Stefano Falorsi. di seconda e quinta elementare rispettivamente di numerosità e N. I test somministrati alle

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3 Nota metooogica sua strategia i campionamento e sistema nazionae i vautazione ee competenze per e cassi secona e quinta e primo cico ea scuoa primaria Stefano Faorsi. Obiettivi I Sistema Nazionae i Vautazione (SNV) oggetto ea presente nota è parte integrante e più ampio sistema i vautazione ee competenze afabetiche e numeriche egi stuenti ea scuoa primaria e seconaria conotto a INVALSI. Si tratta, a tutti gi effetti, i una rievazione statistica sugi stuenti ea scuoa primaria i primo grao, ee cassi secona e quinta, ai quai viene somministrato un insieme integrato i prove o items, i itaiano e matematica, efiniti in moo a essere comparabii tra tutti gi Stati appartenenti aa Comunità Europea. Nee eizioni passate, svote nei preceenti anni, e prove venivano somministrate irettamente a personae ocente ee scuoe stesse, tuttavia per eizione i quest anno si è ritenuto necessario renere migiore a quaità ei ati raccoti stanarizzano i più possibie e moaità i somministrazione ee prove. Ciò ovrebbe, tra atro, permettere una maggiore comparabiità ei risutati tra scuoa e scuoa e, anche, tra ifferenti sottopopoazioni i tipo territoriae oppure reative aa tipoogia i scuoa. Si è eciso, pertanto, i far somministrare e prove a personae quaificato, esterno aa scuoa, che avesse i compito i iustrare agi stuenti e iverse prove effettuano, anche, a ovuta azione i controo. I punteggi normaizzati riportati agi stuenti per i iversi items costituiscono, quini, e variabii i interesse oggetto i rievazione; in particoare a normaizzazione ei punteggi consiste ne iviere, per ciascuna prova, i punteggio assouto assegnato ao stuente per i vaore massimo ottenibie per a suetta prova in moo a arrivare a un vaore compreso tra zero e uno. La popoazione i interesse ossia insieme ee unità statistiche intorno ae quai si intene investigare è costituita agi stuenti i secona e quinta eementare iscritti ne anno scoastico Più precisamente si tratta i ue istinte popoazioni i interesse costituite agi aunni N2 5 i secona e quinta eementare rispettivamente i numerosità e N. I test somministrati ae cassi secone, costituiscono, una vautazione sua preparazione in entrata mentre quei reativi agi aunni i quinta consentono una vautazione sua preparazione raggiunta agi stessi aa concusione e primo cico i istruzione primaria. Per ciascuna ee ue popoazioni i interesse a partire a punteggio assegnato a ciascuno stuente, per ogni prova, si efiniscono, infine, egi inici sintetici ea istribuzione aggregano opportunamente i punteggi per tutte e unità ea popoazione. Gi inici più importanti sono a meia ei punteggi normaizzati e i numero i stuenti che si trovano compresi tra i vari percentii

4 (generamente i quartii) ea istribuzione efiniti a iveo nazionae su tutta a popoazione i interesse. Tai quantità costituiscono quini i parametri i interesse oggetto i stima. I omini i stima, ossia e sottopopoazioni con riferimento ae quai si vogiono prourre e stime ei parametri i interesse, a fine i poter effettuare ei confronti tra e iverse sottopopoazioni, sono costituite ae regioni geografiche, ae ripartizioni geografiche e a intero territorio nazionae. A tae proposito occorre aggiungere che inagine ha, anche, a finaità seconaria i prourre stime - i più possibie attenibii anche se ne rispetto i imiti i spesa accettabii - ei parametri i interesse riferiti a ciascuna ee scuoe campione. 2. Parametri i interesse Si consieri a generica prova, enotata con inice b (per b=,,b), costituita a un insieme i quesiti oggetto i vautazione finaizzati a vautare a preparazione e aunno su una eterminata materia. Per ogni prova b e per ciascuna ee ue popoazioni i riferimento (aunni i secona e i quinta eementare) si inichi con: λ inice reativo a tipo i parametro oggetto i stima ( λ =,..., Λ) ; y i vaore ea variabie i interesse y osservato su aunno i appartenente a i ominio i stima (=,, D); i parametro i interesse e tipo λ riferito a ominio b θ λ ne ambito ea prova b. I principai omini i stima consierati a inagine sono costituiti ae regioni geografiche, pertanto, ne seguito a meno che non venga appositamente specificato per i generico ominio i stima si intenerà a regione. Ciò premesso, i seguito si espicita a natura statistica e a corrisponente forma funzionae ei parametri i interesse per ciascun tipo i parametro λ ( λ =,..., Λ). In particoare i parametri i interesse sono a meia ei punteggi normaizzati e a frequenza reativa i aunni compresi tra ue quantii ea istribuzione ei punteggi. I iversi parametri consierati, per ciascuna prova b (b=,,b) e per ogni ominio i stima (=,,D), sono esprimibii meiante a seguente forma funzionae θ = N N i= y i () in cui i enota i generico aunno (i secona o i quinta a variare ea popoazione investigata), N è a numerosità ea corrisponente popoazione i stuenti ( N = per gi aunni i secona e N II,

