progetto ITER ITER MATEMATICA Mario Trovato per il turismo Geometria analitica Elementi di goniometria e trigonometria

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1 progetto ITER Mario Trovato ITER MATEMATICA per il turismo B1 Elementi di goniometria e trigonometria

2 progetto ITER Mario Trovato ITER MATEMATICA per il turismo B1 Elementi di goniometria e trigonometria Ghisetti e Corvi Editori

3 PREFAZIONE Questo volume comprende la, che si occupa della, e la Sezione 3, che fornisce alcuni elementi essenziali di goniometria e trigonometria... I programmi ministeriali vigenti prevedono che lo studio della abbia inizio già nel corso del biennio. Stando a ciò gli allievi dovrebbero già avere conoscenza della retta, della circonferenza e della parabola. L esperienza dimostra però che, salvo casi eccezionali, nel corso del biennio non è stato possibile trattare questi argomenti e ciò come conseguenza del fatto che il programma previsto per il biennio risulta eccessivo rispetto al monte ore di cui l insegnamento della matematica dispone. Stando a ciò, abbiamo preferito costruire questa partendo da zero per cui gli argomenti trattati riguardano retta, circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Alla presentazione di questi luoghi geometrici si affianca la trattazione dei classici problemi sulla retta, sulla circonferenza e sulla parabola (intersezione fra rette, intersezione retta-circonferenza o retta-parabola, intersezione fra circonferenze, tangenti a una circonferenza o a una parabola). Poiché molti di questi problemi vengono formalizzati mediante sistemi di secondo grado abbiamo contestualmente fornito gli strumenti necessari. Non vengono tralasciate occasioni per presentare possibili applicazioni concrete della retta, della parabola e dell iperbole. La sezione viene chiusa con lo studio della risoluzione grafica di equazioni, sistemi di equazioni, disequazioni e con lo studio di traslazioni e simmetrie assiali nel piano cartesiano: argomenti tutti che trovano giusta collocazione nell ambito della. Sezione 3. Elementi di goniometria e trigonometria. Questa sezione è destinata esclusivamente all indirizzo linguistico afferente al Progetto Iter: vengono introdotti alcuni elementi essenziali di goniometria e trigonometria. Entrambe le sezioni sono fornite di un adeguato laboratorio informatico Derive. l Autore 3

4 SEZIONE

5 UNITÀ LA RETTA Contenuti distanza fra due punti e coordinate del punto medio di un segmento definizione di luogo geometrico equazione della retta: forma implicita e forma esplicita rette parallele e rette perpendicolari fasci di rette propri e impropri distanza di un punto da una retta Obiettivi riconoscere l equazione di una retta, sia in forma esplicita sia implicita riconoscere rette parallele e rette perpendicolari operare con fasci di rette propri e impropri 1.1 DISTANZA FRA DUE PUNTI Fissati due punti P 1 e P del piano cartesiano se ne può calcolare la distanza P 1 P come segue: se i punti appartengono all asse x oppure a una sua parallela la loro distanza è uguale alla differenza fra l ascissa maggiore e quella minore; se i punti appartengono all asse y oppure a una sua parallela la loro distanza è uguale alla differenza fra l ordinata maggiore e quella minore; in ogni altro caso, essendo P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e P ðx ; y Þ si ha: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P 1 P ¼ ðx x 1 Þ þðy y 1 Þ Infatti, consideriamo la figura 1.1 nella quale sono stati rappresentati i due punti. Fig

6 La retta Unità 1 Si ricava subito: P 1 R ¼ x x 1 RP ¼ y y 1 distanza fra due punti appartenenti a una parallela all asse x distanza fra due punti appartenenti a una parallela all asse y Allora, dal triangolo rettangolo P 1 RP, per il teorema di Pitagora, si ha: P 1 P ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P 1 R þ RP ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx x 1 Þ þðy y 1 Þ 1 I punti P 1 ð5; 3Þ e P ð1; 3Þ appartengono a una retta parallela all asse x (essi hanno la stessa ordinata). Quindi, facendo la differenza delle ascisse, si ottiene P 1 P ¼ 1 5 ¼ 7. I punti P 1 ð5; Þ e P ð5; 7Þ appartengono a una retta parallela all asse y (essi hanno la stessa ascissa). Quindi, facendo la differenza fra le ordinate, si ottiene P 1 P ¼ 7 ¼ 5. 3 I punti P 1 ð; 1Þ e P ð8; 9Þ non appartengono agli assi né a rette parallele agli assi. Quindi, si ha: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P 1 P ¼ ð8 Þ þð9 1Þ ¼ PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Consideriamo due punti P 1 ðx 1 y 1 Þ e P ðx ; y Þ del piano e sia M ðx m ; y m Þ il punto medio del segmento i cui estremi sono P 1 e P : figura 1.. Vogliamo determinare le coordinate di tale punto. Fig. 1. Osserviamo che, essendo: si ha anche AM 1 ¼ M 1 C P 1 M ¼ MP BM ¼ M D Ciò significa che M 1 è il punto medio del segmento AC e che M è il punto medio del segmento BD. Allora, tenendo presente quanto già detto sulla distanza fra due punti, si ha: x x m ¼ x m x 1 y y m ¼ y m y 1 Risolvendo queste due uguaglianze rispetto a x m eay m si ottiene: x m ¼ x 1 þ x y m ¼ y 1 þ y 7

7 Unità 1 La retta Dunque: ascissa e ordinata del punto medio di un segmento sono uguali rispettivamente alla semisomma delle ascisse e alla semisomma delle ordinate degli estremi del segmento. 1 Le coordinate del punto medio del segmento di estremi P 1 ð3; 7Þ e P ð5; 13Þ sono: x m ¼ 3 þ 5 ¼ 4 y m ¼ 7 þ 13 ¼ 10 Le coordinate del punto medio del segmento di estremi P 1 ð ; 4Þ e P ð6; 8Þ sono: x m ¼ þ 6 ¼ y m ¼ 4 8 ¼ LUOGHI GEOMETRICI In geometria si definisce luogo geometrico l insieme di tutti i punti del piano che godono di una stessa proprietà. Ciò significa che se un punto P ðx 0 ; y 0 Þ appartiene al luogo geometrico L allora esso gode della proprietà P che caratterizza tutti i punti appartenenti a L; se un punto P ðx 0 ; y 0 Þ gode della proprietà P che caratterizza tutti i punti appartenenti a un luogo geometrico L allora P ðx 0 ; y 0 Þ appartiene a L. Tenendo presente che un punto può essere rappresentato graficamente nel piano cartesiano da una coppia ordinata ðx; yþ di numeri reali e che, viceversa, una coppia ðx; yþ di numeri reali può essere rappresentata graficamente nel piano cartesiano da un punto, è possibile tradurre la proprietà P che caratterizza tutti i punti appartenenti a un dato luogo geometrico L in una relazione algebrica fra l ascissa x e l ordinata y. Tale relazione viene espressa, di solito, da un equazione del tipo: nelle due variabili x e y. Ne segue che F ðx; yþ ¼0 un punto Pðx 0 ; y 0 Þ appartiene a un luogo geometrico L se le sue coordinate ðx 0 ; y 0 Þ soddisfano l equazione F ðx; yþ ¼0, cioè se risulta F ðx 0 ; y 0 Þ¼0; viceversa, una coppia ðx 0 ; y 0 Þ che soddisfa l equazione F ðx; yþ ¼0, cioè una coppia ðx 0 ; y 0 Þ per la quale risulta F ðx 0 ; y 0 Þ¼0, individua un punto P ðx 0 ; y 0 Þ appartenente al luogo geometrico L. L equazione (1) prende il nome di equazione del luogo geometrico. È importante precisare che, a volte, si può esplicitare la y portando la F ðx; yþ ¼0 nella forma: y ¼ f ðxþ In questo caso, se a ogni valore di x corrisponde un solo valore di y, vuol dire che la F ðx; yþ ¼0 definisce una funzione y ¼ f ðxþ: diciamo che mentre la F ðx; yþ ¼0èl equazione in forma implicita del luogo geometrico, la y ¼ f ðxþ è l equazione in forma esplicita. 8 ð1þ

