La fattorizzazione dei polinomi

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1 La fattorizzazione dei poinomi Obiettivi scomporre un poinomio mediante: - raccogimenti a fattor comune - riconoscimenti di prodotti notevoi - a regoa de trinomio caratteristico - 'individuazione dei divisori co teorema di Ruffini - a regoa dea somma e dea differenza di potenze di uguae esponente cacoare M.C.D. e m.c.m. fra due o piuá poinomi MATEMATICA E REALTAÁ In un fim di avventura 'eroe di turno, per iberare 'amata dae grinfie de soito cattivo, deve trovare i uogo dove si narra che sia nascosto i tesoro degi Urvei, antica popoazione che a eggenda dice costruisse cittaá d'oro. Dopo aver affrontato mie pericoi, raggiunge infine i uogo segreto e si trova davanti a una porta di pietra che si potraá aprire soo dando a risposta esatta ad un quesito matematico; dare una risposta sbagiata gi costeraá, ahimeá, a vita. I quesito recita cosõá. Tre fieri eoni sono i custodi de tesoro e possiedono e tre chiavi d'accesso; i primo si svegia ogni n ore, controa a sua chiave e poi si riaddormenta, i secondo si svegia ogni n ore e i terzo ogni n ore; n ore fa tutti e tre erano svegi e tu, cavaiere soitario hai perso un'occasione per impadronirti dee tre chiavi. Ma non temere, non dovrai aspettare piuádi tre giorni; bada peroádi essere presente a prossimo risvegio comune o morirai. Se tu fossi i nostro eroe, dopo quanto tempo ti faresti trovare su posto? La souzione si puoá determinare appicando acune regoe de cacoo agebrico, in questo caso e regoe sua scomposizione dei poinomi e sua determinazione de m:c:m: Giochino a parte, queste regoe sono quee che ci aiuteranno a eseguire a maggior parte dei cacoi egati aa risouzione di equazioni, sistemi e, piuá in generae, probemi ad essi connessi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI

2 . CHE COS'E Á LA FATTORIZZAZIONE Fattorizzare o scomporre un poinomio significa potero vedere come prodotto di due o piuá poinomi; se poi ciascun poinomio di tae prodotto non eá uteriormente fattorizzabie, aora a scomposizione eá in fattori primi. Per esempio: poicheâ sappiamo che x x ˆ x 2 aora una scomposizione de binomio x 2 eá x x poicheâ sappiamo che 2x x 2 ˆ 2x 2 3x 2 aora una scomposizione de trinomio 2x 2 3x 2 eá 2x x 2 Poinomi come x 2 e 2x 2 3x 2 si dicono riducibii. Ci sono invece atri poinomi che non si possono scomporre, come per esempio x 2 (vedremo percheâ verso a fine de capitoo). Questi poinomi si dicono irriducibii. POLINOMI RIDUCIBILI E IRRIDUCIBILI Un poinomio eá riducibie se eá possibie scomporo ne prodotto di atri poinomi, tutti di grado inferiore a queo dato. Si dice irriducibie in caso contrario. Le regoe per eseguire a scomposizione di un poinomio non sono de tutto nuove percheâ si tratta, nea maggior parte dei casi, di eggere da destra verso sinistra e regoe giaá note su prodotto di poinomi e sui prodotti notevoi. 2. IL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE 2. I raccogimento totae Abbiamo giaá imparato ne precedente capitoo ad eseguire i raccogimento a fattor comune di un monomio in un poinomio P; ricordiamo a procedura ed appichiamoa a quache esempio: si individua i M:C:D: fra i monomi di P; esso, a meno di un coefficiente numerico che a vote puoá essere utie raccogiere, rappresenta i fattore comune da mettere in evidenza si scrive P come prodotto de fattore comune individuato per i poinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei monomi di P per tae fattore. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 2 LA REGOLA Per esempio: 2ay 2 3by 2 5cy 2 ˆ y 2 2a 3b 5c 7ax 3 4axy 2a 2 x 2 ˆ 7ax x 2 2y 3ax 2 ab2 4 a2 b 2 2 ab ˆ 2 ab b ab 2 Un raccogimento di questo genere si puoá fare anche quando i fattore comune, anzicheâ essere un monomio, eá un poinomio. Per esempio: 5x x 3 4 x 3 si puoá raccogiere i binomio x 3 tenendo presente che daa divisione di 2 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 ciascun addendo per x 3 otteniamo: 5x x 3 : x 3 ˆ 5x 4 x 3 : x 3 ˆ 4 Quindi 5x x 3 4 x 3 ˆ x 3 5x 4 a 2 3a a si puoá raccogiere i binomio a tenendo presente che daa divisione di ciascun addendo per a otteniamo: a 2 : a ˆ a 3a a : a ˆ 3a Quindi a 2 3a a ˆ a a 3a ˆ a 2a Dopo un raccogimento totae a fattor comune i numero di termini che si trovano a'interno dea parentesi deve essere uguae a numero dei termini de poinomio. E' sbagiato scrivere: 2ax 3bx x {z } tre termini E' corretto scrivere: ˆ x {z } 2a 3b due termini 2ax {z } 3bx x ˆ x {z } 2a 3b tre termini tre termini Attenzione agi errori 2.2 I raccogimento parziae In moti poinomi non esiste un fattore comune a tutti i termini da poter raccogiere; capita invece di frequente che ci siano dei fattori comuni soo a quache termine, come ne seguente caso: 2ay 2by ax bx i primi due termini hanno in comune i fattore 2y, i secondi due hanno in comune i fattore x Possiamo aora eseguire dei raccogimenti parziai mettendo in evidenza questi fattori comuni parziai: 2y a b x a b Quea che abbiamo ottenuto non eá ancora una scomposizione de poinomio di partenza percheâ abbiamo un'addizione, ma ci siamo messi nee condizioni di poter effettuare un raccogimento totae visto che a b puoá essere considerato un fattore comune ai due addendi; eseguendo i raccogimento otteniamo: a b 2y x che questa vota eá una scomposizione de poinomio in quanto prodotto di due binomi. Questo procedimento di raccogimento parziae a fattor comune eá quindi utie tutte e vote che rende possibie un successivo raccogimento totae; non serve invece se non si riesce a mettere in evidenza un fattore comune. Per esempio: 3x 6y x 2 2xy Raccogiamo 3 fra i primi due monomi e x fra i secondi due: 3 x 2y x x 2y I raccogimento eá stato utie percheâ abbiamo trovato un fattore comune (eá i binomio x 2y ); a scomposizione de poinomio dato eá quindi x 2y 3 x Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 3