5 N = per gi aunni i quinta) e ominio i stima e y è i vaore ea variabie i N V, b λ i interesse, riferita aa prova b e a tipo i parametro λ, osservata sua i esima unità e ominio. I iversi parametri consierati si ifferenziano in base aa efinizione ea variabie y i. Ne caso ea meia, inicata con i simboo, a variabie i interesse b θ i b i y y è costituita a punteggio normaizzato assegnato a i-esimo stuente. Quano si consierano, invece, e frequenze reative, inicate con i simboi b2 θ,..., bλ θ, si hanno Λ variabii strumentai, inicate come b2 y i,..., bλ y i esseno a generica i esse una variabie icotomica pari a se unità i è compresa tra ue specifici quantii, (Q k- -- Q k ) (k=0,,k) ove si è inicato con Q min e Q max rispettivamente i vaore minimo e queo massimo ea istribuzione ei punteggi. I caso più frequente ne inagine in esame è queo in cui i quantii presi in esame coinciono con i quartii e e reative cassi sono quini (Q min -- Q ), (Q -- Q 2 ), (Q 2 -- Q 3 ) e (Q 3 -- Q max ). Pertanto inica e unità comprese entro i primo quartie b y 2 i e.. così via fino a b y i 4 che è a variabie inicatrice reativa ae unità che superano i terzo quartie ea istribuzione. Quano si consierano i quartii i numero i parametri a stimare per ciascun ominio e per intero territorio nazionae è pari a Λ B. 4 B mentre più in generae tae quantità è pari a 3. Disegno i campionamento 3.. Premessa Le rievazioni conotte negi anni preceenti preveevano a somministrazione ee prove a parte ei ocenti ee scuoe stesse; tae circostanza che eterminava un costo moto basso ea rievazione, a fronte i ati non sempre comparabii e i buona quaità, consentiva i conurre un inagine esaustiva su tutti gi aunni ea popoazione i interesse. I passaggio a utiizzazione i personae quaificato esterno aa scuoa, se a un ato comporta un quaità più ata ei ati raccoti a atra introuce costi notevomente maggiori, anche egati aa necessità i viaggiare per raggiungere e scuoe interessate aa rievazione. Per e suette ragioni si è resa necessaria a seezione i ue campioni casuai i aunni, rispettivamente appartenenti ae cassi secona e quinta eementare. Inotre, per riurre i costi i viaggio e i organizzazione ea rievazione su campo e quini migiorare efficienza ee stime a parità i costi oppure riurre i