8 La retta Unità 1 Importanti luoghi geometrici sono la retta, la circonferenza, la parabola, l ellisse e l iperbole LA RETTA La retta è analiticamente rappresentata dalla funzione lineare, cioè dalla funzione di primo grado Equazione della retta passante per l origine Consideriamo una generica retta r passante per l origine degli assi: figura 1.3. Per ottenere la sua equazione ragioniamo come segue. Siano Q, R, S, P punti della retta e siano Q 0, R 0, S 0, P 0 le proiezioni di tali punti sull asse delle ascisse. Poiché i triangoli OQ 0 Q, OR 0 R, OS 0 S, OP 0 P sono simili valgono le seguenti relazioni: Q 0 Q OQ 0 ¼ R 0 R OR 0 ¼ S 0 S OS 0 ¼ P 0 P OP 0 ¼ y x Fig. 1.3 essendo x e y le coordinate del generico punto appartenente alla retta. Infine, indicando con m il rapporto costante fra l ordinata e l ascissa di un qualsiasi punto sulla retta, si scrive: da cui y x ¼ m y ¼ mx che è l equazione di una generica retta passante per l origine. In particolare: il rapporto m fra ordinata e ascissa, rapporto che è costante, prende il nome di coefficiente angolare o parametro angolare della retta; il coefficiente angolare m caratterizza l inclinazione o pendenza della retta; le rette che passano per l origine, avendo equazione del tipo y ¼ mx, giacciono nel primo e terzo quadrante se m > 0 oppure nel secondo e quarto quadrante se m < 0. 9

9 Unità 1 La retta Equazione della retta non passante per l origine Consideriamo una generica retta r non passante per l origine: figura 1.4 nella quale rappresentiamo anche la retta r 0 parallela alla retta r e passante per l origine. L equazione della retta r si ottiene agevolmente osservando che le ordinate dei punti a essa appartenenti si ottengono dalle ordinate dei corrispettivi punti di r 0 aggiungendo a tutte lo stesso numero q, indipendente dall ascissa x. Si ha dunque: y ¼ mx þ q Fig. 1.4 In particolare: il numero q prende il nome di ordinata all origine; l ordinata all origine indica l ordinata del punto in cui la retta r interseca l asse y, cioè l ordinata del punto della retta r avente ascissa nulla; come si può notare, la retta r è ottenuta dalla retta r 0 operando una traslazione verticale di ampiezza uguale a q; presi sulla retta r due punti P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e P ðx ; y Þ il coefficiente angolare m è dato da: m ¼ y y 1 x x 1 Infatti, osservando ancora la figura 1.4, si vede che la pendenza della retta generica r è caratterizzata dal rapporto costante fra HP e P 1 H. Quindi, possiamo dire che il coefficiente angolare m di una retta è uguale al rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualsiasi della retta Casi particolari Sono casi particolari i seguenti: EQUAZIONE DI UNA RETTA PARALLELA ALL ASSE DELLE ASCISSE. In questo caso tutti i punti appartenenti alla retta hanno la stessa ordinata q e, quindi, l equazione della retta è y ¼ q. EQUAZIONE DELL ASSE X. In questo caso l ordinata è nulla per qualsiasi valore di x e, quindi, l equazione della retta è y ¼ 0. EQUAZIONE DI UNA RETTA PARALLELA ALL ASSE DELLE ORDINATE. In questo caso tutti i punti appartenenti alla retta hanno la stessa ascissa k (costante) e, quindi, l equazione della retta è x ¼ k. 10

10 La retta Unità 1 EQUAZIONE DELL ASSE Y. In questo caso l ascissa è nulla per qualsiasi valore di y e, quindi, l equazione della retta è x ¼ 0. EQUAZIONE DELLA BISETTRICE PASSANTE PER IL PRIMO E TERZO QUADRANTE. L ascissa e l ordinata di un punto qualsiasi della bisettrice passante per il primo e terzo quadrante sono uguali. Pertanto l equazione è y ¼ x. EQUAZIONE DELLA BISETTRICE PASSANTE PER IL SECONDO E QUARTO QUA- DRANTE. L ascissa e l ordinata di un punto qualsiasi della bisettrice passante per il secondo e il quarto quadrante sono opposte. Pertanto l equazione è y ¼ x Rette parallele Consideriamo le due rette di equazione: y ¼ mx þ q y ¼ m 0 x þ q Esse sono parallele se hanno la stessa pendenza: m ¼ m 0 Quindi: due rette sono parallele se hanno uguale coefficiente angolare Fasci di rette L equazione y ¼ mx þ q rappresenta nel piano una generica retta la quale non è identificata fino a quando non vengano fissati il valore del coefficiente angolare e quello dell ordinata all origine: a. l assegnazione del solo coefficiente angolare porta all indicazione di un fascio di rette parallele fra loro: fascio improprio di rette; b. l assegnazione della sola ordinata all origine porta all indicazione del fascio delle infinite rette passanti per P ð0 qþ: fascio proprio di rette. 1 Per m ¼ eq ¼ 3 si scrive l equazione y ¼ x þ 3 la quale, come facilmente si può verificare, rappresenta la retta che passa per i punti P 1 ð0; 3Þ e P ð1; 5Þ. Per m ¼ eq non definito, si scrive l equazione y ¼ x þ q. Per ogni valore di q si ottiene una particolare equazione a cui corrisponde una particolare retta. Poiché tutte le rette che così si ottengono sono parallele l equazione y ¼ x þ q rappresenta il fascio delle rette parallele aventi tutte pendenza m ¼. 3 Per m non definito e q ¼ 3 si scrive l equazione y ¼ mx þ 3. Per ogni valore di m si ottiene una particolare equazione a cui corrisponde una particolare retta. Poiché tutte le rette che così si ottengono passano per il punto Pð0; 3Þ e differiscono soltanto per il coefficiente angolare vuol dire che l equazione y ¼ mx þ 3 definisce il fascio delle rette che passano per il punto Pð0; 3Þ. 11

