1 LE PROPOSIZIONI. Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 17

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1 La ogica riconoscere proposizioni e individuarne i vaore di veritaá operare con e proposizioni e riconoscere equivaenze ogiche stabiire a correttezza di un ragionamento ogico operare con i predicati usare in modo appropriato i quantificatori 1 LE PROPOSIZIONI Un quaunque ragionamento eá, in utima anaisi, composto da frasi di senso compiuto che, in ogica, prendono i nome di proposizioni. Chiamiamo proposizione una frase di senso compiuto dea quae si puoá dire se eá vera o se eá fasa. Quando una proposizione eá vera diremo che i suo vaore di veritaá eá Vero (V), quando eá fasa diremo che i suo vaore di veritaá eá Faso (F). Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 17 Le proposizioni si chiamano anche enunciati e si indicano con e ettere minuscoe de'afabeto. In base a questa definizione, sono proposizioni e seguenti frasi: a: «Pasqua cade sempre di domenica.» vaore di veritaá: V b: «Le baene sono mammiferi.» vaore di veritaá: V c: «5 4 eá un numero intero.» vaore di veritaá: F d: «Torino si trova in Veneto.» vaore di veritaá: F Non sono invece proposizioni in quanto non ha senso chiedersi se sono vere o fase: «Portami un pacchetto di caramee.» «Viva i Mian!» «Quanti anni hai?» Sono da annoverare fra e proposizioni anche frasi de tipo: «Esistono dei numeri che sono interi.» «In casse c'eá quacuno che non ha i ibro di matematica.» Anche se non si sta parando di un numero o di uno studente particoare, tuttavia possiamo dire che a prima frase eá vera, che a seconda eá fasa soo se gi studenti hanno tutti i ibro di matematica ed eá vera negi atri casi; entrambe sono percioá dee proposizioni. Le proposizioni sono dunque quee frasi che asseriscono un fatto, vero o faso che sia. I vaori di veritaá V e F sono a vote sostituiti dai simboi 1 e 0: V! 1 F! 0 La ogica 1

2 Poiche o scopo che ci prefiggiamo eá queo di costruire dei metodi che ci permettano di stabiire a correttezza o meno di un ragionamento, dobbiamo richiedere che e proposizioni soddisfino acune caratteristiche: Principio di non contraddizione: una proposizione non puoá essere contemporaneamente vera e fasa. I PRINCIPI FONDAMENTALI Principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa, non esistono atre possibiitaá. I tipo di ogica che ci accingiamo a studiare puoá dunque controare a correttezza soo di quei ragionamenti che coinvogono proposizioni, e quai, a oro vota, devono obbedire ae regoe fissate dai due principi di non contraddizione e de terzo escuso. Ma un ragionamento, di soito, eá una cosa compessa, composta da mote proposizioni egate fra oro. Per esempio: «Giovanni studia a Conservatorio percheâama a musica e vuoe diventare un direttore d'orchestra» eá indubbiamente una proposizione (conoscendo Giovanni possiamo sicuramente dire se questa frase eá vera o no), ma possiamo ritenere che essa sia formata da piuá proposizioni di carattere piuá sempice: a: «Giovanni studia a Conservatorio» b: «Giovanni ama a musica» c: «Giovanni vuoe diventare direttore d'orchestra» e che, in utima anaisi, i vaore di veritaá dea proposizione iniziae dipenda dai vaori di veritaá di ciascuna dee proposizioni piuá sempici. Dobbiamo quindi fissare dee regoe che permettano di stabiire i vaore di veritaá di una proposizione compessa ottenuta daa combinazione di proposizioni sempici. Chiariamo innanzi tutto cosa intendiamo per "proposizione sempice". La caratteristica dee proposizioni a, b, c precedenti eá che sono formate da una soa forma verbae, i predicato, aa quae sono eventuamente coegati acuni argomenti: Che cosa possiamo dire de'intera proposizione sapendo che Giovanni studia a Conservatorio e ama a musica (a e b vere), ma non vuoe diventare direttore d'orchestra (c fasa)? PROPOSIZIONE PREDICATO ARGOMENTI a studiare Giovanni, Conservatorio b amare Giovanni, musica c diventare Giovanni, direttore d'orchestra Una proposizione si dice atomica se eá formata da un soo predicato. PROPOSIZIONI ATOMICHE EMOLECOLARI Le proposizioni atomiche possono avere uno, due o piuá argomenti, ma possono anche non averne. Per esempio: «La campana suona» - predicato: suonare - argomento: a campana «Piove» - predicato: piovere - non ci sono argomenti Le proposizioni che sono formate da piuá proposizioni atomiche si dicono moecoari. 2 La ogica