6 costi a parità i efficienza campionaria - è stato necessario aottare un campionamento compesso a più stai i seezione in cui a primo staio viene estratto un campione i scuoe. Per ovvi motivi i costi e praticabiità operativa, è stato seezionato i meesimo campione i scuoe sia per a secona che per a quinta eementare. I isegno i campionamento aottato consente ottenimento i ue vantaggi. I primo consiste nea possibiità i riurre e tenere sotto controo i numero ee scuoe coinvote nea rievazione, rispetto a queo ottenibie con un campione casuae sempice i pari numerosità in termini i aunni. Con quest utimo tipo i campionamento, infatti, potrebbero essere, anche, coinvote tutte e scuoe ea popoazione risutano, inotre, moto variabie i numero i aunni campione per ciascuna scuoa estratta. I secono vantaggio riguara a possibiità i seezionare i campione aa ista aggiornata egi iscritti isponibie presso ciascuna scuoa campione ove non fosse isponibie una ista centraizzata e aggiornata i tutti gi aunni ea popoazione. Atro eemento fonamentae i cui si è tenuto conto nea progettazione e isegno è stato queo reativo a obiettivo i prourre stime regionai ei parametri i interesse a fine i poter effettuare confronti tra e performance meie rievate nee iverse regioni. I principai omini i stima sono costituiti ae regioni esseno, quini, inicata con a generica i esse. Ciò ha comportato aozione i un isegno stratificato per regione in cui a numerosità campionaria regionae, in termini i aunni e scuoe, è stata efinita in moo a tenere sotto controo gi errori i campionamento attesi ee stime ei parametri i interesse a iveo regionae. Atre variabii i stratificazione utiizzate, non egate aa necessità i tenere conto ei omini i stima, che consentono i riurre a variabiità campionaria ee stime a parità i numerosità sono: a tipoogia i scuoa, secono a cassificazione statae e non statae e ampiezza ea scuoa espressa in termini i numero i aunni iscritti. In particoare, gi strati i base sono stati costruiti incrociano e 20 regioni geografiche con a tipoogia i scuoa, secono a cassificazione statae o non statae. Una vota suivise e scuoe negi strati i base sono state, poi, uteriormente stratificate per ampiezza ea scuoa. Vae a pena osservare che, per quanto riguara a variabie ampiezza, poiché inagine si riferisce sia agi aunni i secona che a quei i quinta eementare e esseno necessario, per ovvi motivi i costo, seezionare un campione i scuoe unico su quae svogere e prove sia per a secona che per a quinta eementare, ampiezza i ciascuna scuoa è stata efinita come meia egi aunni iscritti aa secona e i quei iscritti aa quinta eementare Caratteristiche generai e isegno In questo paragrafo si iustra i isegno i campionamento riferito a ciascuno strato i base T

7 (=,,L). In proposito, occorre osservare che ogni strato i base T (=,,L) è comune a più omini i stuio; a esempio, o strato i base formato ae scuoe eementari statai ea regione Lazio fa parte sia ea regione Lazio che e intero territorio nazionae. Conseguentemente, non è possibie aottare un istinto isegno i campionamento per ogni ominio, in quanto per ogni strato i base T si avrebbero tanti isegni i campionamento quanti sono i omini che o contengono; è necessario pertanto che i isegno i campionamento venga efinito per ogni strato i base. Le principai caratteristiche metooogiche e isegno campionario riferito a ciascuno strato i base T T (=,,L) sono: stratificazione ee scuoe in funzione ea soa imensione, espressa in termini i aunni iscritti; suivisione ee scuoe nei ue insiemi: AR (scuoe Auto Rappresentative), che incue e scuoe a cui popoazione è uguae o superiore a una prefissata sogia ν ; NAR (scuoe Non Auto Rappresentative), che comprene e scuoe a cui popoazione è inferiore aa suetta sogia; ciascuna scuoa AR costituisce strato a sé stante; e scuoe e insieme NAR sono suivise in strati i imensione approssimativamente costante, in termini i ampiezza (meia aunni i secona e quinta), opo essere state orinate secono una grauatoria ecrescente in funzione e ampiezza ee stesse; i isegno i campionamento inerente a insieme AR è e tipo a uno staio stratificato, in cui e unità primarie coinciono con e unità finai i campionamento, ossia gi aunni i secona e quei i quinta eementare; i isegno i campionamento reativo a insieme NAR è e tipo a ue stai stratificato; e unità primarie sono e scuoe, mentre e unità seconarie sono gi aunni; seezione, senza reimmissione, i un numero costante, m = m, i scuoe campione in ogni h strato h ( h =,..., NAR H ) e insieme NAR; assegnazione i un numero minimo, n, i aunni a intervistare in ciascuna scuoa campione; aocazione e campione i aunni tra gi strati in moo a rispettare a conizione i auto ponerazione;