11 Unità 1 La retta Da quanto detto risulta chiaro che per definire una retta occorre fissare due condizioni: il valore di m e quello di q. In pratica, però, si fissano le condizioni seguenti: un punto per il quale passa la retta e il coefficiente angolare; oppure: due punti distinti per i quali passa la retta. Vediamo, allora, come si determina l equazione della retta passante per un punto e avente coefficiente angolare assegnato e quella della retta passante per due punti assegnati Equazione della retta passante per un punto e avente coefficiente angolare assegnato Vogliamo scrivere l equazione della retta passante per un punto dato P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e avente coefficiente angolare assegnato m. A tale scopo consideriamo l equazione: y ¼ mx þ q dove m è noto. Poiché la retta di cui vogliamo scrivere l equazione deve passare per il punto P 1 ðx 1 ; y 1 Þ le coordinate di questo punto debbono soddisfare l equazione () e, quindi, deve essere: y 1 ¼ mx 1 þ q ð3þ Adesso, sottraendo membro a membro la (3) dalla () si ha: cioè: y y 1 ¼ mx mx 1 y y 1 ¼ mðx x 1 Þ È questa l equazione della retta passante per P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e avente coefficiente angolare m. ðþ 1 L equazione della retta passante per Pð3; 5Þ e avente coefficiente angolare m ¼ 3è: y 5 ¼ 3ðx 3Þ cioè y ¼ 3x 4 L equazione della retta passante per Pð 4; 4Þ e avente coefficiente angolare m ¼ 3è: y 4 ¼ 3ðxþ4Þ cioè y ¼ 3x 8 3 Data la retta di equazione y ¼ 5x 7 scriviamo l equazione della retta passante per il punto Pð 3; 3Þ e parallela a quella data. La generica equazione di una retta passante per il punto Pð 3; 3Þ è: y þ 3 ¼ mðx þ 3Þ Osserviamo ora che, perché questa retta sia parallela a quella data, deve essere m ¼ 5. Pertanto l equazione richiesta è: y þ 3 ¼ 5ðx þ 3Þ cioè y ¼ 5x þ 1 1

12 La retta Unità Equazione della retta passante per due punti assegnati Vogliamo scrivere l equazione della retta passante per i due punti P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e P ðx ; y Þ. A tale scopo determiniamo anzitutto il coefficiente angolare della retta che passa per P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e P ðx ; y Þ: m ¼ y y 1 x x 1 Si tratta adesso di scrivere semplicemente l equazione della retta che ha come coefficiente angolare quello già trovato e che passa per un punto assegnato. Così, ponendo la condizione che la retta passi per P 1 ðx 1 ; y 1 Þ si scrive l equazione: y y 1 ¼ y y 1 ðx x 1 Þ da cui x x 1 y y 1 ¼ x x 1 y y 1 x x 1 È questa l equazione della retta che passa per i punti P 1 ðx 1 ; y 1 Þ e P ðx ; y Þ. 1 L equazione della retta passante per i punti P 1 ð3; 4Þ e P ð4; 6Þ è: y ¼ x 3 cioè y ¼ x 4 3 L equazione della retta passante per i punti P 1 ð 1; 3Þ e P ð ; 4Þ è: y ¼ x þ 1 cioè y ¼ 7x þ 10 þ 1 3 L equazione della retta passante per i punti P 1 ð0; 5Þ e P ð4; 1Þ è: y ¼ x cioè y ¼ 3 4 x þ Rette perpendicolari Consideriamo le due rette di equazione: Si dimostra che y ¼ mx þ q y ¼ m 0 x þ q 0 condizione perché due rette (non parallele agli assi) siano perpendicolari è che il coefficiente angolare dell una sia l opposto dell inverso del coefficiente angolare dell altra. Cioè, deve essere: m ¼ 1 m 0 oppure m m 0 ¼ 1 DIMOSTRAZIONE Consideriamo le rette r ed r 0 fra loro perpendicolari le cui equazioni sono: y ¼ mx þ q y ¼ m 0 x þ q 0 13

13 Unità 1 La retta Al loro posto possiamo considerare le rette s ed s 0, rispettivamente parallele a r ed r 0, passanti per l origine. Le rette s ed s 0 hanno gli stessi coefficienti angolari di r ed r 0 e le loro equazioni sono rispettivamente: y ¼ mx y ¼ m 0 x A questo proposito si osservi la figura 1.5. Fig. 1.5 Siano A e A 0 i punti, rispettivamente su s ed s 0, di ascissa 1. Le loro ordinate sono rispettivamente m ed m 0. Si ha, cioè: Að1; mþ A 0 ð1; m 0 Þ Ebbene, perché le rette s ed s 0 siano perpendicolari il triangolo OA 0 A deve essere rettangolo e, quindi, per il teorema di Pitagora deve essere: Ora, essendo: AA 0 ¼ OA þ OA 0 p AA 0 ¼jm m 0 j OA ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ m OA 0 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ m 0 sostituendo nella precedente si ottiene cioè Quindi, si ha: da cui, infine jm m 0 j ¼ð1 þ m Þþð1 þ m 0 Þ m mm 0 þ m 0 ¼ þ m þ m 0 m m 0 ¼ 1 m m 0 ¼ 1 oppure m ¼ 1 m 0 Data la retta di equazione: y ¼ 1 7 x þ

14 La retta Unità 1 scriviamo l equazione della retta passante per Pð4; 3Þ e perpendicolare a essa. L equazione di una generica retta passante per Pð4; 3Þ è: y þ 3 ¼ mðx 4Þ In particolare, essendo m ¼ 1=7 il coefficiente angolare della retta data, l equazione della retta passante per Pð4; 3Þ e perpendicolare a essa deve avere come coefficiente angolare 7. Quindi, si ha: y þ 3 ¼ 7ðx 4Þ cioè y ¼ 7x Equazione della retta in forma implicita Oltre che nella forma esplicita: y ¼ mx þ q ð4þ l equazione della retta si può presentare nella forma seguente ax þ by þ c ¼ 0 ð5þ dove a, b e c sono costanti di cui le prime due non contemporaneamente nulle. Si tratta della forma implicita dell equazione della retta. Partendo dalla forma implicita si perviene agevolmente alla forma esplicita, cioè alla (4). A questo proposito, distinguendo fra caso generale e casi particolari, si ha quanto segue. CASO GENERALE. Se a 6¼ 0, b 6¼ 0, c 6¼ 0, dalla (5), esplicitando rispetto a y si ottiene: Posto quindi: by ¼ ax c da cui y ¼ a b x c b m ¼ a b coefficiente angolare q ¼ c b ordinata all 0 origine si ottiene: y ¼ mx þ q Da: 3x þ y 4 ¼ 0 si ottiene y ¼ 3 x þ CASI PARTICOLARI. Posto che i coefficienti a e b della (5) non possono essere contemporaneamente nulli, si presentano i seguenti casi particolari: 1. a 6¼ 0, b ¼ 0, c 6¼ 0 L equazione (5) porta a x ¼ c=a. Si tratta di retta parallela all asse y.. a 6¼ 0, b ¼ 0, c ¼ 0 L equazione (5) porta a x ¼ 0. Si tratta dell asse y. 3. a ¼ 0, b 6¼ 0, c 6¼ 0. L equazione (5) porta a y ¼ c=b. Si tratta di retta parallela all asse x. 15