4 3x 2xy 3ax 2a Raccogiamo x fra i primi due termini e a fra i secondi due: x 3 2y a 3x 2 Questa vota i raccogimento, anche se eseguito correttamente, non eá di nessuna utiitaá percheâ non ha messo in evidenza un fattore comune e per scomporre i poinomio, sempre che sia possibie, occorre procedere per atra via. ESEMPI. x a b 2a a b 3y a b fattore comune eá a b, quindi: x a b 2a a b 3y a b ˆ a b x 2a 3y 2. 6a 2 a 3a a ax a Tra i primi due addendi uno dei fattori comuni eá a, ma ne terzo troviamo a ; conviene aora raccogiere dapprima i segno "" ne'utima parentesi: 6a 2 a 3a a ax a fattore comune eá a a, raccogiendo otteniamo: a a 6a 3 x 3. bx xy 2ay 2ab I raccogimento parziae puoá essere fatto in diversi modi; per evidenziare i termini fra i quai eseguiamo i raccogimento, i sottoineiamo ao stesso modo: Prima possibiitaá: Seconda possibiitaá: bx xy 2ay 2ab ˆ x b y bx xy 2ay 2ab ˆ b x 2a 2a y b ˆ b y x 2a y x 2a ˆ x 2a b y 4. 2x 2 6ax 2x bx 3ab b I poinomio ha sei termini, quindi, in vista di un successivo raccogimento totae, possiamo raccogiere i suoi monomi in gruppi di due oppure in gruppi di tre. In gruppi di due monomi: Questo raccogimento non porta peroá a nua di utie. In gruppi di tre monomi: 2x 2 6ax 2x bx 3ab b ˆ 2x x 3a x b 2 b 3a 2x 2 6ax 2x bx 3ab b ˆ 2x x 3a b x 3a ˆ x 3a 2x b Questo esempio ci fa rifettere su fatto che, a vote e non sempre, se raccogiere in un certo modo non porta a nua di utie, un raccogimento di tipo diverso puoá risovere i probema. 5. In moti casi si deve usare una combinazione di queste due modaitaá di raccogimento, osserva questo esempio: 2x 2 y 4xy 2 2mxy 4my 2 Possiamo mettere in evidenza i fattore 2y per tutto i poinomio: 2y x 2 2xy mx 2my Raccogiamo adesso x fra i primi due termini a'interno dea parentesi, e m fra i secondi due: 2y x x 2y m x 2y Š Raccogiamo ora di nuovo a fattor comune totae a'interno dee parentesi quadre: 2y x 2y x m Š In definitiva a scomposizione de poinomio eá 2y x 2y x m in cui abbiamo eiminato e parentesi quadre percheâ superfue. 4 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 Gi esempi precedenti ci consentono di fare acune considerazioni sue modaitaá di raccogimento a fattor comune totae o parziae. n Innanzi tutto occorre verificare se esiste a possibiitaá di un raccogimento totae. n Se non vi eá tae possibiitaá, o se i poinomio ottenuto dopo i raccogimento o permette, bisogna raccogiere parziamente per gruppi di monomi di uguae numerositaá: a due a due, a tre a tre e cosõá via. In genere eá sconsigiabie, savo casi particoari che avremo modo di vedere in seguito, raccogiere un fattore fra gruppi di monomi di diversa numerositaá, per esempio un gruppo di tre monomi e un gruppo di due, percheâ cosõáfacendo non eá piuá possibie eseguire raccogimenti totai successivi. Per esempio, se per scomporre i poinomio ax 2 2ax 2bx 2 4bx 3a 6b raccogiamo x fra i primi quattro monomi e 3 fra gi utimi due otteniamo ax 2 2ax 2bx 2 4bx 3a 6b ˆ x ax 2a 2bx 4b 3 a 2b che non consente di eseguire un raccogimento totae. Invece raccogiendo a gruppi di tre ne modo indicato otteniamo ax 2 2ax 3a 2bx 2 4bx 6b ˆ a x 2 2x 3 2b x 2 2x 3 ˆ x 2 2x 3 a 2b n La sceta dei termini fra cui raccogiere a fattor comune parziae non segue regoe precise se non quea di cercare di arrivare aa possibiitaá di un successivo raccogimento totae; saraá 'esperienza man mano maturata a guidarti nee scete. n Come abbiamo visto ne'esempio numero 4, puoá capitare che un raccogimento parziae fatto in un certo modo non porti a poter concudere a scomposizione; prima di abbandonare questo metodo conviene tuttavia provare ad eseguire raccogimenti in un atro modo. VERIFICA DI COMPRENSIONE. Dato i poinomio ax 3 3a 2 x 2 4a 2 x 4 i piuá grande fattore che si puoá raccogiere eá: a. ax b. a 2 x 2 c. ax 2 d. a 2 x 4 2. Per eseguire a scomposizione de poinomio 2x 2 xy 2x y conviene come prima cosa: a. raccogiere a fattor comune x fra i primi tre termini; b. eseguire un raccogimento parziae de fattore x fra i primi due termini e de fattore fra i secondi due; c. eseguire un raccogimento parziae de fattore 2x fra i primo e i terzo termine e de fattore y fra i secondo e i quarto; d. eseguire un raccogimento parziae de fattore 2x fra i primo e i terzo termine e de fattore y fra i secondo e i quarto. Quai sono e procedure utii? 3. Scomponendo i poinomio ax 2 2ay 2 3bx 2 6by 2 mediante raccogimento parziae e poi totae si ottiene: a. x 2 2y 2 a 3b c. x 2 2y 2 a 3b b. x 2 2y 2 d. x 2 2y 2 a 3b a 3b Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 5

6 3. IL RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI Tutte e regoe che abbiamo imparato sui prodotti notevoi possono anche essere ette da destra verso sinistra per individuare i poinomi da cui provengono tai espressioni e rendere quindi possibie a oro scomposizione. Rivediamoi uno per uno. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 25 I quadrato di un binomio Ricordiamo e regoe: a 2 2ab b 2 ˆ a b 2 a 2 2ab b 2 ˆ a b 2 ˆ b a 2 Quindi se un poinomio eá costituito da tre addendi, due dei quai sono quadrati di monomi o di atri poinomi, c'eá a possibiitaá che tae trinomio provenga da un quadrato di un binomio; per stabiiro occorre verificare che i terzo termine sia proprio i doppio prodotto dee basi considerate. Se i doppio prodotto eá positivo, interporremo i segno fra e basi, se eá negativo i segno. a b 2 o b a 2 rappresentano a stessa espressione. Ne'individuare un quadrato i segno "" puoá essere attribuito indifferentemente a uno o a'atro dei monomi de binomio. ESEMPI. a 2 8a 6 # # a inotre 2 a 4 ˆ 8a quindi: a 2 8a 6 ˆ a x 2 2xy 4y 2 # # 3x 2 2y 2 inotre 2 3x 2y ˆ 2xy quindi: 9x 2 2xy 4y 2 ˆ 3x 2y 2 o anche 2y 3x a 2 6xy 9x 2 # # 2a 2 3x 2 ma 2 2a 3x ˆ 2ax quindi i trinomio dato non eá o sviuppo di un quadrato I cubo di un binomio Ricordiamo e regoe: a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ˆ a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ˆ a b 3 Aora se un poinomio eá costituito da quattro termini di cui due sono dei cubi, c'eá a possibiitaá che questo sia o sviuppo de cubo di un binomio. Per stabiiro occorre verificare che gi atri due termini siano i tripi prodotti dee basi secondo a regoa ricordata. Scrivere a b 3 o b a 3 non eá a stessa cosa ed eá quindi necessario individuare con precisione i monomio che eá preceduto da segno. ESEMPI. x 3 6x 2 y 2xy 2 8y 3 # # x 3 2y 3 inotre 3 x 2 2y ˆ 6x 2 y e 3 x 2y 2 ˆ 2xy 2, quindi: x 3 6x 2 y 2xy 2 8y 3 ˆ x 2y 3 6 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 2. a 6 9a 4 b 27a 2 b 2 27b 3 # # a 2 3 3b 3 inotre 3 a 2 2 3b ˆ 9a 4 b e 3 a 2 3b 2 ˆ 27a 2 b 2, quindi: a 6 9a 4 b 27a 2 b 2 27b 3 ˆ a 2 3b 3 I quadrato di un trinomio Ricordiamo a regoa: a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc ˆ a b c 2. Aora se un poinomio eá costituito da sei termini di cui tre sono dei quadrati, c'eá a possibiitaá che esso sia o sviuppo de quadrato di un trinomio. Per stabiiro occorre verificare che gi atri tre termini siano i oro doppi prodotti. ESEMPI. a 2 2ab b 2 4a 4b 4 # # # a 2 b inotre 2 a b ˆ 2ab 2 a 2 ˆ 4a 2 b 2 ˆ 4b quindi: a 2 2ab b 2 4a 4b 4 ˆ a b x 4 4x 2 y 3 6x 2 4y 6 2y 3 9 # # # x 2 2 2y inotre 2 x 2 2y 3 ˆ 4x 2 y 3 e poicheâ ne poinomio compare 4x 2 y 3, x 2 e 2y 3 sono discordi 2 x 2 3 ˆ 6x 2 e poicheâ ne poinomio compare 6x 2, x 2 e 3 sono concordi 2 2y 3 3 ˆ 2y 3 e poicheâ ne poinomio compare 2y 3, 2y 3 e 3 sono discordi Possiamo dunque concudere che: x 4 4x 2 y 3 6x 2 4y 6 2y 3 9 ˆ x 2 2y oppure x 2 2y Differenze di quadrati Ricordiamo a regoa: a 2 b 2 ˆ a b a b. Aora se un binomio eá costituito daa differenza di due monomi che sono dei quadrati, per scomporo basta individuare e basi dei due quadrati ed indicare i prodotto dea oro somma per a oro differenza. ESEMPI. 9x 2 y 2 # # 3x 2 y 2 quindi: 9x 2 y 2 ˆ 3x y 3x y 2. 25y 2 # # 5y 2 2 quindi: 25y 2 ˆ 5y 5y Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 7