3 Le proposizioni moecoari sono i risutato di acune operazioni fra proposizioni atomiche nee quai i simboi di operazione sono acune particee dea ingua parata come "e", "o", "non" e cosõá via. Nei prossimi paragrafi ci occuperemo di studiare come vautare i vaore di veritaá dee proposizioni moecoari in base ae operazioni che egano fra oro e proposizioni atomiche. 2 LE OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI Gi operatori che si usano per comporre fra oro e proposizioni si chiamano connettivi ed operano, a seconda de tipo, su una soa o su due proposizioni aa vota; i risutato de'operazione ha un vaore di veritaá che dipende sia da connettivo usato, sia da vaore di veritaá dee proposizioni atomiche coinvote. Per rappresentare i possibii risutati, si usano dee tabee che prendono i nome di tavoe di veritaá; in esse, e prime coonne riportano e possibii combinazioni dei vaori di veritaá dee proposizioni coinvote mentre a coonna finae indica i vaore di veritaá dea proposizione moecoare. CosõÁ: n se abbiamo una soa proposizione a, a tavoa ha due soe righe percheâ a puoá essere vera oppure fasa; n se abbiamo due proposizioni a e b, ci sono 4 possibii combinazioni. Vediamo aora quai sono e operazioni che si possono eseguire con e proposizioni. La negazione EÁ 'operazione ogica che, data una proposizione a, restituisce a proposizione «non a». La proposizione «non a» eá F quando a eá VedeÁ V quando a eá F. I simboo ogico dea negazione eá un trattino posto sopra a ettera che individua a proposizione: a Occorre fare attenzione ae modaitaá con cui si esprime una negazione; eá corretto anteporre i connettivo non aa forma verbae, oppure a frase non eávero che a'intera proposizione; per esempio: n a negazione di a: «i rombo ha i ati congruenti» si puoá esprimere indifferentemente nei seguenti due modi: a: «i rombo non ha i ati congruenti» a:«non eá vero che i rombo ha i ati congruenti». Poiche a eá V, i vaore di veritaá di a eá F. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 18 a V F p V F p F V a V V F F b V F V F Per indicare a negazione si puoá anche usare i simboo : anteposto aa proposizione: : a La doppia negazione di una proposizione coincide con a preposizione stessa: a ˆ a In atre paroe, una doppia negazione afferma. Non eá invece opportuno cambiare 'enunciazione dea proposizione se si vogiono evitare errori. Per esempio a negazione di «Ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» non eá «Nessun Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» ma eá «Non eá vero che ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae». La ogica 3

4 La congiunzione EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a e b». Tae proposizione si ritiene vera soo se entrambe e proposizioni a e b sono vere, fasa in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea congiunzione eá ^ e va posto fra e due proposizioni: a ^ b Per esempio: se a: «Dante ha scritto a Divina Commedia» (V) e b: «Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» (V), a proposizione c ˆ a ^ b : «Dante ha scritto a Divina Commedia e Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» eá V se a: «12eÁ un numero pari» (V) e b: «8eÁ un numero dispari» (F), a proposizione c ˆ a ^ b : «12 eá un numero pari e 8 eá un numero dispari» eá F. a b a ^ b V V V V F F F V F F F F La congiunzione si puoá anche esprimere usando i termini: et daa ingua atina; and in inguaggio informatico. La disgiunzione incusiva Per esempio: se a: «8eÁ pari» (V) e b: «12 eá mutipo di 5» (F), a proposizione c ˆ a _ b : «8 eá pari o 12 eá mutipo di 5» eá V; EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a o b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se entrambe e proposizioni a e b sono fase, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b se a: «a ettera i eá una vocae» (V) e b: «a ettera c eá una consonante» (V), a proposizione c ˆ a _ b : «a ettera i eá una vocae o a ettera c eá una consonante» eá V. a b a _ b V V V V F V F V V F F F La disgiunzione incusiva si puoá anche esprimere usando i termini: ve daa ingua atina; or in inguaggio informatico. La disgiunzione escusiva EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «o a o b». Tae proposizione si ritiene vera soo se e proposizioni a e b sono una fasa e 'atra vera, si considera fasa se e due proposizioni sono entrambe vere o entrambe fase. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b Questa forma di disgiunzione eá di frequente uso comune; si dice per esempio: «o vieni o parto senza di te» «o sei promosso o sei bocciato» Un atro esempio: se a: «3eÁ dispari» (V) e b: «3eÁ pari» (F), a proposizione c ˆ a _ b: «o3eá dispari o 3 eá pari» eá V (a disgiunzione puoá anche essere enunciata cosõá: «3 o eá dispari o eá pari»). a b a _ b V V F V F V F V V F F F La disgiunzione escusiva si puoá anche esprimere usando i termini: aut daa ingua atina; xor in inguaggio informatico. 4 La ogica