15 Unità 1 La retta 4. a ¼ 0, b 6¼ 0, c ¼ 0 L equazione (5) porta a y ¼ 0. Si tratta dell asse x. 5. a 6¼ 0, b 6¼ 0, c ¼ 0 L equazione (5) si scrive: ax þ by ¼ 0 cioè y ¼ mx essendo m ¼ a=b. Si tratta di retta passante per l origine degli assi PROBLEMI SULLA RETTA Esponiamo qui di seguito alcuni problemi sulla retta. INTERSEZIONE FRA DUE RETTE. Determinare le coordinate del punto di intersezione fra le rette di equazione: y x þ 1 ¼ 0 3y x 9 ¼ 0 Il punto di intersezione fra due rette, se esiste, è quel punto che appartiene a entrambe le rette. Ne segue che le sue coordinate debbono soddisfare entrambe le equazioni. Allora, per determinare le coordinate del punto di intersezione fra due rette occorre risolvere il sistema costituito dalle due equazioni: Si trova: y x þ 1 ¼ 0 3y x 9 ¼ 0 x ¼ 3 y ¼ 5 Quindi, concludendo, le due rette si incontrano nel punto P ð3; 5Þ. L esistenza di un punto di intersezione fra due rette richiede che il sistema costituito dalle equazioni delle due rette sia determinato, cioè ammetta una sola soluzione. In caso contrario il sistema è impossibile oppure indeterminato. In particolare: se il sistema è impossibile esso non ammette soluzione alcuna. In questo caso fra le due rette non esiste alcun punto in comune: esse sono parallele; se il sistema è indeterminato esso ammette infinite soluzioni. In questo caso fra le due rette esistono infiniti punti in comune: esse sono coincidenti. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA. Determinare la distanza del punto P ð3; 4Þ dalla retta di equazione 3x 4y þ 5 ¼ 0. Scritta l equazione della retta data nella forma: y ¼ 3 4 x þ 5 4 scriviamo l equazione della retta a essa perpendicolare, passante per P ð3; 4Þ. Si ha: y 4 ¼ 4 ðx 3Þ cioè 3y þ 4x 4 ¼ 0 3 Determiniamo adesso le coordinate del punto di intersezione fra la retta data e quella ora considerata. 16

16 La retta Unità 1 Dal sistema: 3x 4y ¼ 5 4x þ 3y ¼ 4 si ha H ð81=5; 9=5Þ Infine, osservando che la distanza di P ð3; 4Þ dalla retta di equazione 3x 4y þ 5 ¼ 0è data dalla misura del segmento HP, si ottiene: s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi HP ¼ 3 81 þ 4 9 ¼ La distanza del punto P 1 ðx 1 ; y 1 Þ dalla retta di equazione ax þ by þ c ¼ 0 può essere determinata più rapidamente applicando la formula seguente della quale, però, non diamo la dimostrazione: d ¼ jax 1 þ by 1 þ cj pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b Nel caso considerato si ha subito: j þ 5j d ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 þð 4Þ 5 VERIFICA DI ALLINEAMENTO DI PUNTI. Verificare che i tre punti A (1; 4), B (; 5) e C ( 6; 3) non sono allineati. Consideriamo la retta che passa per A e per B. La sua equazione è: x 1 1 ¼ y cioè 9x þ y 13 ¼ 0 (6) Verifichiamo ora se C appartiene alla retta passante per A e B. Per x ¼ 6ey ¼ 3 il primo membro della (6) assume il valore 64 6¼ 0. Ciò vuol dire che il punto C non appartiene alla retta AB e che, quindi, i tre punti non sono allineati. PERIMETRO DI UN TRIANGOLO. Dati i punti A, B e C di cui all esercizio precedente determinare il perimetro del triangolo di vertici A, B e C. Per determinare il perimetro del triangolo di vertici A, B e C occorre trovare la lunghezza dei tre lati del triangolo: figura 1.6. Si ha: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ ð 1Þ þð 5 4Þ p ¼ ffiffiffiffiffi 8 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AC ¼ ð1 þ 6Þ þð4 3Þ p ¼ 5 ffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi CB ¼ ð þ 6Þ þð 5 3Þ p ¼ 8 ffiffi 17

17 Unità 1 La retta Il perimetro del triangolo è quindi il seguente: p p ¼ AB þ AC þ CB ¼ ffiffiffiffiffi pffiffi pffiffi pffiffiffiffiffi p ffiffiffi 8 þ 5 þ 8 ¼ 8 þ 13 7,44 Fig. 1.6 AREA DI UN TRIANGOLO. Con riferimento ai punti A, B e C dei due esercizi precedenti calcolare l area del triangolo ABC. Determiniamo anzitutto l equazione della retta passante per B e C : figura 1.6. Si ha: x 6 ¼ y þ 5 3 þ 5 cioè x þ y þ 3 ¼ 0 (7) Per calcolare l area del triangolo determiniamo adesso la misura dell altezza AH relativa al lato CB. A tale scopo occorre conoscere le coordinate del punto H di intersezione fra l equazione della retta relativa all altezza AH e la retta CB la qual cosa richiede, a sua volta, la conoscenza dell equazione relativa all altezza AH. Ora, dato che la retta relativa all altezza AH passa per Að1; 4Þ ed è perpendicolare alla retta relativa al lato CB, la cui equazione è la (7), per la retta relativa all altezza AH si trova l equazione y ¼ x þ 3. A questo punto risolviamo il sistema: y ¼ x 3 y ¼ x þ 3 trovando H ð 3; 0Þ p Ne segue che la distanza fra Að1; 4Þ e H ð 3; 0Þ è AH ¼ ffiffiffiffiffi 3. Infine, si ha: S ¼ 1 AH CB ¼ 1 pffiffiffiffiffi pffiffiffi 3 8 ¼ APPLICAZIONI DELL EQUAZIONE DELLA RETTA IN ECONOMIA Introduciamo due esempi che mettono in evidenza possibili applicazioni dell equazione della retta in economia. Precisiamo che le variabili x e y che figurano nell equazione della retta possono essere, di volta in volta, indicate con lettere diverse che meglio si prestano a richiamarne il contenuto e la natura. 18

18 La retta Unità 1 PRIMO CASO. Il prezzo che si paga per l acquisto di una unità di un dato prodotto è di Euro In tal caso, se indichiamo con n il numero di unità acquistate, possiamo scrivere: costo ¼ 1:000 n Se poi indichiamo, più brevemente, il costo con la lettera c possiamo scrivere ancora: c ¼ 1:000 n Siamo in presenza dell equazione di una retta: essa è soddisfatta da coppie ðn; cþ. Per esempio, la coppia ð0; 0Þ soddisfa l equazione (la retta passa per l origine dato che la sua equazione è priva del termine noto). Anche la coppia (100; ) soddisfa l equazione dato che per n ¼ 100 si ha proprio c ¼ 1: ¼ 100:000. La rappresentazione grafica del costo c è immediata: la retta passa per i due punti O (0; 0) e P ð100; 100:000Þ. Occorre soltanto precisare che in questo caso, come anche in molti altri casi concreti che prenderemo in consideraizone, l unità di misura utilizzata per le ascisse è solitamente diversa da quella utilizzata per le ordinate; la rappresentazione grafica viene fatta limitatamente a valori di n 0 (non ha senso alcuno considerare un numero negativo di prodotti!). Da ciò deriva che, in realtà, la rappresentazione grafica di c non è data da una retta ma da una semiretta: figura 1.7. In definitiva, nel caso considerato la definizione di costo va precisata scrivendo: c ¼ 1:000 n con n 0 Osservazione. In realtà, la rappresentazione grafica sarebbe costituita dai punti che appartengono alla semiretta e le cui ascisse sono intere (n assume i valori 1,, 3,...). Se poi tali punti vengono uniti e si evidenzia la semiretta ciò dipende dall opportunità di migliorare l evidenza grafica. Fig. 1.7 SECONDO CASO. Un azienda produce panettoni sostenendo ogni settimana un costo fisso di Euro 516 (per affitto locali, magazzino, macchinari, stipendi,...) e un costo per ogni panettone prodotto di Euro 1, (per farina, burro e margarina, ingredienti vari impiegati). In questo caso, indicando con p il numero di panettoni prodotti in una settimana, possiamo scrivere: c ¼ 1, p þ 516 con p 0 per indicare il costo che l azienda sopporta per produrre p panettoni in una settimana. 19

