Induzione elettromagnetica: fisica e flashbacks

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1 Induzione eettromagnetica: fisica e fashbacks Giuseppe Giuiani Dipartimento di Fisica Vota Via Bassi 6, Pavia giuiani@fisicavota.unipv.it Abstract. A genera aw for eectromagnetic induction phenomena is derived from Lorentz force and Maxwe equation connecting eectric fied and time variation of magnetic fied. The derivation provides with a unified mathematica treatment the statement according to which eectromagnetic induction is the product of two independent phenomena: time variation of magnetic fied and effects of magnetic fied on moving charges. The fux rue has a restricted vaidity; furthermore, it is neither a causa aw nor a good fied-aw. A survey of Faraday and Maxwe writings shows that the taking root of the fux rue constitutes an open historica probem. Riassunto. Partendo da espressione forza di Lorentz e da equazione di Maxwe che ega i campo eettrico aa variazione temporae de campo magnetico si ottiene una egge generae de induzione eettromagnetica. Questa egge dà forma matematica a affermazione secondo cui induzione eettromagnetica è i prodotto di due fenomeni indipendenti: a variazione temporae de campo magnetico e gi effetti de campo magnetico su cariche in moto. La egge de fusso ha vaidità imitata; inotre, essa non èné una egge causae né una buona egge di campo. Un anaisi dei avori di Faraday e Maxwe mostra come i radicamento dea egge de fusso costituisca un probema storico aperto.

2 Indice 1 Introduzione 2 2 La egge generae de induzione A o B? Studiodicasiparticoari Barra metaica in moto in un campo magnetico I disco di Faraday I disco di Corbino I disco di Faraday: II Aternatore Teoria ed esperimento 20 5 Fashbacks Faraday e induzione Maxwe e induzione Einstein e induzione Perché a egge de fusso? 34 7 Appendice Appendice Appendice Bibiografia 39 1 Introduzione E noto che a egge de fusso non descrive correttamente i fenomeni di induzione eettromagnetica quando parte de circuito è in moto rispetto aa sorgente de campo magnetico. In questi casi, i manuai introducono, 2

3 di soito, ipotesi ad hoc impicite per savaguardare a egge de fusso; un eccezione è costituita dae LezionidiFeynmanche parano espicitamente di eccezioni aa egge de fusso. Gi autori dee Lezioni pongono bene in uce esistenza di due sorgenti dea forza eettromotrice indotta: a variazione temporae de campo magnetico e a componente magnetica dea forza di Lorentz. 1 Dobbiamo guardare aa egge de fusso in questo modo. In generae, a forza sua carica unitaria è F/q = E + v B. In fii in moto c è una forza derivante da secondo termine. Inotre, c è un campo se, da quache parte, c è un campo magnetico che varia. Sono due effetti indipendenti, ma a fem ungo un fio chiuso è sempre uguae a tasso di variazione de fusso magnetico attraverso di esso. 2 Vedremo più avanti che affermazione finae non è corretta. Gi stessi autori, peratro, subito dopo questa affermazione discutono acuni esempi ai quai a egge de fusso non può essere appicata. 3 In questo avoro si mostra che, sviuppando coerentemente quanto affermato nea citazione precedente, si ottiene una egge generae de induzione eettromagnetica che contiene, come caso particoare, a egge de fusso. 4 Si ripercorrono poi acuni passaggi dei avori di Faraday, Maxwe ed Einstein, ponendo in evidenza come i radicamento dea egge de fusso costituisca un probema storico aperto. 1 R.P. Feynman, R.B. Leighton, M.L. Sands, Lectures on Physics, vo. II, Addison- Wesey (1989), 17-1,17,3. 2 Ibidem. p. 17-2; corsivo mio. 3 Ibidem. 4 Questi temi sono già stati trattati in atri avori consutabii in rete aa pagina: 3

4 2 La egge generae de induzione Quando una concezione si diffonde a interno di un coettivo di pensiero e o permea abbastanza fortemente, fino a penetrare nea vita quotidiana e nee ocuzioni inguistiche, quando diventa un modo di vedere ne senso etterae de termine, una contraddizione sembra impensabie e inimmaginabie. Ludvik Feck Genesi e sviuppo di un fatto scientifico, Boogna, I Muino, 1983, p. 85. Si consideri espressione dea forza di Lorentz: F = q( E + v B) I avoro compiuto da questa forza su una carica unitaria positiva che percorra una inea chiusa è dato da: E = ( E + v carica B) d = E d + ( v carica B) d (1) dove, per ragioni che diverranno chiare in seguito, si è posto in evidenza che a veocità che compare nea (1) è quea dea carica. Ne ambito dea teoria di Maxwe - Lorentz, questo integrae si presenta come a naturae definizione di forza eettromotrice: fem = E. Ne vuoto, i secondo termine che compare a terzo membro dea (1) è nuo perché d = v carica dt. Piùavantisivedrà come questo termine possa essere diverso da zero in un conduttore. Ricordando che: a (1) diventa: E = E = grad ϕ A t (2) A t d + ( v carica B) d (3) 4

5 perché: grad ϕ d =0 La (3) è a egge generae de induzione eettromagnetica. Essa mostra che: a fem indotta può essere espressa come a circuitazione de campo eettrico indotto, E i : E i = A t grad ϕ + v carica B (4) a fem indotta è data daa somma di due termini: i primo derivante daa variazione temporae de potenziae vettore (e de campo magnetico); i secondo derivante daa componente magnetica dea forza di Lorentz. Quando i campo magnetico non dipende da tempo, a fem indotta si riduce a: E = ( v carica B) d (5) perché: A t d = S rot A t S ˆndS = rota ˆndS = t B = ˆndS =0 S t Ritornando a equazione generae de induzione (3), si osservi che: v carica = v inea + v d dove v inea èaveocità de eemento di circuito che contiene a carica e v d èaveocità di deriva dea carica. 5 Necasodifii, v d è paraea 5 Essendo v inea c e v carica c, possiamo usare a egge di composizione dee veocità di Gaieo. 5

6 a eemento di inea d; ne segue che a egge generae de induzione assume a forma: E = A t d + ( v inea B) d (6) L equazione generae de induzione può anche essere scritta in un atra forma. Ripartendo daa (1), si inizia con i cacoo de integrae E d (figura 1): E d = S rot E B ˆndS = S t ˆndS (7) dove è stata utiizzata equazione di Maxwe reativa a rotore de campo eettrico. Se a superficie S non varia in funzione di t secioè a inea 5 Figura 1: per a derivazione dea egge de induzione eettromagnetica in funzione de campo magnetico B. non varia in funzione di t si ottiene: E d = d B ˆndS = dφ( B) (8) dt S dt Quando a inea varia in funzione de tempo, i passaggio daa (7) aa 6