5 L'impicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «se a aora b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se a prima proposizione eá vera e a seconda eá fasa, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico de'impicazione materiae eá! e va posto fra e due proposizioni: a! b a b a! b V V V V F F F V V F F V Ne'impicazione a! b, a proposizione a si dice premessa, a proposizione b si dice conseguenza. Per esempio: se a: «Le aquie sono uccei» (V) e b: «I eoni sono mammiferi» (V), a proposizione c ˆ a! b : «Se e aquie sono uccei aora i eoni sono mammiferi» eá V se a: «Io sono un ucceo» (F) e b: «Io voo» (F), a proposizione c ˆ a! b : «Se sono un ucceo aora voo» eá V. Osserva che anche ne inguaggio corrente siamo portati a dire che questa proposizione eá vera pur essendo fase e sue componenti se a: «MariaeÁ miope» (V) e b: «Maria vede bene da ontano» (F), a proposizione c ˆ a! b : «Se Maria eá miope aora vede bene da ontano» eá F. La coimpicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a se e soo se b». Tae proposizione si ritiene vera se e due proposizioni hanno o stesso vaore di veritaá (quindi se sono entrambe vere oppure entrambe fase), fasa negi atri casi. I simboo ogico dea coimpicazione materiae eá $ e va posto fra e due proposizioni: a $ b a b a $ b V V V V F F F V F F F V La coimpicazione eá sostanziamente una impicazione doppia; essa risuta quindi vera quando e due proposizioni a! b e b! a sono entrambe vere. Per esempio: se a: «15eÁ un numero primo» (F) e b: «15eÁ un numero dispari» (V), a proposizione c ˆ a $ b : «15 eá un numero primo se e soo se eá dispari» eá F se a: «parto» e b: «prendo 'autobus», a proposizione c ˆ a $ b : «parto se e soo se prendo 'autobus» eá V se parto usando come mezzo di trasporto 'autobus oppure se non parto e non prendo nemmeno 'autobus; eá fasa negi atri casi, per esempio se parto ma uso 'auto. Osservazione Le operazioni ogiche fondamentai sono soo e prime tre che abbiamo descritto: a negazione, a congiunzione e a disgiunzione incusiva. La ogica 5

6 Le atre si possono tutte descrivere in funzione di queste. Per esempio, vedremo ne prossimo paragrafo che 'operazione ogica a! b equivae aa proposizione a _ b, quindi un'impicazione si puoá esprimere mediante a negazione e a disgiunzione incusiva. EÁ tuttavia consuetudine introdurre anche e operazioni di disgiunzione escusiva e di impicazione sia percheâ sempificano a vautazione de vaore di veritaá di una proposizione compessa, sia percheâ si usano frequentemente in quaunque inguaggio; in particoare 'impicazione e a doppia impicazione verranno usate nee dimostrazioni dei teoremi. 3 ESPRESSIONI LOGICHE ED EQUIVALENZE z 3.1 Le espressioni ogiche Un quaunque ragionamento, anche i piuá sempice, eá composto, in generae, da piuá di due proposizioni; si possono aora costruire dee vere e proprie espressioni ogiche dee quai si puoá cacoare i vaore di veritaá. Per esempio: «Se durante 'anno studio e mi comporto bene, mio padre mi asceraá andare in vacanza con i miei amici, ma se non studio e non vengo promosso, credo proprio che in vacanza con i miei amici non ci androá». In questo ragionamento possiamo individuare acune proposizioni atomiche: a: «Durante 'anno studio» b: «Durante 'anno mi comporto bene» c: «Vado in vacanza con i miei amici» d: «Vengo promosso» Sinteticamente, usando i connettivi che rappresentano e operazioni che abbiamo studiato, possiamo riscrivere i ragionamento in questo modo: Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 23 a ^ b! cš^ a ^ d! cš La vautazione de vaore di veritaá di questo ragionamento dipende dai vaori di veritaá dee proposizioni atomiche che o compongono; supponiamo che sia: a V b F c F d V aora a ^ b eá F a ^ b! cš eá V a ^ d eá F a ^ d! cš eá V a ^ b! cš^ a ^ d! cš eá V Se conosciamo i vaore di veritaá di ogni proposizione di un'espressione ogica, per stabiire se essa eá vera oppure fasa basta appicare e regoe dee operazioni ogiche. In genere, peroá, si vuoe sapere come varia i vaore di veritaá di un'espressione a variare dei vaori di veritaá dee singoe proposizioni che a formano. Occorre aora costruire una tavoa di veritaá che contempi tutte e possibiitaá. Se con due proposizioni abbiamo 4 possibiitaá, quante ce ne saranno con tre, 6 La ogica