19 Unità 1 La retta Per esempio, si ha: producendo p ¼ 0 panettoni c ¼ 516 producendo p ¼ 1:000 panettoni c ¼ 1, 1:000 þ 516 ¼ 1:716 La rappresentazione grafica del costo c è data dalla semiretta (1) di figura 1.8. Supponiamo ora che ogni panettone venga rivenduto a Euro,4. In tal caso, dalla vendita di p panettoni l azienda realizza in una settimana un ricavo: r ¼,4 p con p 0 La rappresentazione grafica del ricavo r è data dalla semiretta (), che esce dall origine: figura 1.8. Fig. 1.8 Si vede che esiste un numero p di panettoni in corrispondenza del quale si ha: c ¼ r cioè 1, p þ 516 ¼,4 p Risolvendo questa equazione si ottiene p ¼ 430. Possiamo, quindi, dire che producendo: p ¼ 430 panettoni risulta c ¼ r (equilibrio: il costo uguaglia il ricavo); p < 430 panettoni risulta c > r (perdita); p > 430 risulta c < r (guadagno). Possiamo scrivere la differenza fra r e c, cioè il guadagno, come segue: g ¼ r c ¼,4 p ð1, p þ 516Þ ¼1, p 516 con p 0 La rappresentazione grafica del guadagno g è data dalla semiretta (3) della figura 1.8: viene confermato che per p < 430 il guadagno è negativo (in particolare, per p ¼ 100 si ha una perdita g ¼ 396Þ; per p ¼ 430 si ha g ¼ 0 (pareggio); per p > 430 si ha un guadagno positivo che cresce al crescere di p. 0

20 Se hai dubbi o trovi qualche difficoltà rivedi il paragrafo indicato nella terza colonna n test par. 1 Che cosa intendi per luogo geometrico? 1.3 L equazione di un luogo geometrico è F ðx; yþ ¼0. Se F ð3; 5Þ ¼0 puoi affermare che il punto Pð3; 5Þ appartiene a quel luogo geometrico? 3 È sempre possibile passare dalla forma implicita F ðx; yþ ¼0 dell equazione di un luogo geometrico alla forma esplicita y ¼ f ðxþ? 4 L equazione implicita F ðx; yþ ¼0 di un luogo geometrico definisce una funzione y ¼ f ðxþ soltanto se... 5 Qual è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno ascissa nulla? Qual è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno ascissa e ordinata uguali? 7 Quali requisiti deve avere un equazione perché definisca una retta? Che cosa puoi dire di una retta nella cui equazione manca il termine noto? Può essere calcolato il coefficiente angolare di una retta parallela all asse y? Nell equazione di una retta quale significato hanno i parametri m e q? Quale condizione deve essere verificata perché due rette siano parallele? Che cosa intendi per fascio improprio di rette? E per fascio proprio? Quale posizione occupano reciprocamente due rette le cui equazioni differiscono soltanto per l ordinata all origine? 14 Perché un punto A appartenga alla retta passante per i punti B e C occorre che Quale condizione deve essere verificata perché due rette siano perpendicolari? TEST DIAUTOVERIFICA 16 Le rette r e s hanno coefficiente angolare rispettivamente uguale a /3 e 6=4. Come sono queste rette? 17 Data l equazione della retta scritta in forma implicita ða 6¼ 0, b 6¼ 0, c 6¼ 0Þ determina m e q in funzione dei coefficienti delle variabili e del termine noto. 18 Le rette di equazione y ¼ x e y ¼ x si incontrano nel punto Pð:::; :::Þ

21 UNITÀ LA CIRCONFERENZA Contenuti equazione della circonferenza dati il centro e il raggio riconoscimento dell equazione di una circonferenza casi particolari intersezioni di una circonferenza con gli assi equazioni della circonferenza contenenti un parametro equazione della circonferenza passante per tre punti Obiettivi saper determinare l equazione di una circonferenza noti il centro e il raggio riconoscere l equazione di una circonferenza individuandone centro e raggio saper costruire l equazione di una circonferenza passante per tre punti saper individuare le intersezioni di una circonferenza con gli assi.1 EQUAZIONE GENERALE DELLA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza r da un punto fisso C è costante. Il punto C si chiama centro, la distanza r si chiama raggio. Sia C ð; Þ il centro della circonferenza e Pðx; yþ un punto qualsiasi appartenente a essa: figura.1. Fig..1 Poiché la distanza di P ðx; yþ da C ð; Þ deve essere uguale al raggio r, per ottenere l equazione della circonferenza poniamo la condizione: CP ¼ r

22 La circonferenza Unità Quindi, utilizzando la formula che permette di calcolare la distanza fra due punti, si ha: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx Þ þðy Þ ¼ r Da questa, elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene: ðx Þ þðy Þ ¼ r ð1þ L equazione della circonferenza di centro Cð3; 4Þ e raggio r ¼ 3è: ðx 3Þ þðy 4Þ ¼ 9 Ciò posto, proviamo per esempio se p il punto P 1 ð5; 4 þ ffiffi 5 Þ appartiene alla circonferenza. Sostituendo al primo membro dell equazione si ottiene: ð5 3Þ p þ½ð4þ ffiffi 5 Þ 4Š p ¼ 4 þð4þ ffiffi 5 Þ p 4ð4 þ ffiffi 5 Þþ16 ¼ p ¼ 4 þ 16 þ 8 ffiffi pffiffi 5 þ þ 16 ¼ 9 Il primo membro è uguale al secondo: l equazione è soddisfatta per cui il punto P 1 appartiene alla circonferenza; il punto P ð5; Þ appartiene alla circonferenza. In questo caso, sostituendo al primo membro dell equazione troviamo: ð5 3Þ þð 4Þ ¼ 4 þ 36 ¼ 40 Il primo membro è diverso dal secondo: l equazione non è soddisfatta per cui il punto P non appartiene alla circonferenza. Osservazione. La verifica dell appartenenza di un punto a una circonferenza consiste, in sostanza, nel verificare che la distanza p del punto considerato dal centro sia uguale al raggio. Infatti, per il punto P 1 si trova P 1 C ¼ ffiffi p 9 ¼ 3 ¼ r mentre per il punto P si trova P C ¼ ffiffiffiffiffi pffiffi 40 > 9 ¼ r Riprendendo l equazione (1) e svolgendo le operazioni indicate si trova: x x þ þ y y þ r ¼ 0 x þ y x y þ þ r ¼ 0 Quindi, ponendo: ¼ a ¼ b þ r ¼ c si scrive: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 Otteniamo così una diversa forma dell equazione della circonferenza. ðþ Riprendiamo il precedente esempio in cui: ðx 3Þ þðy 4Þ ¼ 9 Ripetendo le trasformazioni già fatte in generale si ottiene: x 6x þ 9 þ y 8y þ 16 9 ¼ 0 x þ y 6x 8y þð9þ16 9Þ ¼0 x þ y 6x 8y þ 16 ¼ 0 3