8 3. a 3 2 x 2 # # a 3 2 x 2 quindi: a 3 xš a 3 xš ˆ ˆ a 3 x a 3 x 4. 9z 2 z 5 2 # # 3z 2 z 5 2 quindi: 3z z 5 Š 3z z 5 Š ˆ ˆ 3z z 5 3z z 5 ˆ ˆ 4z 5 2z 5 x 2 4 non eá uguae a x 2 2 percheâ manca i doppio prodotto x 3 27 non eá uguae a x 3 3 percheâ mancano i due tripi prodotti 4x 2 y 2 non eá uguae a 2x y 2 percheâ eá una differenza di quadrati Attenzione agi errori VERIFICA DI COMPRENSIONE. I poinomio x x eá uguae a: a. x 7 2 b. x 7 x 7 c. x I poinomio 9x 2 y 2 6x 6xy 2y eá uguae a: a. 3x y 2 b. 3x y 2 c. 3x y 2 3. La scomposizione de poinomio y 2 4b 2 eá: a. y 2b 2 b. 2b y 2b y c. y 2b y 2b 4. I poinomio 8x x 2 54x : a. eá i cubo di 2x 3 b. eá i cubo di 3 2x c. non proviene da un prodotto notevoe 4. IL TRINOMIO CARATTERISTICO Supponiamo di dover scomporre i poinomio a 2 3a 2. Non eá possibie fare dei raccogimenti a fattore comune significativi neâ riconoscere in esso i quadrato di un binomio. Possiamo peroá sostituire a posto di 3a a somma a 2a e scrivere i poinomio in questo modo: a 2 a 2a 2 Ora possiamo raccogiere a fattor comune prima parziamente, poi totamente: Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 32 a 2 a 2a 2 ˆ a a 2 a ˆ a a 2 Con questo artificio siamo riusciti a scomporre i poinomio dato. In sostanza abbiamo interpretato i coefficiente de termine di primo grado (cioeá 3) come a somma di due numeri (2 e ) che per prodotto danno proprio i termine noto, cioeá 2 2 ˆ 2 e 2 ˆ 3. Questa procedura puoá essere appicata a tutti i poinomi che hanno a forma a 2 3 a 2 somma 2 prodotto 2 x 2 a b x ab cioeá a tutti i trinomi di secondo grado che hanno: 8 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 i coefficiente de termine di secondo grado uguae a i coefficiente de termine di primo grado che si puoá esprimere come somma di due numeri a e b i termine noto che eá uguae a prodotto degi stessi due numeri a e b. Un poinomio di questo tipo si dice trinomio caratteristico e per scomporo si segue questa procedura: In definitiva, individuati i due numeri a e b si puoá scrivere che: x 2 a b x ab ˆ x a x b Scomponiamo, per esempio, i seguente poinomio appicando direttamente questa formua: x 2 5x 6 i due numeri che hanno prodotto 6 e somma 5 sono 2 e 3, quindi x 2 5x 6 ˆ x x 2 3 ˆ x 2 x 3 In pratica, per cercare i due numeri a e b conviene partire da oro prodotto (i termine noto de trinomio), scrivere tutte e coppie di numeri interi che danno que prodotto, cercare fra queste coppie quea che ha per somma i coefficiente de termine di primo grado. Se i prodotto eá un numero "sempice", come per esempio 2, non eá difficie scoprire che, indipendentemente da segno, esso si puoá vedere come prodotto in uno dei seguenti modi: Ma se i numero eá piuá "compesso", per esempio 36 o un numero piuá grande come si puoá fare? Esiste una regoa moto sempice: si scrivono i suoi divisori in ordine crescente si formano e coppie abbinando i primo e 'utimo, i secondo e i penutimo e cosõávia fino aa coppia dei due termini centrai o i numero centrae con seá stesso se ne rimane uno soo. Cerchiamo, per esempio, e coppie di numeri i cui prodotto eá 36 e a cui somma eá 5 : n si scrive i poinomio per esteso eseguendo a motipicazione indicata: x 2 ax bx ab n si effettua un raccogimento parziae fra i primi due e i secondi due monomi: x x a b x a n si esegue un raccogimento totae: i divisori di 36 sono: x a x b LA PROCEDURA PER ESEGUIRE LA SCOMPOSIZIONE x 2 s x p somma a b x a x b COME TROVARE LE COPPIE DI NUMERI IL CUI PRODOTTO EÁ UN NUMERO DATO prodotto ab prendiamoi a coppie: Le coppie cercate, a meno de segno, sono dunque: e 36 2 e 8 3 e 2 4 e 9 6 e 6 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 9

10 Poiche a somma deve essere 5 e i numero 36 eá positivo, dobbiamo attribuire a entrambi i numeri dee coppie un segno negativo; non eá difficie adesso scoprire che a coppia cercata eá: 3 e 2 ESEMPI. Scomponiamo x 2 5x 6 In questo caso a b ˆ 6 e a b ˆ 5. Quindi, poicheâ 6 si ottiene dai prodotti a coppia da scegiere eá quea che daá per somma 5, cioeá a coppia 3, 2 e a scomposizione eá: x 2 5x 6 ˆ x 3 x 2 2. Scomponiamo x 2 3ax 0a 2 I prodotto dei due numeri eá 0a 2 e a oro somma eá 3a: Quindi, poicheâ 0a 2 si ottiene dai prodotti a 0a a 0a 2a 5a 2a 5a a coppia che dobbiamo scegiere eá quea che ha per somma 3a, cioeá 5a e 2a. Aora x 2 3ax 0a 2 ˆ x 2a x 5a VERIFICA DI COMPRENSIONE. Si devono trovare due numeri a cui somma eá 3 e i cui prodotto eá 28; quai sono i due numeri? 28 si puoá vedere come prodotto di... fra e coppie individuate quea che ha somma 3 eá Scomponendo i poinomio x 2 2x 35 si ottiene: a. x 5 x 3 b. x 5 x 3 c. x 5 x 7 d. x 5 x 7 5. LA RICERCA DEI DIVISORI DI UN POLINOMIO 5. I criterio di divisibiitaá Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 35 Consideriamo a seguente uguagianza: x x 2 2x ˆ 2x 3 x 2 5x 2 Poiche 'espressione a primo membro eá i prodotto di tre binomi di primo grado, possiamo ritenere che essa rappresenti a scomposizione de poinomio a secondo membro, cioeá, eggendo a stessa uguagianza da destra verso sinistra: 2x 3 x 2 5x 2 ˆ x x 2 2x Questa considerazione puoá essere sfruttata quando non si riesce a scomporre un poinomio appicando uno dei metodi visti nei precedenti paragrafi. Si tratta in sostanza di ricercare quai possono essere i binomi divisori di un dato poinomio. Facciamo dapprima un esempio numerico. Possiamo dire che 0 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 poicheâ 434 : 7 ˆ 62 con resto eá divisibie per 7 e possiamo scrivere che 434 ˆ 62 7 Abbiamo in questo modo trovato una prima scomposizione de numero 434 anche se non eá ancora in fattori primi. poicheâ 27 : 3 ˆ 42 con resto 27 non eá divisibie per 3; in ogni caso possiamo scrivere che 27 ˆ 42 3 anche se questa non eá una scomposizione de numero 27. Possiamo procedere in modo anaogo per eseguire a scomposizione di un poinomio P x mediante a divisione per un binomio dea forma x a, dove a rappresenta un numero reae. Se indichiamo con Q x i poinomio quoziente dea divisione P x : x a e con R i resto, per e stesse considerazioni fatte su caso numerico, possiamo scrivere che: P x ˆ Q x x a R Nea divisione tra due poinomi, i grado de quoziente eá a differenza tra i gradi dei due poinomi. dove, se P x ha grado n, Q x ha grado n. Se adesso cacoiamo P a, cioeá sostituiamo aa variabie x i numero a, otteniamo che: P a ˆ Q a a a R cioeá, poicheâ a a ˆ 0 P a ˆ R Questo significa che, se eseguiamo a divisione P x : x a, i resto che otteniamo eá proprio uguae a P a. Per esempio, se vogiamo sapere qua eá i resto dea divisione 3x 2 4x : x 2, basta cacoare P 2 : P 2 ˆ ˆ 5 dunque R ˆ 5 Tutto questo eá riassunto ne seguente teorema. Teorema (de resto). Dato un poinomio P x e un binomio dea forma x a, i resto dea divisione P x : x a eá uguae a P a : R ˆ P a Questo teorema rappresenta un utie criterio per stabiire quando un poinomio P x eá divisibie per i binomio x a : P x eá divisibie per x a se e soo se P a ˆ 0. Se i binomio divisore ha a forma x a, aora R ˆ P a ESEMPI. Vogiamo stabiire se i poinomio P x ˆ 2x 4 7x 3 4x 2 7x 6 eá divisibie per i binomi indicati. a. x Dobbiamo cacoare R ˆ P : P ˆ ˆ 0 Avendo ottenuto resto zero, P x eá divisibie per x. b. x 2 Dobbiamo cacoare R ˆ P 2 : P 2 ˆ ˆ 84 Avendo ottenuto un resto non nuo, P x non eá divisibie per x 2. c. x 2 Dobbiamo cacoare R ˆ P 2 : P ˆ ˆ 0 Avendo ottenuto resto zero, P x eá divisibie per x 2. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI

12 5.2 La regoa di Ruffini per a divisione I quoziente tra i poinomio P x eá i binomio x a si puoá trovare appicando una regoa che prende i nome di regoa di Ruffini. Vediamo come procedere con un esempio e cacoiamo i quoziente di 3x 2 2x 5 : x 2 o passo. Si scrivono i coefficienti di P x su una stessa riga, ordinati secondo e potenze decrescenti dea variabie x, ricordando di scrivere 0 come coefficiente dei termini mancanti se i poinomio eá incompeto. Costruiamo uno schema de tipo riportato a ato. 2 o passo. Dopo aver scritto nea posizione contrassegnata con 'asterisco i vaore di a, ne nostro caso 2, si riscrive in basso i primo coefficiente 3. * o passo. Si motipica i vaore di a per i coefficiente de termine che abbiamo appena riportato ne'utima riga e si scrive i risutato nea coonna successiva. Ne nostro caso si cacoa 3 2 ed i risutato si incoonna a 2. 4 o passo. Si sommano gi utimi vaori incoonnati e si scrive i risutato ne'utima riga. Ne nostro caso si cacoa 2 6 e si scrive i risutato incoonnato ne'utima riga. 5 o passo. Si ripetono i passi 3 e 4 fino a che si esaurisce o schema. L'utimo risutato scritto, in questo caso 3, eá i resto dea divisione. EÁ possibie verificare a correttezza de procedimento appena descritto andando a vautare i resto con a tecnica descritta ne paragrafo precedente: R ˆ P 2 ˆ ˆ 3 I vaori scritti ne'utima riga, escuso i resto, ne nostro caso 3 e 4, rappresentano i coefficienti de poinomio quoziente, che, dovendo essere di un grado inferiore rispetto a queo di P x, saraá di primo grado: Q x ˆ 3x 4. Quindi: 3x 2 2x 5 ˆ 3x 4 x 2 3: coefficienti de poinomio quoziente resto ESEMPI. Cacoiamo 2x 2 x 3 : x. Impostiamo o schema dea divisione: P x ha grado 2, Q x ha grado ed eá Q x ˆ 2x 3 R ˆ 0 coeff. di x termine noto resto Possiamo quindi concudere che 2x 2 x 3 ˆ 2x 3 x. 2 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

13 2. Cacoiamo a 3 a 2 6a 8 : a P a ha grado 3, Q a ha grado 2ed eá Q a ˆ a 2 a 4 coeff. di x 2 coeff. di x termine noto resto Possiamo quindi concudere che a 3 a 2 6a 8 ˆ a a 2 4 a 2 3. Cacoiamo 2y 4 3y 3 2y : y Q y ˆ 2y 3 y 2 2y 6 R ˆ quindi: 2y 4 3y 3 2y ˆ 2y 3 y 2 2y 6 y La scomposizione con a regoa di Ruffini I teorema de resto e a regoa di Ruffini ci permettono di eseguire a scomposizione di un poinomio andando a ricercare i suoi divisori di primo grado. Per esempio, se vogiamo scomporre i poinomio P x ˆ 3x 3 x 2 8x 4, vediamo se tra i binomi de tipo x a troviamo quache divisore: P ˆ ˆ 0! i poinomio non eá divisibie per x P ˆ ˆ 0! i poinomio eá divisibie per x Eseguiamo a divisione con a regoa di Ruffini: Q x ˆ 3x 2 4x 4 Una prima scomposizione di P x eá data dunque da prodotto 3x 2 4x 4 x. Proviamo a scomporre i quoziente ottenuto; poicheâ P x non era divisibie per x, anche Q x non o eá; puoá darsi peroá che sia ancora divisibie per x : Q ˆ ˆ 3! i poinomio non eá divisibie per x Proviamo per atri binomi: Q 2 ˆ ˆ 0! i poinomio eá divisibie per x 2 Eseguiamo a divisione: Q 0 x ˆ 3x 2 e quindi Q x ˆ 3x 2 x 2 In definitiva, i poinomio P x si scompone ne prodotto x x 2 3x 2. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 3

14 In questa ricerca de binomio x a eventuae divisore di P x, se i coefficiente de termine di grado massimo eá uguae ad, ci aiuta una regoa: i vaori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori de termine noto di P x. LA REGOLA PER TROVARE I DIVISORI x a Questa regoa puoá essere estesa a caso in cui i poinomio P x ha i coefficiente de termine di grado massimo diverso da ; essa si enuncia dicendo che: i vaori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori de termine noto di P x e fra e frazioni che hanno a numeratore i divisori de termine noto e a denominatore i divisori de coefficiente de termine di grado massimo. Per esempio, dato i poinomio 2x 3 3x 2 x 6, poicheâ i divisori di 6 sono, 2, 3, 6 ed i divisori di 2 sono, 2, i vaori di a sono da ricercare fra i seguenti, 2, 3, 6, 2, 3 2. Ne poinomio x 3 4x 2 x 6 i vaori di a vanno ricercati tra i divisori di 6: ESEMPI. 3x 3 3x 2 2x 8 Cerchiamo i binomi x a possibii divisori de poinomio dato; i vaori di a vanno ricercati fra i divisori di 8, cioeá fra i numeri, 2, 4, 8 e fra e frazioni 3, 2 3, 4 3, 8 3. Conviene provare prima per i vaori interi di a; cacoiamo aora i vaori assunti da poinomio in corrispondenza di tai numeri fino a quando ne troviamo uno per cui P a ˆ 0 : P ˆ ˆ 0 6ˆ 0 P ˆ ˆ 0 Dunque i poinomio P x eá divisibie per x ; eseguiamo a divisione con a regoa di Ruffini: Q x ˆ 3x 2 0x 8 Una prima scomposizione de poinomio dato eá dunque a seguente: x 3x 2 0x 8 Per scomporre i trinomio 3x 2 0x 8 possiamo continuare nea ricerca dei divisori. Tenendo presente che non vae a pena di vautare Q percheá se i poinomio P x non era divisibie per x, non o eá nemmeno i quoziente Q x, ma che potrebbe ancora essere divisibie per x, cerchiamo gi atri divisori: Q ˆ ˆ 5 6ˆ 0 Q 2 ˆ ˆ 24 6ˆ 0 Q 2 ˆ ˆ 6 6ˆ 0 Q 4 ˆ ˆ 80 6ˆ 0 Q 4 ˆ ˆ 0 i poinomio eá divisibie per x 4 Eseguiamo a divisione: Q x ˆ 3x 2 In definitiva: 3x 3 3x 2 2x 8 ˆ x x 4 3x 2. 4 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

15 Daa ricerca dei divisori di un poinomio possiamo dedurre atre regoe di scomposizione che risutano particoarmente utii. Somme e differenze di cubi In base a teorema di Ruffini: n un poinomio de tipo x 3 a 3 eá sempre divisibie per x a; infatti: P a ˆ a 3 a 3 ˆ a 3 a 3 ˆ 0 Eseguendo a divisione con a regoa di Ruffini troviamo: 0 0 a 3 a a a 2 a 3 a a 2 0 quindi x 3 a 3 ˆ x a x 2 ax a 2 n un poinomio de tipo x 3 a 3 eá sempre divisibie per x a; infatti: P a ˆ a 3 a 3 ˆ 0 Eseguendo a divisione con a regoa di Ruffini troviamo: 0 0 a 3 a a a 2 a 3 a a 2 0 quindi x 3 a 3 ˆ x a x 2 ax a 2 Ricordare queste regoe eá facie se si tiene presente i seguente schema: x 3 a 3 ˆ x a {z } somma dee basi x 2 ax a 2 quadrato dea prima base quadrato dea seconda base prodotto cambiato di segno dee due basi x 3 a 3 ˆ x a {z } differenza dee basi x 2 ax a 2 Si verifica poi che i poinomi ottenuti da quoziente, cioeá x 2 ax a 2 e x 2 ax a 2 non si possono scomporre uteriormente, sono cioeá irriducibii. Per esempio: x3 27 ˆ x 3 x 2 3x 9 8y 3 ˆ 2y 4y 2 2y basi dee potenze x e 3 basi dee potenze 2y e Somme e differenze di potenze in genere Quaunque differenza di potenze pari puoá essere interpretata come una differenza di quadrati ed essere scomposta con a stessa regoa. Non eá invece possibie scomporre una somma di potenze pari considerandoe come dei quadrati. Per esempio: x 4 si puoá considerare una differenza di quadrati: x 4 ˆ x 2 x 2 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 5

16 I fattore x 2 si puoá uteriormente scomporre come differenza di quadrati, mentre i fattore x 2 eá irriducibie; in definitiva: x 4 ˆ x 2 x 2 ˆ x x x 2 x 6 non si puoá scomporre come somma di quadrati; tuttavia, considerando che x 6 ˆ x 2 3, i binomio puoá essere scomposto come somma di cubi: x 6 ˆ x 2 x 4 x 2 x 6 si puoá iniziamente scomporre come una differenza di quadrati e poi appicare a regoa sua somma e differenza di cubi: x 6 ˆ x 3 x 3 ˆ x x 2 x x x 2 x Le somme di potenze pari non si possono scomporre: x 2 4 non eá uguae a x 2 x 2 non eá nemmeno uguae a x 2 2 x 2 4 eá irriducibie Nea scomposizione dea somma e dea differenza di cubi i poinomio di secondo grado che si ottiene assomigia a un quadrato, ma non eá un quadrato x 3 8 ˆ x 2 x 2 2x 4 ed eá sbagiato proseguire in questo modo: x 3 8 ˆ x 2 x 2 2x 4 ˆ x 2 x 2 2 Poinomi de tipo di x 2 2x 4 non rappresentano i quadrato di un binonio percheâ vi eá i prodotto sempice dee due basi e non i doppio prodotto; essi si chiamano fasi quadrati. Attenzione agi errori VERIFICA DI COMPRENSIONE. Stabiisci se i poinomio P x ˆ 3x 3 4x 2 x 8 eá divisibie per i binomi x, x, x 2. DivisibiitaÁ per x : cacoa P ˆ :::::::::::::::: divisibie: DivisibiitaÁ per x : cacoa P :::: ˆ :::::::::::::: divisibie: DivisibiitaÁ per x 2 : cacoa P :::: ˆ :::::::::::::: divisibie: 2. Dato i poinomio 3x 3 x 2 0x 8 e considerati i divisori dea forma x a : a. eenca quai possono essere i vaori di a :... b. scegi fra i seguenti quai sono suoi divisori: x x 4 x 2 x x 2 c. a sua scomposizione eá: x x 2 3x 4 x x 2 3x 2 x x 2 3x 4 x x 4 3x SI SI SI NO NO NO 3. I binomio 8a 3 si scompone in: a. 2a 4a 2 2a b. 2a 4a 2 2a c. 2a 4a 2 2a d. 2a 2a 6 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