7 quattro, dieci proposizioni? Inotre, come possiamo essere sicuri di scrivere tutte? La risposta ad entrambe e domande si puoá ottenere costruendo un diagramma ad abero che incrementa i numero di proposizioni ad ogni ramificazione. In sostanza, a partire daa proposizione a, daa quae si dipartono i due rami che rappresentano e due possibiitaá V o F, si giunge aa proposizione b che puoá essere anch'essa V of;dab si passa a c ecosõávia fino ad esaurire e proposizioni. In figura 1 puoi vedere 'abero che si ottiene con tre proposizioni; basta adesso eggere i vaori di veritaá ungo ciascun percorso per avere tutti i casi possibii. Figura 1 Osserviamo poi che, poicheâ ad ogni nuova ramificazione i numero dei casi raddoppia, i numero compessivo di possibiitaá eá una potenza de 2: con una proposizione: 21 ˆ 2 casi; con due proposizioni: 22 ˆ 4 casi; con tre proposizioni: 23 ˆ 8 casi; e cosõá via. Per essere sicuri di scrivere tutte e possibiitaá, competiamo e coonne dea tavoa di veritaá in questo modo (osserva a tabea a ato nea quae eá rappresentato i caso di tre proposizioni): coonna dea prima proposizione: metaá casi di V e metaá casi di F 1 coonna dee seconda proposizione: 4 casi di V e 1 casi di F aternati 4 1 coonna dee terza proposizione: 8 casi di V e 1 casi di F aternati 8 e cosõá via fino a che ne'utima coonna vi eá una aternanza di V e F. In sostanza dimezziamo ogni vota i numero di casi di V e F rispetto a precedente. Vediamo aora attraverso acuni esempi come si vauta i vaore di veritaá di un'espressione ogica. Con n proposizioni i casi possibii sono 2 n a b c V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 1. Studiamo 'espressione ogica a _ b ^ a! b. Abbiamo a che fare con due proposizioni quindi abbiamo 4 casi possibii. Per a vautazione dea proposizione procediamo come nee espressioni numeriche determinando i risutato dee operazioni parziai; nee coonne successive a quee dove sono rappresentate e proposizioni atomiche vautiamo in successione e seguenti operazioni a _ b a a_ b ^ a e infine a _ b ^ a! b Ecco a tavoa: a b a_ b a a_ b ^ a a_ b ^ a! b V V V F F V V F V F F V F V V V V V F F F V F V La ogica 7

8 2. Vautiamo 'espressione a _ b ^a. a b a_ b a _ b a _ b ^a V V V F F V F V F F F V V F F F F F V F 3. Studiamo i vaore di veritaá de'espressione a _ b ^ a _ b! c. Con tre proposizioni abbiamo 8 possibiitaá; ecco a tavoa che risuta: a b c a b a_ b a _ b a_ b ^ a _ b a _ b ^ a _ b! c V V V F F V V V V V V F F F V V V F V F V F V V F F V V F F F V V F F V F V V V F F V F V F V F V F F V F V F F V V V V V V V F F F V V V V V F I precedenti esempi riguardano espressioni ogiche moto particoari percheâ ne primo caso abbiamo ottenuto che 'espressione eá sempre vera e ne secondo che eá sempre fasa. In ogica espressioni di questo tipo prendono nomi particoari. Si dice tautoogia un'espressione ogica che eá vera quaunque sia i vaore di veritaá degi enunciati che a compongono. TAUTOLOGIE ECONTRADDIZIONI Si dice contraddizione un'espressione ogica che eá fasa quaunque sia i vaore di veritaá degi enunciati che a compongono. Le tautoogie e e contraddizioni sono importanti percheâ definiscono proposizioni compesse che sono assoutamente vere o assoutamente fase, indipendentemente da vaore di veritaá dee proposizioni atomiche che e compongono. Non eá quindi importante da quai proposizioni sono formate; esse stabiiscono dee veritaá o dee fasitaá assoute. L'espressione ogica a _ b ^ a! b de'esempio 1 eá quindi una tautoogia, 'espressione a _ b ^a de'esempio 2. eá una contraddizione. Atri esempi di tautoogie sono i principi fondamentai che abbiamo introdotto ne primo paragrafo e che, facendo uso dei connettivi, possiamo scrivere cosõá: n principio di non contraddizione: una proposizione a non puoá essere contemporaneamente vera e fasa: a ^ a n principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa: a _ a 8 La ogica