23 Unità La circonferenza L equazione () presenta le seguenti caratteristiche: si tratta di un equazione di secondo grado in x e y; i coefficienti di x e y sono uguali (in genere essi sono uguali a 1. In caso contrario ci si riporta al caso tipico di coefficienti di x ediy uguali a 1 dividendo ambo i membri dell equazione per il coefficiente comune); nell equazione manca il termine in xy (termine misto). A questo punto sorge spontanea la seguente domanda: quale fra le due forme di equazione è più conveniente usare? Ebbene, nella forma (1) tutte le informazioni relative alla posizione del centro e alla lunghezza del raggio sono direttamente leggibili. Scrivendo, per esempio: vediamo subito che ðx 3Þ þðy 4Þ ¼ 9 p C ð3; 4Þ r ¼ ffiffi 9 ¼ 3 Ciò non accade nella forma (). Infatti, trasformando l equazione precedente nella: x þ y 6x 8y þ 16 ¼ 0 le coordinate del centro e la lunghezza del raggio non sono direttamente leggibili. Perché si possano avere tali informazioni occorre scoprire alcune particolari relazioni delle quali ci occuperemo nel paragrafo successivo. In ogni caso, a parte quanto ora evidenziato, l uso della (1) o della () dipenderà, in concreto, dal tipo di problema che occorre affrontare. Gli esempi successivi serviranno sicuramente a chiarire le cose.. COME RICONOSCERE L EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA DEFINENDONE CENTRO E RAGGIO Consideriamo una generica equazione del tipo: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 Trattandosi di un equazione di secondo grado in x e y, che ha i coefficienti di x e y uguali e che manca del termine misto in xy, siamo indotti a dire che essa rappresenta una circonferenza. Di questa circonferenza, però, non sapremmo definire immediatamente le coordinate e del centro C né la lunghezza del raggio r. Ebbene, vediamo sotto quale condizione la (3) rappresenta una circonferenza e di individuare in tal caso le coordinate e del centro e la lunghezza del raggio r. Dalla (), portando c a destra del segno uguale e aggiungendo ad ambo i membri: a 4 þ b si ha 4 x þ y þ ax þ by þ a 4 þ b 4 ¼ a 4 þ b c 4 x þ ax þ þ a y þþby þ b 4 4 ¼ a 4 þ b 4 c ð3þ 4

24 La circonferenza x þ a þ b y þ ¼ a 4 þ b 4 c h x a i þ b y ¼ a 4 þ b c ð4þ 4 A questo punto osserviamo di essere in presenza dell equazione di una circonferenza se è verificata la condizione: a 4 þ b 4 c > 0 Infatti, se è soddisfatta questa condizione, ponendo: si ottiene ¼ a cioè la (1). Allora, possiamo concludere che un equazione generica del tipo: ¼ b r ¼ a 4 þ b 4 c ðx Þ þðy Þ ¼ r x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 rappresenta una circonferenza di centro C a ; b rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a e r ¼ 4 þ b 4 c se a 4 þ b 4 c > 0 Osservazione. Nel caso particolare in cui: Unità a 4 þ b 4 c ¼ 0 vuol dire che il raggio è nullo per cui la circonferenza si riduce semplicemente a un punto. Si dice anche che l equazione degenera riducendosi al suo centro. Riconoscere quale fra le seguenti equazioni definisce una circonferenza precisandone le coordinate del centro e la lunghezza del raggio: x þ y 6x þ 4y 1 ¼ 0 x þ 3y x þ y 1 ¼ 0 x þ y þ x y þ 3 ¼ 0 1 Consideriamo la prima equazione: x þ y 6x þ 4y 1 ¼ 0 L equazione è di secondo grado, i coefficienti di x e y sono uguali e manca il termine misto in xy. Inoltre, essendo (vedere la generica equazione (3)): a ¼ 6 b ¼ 4 c ¼ 1 5

25 Unità La circonferenza si ha ¼ a ¼ 6 ¼ 3 ¼ b ¼ 4 ¼ r ¼ a 4 þ b 36 c ¼ 4 4 þ 16 þ 1 ¼ 5 > 0 cioè r ¼ 5 4 In definitiva, l equazione considerata definisce la circonferenza avente centro Cð3; Þ e raggio r ¼ 5. Il riconoscimento può essere fatto in modo più ragionato ripetendo le operazioni già svolte, in generale, per passare dalla forma (3) alla forma (1) dell equazione. Si tratta, in sostanza, di passare: dalla forma x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 alla forma ðx Þ þðy Þ ¼ r Si trova: x þ y 6x þ 4y þ 9 þ 4 ¼ 1 þ 9 þ 4 x 6x þ 9 þ y þ 4y þ 4 ¼ 5 ðx 3Þ þðy þ Þ ¼ 5 La distanza fra il punto generico Pðx; yþ e il punto Cð3; Þ è sempre uguale a 5 e, quindi, resta verificato anche per questa via che l equazione considerata definisce la circonferenza di centro Cð3; Þ e raggio r ¼ 5. Osservazione. Nel riconoscere l equazione di una circonferenza si può seguire, indifferentemente, la prima o la seconda via. Consideriamo la seconda equazione: x þ 3y x þ y 1 ¼ 0 In questo caso l equazione è di secondo grado e manca del termine misto in xy. Però, i coefficienti di x e y sono diversi. Concludiamo che non si tratta dell equazione di una circonferenza. 3 Consideriamo la terza equazione: x þ y þ x y þ 3 ¼ 0 L equazione è di secondo grado, i coefficienti di x e y sono uguali e manca il termine in xy: potrebbe trattarsi dell equazione di una circonferenza. Perché lo sia deve essere: a 4 þ b 4 c > 0 Essendo: a ¼ 1 b ¼ 1 c ¼ 3 si ha 1 4 þ ¼ 5 < 0 Concludiamo che l equazione considerata non definisce una circonferenza. Oppure, aggiungendo e sottraendo a ambo i membri 1 4 þ 1 4 ¼ 1 si ha: x þ y þ x y þ 1 4 þ 1 4 ¼ 1 3 x þ x þ 1 4 þ y y þ 1 4 ¼ 5 x þ 1 þ y 1 ¼ 5 Quest ultima uguaglianza è falsa dato che la somma di due quadrati, cioè di due numeri positivi, non può essere negativa. Quindi non si tratta dell equazione di una circonferenza. 6