7 (8) non può essere compiuto; in questo caso si ha: 6 S B t ˆndS = d dt S B ˆndS+ ( v inea B) d (9) dove v inea èaveocità de eemento di inea d. Pertanto, ne caso generae, a (8) deve essere sostituita daa: E d = d B ˆndS ( v inea B) dt d S In concusione: [ E = d ] B ˆndS ( v inea B) dt d + ( v carica B) d (10) S Questa equazione è equivaente aa (3), che trascriviamo qui per comodità: A E = t d + ( v carica B) d (11) I due termini dea (10), posti tra parentesi quadra per sottoinearne a comune origine matematica e fisica, sono equivaenti a primo termine dea (11): a oro somma è nua quando B/ t = 0; utimo termine di entrambe e equazioni deriva daa componente magnetica dea forza di Lorentz. 2.1 A o B? Si riprendano in considerazione e equazioni (11) e (10). Esse sono, da punto di vista predittivo, equivaenti. Va tuttavia sottoineato come sia preferibie equazione espressa in termini de potenziae vettore. Essa infatti esprime a forza eettromotrice indotta come integrae di inea de campo eettromotore indotto E i = A t gradϕ + v carica B 6 Si veda, per esempio: R. Becker, Teoria dea eettricità, vo. I, Sansoni, 1949, pp

8 dove i campo eettromotore è un campo vero ne senso che i suo vaore in un punto generico P dipende soo da grandezze definite in que punto: i potenziae vettore, a veocità dea carica ed i campo magnetico. Ne equazione (10) invece, i campo magnetico - ne primo integrae - si comporta come un campo anomao, in quanto connette ciò che accade sua superficie S - peratro arbitraria purché a inea sia i suo contorno - a ciò che accade sua inea : i campo magnetico agisce quindi a distanza e con veocità di propagazione infinita, vioando così una caratteristica essenziae de concetto di campo. La questione può essere considerata anche da seguente punto di vista: equazione (11), contenente i potenziae vettore, fornisce una descrizione causae: i campo eettromotore produce a fem che, a sua vota, produce a corrente. L equazione (10) invece, non permette una descrizione causae per due motivi: a) gi eventi che dovrebbero costituire a causa dea fem -cioèivaoridi B sua superficie S non sono univocamente definiti, perché non è univocamente definita a superficie S; b) i campo B dovrebbe agire a distanza con veocità di propagazione infinita. 3 Studio di casi particoari Nea discussione di acuni casi particoari, scegieremo i sistema di riferimento inerziae più opportuno per descrivere i fenomeni Barra metaica in moto in un campo magnetico Si consideri a figura 2. Su teaio T scorre, con veocità costante v e mantenendo i contatto con i teaio, a barra A di unghezza a. Teaio e barra - costituiti deo stesso materiae metaico e aventi a stessa sezione - sono immersi in un campo magnetico B uniforme e costante, perpendicoare a piano dea figura ed entrante. Secondo a (11), a forza eettromotrice ne circuito C costituito daa barra e daa parte de teaio 7 In uno dei avori ( On eectromagnetic induction ) consutabii in rete citati nea nota 4, sono discussi, otre a quei qui presentati, atri casi particoari. 8

9 6 ) L * 1 Figura 2: a barra A si muove con veocità costante v ne campo magnetico uniforme B perpendicoare a piano de fogio ed entrante. aa sinistra di esso cacoata in senso antiorario è data da: E = ( v carica B) d perché i primo termine dea (11) è nuo, essendo A costante. La veocità dea carica è data da: v carica = v inea + v d dove v d èaveocità di deriva dea carica. 8 Si ha pertanto: E = ( v inea B) d + ( v d B) d = vba dove v èaveocità dea barra; i secondo integrae è nuo perché a veocità diderivaè diretta come d (per effetto Ha; si veda più avanti). Questa forza eettromotrice è ocaizzata nea barra, perché dovuta aa veocità dee cariche contenute in essa. 9 In ogni punto dea barra esiste 8 Abbiamo di nuovo appicato a composizione gaieiana dee veocità. 9 La questione dea ocaizzazione dea forza eettromotrice è stata ungamente discussa. Si è anche negato che a questione abbia senso acuno. Essa ha invece un preciso significato operativo: i tratto de circuito in cui è ocaizzata a forza eettromotrice è queo in cui a corrente entra da punto a potenziae inferiore ed esce da punto a potenziae superiore. Ne caso in discussione, questo tratto è costituito daa barra in moto; in un quaunque tratto de teaio, a corrente entra da punto a potenziae superiore ed esce da punto a potenziae inferiore. 9

10 quindi un campo eettrico indotto E i = vb diretto da M verso N. Ne circuito circoa una corrente: I = E R = vbas ρ dove è a unghezza de intero circuito, S a sua sezione e ρ a resistività de materiae. I moduo de vettore densità di corrente sarà aora dato da: J = vba ρ I campo eettrico effettivo - avente o stesso vaore in ogni punto de circuito - è dato da: E e = vb a Questo è unico campo eettrico presente nea parte di teaio a sinistra dea barra. Nea barra esso è i risutante de campo eettrico indotto E i = vb e di un campo eettrico E ad esso opposto i cui moduo ètae che: E e = E i E Per comprendere quae sia origine de campo E, si consideri a barra in moto, ma staccata da teaio. I campo eettrico indotto tende a spostare gi eettroni verso a base dea barra (verso i punto M). Tuttavia, appena tae processo inizia, a parte inferiore dea barra M si carica negativamente e a parte superiore N positivamente. Si genera quindi tra N ed M un campo eettrico E diretto da N a M (verso i basso) che contrasta azione de campo indotto. Si raggiunge così una situazione stazionaria caratterizzata da fatto che a superficie N dea barra è carica positivamente e quea M negativamente: a interno dea barra i campo eettrico è nuo perché icampoe biancia esattamente i campo indotto E i. Se ora a barra viene posta in contatto con i teaio mentre continua a muoversi con veocità uniforme, si stabiisce, dopo un fenomeno transiente, una nuova condizione stazionaria: ne circuito scorre una corrente costante ed i campo eettrico E è diminuito perché, grazie a moto degi eettroni, a carica statica in N e M è diminuita. 10