9 z 3.2 Le equivaenze ogiche A vote capita che due espressioni ogiche formamente diverse, ma formate dae stesse proposizioni, abbiano a stessa tavoa di veritaá, come per esempio: e cui tavoe di veritaá sono a! b e a _ b a b a! b V V V V F F F V V F F V a b a a _ b V V F V V F F F F V V V F F V V Questo significa che, da punto di vista ogico, esse esprimono o stesso concetto, sono cioeá equivaenti; scriviamo aora che n a! b ˆ a _ b dove i simboo di uguagianza significa equivaenza ogica. Se anaizziamo anche e atre equivaenze ogiche riportate a ato dea pagina, ci accorgiamo che impicazione, coimpicazione e disgiunzione escusiva si possono reaizzare anche mediante i connettivi e, o, non; queste operazioni aora, come giaá anticipato ne'osservazione de precedente paragrafo, non sono fondamentai e sintetizzano sempicemente una opportuna combinazione dee operazioni di negazione, congiunzione e disgiunzione incusiva. Consideriamo adesso e due proposizioni a! b e b! a dee quai a seconda proposizione prende i nome di contronominae dea prima. Le rispettive tavoe di veritaá sono e seguenti: Atre equivaenze ogiche sono: n a $ b ˆ a _ b ^ a _ b n a _ b ˆ a _ b ^ a _ b PROPOSIZIONE CONTRONOMINALE a b a! b V V V V F F F V V F F V a b a b b! a V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Avendo ottenuto gi stessi vaori di veritaá possiamo concudere che: a proposizione a! b e a sua contronominae b! a sono ogicamente equivaenti. Per esempio dire: se Giovanni eá cattoico {z } aora eá cristiano {z } a! b equivae a dire: se Giovanni non eá cristiano {z } aora non eá cattoico {z } b! a La ogica 9

10 se un numero eá dispari {z } aora non eá divisibie per 6 {z } a! b equivae a dire: se un numero eá divisibie per 6 {z } aora non eá dispari {z } b ˆ b! a Enunciamo adesso acune equivaenze che rappresentano e proprietaá dee operazioni ogiche; a oro dimostrazione mediante a costruzione dee rispettive tavoe di veritaá puoá essere un utie esercizio di appicazione. n a ˆ a egge dea doppia negazione n a ^ a ˆ a e a _ a ˆ a proprietaá di idempotenza dea congiunzione e dea disgiunzione n a ^ a _ b ˆ a e a _ a ^ b ˆ a proprietaá di assorbimento n a ^ b ˆ b ^ a e a _ b ˆ b _ a proprietaá commutativa dea congiunzione e dea disgiunzione n a ^ b ^c ˆ a ^ b ^ c e a _ b _c ˆ a _ b _ c proprietaá associativa dea congiunzione e dea disgiunzione n a ^ b _ c n a _ b ^ c n a ^ b ˆ a _ b n a _ b ˆ a ^ b ˆ a ^ b _ a ^ c proprietaá distributiva dea congiunzione rispetto aa disgiunzione ˆ a _ b ^ a _ c proprietaá distributiva dea disgiunzione rispetto aa congiunzione prima egge di De Morgan seconda egge di De Morgan PROPRIETAÁ DELLE OPERAZIONI LOGICHE 1. Stabiiamo, appicando e proprietaá dee operazioni ogiche, se e seguenti sono equivaenze ogiche: a. a _ b _ a ^ c ˆ a ^ b ^ a _ c Appichiamo e eggi di De Morgan aa prima parte: a _ b _ a ^ c ˆ a _ b ^ a ^ c essendo: si ha che: a _ b ˆ a ^ b ˆ a ^ b e a ^ c ˆ a _ c ˆ a _ c a _ b ^ a ^ c ˆ a ^ b ^ a _ c Avendo ottenuto a seconda parte, si tratta di una equivaenza ogica. b. a $ b ˆ a _ b ^ a _ b Ricordiamo che a! b ˆ a _ b eche a $ b ˆ a! b ^ b! a. Possiamo aora riscrivere i primo membro de'uguagianza in questo modo: a $ b ˆ a! b ^ b! a ˆ a _ b ^ b _ a ˆ a _ b ^ a _ b Quea data eá quindi un'equivaenza ogica. 4 GLI ENUNCIATI APERTI Abbiamo visto che e proposizioni, in generae, sono costituite da forme verbai, i predicati, egate a degi argomenti. Quando un argomento non eá noto, non eá piuá possibie parare di proposizioni percheâ di queste frasi non si puoá dire se Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag La ogica

