) 2 L espressione de induttanza di un soenoide rettiineo indefinito ideae verrà cacoata negi esempi e si troverà: L = µ 0 n 2 a (17) dove µ 0 è a permeabiità magnetica de vuoto, n è a densità ineare dee spire de soenoide, a a sezione interna de soenoide ed a sua unghezza. Sostituendo a (17) nea (15) troviamo U = 1 2 µ 0n 2 2 (a) (18) Poiché i campo B, a interno di un soenoide rettiineo indefinito ideae, è B = µ 0 n (19) 11

12 a (18) diventa La (20) suggerisce di interpretare a quantità U = B2 2µ 0 a (20) u B = B2 2µ 0 (21) come una densità di energia magnetostatica (energia per unità di voume). Possiamo dire che per ogni voume unitario, interno a soenoide, vi è una quantità di energia che è proporzionae a quadrato de campo B. Questo risutato ha una vaidità generae: in ogni punto deo spazio in cui è presente un campo di induzione magnetica si può pensare immagazzinata un energia per unità di voume espressa daa (21). 7 circuiti LC Supponiamo di avere in serie un induttore ed una capacità. Se i condensatore è iniziamente carico, possiamo immaginare che a partire da un certo istante iniziae, inizierà a fuire una corrente. L equazione di Kirchhoff, in presenza anche di una resistenza, sarebbe R = V L d dt (E1) che, specificando a differenza di potenziae ai capi de condensatore, ϕ = qc, diventa L d dt + q C =0 (E2) e ancora, scritta per a carica L d2 q dt 2 + q C =0 (E3) Se confrontiamo tae equazione con quea di un osciatore armonico sempice (particea egata ad una moa, che si muove su di un piano senza attrito) M d2 x + kx =0 dt2 (E4) notiamo dee anaogie (x q; k 1/C ed M L) e possiamo subito scrivere 12

13 a souzione come segue: q (t) =q 0 cos (ω 0 t + φ) (E5) dove abbiamo posto ω 0 1 LC (E6) Queo che succede ne circuito è a seguente cosa: Aternativamente, e armature de condensatore si caricano di cariche di segno opposto; ciò avviene fino a quando a carica di un certo segno non si è trasferita su armatura opposta a quea dove era iniziamente. Dopo di ché, si inverte i processo, che in assenza di attrito (a resistenza!), "oscierebbe" per sempre. n particoare, se a tempo iniziae poniamo q (t =0)=q 0,afase(φ) può essere posta uguae a zero, e a souzione diventa: q (t) =q 0 cos (ω 0 t) (E7) n ta caso, a corrente si evove ne tempo secondo a seguente egge: (t) = q µ 0 t sin LC LC (E8) 8 Esempi Esempio 1: Si abbia una spira quadrata, iniziamente ferma, in un campo magnetico uniforme variabie ne corso de tempo, secondo a egge B = B 0 sin (ωt) (1) La spira sia ne piano xy e a direzione ed i verso de campo siano ungo asse z. 13

14 Poiché i circuito è fermo, a derivata temporae si può portare dentro integrae ed appicara soo a campo Z E d = B a t u ad 2 a (2) ovvero, espicitando Z E d = a t [B 0 sin (ωt)] u z u a d 2 a Z = B 0 ω cos (ωt) u z u z d 2 a a = B 0 ω cos (ωt) a Se a spira non è ne piano xy, ma forma un angoo α con asse z, aora u z u a =cosα ed i precedente risutato diventa E d = B 0 ω cos α cos (ωt) a (3) Esempio 2: Consideriamo una spira quadrata, iniziamente a riposo, ne piano xy, ma poi ruotante, intorno a asse x, con veocità angoare ω 0.campo B è nea direzione positiva de asse z, ed è costante ed uniforme, B = B 0. L angoo che a spira, ne suo movimento, forma con i piano xy (o equivaentemente angoo che a normae aa superficiesu cui giace a spira forma con asse z) è dato da La egge di Faraday, si scrive E d = d µz B u a d 2 a dt a e i fusso di B, attraverso area variabie sarà α = ω 0 t (1) 14

15 per cui Z a B u a d 2 a = B 0 a cos (ω 0 t) (2) E d = d dt (B 0a cos (ω 0 t)) = B 0 a ω 0 sin (ω 0 t) (3) Esempio 3: Si abbia una spira quadrata, iniziamente ferma ne pianoxy. Successivamente inizi a ruotare intorno a asse x, con veocità angoare ω 0,mentre è immersa in un campo magnetico variabie, diretto ungo asse z, a cui egge sia B (t) =B 0 sin (ωt) (1) Rispetto a precedente esempio avremo La egge di Faraday, si scrive E d = d µz B u a d 2 a dt a ed i fusso di B, attraverso area variabie sarà Z per cui α = ω 0 t (2) a B u a d 2 a = B (t) a cos (ω 0 t) (3) E d = d dt (B (t) a cos (ω 0 db (t) t)) = a cos (ω 0 t)+b (t) a ω 0 sin (ω 0 t) (4) dt che espicitata diventa E d = B 0 ω cos (ωt) a cos (ω 0 t)+b 0 sin (ωt) a ω 0 sin (ω 0 t) (5) 15

16 eseω = ω 0,avremo E d = B 0 ωa [cos (ωt)cos(ωt) sin (ωt)sin(ωt)] = B 0 ωa cos (2ωt) (6) Esempio 4: Un conduttore di un metro si sposta, ne piano xy, paraeamente a asse x con veocità V =2, 50u y m/s. Sapendo che esso si muove in un campo uniforme e costante, diretto ungo asse z, di vaore B =0, 50u z T, trovare a forza eettromotrice indotta ai capi de conduttore. Abbiamo visto che per i circuito in moto dφ (B) = BV dt che, espicitamente cacoato, diventa dφ (B) =1, 25V dt Esempio 5: Trovare a forza eettromotrice indotta, in un conduttore rettiineo, ungo 2 metri, immerso in un campo magnetico uniforme e costante, B =0, 50u y T, che si muove nea direzione de asse z, con una veocità v =2, 50 sin 10 2 t u z m/s, 16

17 Poiché i circuito è in moto Aora E = v B = 1, 25 sin 10 2 t u x E d = Z 2 0 1, 25 sin 10 2 t u x u x dx = 2, 50 sin 10 2 t V Esempio 6: Un conduttore fiiforme è posto ne piano xy, e racchiude una superficie di 0, 50m 2. Trovare a forza eettromotrice indotta se conduttore è immerso in un campo uniforme, ma variabie, secondo a seguente egge B =0, 02 cos 10 2 t [u y + u z ] e Poiché i circuito è fermo a egge di Faraday si scrive Z E d = B a t u ad 2 a avremo B t = 2sin 10 2 t [u y + u z ] u a d 2 a = u z d 2 a Z E d = 2sin 10 2 t d 2 a =2sin 10 2 t a =sin 10 2 t V a 17