17 6. SINTESI SULLA SCOMPOSIZIONE Quando si deve scomporre un poinomio bisogna guardare bene a sua forma per capire quae, fra i metodi che abbiamo visto, eá i piuá adatto. In generae, conviene seguire una procedura di questo tipo: n verificare se eá possibie eseguire un raccogimento totae n verificare se eá possibie eseguire un raccogimento parziae finaizzato a un raccogimento totae n verificare se i poinomio puoá essere o sviuppo di un prodotto notevoe o deriva da una regoa particoare; importante in questo caso eá contare i numero dei suoi termini; per esempio: se ne ha due puoá essere una differenza di quadrati oppure una somma o una differenza di cubi, se ne ha tre puoá essere i quadrato di un binomio o un trinomio caratteristico e cosõá via n trovare i suoi divisori dea forma x a appicando i teorema di Ruffini ed eseguire e divisioni n usare una combinazione dei metodi precedenti. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 39 ESEMPI. 4ax 6x 2 2ay 3xy si puoá eseguire un raccogimento parziae: eseguiamo adesso un raccogimento totae: 2x 2a 3x y 2a 3x 2a 3x 2x y 2. ay 3 27ax 3 si puoá eseguire un raccogimento totae: a y 3 27x 3 i binomio nee parentesi eá una differenza di cubi: a y 3x y 2 3xy 9x a 2ax 2ax 2 si puoá eseguire un raccogimento totae: 2a 9 6x x 2 i poinomio fra parentesi eá i quadrato di un binomio: 2a x a 2 x 2y 2 eá una differenza di quadrati: 3a x 2y Š 3a x 2y Š ˆ 3a x 2y 3a x 2y 5. 3bx 2 3bx 6b si puoá eseguire un raccogimento totae: 3b x 2 x 2 i trinomio nea parentesi eá caratteristico: 3b x x 2 7. M.C.D. e m.c.m. TRA POLINOMI Accade spesso che due o piuá poinomi abbiano uno stesso poinomio divisore, che in questo caso si chiama divisore comune. Quando eá possibie determinare, fra tutti i divisori comuni a due o piuá poinomi, queo di grado piuá eevato, si dice che si eá trovato i Massimo Comun Divisore. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 43 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 7

18 Per determinare i M.C.D. fra due o piuá poinomi: n si scompongono i poinomi in fattori; n si scrive i prodotto dei soi fattori comuni con 'esponente piuá piccoo con cui compaiono. LE REGOLE Se un poinomio eá divisibie per atri poinomi, si dice che esso eá un mutipo comune a tai poinomi. Due o piuá poinomi possono avere infiniti mutipi comuni, queo di grado meno eevato si chiama minimo comune mutipo. Per determinare i m.c.m. fra due o piuá poinomi: n si scompongono i poinomi in fattori; n si scrive i prodotto dei fattori comuni e non comuni con 'esponente piuá grande con cui compaiono. I M.C.D. e i m.c.m. si possono sempre trovare quando siamo sicuri di aver scomposto i poinomi in fattori irriducibii. Quando non abbiamo questa certezza percheâ, per esempio, nea fattorizzazione troviamo dei poinomi di grado superiore a primo che, per quache motivo, non riusciamo a scomporre con i metodi che abbiamo visto, possiamo soo parare di divisori comuni e di mutipi comuni. ESEMPI Cacoiamo M.C.D. e m.c.m. fra i seguenti poinomi.. 8x 2 6xy 8y 2 ; 4x 4 4x 2 y 2 ; 2x 2 2xy Scomponiamo in fattori i tre poinomi: 8x 2 6xy 8y 2 ˆ 8 x 2 2xy y 2 ˆ 8 x y 2 4x 4 4x 2 y 2 ˆ 4x 2 x 2 y 2 ˆ 4x 2 x y x y 2x 2 2xy ˆ 2x x y M:C:D: ˆ 4 x y m:c:m: ˆ 24x 2 x y 2 x y 2. x 4 5x 3 5x 2 5x 6; x 3 x 2 x Scomponiamo iniziamente i primo poinomio con a regoa di Ruffini: P ˆ ˆ 0, quindi eá divisibie per x Q x ˆ x 3 6x 2 x 6 x 4 5x 3 5x 2 5x 6 ˆ x x 3 6x 2 x 6 ˆ x x 2 x 6 x 6 Š raccogimento parziae nea seconda parentesi ˆ x x 6 x 2 raccogimento totae Osserviamo che x 2 eá irriducibie e quindi non si puoá procedere otre nea scomposizione. 8 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

19 x3 x 2 x ˆ x 2 x x ˆ x x 2 ˆ x x x ˆ x 2 x Aora: M:C:D: ˆ x m:c:m: ˆ x 2 x 6 x 2 x VERIFICA DI COMPRENSIONE. Scomponi i seguenti poinomi: 2a 2 x 3abx ˆ :::::::::::::::::::::: 2a 2 x 2 3abx 2 ˆ :::::::::::::::: 4a 3 x 9ab 2 x ˆ ::::::::::::::::: I oro M:C:D: eá uguae a...; i oro m:c:m: eá uguae a... Determina adesso i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni: a. un divisore comune eá a 2 b. un divisore comune eá x c. un mutipo comune eá 8a 2 x 2 2a 3b 2a 3b d. un mutipo comune eá a 2 2a 3b 2. V V V V F F F F Su sito trovi... i aboratorio di informatica gi esercizi dae Gare di matematica i probemi di Matematica e ReataÁ e attivitaá di recupero Si tratta di cacoare i m:c:m: fra i poinomi n n n. I m:c:m: cercato eá uguae a n n n Dunque, se i primo eone era svegio n ore fa, i prossimo risvegio comune saraá fra un numero di ore pari a R ˆ n n n n ˆ n n n Š ˆ n n 2 2 Osserviamo che R eá un numero positivo soo se n 2 ed eá: n ˆ 2! R ˆ 4 n ˆ 3! R ˆ 2 n ˆ 4! R ˆ 56 n ˆ 5! R ˆ 5 Poiche non conosciamo i vaore di n, ma sappiamo che non si deve aspettare piuá di tre giorni, i nostro eroe, se non vuoe morire, dovraá essere davanti aa porta fra 4 ore, oppure fra 2 ore, oppure fra 56 ore. La risposta a quesito iniziae Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 9

20 I concetti e e regoe La fattorizzazione Scomporre un poinomio significa scrivero come prodotto di due o piuá poinomi, possibimente non uteriormente scomponibii. I metodi per eseguire a scomposizione si basano sui seguenti criteri: i raccogimenti a fattor comune parziae o totae i riconoscimento di prodotti notevoi a regoa de trinomio caratteristico 'individuazione dei divisori dea forma x a. Come eseguire una fattorizzazione Nea pratica, per scomporre un poinomio conviene tenere presenti, in successione, e seguenti considerazioni: controare se eá possibie eseguire un raccogimento totae o parziae riferirsi a regoe particoari guardando i numero dei termini de poinomio; se eá un: - binomio differenza di quadrati x 2 a 2 ˆ x a x a somma di quadrati x 2 a 2 irriducibie somma di cubi differenza di cubi x 3 a 3 ˆ x a x 2 ax a 2 x 3 a 3 ˆ x a x 2 ax a 2 - trinomio - quadrinomio quadrato di un binomio trinomio caratteristico cubo di un binomio differenza di due quadrati a 2 2ab b 2 ˆ a b 2 x 2 a b x ab ˆ x a x b a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ˆ a b 3 a 2 2ab b 2 x 2 ˆ a b 2 x 2 ˆ a b x a b x - poinomio di sei termini puoá essere i quadrato di un trinomio a 2 4b 2 9 4ab 6a 2b ˆ a 2b 3 2 puoá essere a differenza dei quadrati di due binomi a 2 2a x 2 2xy y 2 ˆ ˆ a 2 2a x 2 2xy y 2 ˆ ˆ a 2 x y 2ˆ ˆ a x y a x y cercare i divisori dea forma x a con i teorema di Ruffini. M.C.D. e m.c.m. fra poinomi I M:C:D: fra due o piuá poinomi giaá fattorizzati eá i prodotto dei soi fattori comuni con i minimo esponente. I m:c:m: fra due o piuá poinomi giaá fattorizzati eá i prodotto dei fattori comuni e non comuni con i massimo esponente. 20 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

