Il quadrato di binomio, assieme allaa differenza dei quadrati che vedremo in seguito, è uno dei più importanti prodotti notevoli.

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1 PRODOTTI NOTEVOLI I prodotti notevoli sono identità matematiche molto utilizzate nella risoluzione di espressioni algebriche letterali in quanto permettono uno svolgimento rapido dei calcoli, inoltre si utilizzano nella scomposizione in fattori dei polinomi. Quadrato di binomio Il quadrato di binomio, assieme allaa differenza dei quadrati che vedremo in seguito, è uno dei più importanti prodotti notevoli. Il quadrato di binomio, a seconda del segno tra i due termini, e così espresso: unificando le due espressioni otteniamo la seguente formula generale: La definizione di quadrato di binomio è la seguente: Il quadrato di binomio come somma (differenza) di due termini è uguale alla somma dei quadrati dei due termini, più (meno) il doppio del prodotto dei due termini. Un'interpretazione grafica del quadrato di binomio è illustrata nella figura a fianco, ossia un quadrato il cui lato è la somma dei due termini e. L'area del quadrato di lato, ossia, non è soltanto composta dai due quadrati più piccoli e (in figura, di colore azzurro e rosso rispettivamente) ma anche dai due rettangoli di area uguale pari a (in figura, di colore giallo). Tutto questo per dire che il quadrato di binomio non è uguale alla somma dei quadrati dei due terminii (come potrebbe sembrare) ma è presente anche il doppio prodotto dei due termini: Da notare che il segno cambia soltanto nel doppio prodotto, i quadrati sono sempree positivi, in quanto qualsiasi numero, sia positivo che negativo, elevato al quadrato da come risultato sempre un numero positivo. Altri casi particolari possono essere sempre ricondotti alla formula generale: Ovviamente la formula generale del quadrato di binomio è vera anche letta nel verso opposto: rossidaniele.altervista.org 1

2 ossia un trinomio, nella forma +, può essere riscritto come quadrato di binomio. Questa versione della formula generale è utile qual'ora siamo interessati a scomporre in fattori un polinomio. Di seguito alcuni esempi di quadrato di binomio: Quadrato di trinomio Il quadrato di trinomio è così espresso: +3 = = +6+9 = + = = = = = = = = = = ++++ = = = quindi la formula generale da applicare è: La definizione di quadrato di trinomio è la seguente: ++ = Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini, più la somma del doppio del prodotto del primo termine con il secondo, del secondo con il terzo e del terzo con il primo. Se uno o più termini hanno segno negativo, a seconda dei casi, cambia il segno dei doppi prodotti mentre i quadrati rimangono sempre positivi. Di seguito alcuni esempi di quadrato di trinomio: ++3 = = = = = = = = = = = = = = rossidaniele.altervista.org

3 Cubo di binomio Il cubo di binomio, a seconda del segno tra i due termini, e così espresso: + + = = = = = + = + + = = 3 +3 unificando le due espressioni otteniamo la seguente formula generale: La definizione di cubo di binomio è la seguente: ± = ±3 +3 ± Il cubo di binomio come somma (differenza) di due termini è uguale al cubo del primo termine, più (meno) il cubo del secondo termine, più (meno) il triplo del prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo del prodotto del primo termine per il secondo al quadrato. Da notare che se il binomio è inteso come differenza di termini, allora il polinomio risultante dal cubo presenta segni alterni, se ordiniamo il polinomio rispetto al primo o al secondo termine: infatti il segno negativo si conserva nei termini di grado dispari, mentre diventa positivo nei termini di grado pari. Altri casi particolari possono essere sempre ricondotti alla formula generale: = + = + + = = Ovviamente la formula generale del cubo di binomio è vera anche letta nel verso opposto: ±3 +3 ± = ± ossia un quadrinomio, nella forma ±3 +3 ±, può essere riscritto come cubo di binomio. Questa versione della formula generale è utile qual'ora siamo interessati a scomporre in fattori un polinomio. Di seguito alcuni esempi di cubo di binomio: +3 = = = = = = = = = = = = rossidaniele.altervista.org 3

4 Cubo di trinomio Il cubo di trinomio è così espresso: ++++ = = Otteniamo quindi la seguente formula generale: ++ = La definizione di cubo di trinomio è la seguente: Il cubo di trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre termini, più il triplo del prodotto del quadrato di ogni termine per ciascun altro termine, più sei volte il prodotto dei tre termini. Di seguito alcuni esempi di cubo di trinomio: ++3 = = = = = = Differenza tra quadrati La differenza tra quadrati, detta anche "prodotto della somma di due termini per la loro differenza" o, più semplicemente, "prodotto somma per differenza" (nomi che derivano dal risultato di scomposizione in fattori della differenza di quadrati), è un importante prodotto notevole così espresso: ottenendo quindi: + = + = + = La definizione di differenza tra quadrati è la seguente: Il prodotto tra la somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza tra i quadrati dei due termini. Il termine al quadrato con segno negativo è il termine che, a sinistra dell'uguaglianza, cambia di segno da un fattore all'altro: + = Questo dettaglio, che sembra poco importante, in realtà ci aiuta nello svolgimento di particolari casi di prodotto somma per differenza: + + = + = rossidaniele.altervista.org 4