11 Si ha pertanto: E = vb ( 1 a ) Quindi i campo eettrico E c così definito: { Ee ne teaio E c = nea barra E è un campo eettrico conservativo perché a sua circuitazione ungo tutto i circuito è nua (tabea 1). Campo eettrico Simboo Moduo Direzione Indotto E i vb Effettivo E e vba/ E vb(1 a/) Conservativo E c = E vb(1 a/) Tabea 1: campi eettrici a interno dea barra in moto. La differenza di potenziae V N V M, tra i due punti N e M, è, per definizione, i avoro compiuto da campo eettrico conservativo sua carica unitaria positiva, quando essa si sposta da punto N a punto M ungo i teaio o a barra. Ne nostro caso abbiamo (si veda a figura 2): ( V N V M = E e ( a) =vba 1 a ) se cacoata ungo i teaio, e: V N V M = E a = vba ( 1 a ) se cacoata ungo a barra. Quindi: ( V N V M = E 1 a ) = E a IR = E Ir dove si è indicato con r a resistenza dea barra. Si osservi inotre che vae a reazione: V N V M = IR T 11

12 dove R T è a resistenza de teaio. Si noti che a barra in moto ne campo magnetico non si comporta come un conduttore ohmico. Infatti, a differenza di potenziae tra i suoi estremi vae E Ir mentre i prodotto dea corrente che attraversa per a sua resistenza vae Ir. I caso discusso richiede uteriori rifessioni. Siccome nea barra circoa una corrente diretta da punto M a punto N, aveocità dee cariche positive contenute nea barra (cui convenzionamente si attribuisce i fusso di corrente) ha due componenti: a componente v dea barra e a componente v d diretta da M verso N. La forza di Lorentz dovuta a campo magnetico e agente sue cariche positive dea barra ha quindi una componente qvb diretta da M verso N e una componente qv d B diretta in senso opposto a moto dea barra. Quest utima componente, tuttavia, viene esattamente bianciata, in condizioni stazionarie, da campo eettrico di Ha che si stabiisce tra e due pareti dea barra perpendicoari a suo moto. Quindi, in condizioni stazionarie, unica componente effettiva dea forza di Lorentz derivante da campo magnetico è quea diretta da M verso N i cui moduo è qvb. E questa a ragione per cui nea espressione dea forza eettromotrice de circuito compare soo a veocità v dea barra. I avoro compiuto daa forza eettromotrice de circuito ne unità di tempo è dato da: W (E) =EI = E 2 R Questo avoro viene dissipato sotto forma di caore, perché econdizioni de circuito sono stazionarie; energia viene fornita daa forza necessaria per mantenere a barra in moto rettiineo uniforme. Questa forza èuguae e contraria a quea che i campo magnetico esercita sua barra in quanto percorsa daa corrente I; i suo moduo è dato da: F = IBa = vba R Ba e a potenza necessaria per mantenere a barra in moto da: W (F )=F v = E 2 R Questa potenza coincide con a potenza W (E) dissipata ne circuito. 12

13 Le considerazioni di biancio energetico svote mostrano che i dispositivo studiato converte energia meccanica necessaria per mantenere a barra in moto in energia eettrica; questa, a sua vota, viene convertita per effetto Joue in caore. I campo magnetico svoge, in questo processo, un ruoo di intermediario permettendo a trasformazione de energia meccanica in energia eettrica. - / L * - / L * 6 * L N 1 - / L * H A J Figura 3: descrizione de fenomeno secondo i sistema di riferimento K soidae con a barra. Le grandezze accentate si riferiscono a K ; quee non accentate a sistema di riferimento de aboratorio. Per concudere argomento, è interessante vedere come un osservatore K, soidae con a barra, descrive i fenomeni osservati: in ogni punto dea barra - per a terza equazione dee (22) - c è un campo eettrico dato da E =ΓvB (dove B è i campo magnetico misurato ne sistema di riferimento de aboratorio e Γ = 1/ 1 v 2 /c 2 è i soito fattore reativistico) diretto ungo i verso positivo de asse z (figura 3). Ne approssimazione v c, risutae vb; inotre tutte e atre grandezze fisiche in gioco hanno (approssimativamente) o stesso vaore nei due sistemi di riferimento. Ne segue che i due sistemi di riferimento predicono 13

14 gi stessi risutati per quanto concerne a misura dee grandezze fisiche coinvote. In particoare i due osservatori concordano che a sede dea fem indotta è a barra. Si noti che si potrebbe erroneamente pensare che K attribuisca una fem a braccio di teaio paraeo aa barra. Così non è. Infatti: in ogni punto de teaio, che èvistodak scorrere con veocità v, si sommano, eidendosi, due campi: queo derivante daa terza equazione dee (22), pari a ΓBv, e queo derivante daa componente magnetica dea forza di Lorentz, pari a ΓBv e diretto in senso opposto. 3.2 I disco di Faraday, ), E + * M * Figura 4: disco di Faraday. Un disco metaico ruota intorno a proprio asse con veocità angoare costante ω in un campo magnetico B uniforme, perpendicoare a piano de disco; a freccia su teaio indica i senso di percorrenza dea inea chiusa sceto per i cacoo dea forza eettromotrice. Nea figura 4 è rappresentato i caso ideae de disco di Faraday : un disco metaico, di raggio R, ruota con veocità angoare ω costante intorno a suo asse ne senso indicato in figura; i disco è immerso in un campo magnetico costante ed uniforme B, perpendicoare a piano de disco; gi estremi C e D de teaio sono in contatto con i centro de disco e con un punto dea sua circonferenza. Ne sistema di riferimento de aboratorio, si considera a inea chiusa e in quiete costituita da teaio e da raggio fisso CD de disco e si anaiz- 14

15 zano i contributi dei termini che appaiono ne secondo membro dea (11). I primo termine è nuo (perché A non dipende da tempo), mentre i secondo termine fornisce un contributo aa forza eettromotrice cacoata ne senso indicato in figura dato da: E = R 0 ωrbdr = 1 2 ωbr2 (12) dove si è trascurato i contributo dea veocità di deriva. Ne circuito ABCD circoa quindi una corrente diretta neo stesso senso ungo i quae è stata cacoata a forza eettromotrice. Gi esperimenti effettuati da Faraday con i disco sono stati di vario tipo: i oro risutati sono riassunti nea tabea 2. Quindi: i circuito Cosa si muove? Moto reativo Moto reativo Corrente disco - magnete disco - aboratorio indotta Disco Sì Sì Sì Magnete Sì No No Disco e magnete No Sì Sì Tabea 2: esperimenti di Faraday con i disco. è percorso da corrente se ruota i disco o i magnete insieme a disco; viceversa, non viene indotta acuna corrente se ruota soo i magnete. Questi risutati sono descritti daa egge generae de induzione. E interessante vedere come Faraday ha spiegato i suoi esperimenti. Faraday riteneva che i magnete creasse inee di forza magnetica reai e che queste rimanessero ferme quando i magnete ruota: a corrente viene indotta soo quando c è moto reativo tra disco e inee di forza. Si noti come i sistema di riferimento inerziae de aboratorio rispetto a quae a egge generae de induzione descrive gi esperimenti di Faraday sia soidae con e inee di forza ipotizzate da Faraday. Si consideri infine a disposizione sperimentae mostrata in figura 5. Essa può essere considerata una variante de disco di Faraday in cui disco conduttore e magnete coincidono. La descrizione teorica è a stessa di quea de disco di Faraday. 15