11 sono vere o fase, come per esempio ne caso dea frase x eá amico di Giuia "Essere amici di Giuia" esprime in questo caso a proprietaá che identifica acuni eementi di un insieme A di persone; A rimane in questo modo diviso in due parti: quea i cui eementi sono amici di Giuia, quea i cui eementi non sono amici di Giuia (figura 2). Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa prima parte, per esempio Matteo, si ottiene una proposizione vera: «Matteo eá amico di Giuia» Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa seconda parte, per esempio Luca, si ottiene una proposizione fasa: «Luca eá amico di Giuia» Figura 2 Un predicato esprime quindi una caratteristica reativa ad acuni eementi di un insieme. Gi argomenti di tae insieme vengono normamente indicati con una ettera minuscoa de'afabeto, di soito x, y o z, e di essi si dice che sono dee variabii. Per esempio, nee frasi: x eá cugino di Luca "essere cugini di Luca" eá i predicato x eá a variabie x ama y "amare" eá i predicato x e y sono e variabii Le frasi che sono formate da un predicato e da acuni argomenti incogniti si dicono enunciati aperti. Un enunciato aperto si indica con una ettera minuscoa de'afabeto seguita dai nomi dee variabii racchiuse in una coppia di parentesi tonde; per esempio: n px : «x eá maggiore di 8» eá un enunciato aperto con una soa variabie, e si ha che: p 10 : «10 eá maggiore di 8» (V) p 2 : «2 eá maggiore di 8» (F) p 1 : «1 eá maggiore di 8» (F) Gi enunciati aperti si chiamano anche proposizioni aperte. n qx, y : «x eá a capitae di y» eá un enunciato aperto con due variabii, e si ha che: q Parigi, Francia : «Parigi eá a capitae dea Francia» (V) q Roma, Germania : «Roma eá a capitae dea Germania» (F) L'insieme dei vaori che eá possibie attribuire ae variabii, indipendentemente da fatto che rendano a proposizione vera o fasa, si chiama dominio de'enunciato aperto. L'insieme dei vaori de dominio che rendono 'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaá. DOMINIO INSIEME DI VERITAÁ La ogica 11