5 Possiamo ottenere lo stesso risultato sfruttando la proprietà commutativa della somma algebrica (ossia invertendo le posizioni dei termini all'interno delle parentesi): A volte può capitare di avere molti segni meno, in questa situazione basta cambiare il segno dentro una delle due parentesi, ricordandosi di cambiare il segno anche fuori: Da notare che se inverto solo le posizioni di e (lasciando inalterati i segni) ottengo due risultati diversi: Ovviamente la formula generale della differenza di quadrati è vera anche letta nel verso opposto: = + ossia un binomio, nella forma, può essere riscritto come prodotto tra la somma di due termini per la loro differenza. Questa versione della formula generale è utile qual'ora siamo interessati a scomporre in fattori un polinomio. Purtroppo non esiste un prodotto notevole per la somma di quadrati + (vedremo invece che esiste la somma di cubi + ). Di seguito alcuni esempi di prodotto somma per differenza: +3 3 = 3 = = 1 4 = = 5 = 5 + = = 4 3 +! 3! = 3! = ! + 1 4! = 1 4! = ! 5 4 3! = 5! 4 3! = rossidaniele.altervista.org 5

6 Somma e differenza tra cubi La somma tra cubi è così espressa: mentre la differenza tra cubi è espressa come: unificando le due espressioni otteniamo la seguente formula generale: La definizione di somma (differenza) tra cubi è la seguente: La somma (differenza) tra tue termini al cubo è uguale al prodotto tra il binomio composto dalla somma (differenza) dei due termini per il trinomio composto dal quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, meno (più) il loro prodotto. Di seguito alcuni esempi di somma e differenza tra cubi: Potenza #-esima di un binomio 8 = = 3 + = Per calcolare la potenza $-esima di un binomio dobbiamo utilizzare il triangolo di Tartaglia, che è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti che compongo il polinomio risultante. Ogni riga del triangolo corrisponde una sequenza di coefficienti per una determinata potenza di binomio. Ad esempio, per il cubo di binomio bisogna leggere la riga con $ = 3 notando che i coefficienti sono proprio quelli che abbiamo visto precedentemente, ossia %1 ; 3 ; 3 ; 1'. Ad esempio, proviamo a calcolare la potenza + : l'esponente è $ = 4 quindi cerchiamo la riga corrispondente del triangolo di Tartaglia. Utilizzando la figura vediamo che i coefficienti sono: 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1 quindi il polinomio risultante della potenza + avrà cinque termini, ciascuno avrà il coefficiente che abbiamo appena visto mentre la variabile sarà il prodotto dei termini con grado decrescente per (da $ = 4 a 0) e grado crescente per (da 0 a $ = 4) procedendo da sinistra verso destra: + = 1 ( +4 ) ) +1 ( rossidaniele.altervista.org 6

7 Possiamo anche procedere da destra verso sinistra, in questo caso il termine avrà grado crescente mentre avrà grado decrescente. Otteniamo quindi: Per una generica potenza $-esima di binomio si usa anche la formula del binomio di Newton: dove: è il coefficiente binomiale. Triangolo di Tartaglia Il triangolo di Tartaglia, noto nei paesi anglosassoni con il nome di triangolo di Pascal, è un utile strumento per il calcolo dei coefficienti binomiali del polinomio risultante di una qualsiasi potenza di binomio, inoltre viene usato anche nel calcolo combinatorio. La costruzione del triangolo non è difficile, in quanto ogni numero è pari alla somma dei due numeri adiacenti nella riga precedente e inoltre il primo e l'ultimo elemento di ogni riga è sempre 1 (vedi figura a lato). Come visto prima, ogni coefficiente del triangolo si può calcolare con la seguente formula: * $ +, $! +! $+!! tale coefficiente è il +1-esimo elemento della $1-esima riga del triangolo. Il triangolo di Tartaglia ha numerosee proprietà, tra le quali la simmetria rispetto all'altezza, la somma dei coefficienti di ogni riga è una potenza di e, per ogni riga, la somma dei coefficienti in posizione pari meno la somma dei coefficienti in posizione dispari è uguale a 0... /* $ +, ( * $ +, $! +! $+! rossidaniele.altervista.org 7