8 Le ragioni che sottenono a sceta i questa particoare forma i isegno i campionamento sono eterminate: - a esierio i aumentare i iveo i precisione ee stime, attraverso a suivisione ee scuoe in AR e NAR; - a esigenza i conseguire vantaggi a punto i vista organizzativo e economico, attraverso a seezione i scuoe (grappoi i aunni); - a necessità operativa i seezionare un numero, n, approssimativamente costante i aunni per e scuoe meio piccoe appartenenti a insieme NAR e un numero i aunni maggiore uguae i n per e scuoe più grani, appartenenti a insieme AR Proceura i formazione e campione La proceura i formazione e campione consta i ue fasi. La prima fase riguara a efinizione ee numerosità campionarie e in particoare ee quantità m, n e e numero compessivo, n, i aunni a seezionare per ciascuno strato i base T (=,,L) attraverso criteri che tengono conto sia i aspetti economici e operativi che i fattori egati a efficienza attesa ee stime; nea secona fase, aveno efinito i vaori ee suette quantità è possibie attuare i isegno i campionamento, così come escritto ne preceente paragrafo, ne ambito i ciascuna strato i base T (=,,L). Occorre sottoineare che i processo che conuce aa efinizione ee quantità m, n e n è compesso in quanto a moifica i una i esse ha iverse impicazioni anche sue atre. Per una migiore comprensione e intera proceura i formazione e campione si è ritenuto utie escrivere innanzitutto a secona fase. Prima i passare a successivo paragrafo occorre rievare che ne isegno i campionamento aottato e quantità campionarie n e n si riferiscono inifferentemente a campione i aunni ea secona eementare o a queo ea quinta eementare.

9 3.4. Formazione e campione per ciascuno strato i base Definite e quantità m, n e n (sua base ea proceura che verrà escritta ne successivo paragrafo 3.5) con riferimento a ciascuno egi strati i base T (=,,L), si passa a attuazione e isegno, in ciascuno strato i base, meiante e seguenti fasi operative: (a) cacoo ea sogia ν (=,,L) sua base ea reazione n ν =, (2) f in cui f n / N, esseno N i numero i aunni appartenenti ao strato i base T. Si ritiene = utie precisare che utiizzo ea (2) per i cacoo ea sogia garantisce, appicano a conizione i auto ponerazione formaizzata ne successivo punto (e), per ciascuna scuoa e insieme AR una numerosità campionaria, in termini i aunni, uguae o superiore a (b) suivisione ee M scuoe i T (=,,L) negi insiemi AR e NAR; (c) orinamento ee scuoe NAR secono una grauatoria ecrescente basata su ampiezza ee stesse; n ; () suivisione ee scuoe NAR in strati aventi ampiezza (approssimativamente) costante in termini i aunni iscritti, esseno N = N h ( h =,..., nar H ) N = m ν ; (e) attribuzione a ciascuna scuoa AR e numero, n h, i aunni campione espresso a n = N f h =,..., ), h h ( ar H esseno i numero compessivo i strati e insieme AR e N i numero i aunni neo ar H strato h. Si ritiene utie sottoineare che ne caso ee scuoe AR, in cui ciascuna scuoa c fa strato h a se stante, si ha n, N e a preceente reazione può essere, anche, riscritta come h n hc h N hc Data a necessità i seezionare un unico campione i scuoe sia per e prove i secona che per quee i quinta e quantità che efiniscono ampiezza i scuoa e i strato sono ottenute come meia e numero egi aunni iscritti aa secona e aa quinta eementare.