21 La fattorizzazione dei poinomi IL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE a teoria eá a pag. 2 RICORDA Per poter eseguire un raccogimento totae, i M:C:D: fra i monomi de poinomio deve essere diverso da ; in questo caso si appica poi a proprietaá di raccogimento: 3x 6x 2 ˆ 3x 3x 2x ˆ 3x 2x " " fattore comune 3x Per eseguire un raccogimento parziae, si raccogie i M:C:D: fra gruppi di monomi in modo da ottenere poinomi uguai nee parentesi e poter procedere successivamente ad un raccogimento totae: fattore comune 2a # # 3by 2ay 2a 3b ˆ 3b y 2a y ˆ y 3b 2a " " " " fattore comune 3b fattore comune y Comprensione Le seguenti uguagianze sono tutte vere; acune di esse sono scomposizioni dei poinomi indicati a primo membro, atre non o sono. Indica quai sono e scomposizioni. a. a 2 x 2 4a 2 ˆ ax 2a ax 2a b. 9y 3 6y 2 y ˆ y 3y 2 c. x 2 4x ax 4a ˆ x x 4 a x 4 d. a 4 8ax 3 ˆ a a 2x a 2 2ax 4x 2 2 Per scomporre i poinomio 2ax 2 3ax a 2 x 2 a mediante un raccogimento a fattor comune totae si deve raccogiere: a. ax b. a 2 x 2 c. a d. x 3 Dato i poinomio 2x 2xy a ay 6bx 3ab, indica quai fra i seguenti raccogimenti parziai a fattor comune sono utii per un successivo raccogimento totae: a. 2x 2xy a ay 6bx 3ab ˆ 2x y b. 2x 2xy a ay 6bx 3ab ˆ 2x a a y 3b 2x a y 2x a 3b 2x a Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 2

22 c. 2x 2xy a ay 6bx 3ab ˆ 2x y 3b a y 3b d. 2x 2xy a ay 6bx 3ab ˆ 2x 3b y 2x a a 3b 4 Dato i poinomio x y 2ax 2ay bx by, esegui i raccogimenti fra i termini sottoineati con o stesso coore e indica quai di essi sono utii per scomporre i poinomio: a. x y 2ax 2ay bx by ˆ x y :::::::::::::::::::::::::::: b. x y 2ax 2ay bx by ˆ ::::::::::::::::::::::::::: c. x y 2ax 2ay bx by ˆ ::::::::::::::::::::::::::: Appicazione Scomponi i seguenti poinomi mediante raccogimenti totai. 5 ESERCIZIO GUIDA 3ax2 y 2x 2 y 2 5ax 2 y 2 I M:C:D: fra tutti i monomi che compongono i poinomio eá x 2 y; eseguiamo e divisioni: 3ax 2 y : x 2 y ˆ 3a 2x 2 y 2 : x 2 y ˆ 2y 5ax 2 y 2 : x 2 y ˆ 5ay Dunque: 3ax 2 y 2x 2 y 2 5ax 2 y 2 ˆ x 2 y 3a 2y 5ay 2b2 x 2ab 2 x 4bx 2 I M:C:D: fra tutti i monomi de poinomio eá 2bx : 2b 2 x 2ab 2 x 4bx 2 ˆ 2bx b ab 2x 3x2 2y Poiche M:C:D: fra i monomi de poinomio eá, non si puoá scomporre con un raccogimento totae. 6 ESERCIZIO GUIDA 5x 3 20x 7 5x 2 ˆ 5x 2 :::::::::: :::::::::: :::::::::: 3a 2 b 3ab 2 6ab ˆ 3ab :::::::::: :::::::::: :::::::::: 3 a2 x 2 2 a3 x 2a 2 x ˆ a 2 x :::::::::: :::::::::: :::::::::: 7 3ab 9a 2 ; 9x 4 6x 3 3a b 3a, 3x 3 3x 2 8 y 4 2 y; 5a3 5a 2 y y 3, 5a 2 a x3 y 6 5xy 2 ; 3xy 2y 2 8x 2 y xy 2 5 x2 y 4 5, 3y x 4y 6x 2 0 4ab 5a 3a 2 ; 8a 3 x 2a 2 4a 6 y a 4b 5 3a, 2a 2 4ax 2a 4 y 3a 3 b 2 26ab 3 39ab; x 3 ax 2 4a 2 x 3ab a 2 b 2b 2 3, x x 2 ax 4a x2 3x 2 3 a; 3 x3 2 x6 3x 2 irriducibie, x 2 3 x 2 x x 3 2x 2 x; 6a 3 2ab 3 24a 2 b 2 x 5x 2 2x, 6a a 2 2b 3 4ab 2 22 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

23 4 2z 2 2az az 3 ; 3by 4b 2 y 5 z 2z 2a az 2, irriducibie 5 2 x2 y 4 xy xy; 3a2 b 4 27a 2 b 3 24a 3 b 2 2 xy x 2 y 3, 3a 2 b 2 b 2 9b 8a 6 7abc 2ab 2 c 3 4ab 3 c 7a 2 b 3 c 2 7abc 3bc 2 2b 2 ab 2 c Š 7 5x 3 y 2 0xy 3 20x 3 y 3 5xy 2 x 2 2y 4x 2 y 8 3a 2 b 4 27ab 3 24a 3 b 2 3ab 2 ab 2 9b 8a 2 Š 9 32x 2 y 2 20x 4 y 2 6xy 4 4xy 2 8x 5x 3 4y 2 Š 20 6xy 2 z 2x 2 yz 2 8xy 2 z 2 6xyz y 2xz 3yz Š 2 8x 2 y 3 0x 3 y 2 6x 4 y 3 2x 2 y 2 4y 5x 3x 2 y Š x2 y x4 y x2 y 3 3 x2 y 2 2 4x 2 y 7 3 y 23 3x 2 y 4 6x 3 y 4 2x 3 y 5 8xy 6 3xy 4 x 2x 2 4x 2 y 6y 2 Š 24 8xy 2 z 2x 2 y 3 z 6x 3 z 6xz 3 2xz 4y 2 6xy 3 8x 2 3z 2 Š a2 bx 3 abx 5 3 ab2 x 2 3 abx2 abx 7a 5b 2x 3 26 ESERCIZIO GUIDA x 2y 3 y 2y 3 2y 3 I fattore comune eá i binomio 2y 3 ; eseguiamo e divisioni: x 2y 3 : 2y 3 ˆ x y 2y 3 : 2y 3 ˆ y 2y 3 : 2y 3 ˆ Dunque: x 2y 3 y 2y 3 2y 3 ˆ 2y 3 x y 5x 2x y x2 2x y 3x 2x y 2 I fattore comune eá x 2x y ; mettiamoo in evidenza: 5x 2x y x x 2x y 3 2x y x 2x y Raccogiamo a fattor comune: x x 2y 5 x 3 2x y Š Svogendo i cacoi a'interno dea parentesi quadra otteniamo: x 2x y 5 5x 3y 27 3 a 2x a 5y a a 3 2x 5y Š 28 7 x 2 y 2 3 x 2 y 2 a x 2 y 2 x 2 y 2 0 a 29 3x a b y a b a b a b 3x y Š 30 y 2x a y 2x 2b y 2x y 2x a 2b Š 3 5x a b 5y a b a b a b 5x 5y Š 32 a x 2 2y z 3 2b x 2 2y z 3 c x 2 2y z 3 x 2 2y z 3 a 2b c 33 a b 3 2 a b 5 a b 3 2 a b a x y 2 2b x y 4 5 x y 3 x y 2 3a 2b x y 2 5 x y 35 a 2b 2 a 2b 3 a 2b a 2b a 2b 2 3 a 2b Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 23