12 Ne seguito indicheremo genericamente i dominio di un enunciato aperto con D e 'insieme di veritaá con a stessa ettera usata per indicare 'enunciato; per esempio, reativamente ai precedenti due esempi possiamo dire che: n i dominio di px eá un quaunque insieme numerico N, Z, Q o quache oro sottoinsieme, 'insieme di veritaá eá 'insieme P dei numeri di que'insieme che sono maggiori di 8; I dominio di un predicato rappresenta 'insieme ambiente, mentre 'insieme di veritaá eá un sottoinsieme de'insieme ambiente. n i dominio di qx, y eá 'insieme Q dee coppie x, y appartenenti a prodotto cartesiano A B dove A eá 'insieme dee cittaá, per esempio europee, B eá 'insieme degi Stati europei. Con gi enunciati aperti eá possibie eseguire e stesse operazioni ogiche che si eseguono con e proposizioni e, proprio per a corrispondenza che esiste fra un enunciato aperto e i suo dominio, esiste una perfetta corrispondenza fra e operazioni con i predicati e e operazioni con gi insiemi. In particoare, se D eá 'insieme dominio di due enunciati nea stessa variabie px e qx, P e Q sono i oro insiemi di veritaá, si verifica che: n a negazione di px eá 'enunciato aperto px ; i suo insieme di veritaá eá 'insieme P, compementare di P rispetto a D (figura 3a); LEOPERAZIONI CON GLI ENUNCIATI APERTI n a congiunzione eá 'enunciato aperto px ^ qx ; poicheâ si ottiene una proposizione vera soo per i vaori di x che soddisfano contemporaneamente entrambi i predicati, i suo insieme di veritaá eá P \ Q, cioeá 'intersezione degi insiemi di veritaá dei due enunciati (figura 3b); n a disgiunzione incusiva eá 'enunciato aperto px _ qx ; poicheâ si ottiene una proposizione vera per i vaori di x che soddisfano 'uno o 'atro dei due predicati, i suo insieme di veritaá eá P [ Q, cioeá 'unione degi insiemi di veritaá dei due enunciati (figura 3c). Figura 3 a. b. c. 1. Sia p x : «xeá un numero pari». I suo insieme ambiente eá 'insieme dei numeri naturai N, ma potrebbe anche essere 'insieme A ˆfx 2 N j x < 20g o un quaunque sottoinsieme di N. Avremo in questo caso che, per esempio, p 2 eá vero, p 6 eá vero, p 5 eá faso, p 17 eá faso. 2. Sia p x, y : «x y ˆ 10». Se consideriamo x e y entrambi variabii in N, i dominio eá 'insieme N N. In questo caso avremo che p 3, 5 eá faso, p 2, 8 eá vero, p 0, 10 eá vero, p 5, 8 eá faso. Se pensiamo x e y variabii ne'insieme Q dei numeri razionai 'insieme ambiente saraá 'insieme Q Q. In questo caso avremo che p 13 4, 27 eá vero, p 3 4 2, 23 eá vero, p 7, 2 eá faso La ogica

13 3. In un insieme di persone de quae fa parte anche Luigi, sia px :«x eá amico di Luigi» e qx :«x haa stessa etaá di Luigi»; aora: px ha come insieme di veritaá queo formato dae persone che non sono amiche di Luigi px ^qx ha come insieme di veritaá queo formato dai coetanei di Luigi che sono anche suoi amici px ^qx ha come insieme di veritaá queo formato dagi amici di Luigi che non hanno a sua etaá px _qx ha come insieme di veritaá queo formato dae persone che sono coetanee di Luigi o non gi sono amiche. 5 I QUANTIFICATORI Considera e seguenti frasi: a. «tutti gi uomini sono mortai» b. «non tutti gi animai hanno e ai» c. «quache animae ha e ai» d. «ogni numero negativo eá minore di ogni numero positivo» e. «esiste ameno un numero positivo» f. «non tutti i numeri naturai sono pari» g. «quache numero naturae eá pari». Di ciascuna di esse possiamo dire se eá vera o se eá fasa anche senza sapere di quae uomo si sta parando, o di quae animae, o di quae numero particoare. PiuÁ precisamente, quando diciamo «tutti gi uomini sono mortai», esprimiamo i fatto che ogni eemento x appartenente a'insieme degi uomini ha a proprietaá di essere mortae. Quando diciamo «quache animae ha e ai», esprimiamo i fatto che esiste ameno un eemento x appartenente a'insieme degi animai che ha a proprietaá di avere e ai. Le due vautazioni sono nettamente diverse: a prima esprime i fatto che una proprietaá eá vera per tutti gi eementi x di un insieme U, nessuno escuso; a seconda ci dice che a proprietaá eá vera soo per quache eemento de'insieme U, quindi uno soo, due, tre, anche infiniti, ma non eá necessario che essa sia vera per tutti gi eementi de'insieme. Ad esempio, ci sono infiniti numeri naturai che rendono vera a proposizione g., ma non tutti i numeri a verificano. In matematica si possono esprimere queste due situazioni introducendo dei simboi detti quantificatori. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 30 n I quantificatore universae, indicato con i simboo 8 (si egge «per ogni», «tutti»), esprime i fatto che una proprietaá eá vera per tutti gi eementi x di un insieme U. n I quantificatore esistenziae, indicato con i simboo 9 (si egge «esiste», «c'eá quache», «acuni»), esprime i fatto che una proprietaá eá vera per ameno un eemento x di un insieme U; garantisce dunque 'esistenza di un tae x. La ogica 13