16 ) 1 * + Figura 5: C è un ciindro costituito da un magnete conduttore con a magnetizzazione M diretta ne senso indicato in figura. C ruota ne senso indicato. AB è un circuito conduttore con due contatti striscianti su ciindro. I circuito è percorso daa corrente I. 3.3 I disco di Corbino Ne 1911 Corbino studiò i caso di un disco metaico con un foro circoare a suo centro. La circonferenza interna ed esterna de disco, di raggio r 1 e r 2 rispettivamente, sono in contatto con eettrodi circoari di ata conducibiità che rendono tai circonferenze, con buona approssimazione, equipotenziai. Se una differenza di potenziae è appicata tra a circonferenza interna e quea esterna de disco (in quiete), questo è percorso da una corrente radiae. Se i disco viene ora immerso in un campo magnetico costante, uniforme e perpendicoare a piano de disco, i disco viene percorso anche da una corrente circoare. La resistenza radiae e circoare de disco si cacoano ne modo seguente. Si considera una corona circoare di raggio r e ampiezza dr. La resistenza radiae di questa corona è data da: dr radiae = ρ 16 dr 2πrs

17 dove ρ è a resistività es o spessore de disco; e a sua ammettenza circoare da: dy circoare = 1 sdr ρ 2πr Pertanto a resistenza radiae e circoare de disco sono date da: R radiae = ρ 2πs n r 2 r 1 R circoare = ρ2 1 s 2 R radiae Indicata con I radiae a corrente radiae, a densità radiae di corrente J(r) sarà: J(r) = I radiae 2πrs e a veocità di deriva radiae: v(r) d = I radiae 2πrsne dove n è a concentrazione degi eettroni ed e a oro carica in vaore assouto. Appicando equazione (5) si ottiene che a fem indotta ungo una circonferenza di raggio r è data da: E circoare = 2πr 0 ( v(r) d B) dr = I radiae B sne La corrente circoare di(r) circoare che scorre in una corona di raggio r e sezione s dr sarà: di circoare = E circoare sdr ρ 2πr e a corrente circoare totae: = μb 2π I dr radiae r I circoare = μb 2π I radiae n r 2 r 1 17

18 dove μ = 1/ρne è a mobiità degi eettroni. La potenza dissipata ne disco è: W =(I 2 R) radiae +(I 2 R) circoare = I 2 radiaer radiae (1 + μ 2 B 2 ) Questa equazione mostra che i fenomeno può essere descritto in termini di un incremento dea resistenza radiae di un fattore uguae a (1+μ 2 B 2 ): questo effetto è chiamato magnetoresistenza. Lafem circoare indotta è distribuita omogeneamente ungo ogni circonferenza: ogni corona circoare di sezione s dr agisce come una pia che produce corrente sua propria resistenza; pertanto a differenza di potenziae tra due punti quasiasi di una circonferenza è nua. Quindi ogni circonferenza è una inea equipotenziae. L appicazione dea egge generae dea induzione eettromagnetica a disco di Corbino è interessante perché: mostra come a veocità di deriva degi eettroni contribuisce aa fem indotta; fornisce una teoria macroscopica de disco di Corbino, cioè una teoria che non deve tenere conto di processi microscopici come i moto degi eettroni e i oro urti. 3.4 I disco di Faraday: II La discussione de disco di Corbino aiuta a comprendere megio a fisica de disco di Faraday. Si consideri un disco di Faraday in cui a simmetria circoare è conservata: come mostrato nea sezione precedente, a condizione stazionaria è caratterizzata da fusso di una corrente radiae e di una corrente circoare. La potenza meccanica necessaria per mantenere i disco in rotazione a veocità angoare costante è uguae a avoro per unità di tempo compiuto da campo magnetico sue correnti radiai (essendo nuo i avoro sue correnti circoari). Si avrà pertanto: 2π r2 W = I radiae Bdr ωrdt 2π r2 = (J radiae rdαs)(bdr)(ωr) 0 dt 0 r 1 = I radiae 1 2 ωb(r2 2 r 2 1) 18 r 1

19 dove i tre termini dea funzione integranda rappresentano, rispettivamente, a corrente radiae, i prodotto de campo magnetico per eemento infinitesimo di circuito dr e a veocità ωr di questo eemento di circuito. I termine E = 1 2 ωb(r2 2 r2 1 ) rappresenta a fem indotta dovuta a soo moto de disco: questa fem è a sorgente dee correnti indotte, radiae e circoare. Pertanto, a fisica de disco di Faraday a simmetria circoare può essere così riassunta: a) a sorgente dee correnti indotte - radiae e circoare - èafem indotta dovuta soo a moto de disco; b) i prodotto primario dea fem indotta è a corrente radiae; c) a veocità di deriva dea corrente radiae produce a sua vota una fem circoare che dà origine aa corrente circoare. 3.5 Aternatore Si consideri a disposizione sperimentae dea figura 6: a spira piana S ruota in senso antiorario con veocità angoare costante ω intorno a suo asse ab in un campo magnetico costante ed uniforme B, perpendicoare a piano de fogio ed entrante. Anche in questo caso i primo termine dea (11) è nuo e i contributo aa forza eettromotrice cacoata ne senso indicato nea figura deriva sotanto da secondo termine contenente a componente magnetica dea forza di Lorentz. Si ha pertanto: E = BSω sin(ωt + ϕ 0 ) dove S è area dea spira, t a variabie tempo e ϕ 0 angoo che a normae aa spira forma con i campo magnetico a istante t = 0. Nea spira circoerà dunque una corrente I = E/R (R è a resistenza dea spira) variabie sinusoidamente ne tempo. 19

20 = 5 * > Figura 6: a spira piana S ruota con veocità angoare costante ω ne campo magnetico B, uniforme, perpendicoare a piano de fogio ed entrante. M 4 Teoria ed esperimento La trattazione svota mostra perché a egge de fusso, pur avendo vaidità imitata, predica i risutati corretti anche in casi in cui parte de circuito indotto sia in moto. Si veda, in particoare, a discussione de caso dea barra in moto o di queo de aternatore. I caso de disco di Corbino mostra invece come a egge generae de induzione ricavata in questo scritto descriva correttamente i fenomeni osservati senza utiizzare acun modeo microscopico. 10 Gi esperimenti effettuati con i disco di Corbino debbono quindi essere considerati come una conferma sperimentae dea vaidità dea egge generae de induzione, in particoare, de contributo aa fem indotta da parte dea veocità di deriva degi eettroni. E tuttavia possibie pensare nuovi esperimenti che mettano a confronto e predizioni dea egge generae de induzione e dea egge de 10 Ovviamente, secondo a egge de fusso, i disco di Corbino non è cassificabie come un fenomeno di induzione eettromagnetica. 20