24 36 5 3x y 3 3x y 4a y 3x 3x y 5 3x y 3 3x y 4a 37 a b a 2b a b 2a b 5a 3b a b 4 a b a b 38 3a a 5b 2 4b a 5b a b 3a a 5b a b 4b 2a b a 5b Š 39 42x 2 y 3 a 2ax 3 y 2 a 2xy a 2xy a 2xy 2 ax 2 y 6 40 x y 2 x y x y x y 2 x y 2 x y x y x y x 3y Š 4 2a 3x y 42 5xy a 2b 3a 2 3x y 6a y 3x a y 3x 9ax 3ay 4 Š 5xy 2b a 20xy 2 a 2b 5xy 2b a 6b 3a 4y Scomponi i seguenti poinomi in fattori mediante raccogimenti parziai e totai. 43 ESERCIZIO GUIDA 2x 2 ax a ˆ 2 x a x ˆ x 2 a 2 a 44 ESERCIZIO GUIDA x 3 y 2 x 2 y 3 5x 5y ˆ x 2 y 2 :::::::::: 5 :::::::::: ˆ ::::::::::::::: x 2 y 2 3a 5 6a 2 4ab 3a 2b ˆ 3a :::::::::: 2b :::::::::: ˆ :::::::::: 2b x 2 4xy 2x 8y ˆ x :::::::::: 2 :::::::::: ˆ ::::::::::: x ax 3b 2a 3bx 46 6x 3 6x 2 5x 5 47 ay 2by 3a 2 6ab x 2a 3b Š x 6x 2 5 a 2b y 3a Š 48 ax bx 3ay 3by a b x 3y Š 49 3a 3 2a 2 b 3ab 2 2b 3 a 2 b 2 2b 3a 50 x 3 2 xy 3 2 y x 3 2 y 5 4 ax 3by 4 ay 3bx a 3b x y x 3 2x 6x 2 2x 3 2x 2 53 abx 2 acx b 2 x bc ax b bx c Š 54 6ax 3ay 2x 2 xy 2x y 3a x Š 55 4x 3 7x 2 y 6xy 3y 2 7x 2 3y 2x y 24 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

25 56 2ax 2az bx by 2ay bz 2a b x y z 57 x 2 xy xz xy 2 z 2 y 3 z 2 y 2 z 3 x y 2 z 2 x y z 58 3 a 3 x ab bx 2 ac cx 2 a x 3 b 2 c 59 2ax ay a 2 4bx 2by 2ab a 2b 2x y a ax by 3 ay 3 az bz 2bx 3 a b 2x y z 6 2a 2b 2 ay by b a 2 a b 2 2 y a b x y 5y 5 2 x 5 2 x y 2 x y 63 5a x y 2 3 x y 3 3ax 3ay x y 3 x y 2 5a x y 3a 64 3ay 2 3xy 2 3a 2 y 2 3axy 2 3y 2 a x a 65 7a 2 7ab 4a a b 2 3a a b 4a a b a b Š 66 3 x2 3 xy 2 9 x y x2 5 9 xy 2 y x y 9 67 x 3 4x 2 y 3xy x 4y xy 2 4y 3 x 4y 3xy x 2 y ab 2 2b 3 4b a b a b a b a 2 6ab 7b ab x 3y 2a 2 b 3y x 2ab 2 x 6ab 2 y 2ab x 3y 2 a b 70 2xy 2b x 3 4xy x 2b 2 x 2 y 2 2b x h i 2 xy x 2b 2 4b 2x xy 4 CORREGGI GLI ERRORI 7 2ax 3bx x ˆ x 2a 3b 72 3x 2 ax x 3bx ab ˆ x 3x a b 3x a ˆ x b 3x a 73 by 2b y 2 ˆ b y 2 y 2 ˆ y 2 b 74 x ax a 2bx 2b ˆ x a x 2b x ˆ x a 2b 75 a 5 a 2 b 5 b 2 ˆ a 2 a 3 b 2 b 3 ˆ b 3 a 3 a 2 b 2 IL RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI a teoria eá a pag. 6 RICORDA Per a scomposizione di un poinomio eá importante saper riconoscere prodotti notevoi; in particoare: a2 2ab b 2 ˆ a b 2 ricorda poi che a b 2 ˆ b a 2 a2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc ˆ a b c 2 a2 b 2 ˆ a b a b a3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ˆ a b 3 ricorda poi che a b 3 ˆ b a 3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 25

26 Comprensione 76 Indica quai fra i seguenti poinomi rappresentano dei quadrati di binomi o trinomi: a. y 4 y 2 4 b. 4x 2 8xy 6y 2 c. 4b 4 a 4 4a 2 b 2 d. 4 b2 9 a4 3 a2 b e. 4ab ac 2bc a 2 4b 2 4 c2 f. 30a 20b 2ab 9a 2 4b 2 25 g. 6y 2x 2xy 4 x2 4y Soo una fra e seguenti eá a scomposizione corretta de poinomio 9x 2 25y 2 ; individuaa: a. 9x 5y 9x 5y b. 3x 5y 2 c. 3x 5y 3x 5y d. 3x 5y 2 78 Associa ai poinomi A, B, C a propria scomposizione scegiendoa fra quee indicate: A: 4ax 2 4ax a B: 8x 3 8 y3 3 2 xy2 6x 2 y C: x 4 xy 3 3x 3 y 3x 2 y 2 x x y 3 2x 3 2 y 4a x 2 4ax x a a 2x 2 ± x x 3 y 3 3x 2 y x 2 y 2 ² 2x 3 2 y ³ x 4 xy y 2 3x 2 3xy Appicazione Riscrivi in forma di quadrato di un binomio. 79 ESERCIZIO GUIDA 4a2 2ab 9b 2 ˆ 2a 2 3b 2 2 2a 3b ˆ 2a 3b 2 oppure anche 3b 2a 2 y 4 0y 2 25 ˆ y y 2 ˆ :::::::::::::::::: 8a2 9ab 4 b2 ˆ 9a b 2 9a 2 b ˆ ::::::::::::: 80 4a 2 4a; a 2 4ab 4b 2 ; 25a 2 0ax x 2 2a 2 ; a 2b 2 ; 5a x 2 8 x 4 2x 2 ; 9x 2 y 2 6xy; 6a 2 b 4 8ab 2 x 2 2 ; 3x y 2 ; 4a b y 6 4y 3 ; 4x 2 4x; 2xy 9x 2 4y 2 2y 3 2 ; 2x 2 ; 3x 2y ab 9b 2 a 2 ; 4x 2 20x 25; 9b 2 6a 4 24a 2 b a 3b 2 ; 2x 5 2 ; 3b 4a ,25a 2 ab b 2 ; 0,36x 2,2xy 2 y 4 ; x 4 x 2 y 0,25y 2 h 2; i 0,5a b ; 0,6x y 2 x 2 2 0,5y x4 4 5 x2 y 9 y 2 ; 6 b4 ab 2 4a 2 ; 6 x6 2 x3 " 2 5 x2 2 2 # 2 3 y ; 4 b2 2a ; 4 x3 26 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

27 Scomponi in fattori. 86 ESERCIZIO GUIDA 3x 3 2x 2 y 2xy 2 Raccogiamo 3x a fattor comune totae: 3x x 2 4xy 4y 2 I poinomio nea parentesi tonda eá un quadrato: 3x x 2y 2 87 ESERCIZIO GUIDA 8ax 2 32a 48ax ˆ 2a ::::::::::::::::::::::::::::::: ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::: a 3 b 2a 2 b ab ˆ ab ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 88 2ax 2 8ay 2 8axy; 5a 2 xy 20abxy 20b 2 xy 2a x 2y 2 ; 5xy a 2b 89 7a 2 28a 28; 20a 3 45ab 2 60a 2 b 7 a 2 2 ; 5a 2a 3b 2 h i 90 5x 2 20y 2 20xy; 4mn 2 7n 4 7m 2 5 x 2y 2 ; 7 m n 2 2 h i 9 2a 5 b 4a 3 b 4 2ab 7 ; 2x 6 8x 4 y 8x 2 y 2 2ab a 2 b 3 2 ; 2x 2 x 2 2y 92 8x 24abx 8a 2 b 2 x; 20x 3 20x 2 y 5xy 2 2x 3ab 2 ; 5x 2x y 2 h i 93 9a 2 x 2 y 2 4b 2 x 2 y 2 2abx 2 y 2 ; 2a 7 3a 2a 4 x 2 y 2 3a 2b 2 ; 3a 2a 3 94 ESERCIZIO GUIDA a 2y 2 6 a 2y 9 ˆ a 2y 3Š 2ˆ a 2y 3 2 quadrato di a 2y doppio prodotto 2 3 a 2y quadrato di 3 95 x y 2 2 x y ; 2a b 2 4 2a b 4 x y 2 ; 2a b x y 2 y 2 2y 2x y ; x y 2 4x 2 4x x y 4x 2 ; 3x y 2 h i 97 25a 6 2a b 2 0a 3 2a b ; a 2 2 x 2 2x a 2 5a 3 2a b ; a 2 x 2 98 a 2 2 a a b a b 2 2a b 2 99 x a b 2xy a b xy 2 x a b y 00 x y x y 2 y 3 x y 3 2 x 2y Riconosci nei seguenti poinomi i quadrato di un trinomio e indicao. 0 ESERCIZIO GUIDA a 2 4b 2 4ab 2a 4b # # # a 2 2b 2 2 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 27