26 La circonferenza Unità. 3 CASI PARTICOLARI Quello fino a ora trattato è il caso dell equazione generale della circonferenza. Possono, però, presentarsi casi particolari che conviene evidenziare partendo dall equazione generale nella forma: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 PRIMO CASO. Se nell equazione manca il termine noto, cioè c ¼ 0, si ha: x þ y þ ax þ by ¼ 0 In questo caso la circonferenza passa per l origine Oð0; 0Þ degli assi. Infatti, dando a x e y il valore zero, si vede che l equazione è soddisfatta per cui il punto Oð0; 0Þ appartiene alla circonferenza. SECONDO CASO. Se nell equazione manca il termine in x, cioè a ¼ 0, si ha: x þ y þ by þ c ¼ 0 In questo caso la circonferenza ha come centro il punto C di coordinate: ¼ a ¼ 0 ¼ b E, poiché qualsiasi punto di ascissa zero giace sull asse delle ordinate, si conclude che, se a ¼ 0, l equazione rappresenta una circonferenza avente centro in C ð0; b=þ sull asse delle ordinate. TERZO CASO. Se nell equazione manca il termine in y, cioè b ¼ 0, si ha: x þ y þ ax þ c ¼ 0 In questo caso la circonferenza ha come centro C il punto di coordinate: ¼ a ¼ b ¼ 0 E, poiché qualsiasi punto di ordinata zero giace sull asse delle ascisse, si conclude che, se b ¼ 0, l equazione rappresenta una circonferenza avente centro in C ð a=; 0Þ sull asse delle ascisse. QUARTO CASO. Se a ¼ 0eb ¼ 0 si ha: x þ y þ c ¼ 0 cioè ðx 0Þ þðy 0Þ ¼ c In questo caso si ha: p C ð0; 0Þ r ¼ ffiffiffiffiffiffi c e deve essere c negativo. p Si ffiffiffiffiffiffi tratta, allora, della circonferenza avente centro nell origine ð0; 0Þ degli assi e raggio c (essendo c < 0Þ.. 4 INTERSEZIONE CON GLI ASSI Per determinare gli eventuali punti d intersezione con l asse x occorre risolvere il sistema: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 y ¼ 0 7

27 Unità La circonferenza cioè porre y ¼ 0 nell equazione della circonferenza. Infatti, qualsiasi punto d intersezione con l asse x giace sull asse x e come tale ha ordinata y uguale a zero. Allora, per y ¼ 0 l equazione della circonferenza diventa: x þ ax þ c ¼ 0 Come si vede, si ottiene un equazione di secondo grado in x se ¼ b 4ac > 0 essa ha due soluzioni reali e distinte: la circoferenza interseca due volte l asse x; se ¼ 0 essa ha due soluzioni reali e coincidenti: la circonferenza è tangente all asse x; se < 0 l equazione è impossibile (non ha soluzioni reali): la circonferenza non interseca l asse x né è tangente a esso. 1 Determinare le eventuali intersezioni con l asse x della circonferenza di equazione: x þ y þ 4x þ 6y 1 ¼ 0 Come facilmente si verifica, si tratta dell equazione della circonferenza avente come centro il punto Cð ; 3Þ e raggio r ¼ 5. Per trovare le eventuali intersezioni con l asse x, posto y ¼ 0, si ha: x þ 4x 1 ¼ 0 le cui soluzioni sono x ¼ 4 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 þ 4 1 ¼ 4 p ffiffiffiffiffi 64 ¼ 4 8 Concludiamo che la circonferenza considerata interseca l asse delle ascisse nei punti P 1 ð 6; 0Þ e P ð; 0Þ. Determinare le eventuali intersezioni con l asse x della circonferenza di equazione: x þ y 6x þ 4y þ 9 ¼ 0 Come facilmente si verifica, si tratta dell equazione della circonferenza di centro Cð3; Þ e raggio r ¼. In questo caso, ponendo y ¼ 0, si ha: x 6x þ 9 ¼ 0 Possiamo evitare di ricorrere alla formula risolutiva dell equazione di secondo grado osservando che è: ðx 3Þ ¼ 0 cioè ðx 3Þðx 3Þ ¼0 Quindi, l equazione ha due soluzioni reali e coincidenti: la circonferenza è tangente all asse delle ascisse nel punto Pð3; 0Þ. 3 Scrivere l equazione della circonferenza di centro Cð4; 5Þ e raggio r ¼ 4 determinandone le eventuali intersezioni con l asse x. Si ha: ðx 4Þ þðy 5Þ ¼ 16 cioè x þ y 8x 10y þ 5 ¼ 0 Quindi, ponendo y ¼ 0, si ha: x 8x þ 5 ¼ 0 da cui x ¼ 8 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 8 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 36 Poiché < 0 l equazione è impossibile (non ha soluzioni reali): la circonferenza non interseca né tange l asse delle ascisse. ¼ 6 8

28 La circonferenza Unità Per determinare gli eventuali punti d intersezione con l asse y occorre risolvere il sistema: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 x ¼ 0 cioè porre x ¼ 0 nell equazione della circonferenza. Infatti, qualsiasi punto d intersezione con l asse y giace sull asse y e come tale ha ascissa x uguale a zero. Allora, per x ¼ 0, l equazione della circonferenza diventa: y þ by þ c ¼ 0 Si tratta, quindi, di risolvere questa equazione di secondo grado in y e la circonferenza ha due intersezioni con l asse y, oppure è tangente a esso o, infine, non ha alcun punto in comune con esso a seconda che sia rispettivamente > 0, oppure ¼ 0 o, infine, < 0. Trovata l equazione della circonferenza che ha centro in Cð 3; Þ e raggio r ¼ 5, determinare le eventuali intersezioni con l asse y. L equazione della circonferenza richiesta è: ðx þ 3Þ þðy Þ ¼ 5 cioè x þ y þ 6x 4y 1 ¼ 0 Per trovare le eventuali intersezioni con l asse y, posto x ¼ 0, si ha: y 4y 1 ¼ 0 Risolvendo questa equazione di secondo grado in y si trova: y ¼ 4 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 þ 48 ¼ 4 p ffiffiffiffiffi 64 ¼ Concludiamo che la circonferenza considerata interseca l asse y nei punti P 1 ð0; Þ e P ð0; 6Þ EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA CONTENENTI UN PARAMETRO: FAMIGLIE DI CIRCONFERENZE Dal punto di vista geometrico possiamo dire che una circonferenza è nota quando se ne conoscono il centro e il raggio e che, viceversa, dati centro e raggio si individua una sola circonferenza: centro, raggio! una sola circonferenza Dal punto di vista algebrico possiamo dire che una circonferenza è nota quando sono noti i coefficienti numerici a, b e c e che, viceversa, dati i coefficienti numerici a, b e c si individua una sola circonferenza: a, b, c! una sola circonferenza Quando anche uno soltanto dei coefficienti a, b e c non è un valore numerico, cioè non è determinato ma è variabile, costituendo un parametro da definire a seconda dei casi, l equazione in cui questo parametro figura non rappresenta una sola circonferenza ma infinite circonferenze. Il parametro può assumere infiniti valori, a ogni valore corrisponde una particolare circonferenza e l insieme delle circonferenze che così possono determinarsi costituisce una famiglia di circonferenze. 9