10 n = N hc hc f (f) seezione, senza reimmissione 2, a ciascuno strato h ( h =,..., nar H ) i m scuoe campione, attribueno aa c-esima c =,..., M ) scuoa eo strato una probabiità i seezione variabie, ( h espressa a Z = N / hc hc Nh ; (g) attribuzione a ciascuna scuoa campione NAR e numero n hc i aunni a seezionare, ato a N f h n hc = ( c,..., m ; h =,..., nar H ) m =. Teneno conto ea proceura i formazione egi strati, sopra escritta, si rieva che per gi strati (e quini scuoe) AR si ha nhc n. La preceente isuguagianza è irettamente egata aa isuguagianza tra e corrisponenti quantità i popoazione: N N ; per gi strati NAR si ha, hc invece, n n ; hc (h) estrazione e campione i aunni, ae scuoe e insieme AR e a quee e insieme NAR, a cui numerosità è stata efinita nee fasi preceenti. Per i campione in oggetto si è utiizzato i metoo i seezione Bernoui sequenziae che consiste ne generare, per ciascuna unità ea popoazione, un numero casuae aa istribuzione uniforme ne intervao (0,); formata poi una grauatoria crescente o ecrescente ee unità ea popoazione in base ai suetti numeri si seezionano e prime nhc unità ea grauatoria. Questo metoo assegna a ciascun aunno ea generica scuoa campione c eo strato h appartenente ao strato i base probabiità i seezione uguai e pari a n hc / N hc ; 3.5. Definizione ee quantità necessarie aa formazione e campione per ciascuno strato i base Fissati gi errori i campionamento ammessi δ ( ) ee stime ei parametri θ (b=,,b; b θ λ λ =,..., Λ ; =,,D), per a formazione e campione a iveo egi L strati i base è necessario 2 Per 'estrazione ee scuoe si ricorre aa proceura i seezione sistematica, suggerita a Maow (949) e Murthy (967), che presenta e seguenti caratteristiche: (i) assegna una probabiità i incusione espressa nea forma π hc = m Zhc ; (ii) a sua impementazione è estremamente sempice; (iii) conuce a ottenimento i stime generamente più efficienti rispetto a quee ottenibii con atre proceure i seezione (Cicchitei et a., 997; Fabbris, 99).

11 efinire e quantità m, n e n (=,,L), in moo tae che gi errori i campionamento attesi soisfino i vincoi δ ( b θ λ ) prefissati. I processo per conseguire tae risutato parte aa eterminazione ee quantità m, n sia in base a consierazioni i tipo operativo che i efficienza campionaria. Una vota che sono stati fissati i vaori ee quantità m, n per a efinizione ee numerosità campionarie aocazione mutivariata. n (=,,L) si aotta una proceura iterativa basata su una metooogia i La sceta i n si basa sia su criteri i tipo operativo che egati a efficienza campionaria ee stime. Esiste, infatti, un trae off tra e necessità i tipo operativo, per e quai i vaore i n ovrebbe essere i più eevato possibie, e esigenze, egate a efficienza ee stime, che spingono verso a sceta i un vaore i più basso possibie i tae quantità. Ovviamente viene presceto un vaore intermeio efinito in base a un compromesso tra e opposte esigenze. Più precisamente, a iminuire i n cresce i numero i unità primarie (e scuoe) campione, anche se aumenta, generamente, efficienza campionaria ee stime. Per contro a crescere i n si riuce, generamente, efficienza campionaria ee stime anche se iminuisce i numero i unità primarie coinvote nea rievazione. La concentrazione ea rievazione in poche unità primarie, comporta, ovviamente, notevoi vantaggi a punto i vista operativo e ei costi anche se un numero troppo eevato i aunni campione in ciascuna scuoa potrebbe eterminare una ifficotà i organizzazione ea rievazione nee scuoe. Per a efinizione e numero i unità primarie campione per strato, m, si aotta, in genere, i criterio i scegiere tae quantità più piccoa possibie. Infatti, teneno conto i quanto escritto a preceente punto (), a sceta i m = è a più opportuna a punto i vista e efficienza ee stime, poiché porta aa costruzione i un maggior numero i strati e quini a un migiore effetto ea stratificazione i primo staio. Tuttavia in tae caso occorre coassare gi strati (generamente a coppie) nea fase i stima ea varianza campionaria, poiché non è possibie cacoare a varianza in base a un'unica unità primaria campione.