28 Inotre poicheâ 2 a 2b ˆ 4ab 2 a ˆ 2a 2 2b ˆ 4b si ha che a 2 4b 2 4ab 2a 4b ˆ a 2b 2 02 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc a b c 2 03 x 2 4y 2 4xy 2x 4y x 2y 2 04 x 2 y 2 9 2xy 6x 6y x y a 2 4b 2 4ab 0a 20b 25 a 2b x 2 6y 2 z 2 6xy 4xz 8yz 2x 4y z 07 24xz 2xy 6yz 9x 2 4y 2 6z 2 3x 2y 4z 08 6abc a 2 2abc 3 4a 2 c 2 9b 2 c 2 4a 2 c 4 3bc a 2ac ac ab 2 bc 4 a2 b 2 6 c2 " 2 a b # 2 4 c yz 4 3 xz 0xy 4x y 2 9 z2 " 2x 5 2 y # 2 3 z 4 x2 y 4 9 y 2 xy 2 3 xy 2 3 y 3 " 2 x y 2 # 2 3 y 2 9 a4 9 4 b4 6 9 a2 b a2 4b 2 " 3 a2 3 2 b2 4 # a8 4 a2 b b4 3 4 a5 b a 4 b ab3 3 4 a4 2 ab b2 4 ESERCIZIO GUIDA 3x 6xy 2x 2 2x 3 3xy 2 2x 2 y Raccogi dapprima 3x a fattor comune: 3x 2y 4x 4x 2 y 2 4xy ˆ 3x ::::::::::::::: 2 5 2x 3 24abx 8ax 2 8a 2 x 2bx 2 8b 2 x 2x 2a 3b x 6 a 8ax 20ax 2 6ax 3 4ax 4 a 2x 2 4x 7 x 6 y 2 x 5 y 3 2 x4 y 4 4 x3 y 5 4 x4 y 4 6 x2 y 6 " x 2 y 2 x 2 2 xy # 2 4 y 2 Scomponi in fattori e seguenti differenze di quadrati. 8 ESERCIZIO GUIDA x 4 y 2 ˆ x 2 y x 2 y # # 2 y 2 x 2 28 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

29 9 ESERCIZIO GUIDA a 2 4 ˆ a ::::: a ::::: y 2 8 ˆ ::::::::: # # # # 2 y a x4 9 ˆ 2 x2 3 :::::::::::::::: x 2 49 ˆ x ::::: x ::::: 6x4 8y 4 ˆ 4x 2 9y 2 4x 2 9y 2 " " " 2x 2 3y 2 non eá uteriormente scomponibie ˆ 2x 3y 2x 3y 4x 2 9y 2 20 a 2 x 2 ; 9 y 2 ; 25a 2 b 2 a x a x ; 3 y 3 y ; 5a b 5a b Š 2 6 x 2 y 2 ; x 6 z 4 ; y 4 4 xy 4 xy ; x 3 z 2 x 3 z 2 ; y y y 2 22 a 4 b 2 6 ; 9 x y 6 ; 25a 2 b 2 x 4 a 2 b 4 a 2 b 4 ; 3 x 2 5 y 3 3 x 2 5 y 3 ; 5ab x 2 5ab x 2 23 b 2 49; 6x 6 25y 4 ; a 0 b 2 b 7 b 7 ; 4x 3 5y 2 4x 3 5y 2 ; a 5 b a 5 b a4 b 2 4; 4 x4 4 8 y 2 ; 4 x8 " 5 a2 b 2 5 a2 b 2 ; 2 x2 2 9 y 2 x2 2 9 y ; 2 x4 # 2 x4 25 8a 4 6c 4 ; x 6 4y 6 ; a 4 b 4 6 3a 2c 3a 2c 9a 2 4c 2 ; x 3 2y 3 x 3 2y 3 ; ab 2 ab 2 a 2 b ESERCIZIO GUIDA b3 9b raccogiamo b a fattor comune: b b 2 9 b b 3 b 3 00a2 x 2 25a 2 raccogiamo 25a 2 : 25a 2 ::::::::::::::::: scomponiamo: 25a 2 ::::::::: ::::::::: ::::::::: ::::::::: 27 25x 6 5x 2 y 4 ; 27a 6 75a 2 5x 2 5x 2 y 2 5x 2 y 2 ; 3a 2 3a 2 5 3a ,04b 3 0,0a 2 b; 6ax 2 24a b 0,2b 0,a 0,2b 0,a ; 6a x 2 x ax 3 9ax;,44a 2 x 2 a 2 b 2 ax 2x 3 2x 3 ; a 2,2x b,2x b 30 2 b3 2b; 3 4 x3 2 xy 2 2 b b 2 b 2 ; 3 4 x x 3 y x 3 y Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 29

30 3 x 3 4x; 2a 2 y 8y x x 2 x 2 ; 2y a 3 a 3 Š 32 2a 3 3ab 2 ; 9x 3 y 2 x 3a 2a b 2a b ; x 3xy 3xy Š 33 ESERCIZIO GUIDA a 2x 2 x 2 ˆ a 2x xš a 2x xš ˆ a 3x a x 34 a 3b 2 ; x y 2 a 2 a 3b a 3b ; x y a x y a Š 35 x 2 y 2 ; 9a 2 a b 2 x y x y ; 2a b 4a b Š 36 2a b 2 ; x 3y 2 9y 2 2a b 2a b ; x x 6y Š x 2y 9; 2 b 2 a 2 x 2y x 2y 3 ; 2 b a 2 b a 38 4a 2 2a 3b 2 ; x y 2 2x y 2 3b 4a 3b ; 3x 2y x Š 39 a 3b 2 2a b 2 ; 2x y 2 y 3x 2 2b a 3a 4b ; 5x 2y x Š 40 8a 4 b 4 ; x 5 y xy 5 3a b 3a b 9a 2 b 2 ; xy x y x y x 2 y 2 4 x y 2 z 4 ; 6a 8 a b 4 h i x y z 2 x y z 2 ; 2a 2 a b 2a 2 a b 4a 4 a b x 2 y 2 9; a b 2 ; x2 x 4 " 2x 2 y 3 2x 2 y 3 ; 2 x 2 x 7 # 4 x2 9 x4 2 3 x2 y 6 2a b 4 2a b ; 3 y 2x2 3y Dopo averi ridotti a differenze di due quadrati, scomponi in fattori i seguenti poinomi. 44 ESERCIZIO GUIDA a 2 4a 4 6x 2 ˆ a 2 4a 4 6x 2 ˆ a 2 2 4x 2 ˆ a 2 4x a 2 4x 45 ESERCIZIO GUIDA x 2 x x 2 ˆ x 2 x x 2 ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9 a 2 ab 4 b2 ˆ 9 a 2 ab 4 b2 ˆ ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 46 x 2 4x 4 9y 2 ; a 4 9 6a 2 25b 2 x 2 3y x 2 3y ; a 2 3 5b a 2 3 5b 47 4a 2 9 6b 2 2a; 9x 2 2xy 4y 2 2a 3 4b 2a 3 4b ; 3x 2y 3x 2y Š 48 b b 9a 2 ; 4 9 a2 4 3 a 25b2 b 7 3a b 7 3a ; 2 a 5b a 5b 30 LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

31 49 4x 2 4 y 2 2xy 2x 2 y 2x 2 y 50 6b 2 a 4 a2 4b 2 a 4b 2 a 5 36y 2 4x 49 x 2 6y x 7 6y x 7 Š 52 25x 6 40x 3 y 6y 2 9 5x 3 4y 3 5x 3 4y a 2 b 2 0ab b 2 5ab b 5ab b 54 x 2 y 2 2yz z 2 x y z x y z 55 8x 4 a 2 2ab b 2 9x 2 a b 9x 2 a b 56 49x 2 y 4 9a 2 6ab b 2 7xy 2 3a b 7xy 2 3a b Š 57 4a 2 6a 9 4 a2 b 2 2a 3 ab 2a ab 58 9 x2 4y 2 2y 4 3 x 2y 2 3 x 2y a 2 b 2 9 c2 2 3 bc 3a b 3 c 3a b 3 c x x 4 9 y x y 5 2 x y 6 0,0x 2 0,2x 25 y 2 0 x 5 y 0 x 5 y 62 a 2 9 b 2 6b a 4 b a 2 b Š 63 4x 2 4x 3y 2 2x 3y 2 2x 3y Š 64 x x 9a 2 4 2a x 3a 3 x 3a 7 Š 65 4a 2 9b 2 2ab 4b 4 a 4 4a 2 b 2 2a 3b 2b 2 a 2 2a 3b 2b 2 a 2 Š 66 a 2 6ab 4 x2 ax 9a 2 b 2 4a 2 x b x 2a b 2 Riconosci nei seguenti poinomi i cubi di un binomio e indicai. 67 ESERCIZIO GUIDA x 3 6x 2 2x 8 # # x Inotre 3 x 2 2 ˆ 6x 2 3 x 2 2 ˆ 2x quindi x 3 6x 2 2x 8 ˆ x a 3 3a 2 3a 8x 3 2x 2 6x a 3 ; 2x 3 69 y 3 8a 3 6ay 2 2a 2 y 8x 3 36x 2 54x 27 y 2a 3 ; 2x a 3 6a 2 b 2 8b 6 2ab 4 27 t 3 t 3 t 2 a 2b 2 3 ; " # 3 3 t Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA FATTORIZZAZIONE DEI POLINOMI 3