21 fusso. Si tratta di individuare situazioni in cui c è una variazione di fusso concatenato con i circuito e, a contempo, i contributo dovuto aa componente magnetica dea forza di Lorentz è nuo. Si consideri una spira di rame piana rotante in un campo magnetico uniforme e costante. Si ègià osservato che, secondo a egge generae de induzione (3), a fem è dovuta in questo caso aa componente magnetica dea forza di Lorentz e non aa variazione temporae de fusso concatenato con a spira. La condizione desiderata può essere reaizzata depositando sua spira di rame de materiae superconduttore con i risutato che, a interno dea spira di rame i campo magnetico ed i potenziae vettore sono nui grazie a azione schermante de superconduttore. Secondo a (3), una rotazione dea spira in un campo magnetico uniforme e costante non produce acuna fem nea spira di rame, nonostante si abbia una variazione de fusso concatenato aa spira; invece, secondo a egge de fusso ci dovrebbe essere, anche in questo caso, una fem indotta. Un atro possibie esperimento: a spira, schermata da materiae superconduttore, è mantenuta in quiete e viene acceso un campo magnetico con conseguente variazione de fusso concatenato aa spira. Secondo a egge generae de induzione - che è una egge ocae - non viene prodotta acuna forza eettromotrice, prevista invece daa egge de fusso Fashbacks 5.1 Faraday e induzione A partire da 1851, Faraday iniziò a sviuppare sistematicamente un idea concepita trent anni prima, durante e prime ricerche su induzione eettromagnetica: e inee di forza magnetica. Con e sue paroe: Dai miei primi esperimenti sua reazione tra eettricità e magnetismo (114, nota), ho pensato e parato di inee di forza magnetica come rappresentazioni de potere magnetico [magnetic power]: non sotanto per quanto riguarda a quaità e a direzione, ma 11 L idea di questi possibii esperimenti è essenziamente dovuta ad Attiio Rigamonti. 21

22 anche a quantità. La necessità di usare più frequentemente questo termine in acune recenti ricerche (2149, &c), mi ha convinto che è giunto i momento di chiarire ed esaminare attentamente i concetto suggerito daa frase Faraday distingue tra due concezioni di inee di forza magnetica: Sono stato recentemente impegnato nea descrizione e definizione dee inee di forza magnetica (3070), i.e. di quee inee che sono mostrate, in generae, daa disposizione dea imatura di ferro o di piccoi aghi magnetici intorno o tra magneti; ho mostrato, spero in modo soddisfacente, come queste inee possano essere assunte quai indicatori de potere magnetico, sia per quanto concerne a disposizione che a quantità; inotre [ho mostrato] come esse possano essere riconosciute da un fio in moto in un modo de tutto differente, in inea di principio, dae indicazioni fornite da un ago magnetico, e, in numerosi casi, con grandi e pecuiari vantaggi. La definizione data non fa acun riferimento aa natura fisica dea forza ne uogo in cui agisce, e si appica con a medesima accuratezza quaunque sia questa natura; essendo ciò moto chiaro, sto per abbandonare per un poco a inea di ragionamento rigoroso per sviuppare acune rifessioni intorno a carattere fisico dee inee di forza, ed a modo in cui si può supporre che esse si prounghino neo spazio. Siamo obbigati a sviuppare queste rifessioni rispetto a numerosi poteri naturai e, per a verità, queo dea gravità è unico caso cui tai rifessioni non appaiono pertinenti. 13 Le inee di forza possono essere soo un entità teorica usata per descrivere i fenomeni; oppure esse possono avere un esistenza fisica, cioè possono essere entità reai : Nee precedenti considerazioni non mi sono riferito aa concezione che recentemente ho sostenuto con evidenze sperimentai, che e inee di forza, considerate sempicemente come indicatori de potere magnetico (3117), sono curve chiuse che passano in una parte 12 M. Faraday, Experimenta Researches in Eectricity, vo. III, London, 1855, p. 328, (3070). In tutte e citazioni dee Ricerche di Faraday e, successivamente, de Trattato di Maxwe, compaiono tra parentesi i numeri dei paragrafi. 13 Ibidem, p , (3243). 22

23 de oro corso attraverso i magnete, e ne atra parte attraverso a spazio introno ad esso. Queste inee sono identiche, per quanto riguarda a oro natura, quaità e quantità sia dentro i magnete sia fuori. Se a queste inee, prima definite (3071), noi aggiungiamo idea di esistenza fisica, e poi riprendiamo in considerazione i casi appena ricordati come assunti sotto a nuova concezione, si vede subito che a probabiità di inee di forza esterne e curve, e, pertanto dea oro esistenza fisica, è atrettanto grande, ed anche maggiore di prima E: Avendo appicato i termine inee di forza magnetica ad un idea astratta, che io penso descriva accuratamente a natura, a condizione, a direzione e a grandezza reativa dee forze magnetiche, senza acun riferimento ad acuna condizione fisica dea forza, ho appicato ora i termine inee di forza magnetica incudendo idea uteriore deo oro esistenza fisica. I primo insieme di inee si basa direttamente su evidenza sperimentae. I secondo insieme di inee è introdotto essenziamente per porre a questione dea oro esistenza; e sebbene io non avrei soevato a questione se non avessi ritenuta importante, e tae da ricevere aa fine una risposta positiva, continuo a sostenere questa opinione con quache esitazione, come, peratro succede per quaunque concusione io mi sforzi di trarre a proposito di punti concernenti e profondità dea scienza, come, per esempio, queo concernente uno, due, o nessun fuido eettrico; oppure a vera natura di un raggio di uce, o a natura de attrazione, persino quea dea gravitazione, o a natura generae dea materia. 15 In questo passo, Faraday sostiene che a coformità tra teoria ed esperimento può essere stabiita; invece, esistenza reae di un entità teorica usata da una teoria - che è in accordo con esperimento - non può essere certa ma soo attendibie. Secondo Faraday, in una spira conduttrice si desta una corrente soo quando c è moto reativo tra a spira e e inee di forza magnetica: 14 Ibidem, p. 417, (3264). 15 Ibidem, p. 437, (3299). 23