12 Una vota prefissate e numerosità m, n si utiizza una proceura iterativa che arriva aa eterminazione ee numerosità n (=,,L), meiante appicazione ea metooogia i aocazione mutivariata, muti ominio, per isegni compessi proposta ne avoro i Faorsi S. e Russo A (2003). Questa tecnica generaizza - a caso ei isegni i campionamento a più stai e i più omini i stima - i metoo suggerito a Bethe (989) finaizzato aa eterminazione ea imensione ottimae in un ottica mutivariata, reativamente a caso i un isegno a uno staio stratificato e i un soo ominio i stuio. Più precisamente a metooogia aottata parte a efinire e numerosità campionarie n (=,,L) per ciascuno strato i base T sotto ipotesi, non reaistica, i aver aottato un campionamento casuae sempice i aunni in ciascuno strato i base T. A partire a questa souzione iniziae e scuoe appartenenti a ciascuno strato i base vengono ripartite negi insiemi AR e NAR e si cacoa una stima e effetto e isegno i campionamento, o eff, per ciascuna stima presa in consierazione ne processo i aocazione. A tae proposito vae a pena ricorare che i eff è una statistica frequentemente utiizzata nee inagini campionarie su arga scaa sia ex-ante, nea fase i progettazione e isegno i campionamento (per tenere conto, ne cacoo egi errori attesi e ne processo i aocazione ea numerosità campionaria, e infazione o efazione ea varianza ovuta a particoare isegno i campionamento consierato), sia ex-post, nea fase i anaisi i efficienza e isegno aottato (per effettuare vautazioni su efficienza e isegno i un campionamento aottato e operare eventuamente ee correzioni in successive eizioni e inagine). Tae statistica, come è noto, è misurata a rapporto tra a varianza e isegno i campionamento compesso utiizzato rispetto aa varianza i un ipotetico isegno i campionamento casuae sempice, i pari numerosità in termini i unità finai, a quea aottata ne isegno compesso. Pertanto se i eff è minore i uno, i piano campionario aottato prouce un migioramento i efficienza rispetto a quea ottenibie meiante un isegno i campionamento casuae sempice; ciò generamente avviene per i isegni i campionamento stratificati, nea misura in cui e variabii i

13 stratificazione sono egate aa variabie i interesse. Se, invece, i eff è maggior i uno ciò inica un peggioramento i efficienza e isegno compesso rispetto a isegno i riferimento; ciò avviene moto spesso per i isegni custerizzati, anche in presenza i una stratificazione ee unità primarie. Per i isegno sopra escritto, appicato ae scuoe, in cui sono stati cacoati i eff per i iversi strati i base necessari per effettuare aocazione e campione si sono osservati, infatti, reativamente ai iversi strati i base eff minori i uno ne insieme AR e eff maggiori i uno per insieme NAR. I eff compessivi ottenuti consierano contemporaneamente parte AR e NAR sono risutati compessivamente maggiori i uno per a maggior parte egi strati i base. Da quanto etto si evince che nea prima iterazione e processo i aocazione i eff è posto pari a uno, poiché è effettuata sotto ipotesi i campionamento casuae sempice. Dopo a prima iterazione, e varianze ee stime vengono motipicate per i corrisponenti eff, e i processo i aocazione viene iterato un certo numero i vote fino a quano non si raggiunge una stabiità nee numerosità campionarie n (=,,L) assegnate ai iversi strati i base. I processo preceente può essere schematizzato per passi come i seguito iustrato. () eterminazione ee numerosità n (=,,L), meiante appicazione ea metooogia i aocazione mutivariata, muti ominio, per isegni compessi; (2) appicazione ea fase (a) e par. 3.4; (3) appicazione ea fase (b) e par. 3.4 e nuovo cacoo ei eff ee stime consierate ne processo i aocazione; (4) ricacoo ee numerosità n (=,,L), meiante appicazione ea metooogia suetta; (5) reiterazione e passo (2), sua base ei risutati ottenuti in (4); (6) reiterazione e passo (3) sua base ei risutati conseguiti in (5); (7) reiterazione ei passi (4), (5) e (6) fino a quano e numerosità n (=,,L) non si stabiizzano tra un iterazione e a successiva.