14 Proviamo a riscrivere e proposizioni che hai etto a'inizio de paragrafo usando i quantificatori. a. 8 x 2fuominig, x eá mortae b. non 8 x 2fanimaig, x ha e ai c. 9 x 2fanimaig, x ha e ai d. 8 x 2 Q ^ 8 y 2 Q, x < y e. 9 x 2 Q, x eá positivo f. non 8 x 2 N, x eá pari g. 9 x 2 N, x eá pari. Una forma equivaente ai casi b. e f. eá a seguente che trasforma i simboo non 8 ne simboo 9 : b. 9x 2 fanimaig, x non ha e ai f. 9x 2 N, x non eá pari. I simboo 69 esprime a negazione di 9; significa «non esiste», «non c'eá acuno». Diremo per esempio che: 69 x 2 Q, tae che x 2 ˆ 2: «non esiste un x razionae i cui quadrato eá 2» 69 x 2fuominig, tae che x eá immortae: «non esiste un uomo che sia immortae» 69 x 2 N, tae che x 7 ˆ 2: «non c'eá acun numero naturae x che addizionato a 7 dia come risutato 2». 14 La ogica

15 Concetti chiave e regoe Le proposizioni Una proposizione eá una frase di senso compiuto dea quae si puoá stabiire se eá vera o se eá fasa. Le proposizioni obbediscono a due principi fondamentai: Principio di non contraddizione: una proposizione non puoá essere contemporaneamente vera e fasa. Principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa, non esistono atre possibiitaá. Le operazioni con e proposizioni Con e proposizioni si possono eseguire dee operazioni ogiche mediante i connettivi: a negazione di un enunciato a eá 'enunciato a (o anche : a)che muta i vaore di veritaá di a a congiunzione fra due enunciati a e b eá 'enunciato a ^ b che si considera vero soo se sono veri sia a che b a disgiunzione incusiva fra due enunciati a e b eá 'enunciato a _ b che si considera faso soo se sono fasi sia a che b a disgiunzione escusiva fra due enunciati a e b eá 'enunciato a _ b che si considera vero soo se a e b hanno vaori di veritaá diversi 'impicazione materiae fra due enunciati a e b eá 'enunciato a! b che si considera faso soo se a eá vero e b eá faso a coimpicazione materiae fra due enunciati a e b eá 'enunciato a $ b che si considera vero soo se a e b hanno o stesso vaore di veritaá. Le espressioni ogiche e 'equivaenza Con i connettivi si possono costruire espressioni ogiche fra enunciati (che sono gi operandi de'espressione)i cui vaore di veritaá si determina anaizzando e possibii combinazioni di Vero e Faso degi operandi. Quando un'espressione ogica eá sempre vera a variare de vaore di veritaá dei suoi operandi si para di tautoogia; quando eá sempre fasa si dice che eá una contraddizione. Due espressioni ogiche con gi stessi operandi che hanno a stessa tavoa di veritaá si dicono ogicamente equivaenti; in particoare sono ogicamente equivaenti: 'impicazione a! b e a sua contronominae b! a e espressioni a ^ b e a _ b (prima egge di De Morgan) e espressioni a _ b e a ^ b (seconda egge di De Morgan) I predicati e gi enunciati aperti Un enunciato aperto (o proposizione aperta) eá una frase composta da un predicato che ega tra oro acuni argomenti che sono variabii. L'insieme dei vaori che possono assumere e variabii costituisce i dominio dea proposizione aperta; i sottoinsieme de dominio che rende 'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaá. Anche con gi enunciati aperti si possono eseguire e stesse operazioni che si eseguono con e proposizioni; in particoare, indicati con a stessa ettera (maiuscoa)de proprio enunciato gi insiemi di veritaá e con D i dominio, si ha che: 'insieme di veritaá dea negazione di un enunciato px eá 'insieme P compementare di P rispetto a D 'insieme di veritaá dea congiunzione px ^ qx di due enunciati eá 'insieme P \ Q 'insieme di veritaá dea disgiunzione incusiva px _ qx di due enunciati eá 'insieme P [ Q. La ogica 15

16 I quantificatori Un enunciato aperto esprime spesso una proprietaá che acuni o tutti gi eementi di un insieme possiedono; per esprimere queste proprietaá si usano aora i quantificatori: i quantificatore universae, indicato da simboo 8 seguito da nome dea o dee variabii coinvote, esprime che una proprietaá p eá vera per tutti i vaori che e variabii possono assumere i quantificatore esistenziae, indicato da simboo 9 seguito da nome dea o dee variabii coinvote, esprime che una proprietaá p eá vera per ameno uno dei vaori che a variabie puoá assumere. Per indicare che una proprietaá p non eá verificata da nessuno dei vaori dea variabie si usa a negazione di questo quantificatore: 69x. 16 La ogica