24 Infatti: Quando si dice che inee di forza attraversano una spira conduttrice (3087), si deve pensare che ciò è prodotto daa trasazione di un magnete. Una mera rotazione di un magnete intorno a proprio asse non produce acun effetto induttivo su circuiti esterni ad esso; perché e condizioni descritte sopra (3088) non sono soddisfatte. I sistema di forze (power) intorno a magnete non deve essere considerato come necessariamente rotante con i magnete, non più di quanto i raggi emessi da soe siano considerati ruotare con esso. I magnete può persino, in certi casi (3097), essere considerato in rotazione tra e sue stesse forze, producendo un effetto eettrico pieno, rievabie con un gavanometro un disco di rame fu incoato sua cima di un magnete ciindrico e isoato da esso con un fogio di carta; i magnete ed i disco vennero ruotati insieme, e coettori (connessi a gavanometro) vennero posti in contatto con a circonferenza ed i centro de disco di rame. L ago de gavanometro si mosse come ne caso precedente [in cui era in rotazione soo i disco], e a direzione di moto era a stessa di quea che si sarebbe osservata se soo i [disco di] rame fosse stato posto in rotazione, e i magnete fosse stato tenuto in quiete. Non c era acuna apparente differenza ne entità dea defessione [de ago]. Quindi, a rotazione de magnete non produce acuna differenza nei risutati; perché un magnete rotante o in quiete produce o stesso effetto su [disco di ] rame in moto. 17 Nei diari di Faraday è citato anche un esperimento in cui i disco è mantenuto in quiete e i magnete ruota: non c è corrente indotta. 18,19 16 M. Faraday, Experimenta Researches in Eectricity, vo. III, London, 1855, p , (3090). 17 M. Faraday, Experimenta Researches in Eectricity, vo. I, London, 1839, p. 63, (218). 18 L. P. Wiiams, Michae Faraday, Chapman & Ha, (1965), pp A XXXIX Congresso de AIF (Miazzo, 2000), Guido Pegna ha presentato un sempice dispositivo sperimentae con i quae si possono facimente riprodurre gi esperimenti disco - magnete effettuati da Faraday. Cogo occasione per ringraziare Guido Pegna per avermi donato un esempare de suo dispositivo. 24

25 I moto reativo tra spira indotta e inee di forza magnetica è, secondo Faraday, a causa dea corrente indotta anche quando non c è acunmoto reativo tra spira indotta e sorgente de campo magnetico. Per esempio, ne caso in cui a sorgente de campo magnetico sia una corrente variabie che scorre ne circuito inducente: Nei primi esperimenti (10, 13), a spira inducente e quea indotta erano poste a distanza fissa ed una corrente eettrica veniva inviata attraverso a prima. In questi casi, e stesse inee di forza debbono essere considerate in moto (se posso usare questa espressione) attraverso a spira indotta, da istante in cui esse iniziano ad essere sviuppate finché a forza magnetica dea corrente raggiunge i suo massimo; siccome e inee di forza si espandono daa spira inducente verso esterno, esse sono - rispetto aa spira indotta in quiete - nea stessa reazione in cui si troverebbero se a spira indotta si fosse mossa nea direzione opposta attraverso di esse, cioè verso a spira inducente. Quindi a prima corrente indotta in questi casi era nea direzione opposta a quea dea corrente principae (17, 235). Interrompendo i contatto dea batteria, si può pensare che e curve magnetiche (che sono mere espressioni per e forze magnetiche) si contraggano e ritornino verso a corrente che svanisce e, pertanto, si muovono attraverso a spira [indotta] nea direzione opposta, causando una corrente indotta opposta aa precedente. 20 I ettore avrà notato che in questo passo Faraday considera e inee di forza magnetica soo come entità teoriche, non dotate quindi di reatà fisica. Siamo infatti ancora negi anni trenta, mentre e rifessioni su esistenza fisica dee inee di forza sono successive di un ventennio. Considerando ne oro insieme e rifessioni di Faraday sui fenomeni di induzione eettromagnetica, possiamo affermare che a sua descrizione teorica di questi fenomeni possiede e seguenti caratteristiche: 1. è una teoria di campo, ne senso che e interazioni fisiche sono interazioni ocai tra conduttori e inee di forza magnetica 20 M. Faraday, Experimenta Researches in Eectricity, vo. I, London, 1839, (238). 25

26 2. a egge fondamentae è: c è corrente indotta soo quando c è moto reativo tra i fio conduttore e e inee di forza magnetica E possibie esprimere, ameno parziamente, questa egge fondamentae con una formua? Per rispondere a questa domanda, consideriamo i caso particoare di un conduttore in moto in un campo magnetico uniforme e costante: Dai risutati reativi aa rotazione de fio e de magnete (3097, 3106), è inotre evidente che quando un fio si muove di moto uniforme tra inee uguai (cioè in un campo di uguae forza magnetica), a corrente di eettricità prodotta è proporzionae a tempo; inotre [è proporzionae] aa veocità de moto. Essi provano inotre, in generae, che a quantità di eettricità immessa in una corrente è proporzionae a numero dee inee intersecate. 21 Se ho ben inteso questo passaggio, esso contiene affermazioni incoerenti. In formue: se i vδt N, aora q = iδt vδt 2. Se invece: i v, aora q = iδt N. La sequenza corretta è a seconda. Sua base di questa, consideriamo un fio metaico rigido che si muove con veocità costante in un campo magnetico uniforme (figura 7): i fio è perpendicoare a piano de fogio. I campo eettrico indotto sarà proporzionae ae inee di forza intersecate in un secondo ungo a direzione perpendicoare ae inee: E i v sin θ dove θ è angoo formato da vettore veocità de fio con e inee di forza. Indicando con B i parametro di proporzionaità: Sperimentamente si verifica che: E i = Bv sin θ E i = v B 21 M. Faraday, Experimenta Researches in Eectricity, vo. III, London, p. 346, (3114, 3115). 26

27 L G Figura 7: un fio metaico, perpendicoare a piano de fogio, si muove con veocità v in un campo magnetico uniforme di cui sono disegnate e inee di forza. La inea tratteggiata orizzontae indica a direzione perpendicoare ae inee di forza e θ è angoo tra i vettore veocità ea direzione dee inee di forza. Si osservi come questa sia espressione dea componente magnetica dea forza di Lorentz sua carica unitaria positiva. Infine se i fio è incinato rispetto aa normae uscente da fogio, si ha: [ E i = v B a ] a a a dove a è i vettore associato a fio di moduo uguae aa sua unghezza, avente a stessa direzione de fio e verso arbitrario. Queste considerazioni mostrano che i secondo termine dea (11) traduce in termini matematici a fisica dee inee di forza di Faraday ne caso di conduttori in moto in un campo magnetico. Naturamente, questo termine da soo non è in grado di descrivere tutti i fenomeni di induzione eettromagnetica: come indicato daa (11), è necessario anche un termine dipendente daa variazione temporae de potenziae vettore (o de campo magnetico). 27