14 Una vota efinite e numerosità n (=,,L), si può proceere aa formazione e campione T ne ambito i ciascuna area territoriae, attraverso e fasi già escritte ne par Disegno reaizzato Ne isegno i campionamento reaizzato per inagine si è efinito per tutte e regioni un vaore i n pari a 23 per e scuoe statai e pari a 8 per e scuoe non statai. Preiminarmente è stato necessario eiminare aa ista i campionamento, contenente tutte e scuoe ea popoazione, e scuoe a cui ampiezza (cacoata come meia egi aunni i secona e i quinta) fosse inferiore ai vaori prefissati per n ; eventuae seezione ne campione i tai scuoe avrebbe, infatti, eterminato una cauta ea numerosità campionaria prefissata in termini i aunni. La ista i campionamento ottenuta opo tae operazione mantiene, comunque, una buona copertura rispetto aa popoazione oggetto i inagine; si hanno, infatti, coperture e 99.8% e 99.06% rispettivamente per gi aunni i secona e i quinta eementare. Per a efinizione e numero i scuoe campione per strato si è aottata a sceta m =2 che è quea che conuce aa stratificazione più fine possibie pur manteneno a possibiità i stimare a varianza campionaria senza a necessità i over coassare gi strati. Per eterminare e numerosità campionarie n meiante i processo i aocazione mutivariata sopra escritto, sono state prese in consierazione e stime ei parametri b2 θ,..., bλ θ, che esprimono e frequenze reative percentuai i aunni compresi tra ue quantii ea istribuzione ei punteggi. Non sono state consierate, invece, e stime ei parametri b θ, punteggi mei, in quanto esse sono caratterizzate a errori i campionamento moto bassi sia a iveo nazionae che regionae. In particoare sono stati consierati ue vaori tipici ee stime i frequenza reativa percentuae, pari a 5% a iveo nazionae e a 0% a iveo regionae. Per a stima a iveo nazionae è stato fissato un vincoo su errore reativo percentuae e 5,2% mentre per e stime regionai tae vincoo è stato posto pari a 9.6%.

15 Otre agi errori campionari ee stime che hanno guiato i processo i aocazione, sono stati vautati gi errori i campionamento reativi percentuai attesi per un insieme i stime e tipo b2 θ,..., bλ θ esunte in base a informazioni raccote in una preceente inagine esaustiva eo stesso tipo rivota agi aunni ee secone e quarte eementari. Le variabii consierate sono riassunte ne prospetto i seguito riportato. Prospetto - Schema ee variabii consierate per i cacoo egi errori attesi Variabii Quantii Casse Anno Prova Y-Y3 < 25, 50, >75 II Itaiano Y4-Y8 <0, 25, 50, 75, >75 II Matematica Y9-Y4 <0, 25, 50, 75, 90, >90 IV Itaiano Y5-Y20 <0, 25, 50, 75, 90, >90, IV Matematica Y2-Y25 <0, 25, 50, 75, >75 II Itaiano Y26-Y30 <0, 25, 50, 75, >75 II Matematica Y3-Y35 <0, 25, 50, 75, >75 IV Itaiano Y36-Y4 <0, 25, 50, 75, 90, >90 IV Matematica Aa preceente ista si evono aggiungere e variabii Y42, Y43 e Y44. Le variabii Y43 e Y44 si riferiscono ae percentuai che hanno guiato i processo i aocazione mutivariata. A Y43 corrispone una frequenza reativa percentuae e 5% e un massimo errore reativo percentuae ammesso a iveo nazionae inferiore a 5,2%, invece a Y44 corrispone una frequenza reativa percentuae e 0% e un massimo errore reativo percentuae ammesso a iveo regionae inferiore a 9.6%. Infine a Y42 corrispone una frequenza reativa percentuae e % senza vincoi sugi errori ammessi come ne caso ee variabii Y-Y4 esunte ai ati reai. Nea tabea sono riportati i vaori minimi, mei e massimi ea istribuzione egi errori reativi percentuai ottenuta per ciascuna variabie Y-Y44 e per ciascun tipo i ominio: Intero territorio nazionae (DOM); Regioni geografiche (DOM2); Tipoogia i scuoa: statae /non statae (DOM3); Regione incrociata con a