29 Unità La circonferenza 1 Nell equazione: x þ y þ kx 6y ¼ 0 figura il parametro k come coefficiente del termine in x. L equazione rappresenta, quindi, infinite circonferenze, ciascuna delle quali corrisponde a un particolare valore del parametro k. Per esempio: per k ¼ 0siha x þ y 6y ¼ 0 ðþ p cioè la circonferenza di centro Cð0; 3Þ e raggio r ¼ ffiffiffiffiffi 11 (la circonferenza ha il centro sull asse delle ordinate); per k ¼ 10 si ha x þ y þ 10x 6y ¼ 0 cioè la circonferenza di centro Cð 5; 3Þ e raggio r ¼ 6. In generale, possiamo dire che la (1) definisce la famiglia di circonferenze aventi: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k Cð k=; 3Þ r ¼ 4 þ 11 In particolare, ponendo in queste ultime k ¼ 0 oppure k ¼ 10 si riottengono le equazioni () e (3). Da notare che, per qualsiasi valore di k, l ascissa del centro varia mentre l ordinata è costante, uguale a 3. Ciò significa che tutte le infinite circonferenze che si ottengono facendo variare k hanno il centro C sulla retta di equazione y ¼ 3 (parallela all asse xþ. Naturalmente, p dato che anche r dipende da k, le circonferenze differiscono per il raggio. Per k ¼ 0sihar ¼ ffiffiffiffiffi 11, per k ¼ 10 si ha r ¼ 6,.... Per esempio, vogliamo conoscere l equazione della circonferenza che passa per il punto Pð1; 1Þ. Poiché la coppia (1; 1) deve essere soluzione dell equazione (1), sostituendo in essa si ottiene: 1 þ 1 k 6 ¼ 0 cioè k ¼ 6. L equazione della circonferenza è quindi la seguente: x þ y þ 6x 6y ¼ 0r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 36 Si tratta della circonferenza di centro Cð 3; 3Þ e raggio r ¼ 4 þ 11 p ¼ ffiffiffiffiffi 0 L equazione: x þ y þ kx þ ky 4 ¼ 0 definisce le infinite circonferenze aventi centro Cð k=; k=þ e raggio: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k r ¼ 4 þ k 4 þ 4 k ¼ þ 4 Come si vede, in questo caso entrambe le coordinate del centro, come pure il raggio, dipendono dal parametro k. Inoltre, dato che l ascissa e l ordinata del centro sono uguali, le infinite circonferenze definite dall equazione (1) hanno centro sulla retta di equazione y ¼ x (bisettrice passante per il primo e il terzo quadrante). p Posto quanto sopra, determiniamo l equazione della particolare circonferenza di raggio r ¼ ffiffiffiffiffi 1. Da: r ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k þ 4 ponendo r ¼ p ffiffiffiffiffi 1 si ha e, quindi, elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 1 ¼ 1 ¼ k þ 4 p k ¼ 16 k ¼ ffiffiffiffiffi 16 ¼4 k þ 4 ð1þ ð3þ ð1þ 30

30 La circonferenza Unità Otteniamo due valori opposti di k e, quindi, non l equazione di p una ffiffiffiffiffi sola circonferenza ma le equazioni di due circonferenze, ciascuna avente raggio uguale a 1. In particolare, dalla (1): per k ¼ 4siha x þ y 4x 4y 4 ¼ 0 per k ¼ 4siha x þ y þ 4x þ 4y 4 ¼ 0. 6 EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER TRE PUNTI Come già detto, per definire una circonferenza e scriverne l equazione occorre conoscere le coordinate del centro e la lunghezza del raggio. Lo stesso risultato si ottiene, però,sedi una circonferenza conosciamo tre punti. A questo proposito teniamo presente che per tre punti (ovviamente non allineati) passa una sola circonferenza. Per determinare l equazione della circonferenza passante per i punti P 1 ðx 1 ; y 1 Þ, P ðx ; y Þ e P 3 ðx 3 ; y 3 Þ occorre imporre, per ciascun punto, la condizione che esso, con le sue coordinate, soddisfi l equazione: x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 Allora, per il punto P 1 ðx 1 ; y 1 Þ, sostituendo x 1 al posto di x e y 1 al posto di y, si ottiene un equazione di primo grado nelle incognite a, b e c. Ciò vale anche per i punti P ðx ; y Þ e P 3 ðx 3 ; y 3 Þ. In questo modo veniamo a trovarci in presenza di tre equazioni di primo grado nelle incognite a, b, c e, poiché tali equazioni debbono essere soddisfatte contemporaneamente, si tratta di considerare il sistema costituito da esse. Risolvendolo, otteniamo i valori di a, b e c che, sostituiti nella (5), forniscono l equazione della circonferenza passante per P 1, P e P 3. Troviamo l equazione della circonferenza passante per i punti: P 1 ð ; 3Þ P ð6; 1Þ P 3 ð4; 5Þ Verifichiamo, anzitutto, che i tre punti non siano allineati. Non lo sono in quanto il coefficiente angolare mðp 1 P Þ della retta passante per P 1 e P è diverso dal coefficiente angolare mðp P 3 Þ della retta passante per P e P 3 : 1 ð 3Þ mðp 1 P Þ¼ 6 ð Þ ¼ 1 mðp P 3 Þ¼ ¼ Ciò posto la condizione che la circonferenza passi per P 1 ð ; 3Þ comporta: 4 þ 9 a 3b þ c ¼ 0 cioè a þ 3b c ¼ 13 la condizione che la circonferenza passi per P ð6; 1Þ comporta: 36 þ 1 þ 6a þ b þ c ¼ 0 cioè 6a þ b þ c ¼ 37 la condizione che la circonferenza passi per P 3 ð4; 5Þ comporta: 16 þ 5 þ 4a þ 5b þ c ¼ 0 cioè 4a þ 5b þ c ¼ 41 Allora, consideriamo il sistema: ( a þ 3b c ¼ 13 6a þ b þ c ¼ 37 4a þ 5b þ c ¼ 41 Risolvendolo, troviamo: a ¼ b ¼ c ¼ 3 Infine, sostituendo i valori ora trovati nell equazione (1) otteniamo: x þ y x y 3 ¼ 0 che è l equazione della circonferenza passante per P 1, P e P 3. ð5þ 31

31 Se hai dubbi o trovi qualche difficoltà rivedi il paragrafo indicato nella terza colonna n test par. 1 Definisci la circonferenza..1 Scrivi l equazione della circonferenza noti il centro C ð, Þ e il raggio r..1 3 Quali caratteristiche presenta l equazione della circonferenza?.1 4 Scrivi l equazione della circonferenza noti i coefficienti numerici a, b, c.. 5 Quale condizione deve sussistere perché la generica equazione: definisca una circonferenza? x þ y þ ax þ by þ c ¼ 0 6 Nell equazione di una circonferenza è a ¼ 0. Quale caratteristica presenta questa circonferenza? 7 Perché il centro della circonferenza si trovi sull asse delle ascisse deve essere... 8 Se a ¼ b ¼ 0 l equazione diventa.... Quest ultima definisce una circonferenza il cui centro coincide con a condizione che sia... 9 Se c ¼ 0 quale caratteristica presenta la circonferenza?.3 10 Quante intersezioni può avere una circonferenza con uno degli assi?.4 11 Una circonferenza può essere tangente all asse delle ascisse e intersecare due volte l asse delle ordinate? 1 Nell equazione di una circonferenza il coefficiente del termine in y è un parametro. Quali conseguenze comporta questo fatto? 13 L equazione di una circonferenza può essere determinata conoscendo il centro e il raggio della circonferenza oppure sapendo che essa TEST DIAUTOVERIFICA