28 5.2 Maxwe e induzione Come è ben noto, Maxwe afferma ripetutamente ne suo Trattato che esso è a traduzione matematica dea fisica di Faraday. Per esempio:... E stato forse un vantaggio per a scienza i fatto che Faraday, sebbene perfettamente consapevoe dee forme fondamentai deo spazio, de tempo e dea forza, egi non fosse un matematico di professione. Egi non fu tentato di sviuppare e tante e interessanti ricerche matematiche che e sue ricerche avrebbero suggerito se esse fossero state espresse in forma matematica; e non si sentì impegnato a forzare i suoi risutati in una forma accettabie per i gusto matematico de tempo, o ad esprimeri in una forma che i matematici avrebbero potuto attaccare. Fu così asciato a svogere a piacere i proprio avoro, a coordinare e sue idee con i fatti e ad esprimeri in un inguaggio naturae, non tecnico. Ho intrapreso questo trattato essenziamente con a speranza di fare di queste idee a base di un metodo matematico. 22 Tuttavia, per quanto concerne induzione eettromagnetica, i Trattato di Maxwe non può essere considerato una traduzione matematica dea fisica di Faraday. Nea parte introduttiva e descrittiva de Trattato dedicata ai fenomeni di induzione, Maxwe scrive: E: L insieme di questi fenomeni può essere sintetizzata in una egge. Quando varia i numero di inee di induzione magnetica che passano attraverso i circuito secondario nea direzione positiva, una forza eettromotrice agisce ne circuito ed è misurata da tasso di diminuzione de induzione magnetica attraverso i circuito. 23 Invece di parare di numero di inee di forza magnetica, potremmo parare de induzione magnetica attraverso i circuito, cioè de integrae di superficie de induzione magnetica esteso su quasiasi superficie confinata da circuito J.C. Maxwe, A treatise on eectricity and magnetism, third edition, vo. II, Dover Pub. Inc., 1954, p. 176, (528). 23 Ibidem, p. 179, (531). 24 Ibidem, pp , (541). 28

29 Espressa matematicamente, questa egge si scrive: fem = dφ (13) dt dove Φ è i fusso de campo magnetico concatenato con i circuito indotto. La (13) è a egge de fusso : Maxwe non a scrive. Non sfuggirà a ettore i fatto che aa egge di campo di Faraday subentra qui una descrizione contaminata da azione a distanza (si veda a discussione dea sezione 2.1). 25 Tuttavia, quando Maxwe sviuppa a teoria dei circuiti eettrici egi definisce dapprima i momento eettrocinetico de circuito secondario (indotto): p 2 = LI 2 + M 21 I 1 (14) dove gi indici 1 e 2 si riferiscono a circuito primario (inducente) e secondario, rispettivamente; L e M 21 sono i coefficiente di autoinduzione e queo di induzione mutua; I 1 ed I 2 e rispettive correnti: i due circuiti sono in reativa quiete. Si noti come i momento eettrocinetico di Maxwe coincida, nea (14), con i fusso de campo magnetico concatenato con i circuito indotto. Maxwe afferma poi che a fem indotta è data da (si veda appendice 1): Siccome: fem = dp 2 dt p 2 = (15) A d (16) dove A è i potenziae vettore, ne segue che: fem = d A dt d (17) Siccome i due circuiti sono in reativa quiete, questa equazione èequiva- ente, per i teorema di Stokes, aa (13). 25 Come mostrato in precedenza, a (13) vae soo in casi particoari, quando cioè nessuna parte de circuito indotto è in moto. 29

30 I passaggio più interessante è però costituito da paragrafo 598 intitoato Equazioni generai de intesità eettromotrice, incuimaxweconsidera i circuito indotto in moto rispetto a circuito inducente e ricava per i campo eettrico indotto (intensità eettromotrice) espressione: E i = v inea B A grad ϕ (18) t Abbiamo scritto questa equazione usando a simboogia moderna ed in forma vettoriae (Maxwe a scrive in termini dee sue componenti); abbiamo inotre aggiunto i suffisso inea aa veocità. Maxwe commenta: E: I termine contenente a nuova grandezza ϕ è stato introdotto per dare generaità a espressione di Ei. Questo termine scompare da integrae quando esteso a intero circuito... L intensità eettromotrice è stata già definita ne art. 68. E anche chiamata intensità eettrica risutante, essendo a forza esercitata su unità di carica positiva posta in que punto. Abbiamo ottenuto i vaore più generae per questa grandezza ne caso di un corpo in moto in un campo magnetico dovuto a un circuito eettrico variabie. Se i corpo è un conduttore, a forza eettromotrice produrrà una corrente; se è un dieettrico, a forza eettromotrice produrrà soo uno spostamento eettrico. L intensità eettromotrice, ovvero a forza su una particea, deve essere attentamente distinta daa forza eettromotrice ungo un arco di una curva, utima grandezza essendo integrae di inea dea prima. Vedi art L intensità eettromotrice [campo eettrico indotto], dato da equazione (18), dipende da tre circostanze. La prima di queste èi moto dea particea attraverso i campo magnetico. La parte dea forza dipendente da questo moto è espressa da primo termine a secondo membro de equazione. Esso dipende daa [componente dea] veocità dea particea perpendicoare ae inee di induzione magnetica. [... ] I secondo termine ne equazione (18) 26 Ibidem, pp , (598) 30

31 dipende daa variazione temporae de campo magnetico. Questa può essere dovuta o aa variazione temporae dea corrente eettrica ne circuito primario, o a moto de circuito primario. [... ] L utimo termine è dovuto aa variazione dea funzione ϕ nee differenti parti de campo. 27 Secondo Maxwe a veocità che compare nea (18) èa veocità dea particea. In reatà, i cacoi effettuati da Maxwe mostrano che a veocità in questione è quea de eemento di circuito. Questa confusione non deve sorprendere: Maxwe non possedeva un modeo di corrente, perché non possedeva un modeo di eettricità. Ne art. 569 Maxwe scrive: La corrente eettrica non può essere concepita se non come un fenomeno cinetico. [... ] Gi effetti dea corrente, come eettroisi, e i trasferimento di eettricità da un corpo ad un atro, sono tutte azioni progressive che richiedono tempo per essere compiute, e sono pertanto dea natura dei moti. Per quanto riguarda a veocità dea corrente, essa potrebbe essere de ordine di un decimo di poice a ora o di un centinaio di migia a secondo [qui Maxwe cita i paragrafo 1648 dee Experimenta Researches di Faraday]. Siamo così ontani da conoscere i suo vaore assouto che non sappiamo neppure se ciò che chiamiamo direzione positiva è a vera direzione de moto o a direzione contraria. 28 Si noti che a (18) coincide con a nostra equazione generae de induzione (6) reativa a caso in cui i circuito indotto sia fiiforme e, quindi, i contributo dea veocità di deriva degi eettroni è nuo. Appare comunque evidente che Maxwe era ben consapevoe de fatto che, quando i circuito indotto è in moto, a egge de fusso deve essere sostituita da una egge più generae che a contiene. 5.3 Einstein e induzione Ne introduzione de articoo de 1905 che ha dato origine aa teoria dea reatività, Einstein scrive: 27 Ibidem, pp (599). 28 Ibidem pp , (569). 31