16 tipoogia i scuoa (DOM4). Come si evince aa tabea, in reazione aa variabie Y44 gi errori reativi percentuai per i ominio regionae (DOM2) sono compresi tra un minimo e % e un massimo e % con un vaore meio e 9.424% in conformità a vincoo e 9.6% ammesso su errore reativo percentuae. Per quanto riguara, invece a variabie Y43 i vaore minimo, meio e massimo e errore a iveo nazionae (DOM) ovviamente coinciono e sono pari a 5.99 anche in questo caso in conformità a vincoo imposto nea fase i aocazione. Da anaisi generae ea tabea si osserva che e variabii Y-Y4 presentano errori più che accettabii sia a iveo nazionae che a iveo regionae e anche a iveo i tipoogia i scuoa. Invece e stime a iveo e incrocio regione per a tipoogia i scuoa presentano errori estremamente eevati, pertanto, una stima attenibie a tae iveo i isaggregazione potrebbe essere ottenuta soamente meiante stimatori iniretti per piccoe aree che prenono forza ae aree circostanti. Invece per i omini DOM, DOM2 e DOM3 si possono utiizzare tranquiamente i più robusti stimatori iretti. Tabea - Vaori minimo, meio, e massimo, egi errori reativi percentuai per variabie e tipo i ominio: DOM intero territorio nazionae; DOM2 regioni geografiche; DOM3 tipoogia i scuoa: statae /non statae; DOM4 regione x tipoogia i scuoa. Dominio Min. Me. Max. Variabie Y DOM DOM DOM DOM Variabie Y2 DOM DOM DOM DOM

17 Dominio Min. Me. Max. Variabie Y3 DOM DOM DOM DOM Variabie Y4 DOM DOM DOM DOM Variabie Y5 DOM DOM DOM DOM Variabie Y6 DOM DOM DOM DOM Variabie Y7 DOM DOM DOM DOM Variabie Y8 DOM DOM DOM DOM Variabie Y9 DOM DOM DOM DOM Variabie Y0 DOM DOM DOM DOM Variabie Y DOM DOM DOM DOM Variabie Y2 DOM DOM DOM DOM

18 Dominio Min. Me. Max. Variabie Y3 DOM DOM DOM DOM Variabie Y4 DOM DOM DOM DOM Variabie Y5 DOM DOM DOM DOM Variabie Y6 DOM DOM DOM DOM Variabie Y7 DOM DOM DOM DOM Variabie Y8 DOM DOM DOM DOM Variabie Y9 DOM DOM DOM DOM Variabie Y20 DOM DOM DOM DOM Variabie Y2 DOM DOM DOM DOM

19 Dominio Min. Me. Max. Variabie Y22 DOM DOM DOM DOM Variabie Y23 DOM DOM DOM DOM Variabie Y24 DOM DOM DOM DOM Variabie Y25 DOM DOM DOM DOM Variabie Y26 DOM DOM DOM DOM Variabie Y27 DOM DOM DOM DOM Variabie Y28 DOM DOM DOM DOM Variabie Y29 DOM DOM DOM DOM Variabie Y30 DOM DOM DOM DOM Variabie Y3 DOM DOM DOM DOM

20 Dominio Min. Me. Max. Variabie Y32 DOM DOM DOM DOM Variabie Y33 DOM DOM DOM DOM Variabie Y34 DOM DOM DOM DOM Variabie Y35 DOM DOM DOM DOM Variabie Y36 DOM DOM DOM DOM Variabie Y37 DOM DOM DOM DOM Variabie Y38 DOM DOM DOM DOM Variabie Y39 DOM DOM DOM DOM Variabie Y40 DOM DOM DOM DOM