Liceo Scientifico M. G. Vida - Cremona

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Marcellina Locatelli
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1 Liceo Scientifico M. G. Vida - Cremona Classe I as Prodotti notevoli - spiegazioni, formule, esempi Prof. Carlo Alberini 1 dicembre 2010 Abbiamo introdotto in queste lezioni i prodotti notevoli, ovvero delle particolari formule che, applicate nel mondo dei polinomi, permettono di svolgere calcoli non intuitivi e dare un risultato a situazioni anche complesse. Elencando i prodotti notevoli studiati, possiamo ricordare, sintetizzando: 1. Quadrato di Binomio, ovvero: 2. Quadrato di Trinomio, ovvero: A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2. A + B + C) 2 A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC. 3. Quadrato di Polinomio generico di n termini, con n > 3), ovvero: A + B + C ) 2 somma dei quadrati di ciascun termine + somma di tutti i possibili doppi prodotti, in formula: ) 2 a i i i a 2 i + i<j 2a i a j, i, j 1... n. da intendersi, naturalmente, in rapporto ai segni algebrici di ciascun fattore a i, o a j. 1

2 4. Cubo di Binomio, ovvero: A + B) 3 A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B Somma per differenza/differenza di Quadrati, ovvero: 6. Binomio elevato alla n, ovvero: A B) A + B) A 2 B 2). A + B) n... Per dare quest ultima formula, è necessario - per il momento - dividerla in altre sotto-formule, per avere, ordinatamente, i coefficienti che servono, le lettere al posto giusto e gli esponenti corretti. Ovvero: a) coefficienti: dobbiamo servirci del Triangolo di Tartaglia, ovvero della seguente struttura: b) lettere: i monomi o le eventuali espressioni che compaiono tra parentesi sono da moltiplicarsi fra di loro. c) esponenti: vanno posizionati in modo tale che la loro somma sia sempre pari all esponente n che compare in formula, e tali che uno quello associato al primo monomio o espressione letterale) diminuisca partendo da n ed arrivando a 0) e l altro quello associato al secondo monomio o espressione letterale) aumenti partendo da 0 ed arrivando a n) sempre di 1 unità. Esempi x + 2) 2 x 2 + 4x x y) 2 4x 2 4xy + y 2. 6x 2 y 3 3z 6 ) 2 6x 2 y 3 ) x 2 y 3 ) 3z 6 )+3z 6 ) 2 36x 4 y 6 36x 2 y 3 z 6 +9z 12. 2

3 3a 2 b 3 + 2x 2 y 4 z) 3 3a 2 b 3) a 2 b 3) 2 2x 2 y 4 z ) + 3 3a 2 b 3) 2x 2 y 4 z ) 2 + 2x 2 y 4 z ) 3 27a 6 b a 4 b 6 x 2 y 4 z 36a 2 b 3 x 4 y 8 z 2 + 8x 6 y 12 z 3 6x 2 y 2 z 3 + 3a 3 b 5 ) 6x 2 y 2 z 3 3a 3 b 5 ) 6x 2 y 2 z 3 ) 2 3a 3 b 5 ) 2 36x 4 y 4 z 6 9a 6 b 10. 4ab + c 3x + 6y z) 2 4ab) 2 + c 2 + 3x) 2 + 6y) 2 + z) ab) c + 2 4ab) 3x) + 2 4ab) 6y) + 2 4ab) z) + 2 c 3x) + 2 c 6y) + 2 c z) + 2 3x) 6y) + 2 3x) z) + 2 6y) z) 16a 2 b 2 + c 2 + 9x y 2 + z 2 + 8abc 24abx + 48aby 8abz 6cx + 12cy + 2cz 36xy + 6xz 12yz. a + 3b x 2 y) 4 a + 3b x 2 y) 2 a + 3b x 2 y) 2 Anche quest ultimo esempio come il precedente, provare per credere!) può essere svolto in due modi: questo, però applicando opportunamente la formula del Binomio elevato alla n, oppure sviluppando i due quadrati di polinomio ed eseguire alla fine il prodotto tra i rispettivi risultati applicando la proprietà distributiva). Vediamo come si procede in entrambi i metodi il risultato non deve, ovviamente, alterarsi... ). Sviluppando a + 3b x 2 y) 2 a + 3b x 2 y) 2 si ottiene provare per credere!): a 2 + 6ab + 9b 2 2ax 2 y 6bx 2 y + x 4 y 2 ) a 2 + 6ab + 9b 2 2ax 2 y 6bx 2 y + x 4 y 2 ) che produce: a a 3 b + 54a 2 b ab b 4 4a 3 x 2 y 36a 2 bx 2 y 108ab 2 x 2 y 108b 3 x 2 y + 6a 2 x 4 y abx 4 y b 2 x 4 y 2 4ax 6 y 3 12bx 6 y 3 + x 8 y 4. Osservando, invece, a + 3b x 2 y) 4 e mettendo in evidenza la seguente struttura, è possibile scrivere che: 3

4 [ a + 3b + x 2 y) ] 4 Questo ci impone di considerare il binomio a + 3b) alla stessa stregua della quantità A nella formula al punto 6 di pagina 2 e il monomio x 2 y) come B nella stessa. Il risultato sarà quindi il seguente: 1 a + 3b) 4 x 2 y ) a + 3b)3 x 2 y ) a + 3b)2 x 2 y ) a + 3b) 1 x 2 y ) a + 3b)0 x 2 y ) 4. A questo punto non rimane che calcolare in disparte, con la stessa tecnica, a + 3b) 4 che produce: a + 3b) 4 1 a 4 3b) a 3 3b) a 2 3b) a 1 3b) a 0 3b) 4, ovvero: a + 3b) 4 a a 3 b + 54a 2 b ab b 4. Sostituendo quest ultimo risultato nel precedente, e risolvendo alcuni calcoli si ottiene: a a 3 b + 54a 2 b ab b 4 4x 2 y a + 3b) 3 + 6x 4 y 2 a + 3b) 2 + 4x 6 y 3 a + 3b) + x 8 y 4. Ricordando, infine, che: a + 3b) 3 a 3 + 9a 2 b + 27ab b 3 e che a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 si ha sostituendo nella precedente situazione: a a 3 b + 54a 2 b ab b 4 4x 2 y a 3 + 9a 2 b + 27ab b 3) + +6x 4 y 2 a 2 + 2ab + b 2) 4x 6 y 3 a + 3b) + x 8 y 4. Sviluppando definitivamente i calcoli abbiamo: 4

5 a a 3 b + 54a 2 b ab b 4 4a 3 x 2 y 36a 2 bx 2 y 108ab 2 x 2 y 108b 3 x 2 y+ +6a 2 x 4 y abx 4 y b 2 x 4 y 2 4ax 6 y 3 12bx 6 y 3 + x 8 y 4. che produce il medesimo risultato precedente. Naturalmente, non è detto che applicare i prodotti notevoli sia sempre una cosa facile... Spero di aver messo in luce in queste poche pagine le principali strategie di calcolo anche relativamente complesse) che possono servire in questa parte del programma e di aver fornito materiale utile. Naturalmente queste pagine non sono sostitutive né delle lezioni e dei rispettivi appunti, né del libro di testo, al più possono rappresentare una buona integrazione. Prima di salutarsi: ho eseguito correttamente tutti i calcoli?!?... solo ripercorrendoli tutti, lo saprete! Buon lavoro. Prof. Carlo Alberini 5

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