32 E noto che eettrodinamica di Maxwe - come a si interpreta attuamente - nea sua appicazione ai corpi in movimento porta a dee asimmetrie, che non paiono essere inerenti ai fenomeni. Si pensi per esempio a interazione eettromagnetica tra un magnete e un conduttore. I fenomeni osservabii in questo caso dipendono sotanto da moto reativo de conduttore e de magnete, mentre secondo interpretazione consueta i due casi, a seconda che uno o atro di questi corpi sia queo in moto, vanno tenuti rigorosamente distinti. Se infatti i magnete è in moto e i conduttore è a riposo, nei dintorni de magnete esiste un campo eettrico con un certo vaore de energia, che genera una corrente nei posti dove si trovano parti de conduttore. Ma se i magnete è in quiete e si muove i conduttore, nei dintorni de magnete non esiste acun campo eettrico, e si ha invece ne conduttore una forza eettromotrice, aa quae non corrisponde nessuna energia, ma che - a parità di moto reativo nei due casi considerati - dà uogo a correnti eettriche dea stessa intensità e deo stesso andamento di quee ae quai dà uogo ne primo caso a forza eettrica. 29 Nea parte de avoro dedicata a eettrodinamica, Einstein osserva infine: E inotre chiaro che asimmetria menzionata ne Introduzione riguardo aa trattazione dea corrente generata mediante i moto reativo di un magnete e di un conduttore sparisce. Anche e questioni reative aa sede dea forza eettromotrice eettrodinamica (macchine unipoari) sono infondate. 30 Aa uce dea trattazione svota dei fenomeni di induzione, nonché dei richiami ai avori di Faraday e Maxwe, si può osservare quanto segue: 1. Correttamente Einstein sottoinea aa fine che, usando e trasformazioni reativistiche dei campi, ogni asimmetria scompare. 2. La questione dea sede dea forza eettromotrice ha rievanza sperimentae, come mostrato nea nota 9 a pagina A. Einstein, L eettrodinamica dei corpi in movimento, trad. it. di S. Antoci, aa pagina Web: p Ibidem, p

33 Mostriamo ora come si tratta i caso de moto reativo trasazionae tra circuito e magnete. Consideriamo un circuito fiiforme rigido ed un magnete in moto reativo uniforme. Assumiamo, a soito, che i due sistemi di riferimento associati a circuito ed a magnete abbiano gi assi paraei ed equiversi e che i moto reativo avvenga ungo a direzione de asse x comune. Ne sistema di riferimento de magnete, che vede i circuito muoversi con veocità V CM ungo i proprio asse x, afem indotta èdata da equazione: fem = = E d + ( V CM B) d = A t d + ( V CM B) d Abbiamo appicato equazione generae de induzione (6), vaida ne caso di circuiti fiiformi. Siccome i campo magnetico generato da magnete non dipende da tempo, equazione precedente assume a forma sempice: fem = ( V CM B) d che, essendo V CM B perpendicoare a asse x, diventa: [ fem = ( VCM B) y dy +( V CM B) z dz ] (19) Poiché a forma dee equazioni deve essere a stessa in ogni sistema di riferimento inerziae, ne sistema di riferimento de circuito, si ha: fem = E d + ( V CC B ) d dove con V CC =0è stata indicata a veocità de circuito rispetto a se stesso. Quindi: ( fem = E x dx + E y dy + E z dz ) 33

34 Essendo, per e equazione di trasformazione dei campi: e, per e trasformazioni di Lorentz: si ottiene: E x = E x =0 E y = Γ( V CM B) y E z = Γ( V CM B) z dy = dy dz = dz [ fem =Γ ( VCM B) y dy +( V CM B) z dz ] che coincide, a parte i fattore Γ, con a (19). Non c è quindi acuna asimmetria considerando in moto, aternativamente, i circuito o i magnete. Le asimmetrie di cui parava Einstein erano dovute a non corrette appicazioni dea teoria di Maxwe: in particoare, non venivano usate, perché non ancora note, e equazioni di trasformazione dei campi. 6 Perché a egge de fusso? Questa seppur breve discussione di acuni passi di Faraday e Maxwe suggerisce una domanda di fondo: come e perché si è radicata a egge de fusso? Infatti: 1. a fisica dee inee di forza magnetica di Faraday non ha mai ricevuto una trattazione matematica competa (ammesso che tae trattazione sia possibie) 2. a egge de fusso non è una traduzione matematica dea fisica dee inee di forza magnetica 3. Ne Trattato di Maxwe a egge de fusso è accompagnata da un equazione generae de intensità eettromotrice (18) con una 34

35 corrispondente equazione generae dea fem indotta : a veocità che compare nea (18) èaveocità de eemento di circuito e non a veocità dee cariche in esso contenute. Tuttavia, equazione (18) coincide con a nostra equazione (4) quando i contributo dea veocità diderivaè nuo, come ne caso di circuiti fiiformi 4. espicita formuazione dea espressione dea forza di Lorentz a- vrebbe dovuto suggerire una revisione de intera materia Credo che sussista uno stimoante probema di ricostruzione storica. 7 Appendice 1 Lo studio, da parte di Maxwe, de eettrodinamica si basa su un anaogia meccanica. I capitoo quinto de secondo voume de Trattato è dedicato ad una rassegna dea dinamica di Lagrange. I capitoo si chiude con e seguenti rifessioni: Come o sviuppo dee idee e dei metodi dea matematica pura, costruendo una teoria matematica dea dinamica, ha reso possibie portare aa uce mote verità che non sarebbero state scoperte senza addestramento matematico, così, se dobbiamo sviuppare teorie dinamiche di atre scienze, dobbiamo avere e nostre menti imbevute di queste verità dinamiche e di metodi matematici. Nea formazione di idee e termini reativi ad atre scienze, che, come eettricità, riguarda forze e oro effetti, dobbiamo costantemente avere presenti e idee appropriate aa fondamentae scienza dea dinamica, così da poter, durante i primo sviuppo dea scienza, evitare inconsistenze con quanto già stabiito, e, anche quando e nostre concezioni divengano più chiare, i inguaggio che abbiamo adottato possa essere di aiuto e non di ostacoo. 31 Coerentemente con questa impostazione, Maxwe sviuppa a teoria dei circuiti eettrici, definendo, innanzitutto, energia eettrocinetica di un 31 J.C. Maxwe, A treatise on eectricity and magnetism, third edition, vo. II, Dover Pub. Inc., 1954, p. 210, (567). 35