Integrazione delle funzioni razionali fratte

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1 Integrazione delle funzioni razionali fratte Avvertenza: è opportuno che lo studente provi a rifare tutti i calcoli presentati nel seguito. Caso generale Consideriamo l integrale (indefinito o definito) ove N(), D() polinomi a coefficienti reali. Supponiamo grado(n) grado(d). : f () N() D() d +, f () +, f () + Dividiamo N() per D(), cioè scriviamo N() R() Q() + D() D(), con Q() polinomio quoziente, R() polinomio resto, grado(r) < grado(d). N() D() d polimomio! }} Q() d + e grado(r) < grado(d)! d +, d d + d ln( + ) + c +, d + d arctan() + c + + ( + ) d d R() D() d +, + d ln( + ) + c

2 D ora in poi R() D() d ove R(), D() polinomi a coefficienti reali e Tre casi: grado(d) grado(d) grado(d) > Caso I: grado(d) grado(r) < grado(d) Si ha grado(d) D() a + b, a 0 grado(r) < grado(d) grado(r) 0 R() k. R() D() d k a k a + b d a a + b d k ln ( a + b ) + c a d d ln ( ) + c Caso II: grado(d) Consideriamo il discriminante Tre casi:. > 0 D() a + b + c, a 0 grado(r) < grado(d) grado(r) R() α + β. b 4ac. 0. < 0

3 . Caso II (): grado(d) & > 0 D() a + b + c a( )( ), radici reali distinte di D() 0, esistono A, R tali che R() D() A + e quindi R() D() d e trovo A e facendo denominatore comune: A d + d A ln( ) + ln( ) + c ( + 4)( + ) A , A( + ) + ( + 4) (A + ) 0 A + 4 A d + 4 d + + d ln ( + ) ln ( + 4 ) + c d e trovo A e facendo denominatore comune: + ( )( ) d A d + A( ) + ( ) + (A + ) A d, 0 e A 7 e d 7 d + 0 d 7 ln ( ) + 0 ln ( ) + c

4 . Caso II (): grado(d) & 0 D() a + b + c a( ) D() 0 ha due radici reali coincidenti Due casi: grado(r) 0 grado(r) Se grado(r) 0, allora R() k e R() D() d k a( ) d k ( ) d a k a ( ) + c Se grado(r), allora R() α + β, con α 0. Due metodi:. Scompongo nella somma di due frazioni: R() D() d α + β a( ) d A d + ( ) d Ad esempio A, 4 e + ( ) A ( ) + ( ) + ( ) d A( ) + + ( ) d + ln( ) 4 + c 4 ( ). evidenzio al numeratore la derivata del denominatore, con manipolazioni algebriche. Ad esempio + ( ) + ( 4 + 4) ( ) d ( 4) d + 4 ( ) d ln( 4 + 4) 4 + c ln( ) 4 + c 4

5 . Caso II (): grado(d) & < 0 D ha due radici complesse coniugate, quindi non si fattorizza nel prodotto di due polinomi reali di grado. D() + +. Calcolo d Primo passo: evidenzio al numeratore la derivata del denominatore (( + + ) + ). Secondo passo: per calcolare d + + d d d ln( + + ) d + + d evidenzio al denominatore la somma di e il quadrato di un binomio (in modo da riportarmi a (arctan) ). + + d d 4 + ( + 4 ( ) d ( + ( ) d + ( + + ) ) d ) d ( ) + arctan + c d ln( + + ) + ( ) + arctan + c 4 Caso III: grado(d) > D si fattorizza nel prodotto di fattori di primo grado fattori irriducibili di secondo grado 5

6 ( )( + + ) 4 ( )( + )( + ) ( ) ( + ) ( + ) Per calcolare R()/D() d scomponiamo R()/D() nella somma di frazioni ( fratti semplici ) aventi come denominatori i fattori di D. Per la ricerca dei numeratori, si tiene conto della molteplicità dei fattori in cui è scomposto D. ( )( + + ) A + + C + + facendo denominatore comune, trovo A + A + A + + C C A + 0 A A + C 0 C A A C A + A C A d d d Per calcolare il secondo, evidenzio al numeratore la derivata del denominatore ( + ) d ( + ) d d d ln( + + ) + ( ) + arctan + c, calcolo N..: il fattore ha molteplicità. Cerco A,, C, D R t.c. Facendo denominatore comune, trovo I ( + ) d ( + ) A + + C + D + A( + ) + ( + ) + (C + D) A + A C + D A + C 0 + D 0 A 0 A 0 D C 0 6

7 Calcolo ( + ) d d + d ( ) d + ( arctan + d ) + c 7