b+ 1 x b+1 log x x e x sin x tan x log cos x cot x log sin x 1 cos 2 x tan x 1 sin 2 x 1 1 x 2 arcsin x 1 arctan x tanh x 1 sinh 2 x coth x 1

Transcript

1 Capitolo Integrali b Funzione (b \{ }) e Primitiva b+ b+ log e sin cos cos sin tan log cos cot log sin cos tan sin cot arcsin + arctan sinh cosh cosh sinh tanh log(cosh ) coth log(sinh ) cosh tanh sinh coth + arcsinh arccosh 4

2 Capitolo. Integrali 5 Esercizi ) Calcolare ) Calcolare ) Calcolare 4) Calcolare 5) Calcolare ) Calcolare 7) Calcolare 8) Calcolare 9) Calcolare ) Calcolare ) Calcolare π/ (4+ ) d. log (log + 4) d. π/ / sin cos cos + d. + d. + 4 d d. sin + 5cos (5sin + cos ) d d. + 9 ( 9) 9 d. arctan + (+ 4) / d. e (e + ) 4 d.

3 Capitolo. Integrali ) Calcolare i seguenti integrali: a. + + d g d b d h d c d i d d d j d e. d k d f. + d l. + 5 d ) Calcolare i seguenti integrali: a. e e + d d. / e e d b. e e e + d e. e + e + d c. e + e + d f. e e + 8e d 4) Calcolare i seguenti integrali: a. π/ π/4 (sin 4 + cos 4 ) d e. π/4 cos sin + cos d b. π/ cos +sin d f. π/ sin d c. π/ π/ cos sin + cos 5 d g. π/4 sin + sin cos cos + cos sin d d. π/ sin cos sin + cos d h. π/ π/4 sin sin + cos cos d

4 Capitolo. Integrali 7 5) Calcolare i seguenti integrali: a. 4+ d h. / / + d b. ( ) d i. + d c. + d j. + + d d. + d k d e. d l. ( + 4) / d f. / 4 9 d m. d g d ) Calcolare i seguenti integrali: n. / 4+ 5 d a. arctan d h. π/ π/4 sin d b. sin cos d i. (+ ) e e (e + 4+ e ) d c. e e + d j. / ( + ) arcsin d d. π /4 +cos d k. cosh + 4sinh cosh sinh d e. π/ π/4 cos sin d l. e cos(π log ) d f. π/ π/4 sin cos d m. e ep(e + ) d log g. log(+ 5) d n. ( )e d

5 Capitolo. Integrali 8 o. p. /5 (5 ) e 5 d arctan d u. v. 4 4 (+ ) arctan d cosh + sinh sinh + cosh d q. arctan( ) d w. π π /4 sin cos d r. 5 e d. π/4 sin(4) cos(4) 9+cos (4) log 9+cos (4) d s. (/)π ( sin + cos ) d y. log() d (9 ) / t. /4 (4 + )arcsin() d z d

6 Capitolo. Integrali 9 Soluzioni e risultati ) La funzione integranda è razionale e il grado del numeratore è minore del grado del denominatore. Per calcolarne l integrale scomponiamola in fratti semplici. La scomposizione si può ottenere con un semplice trucco: + (4+ ) 4+ (4+ ) 4+ (4+ ) + (4+ ) 4+. Quindi una primitiva della funzione integranda è log 4 log 4+. Pertanto l integrale è uguale a log 4 4 log 4+ log 4 4 log 9+ log 7. 4 ) La funzione integranda è il prodotto tra una funzione in cui la variabile compare solo come argomento del logaritmo e la derivata della funzione logaritmo, cioè, posto ϕ()log, si ha log (log + 4) ϕ() ϕ() + 4 ϕ (). Pertantoèutile effettuare la sostituzione tϕ()log. Si ha log log (log + 4) d t (t + 4) d t. A meno di costanti moltiplicative, il numeratore della funzione integranda è la derivata del denominatore, quindi si trova facilmente una primitiva. Si ha log t log (t + 4) d t t log t + 4 d t log(t + 4) log(log +4) log 4. ) La derivata della funzione coseno è la funzione sin, quindi la funzione integranda è il prodotto tra una funzione in cui la variabile compare solo come argomento del coseno e la derivata di tale funzione. È allora evidente che la sostituzione tϕ()cos trasforma l integrale in uno più semplice. Abbiamo π/ sin cos cos + d t+ d t t+ π/ cos cos + t+ cos(π/) ( sin ) d cos t t+ d t d t t log t+ log +log. 4) La funzione integranda contiene la radice quadrata del quoziente di due polinomi di primo grado; per eliminare la radice è opportuno effettuare una sostituzione in modo che la nuova variabile di integrazione sia tale radice quadrata. Perciò poniamo t (+ )/( ),

7 Capitolo. Integrali 4 quindi ( )t +, da cui si ricava (t )t +. Pertanto effettuiamo la sostituzione ϕ(t)(t + )/(t ). Si ha ϕ (t) t(t ) t(t + ) (t ) t t t t (t ) 8t (t ) ; per / risulta t, per risulta t, per cui si ha + / d 8t t t + (t ) d t 8t (t + )(t ) d t. t Dobbiamo integrare una funzione razionale. Anzitutto è necessario fattorizzare il denominatore. Il polinomio t + è irriducibile, mentre il polinomio t si scompone in t+ t,perciòlafunzioneintegrandasiscomponeinfrattisemplicinellaforma 8t (t + )(t ) a b + + c t+ d t+ t t +, con a, b, c e d opportuni numeri reali. Riducendo a denominatore comune l espressione a destra, il numeratore diventa a t (t + )+ b t+ (t + )+(c t+ d)(t ) at + at at a+ b t + b t+ b t + b+ c t c t+ d t d a+ b+ c t +( a+b+ d)t + a+ b c t+( a+b d). Questo numeratore deve essere uguale a 8t, quindi a, b, c e d debbono soddisfare il seguente sistema a+ b+ c, a+b+ d 8, a+ b c, a+b d. Sottraendo membro a membro la terza equazione dalla prima e la quarta dalla seconda si ottiene 4c e 4d 8,dacui c e d. Laprimaequazionediventa a+ b, quindi a b, sostituendo nell ultima si ha b, quindi b e a. Abbiamo perciò / + d 8t (t + )(t ) d t log t+ + log t +arctan t + + d t t+ t t + log 4+ log +arctan + log + log arctan log + π + log + π 4 log+ log + + π.

8 Capitolo. Integrali 4 5) Nella funzione integranda compare il termine + 4; è opportuno effettuare una sostituzione che elimini tale radice. A tal fine poniamo ϕ(t)sin t ; se appartiene al dominio di integrazione allora risulta / [/,] (arcsin); quindi si ha tϕ ()arcsin(/) egli estremidiintegrazione diventano arcsin(/) e arcsin. Poiché t [π/,π/] si ha cos t, quindi + 4 arcsin d arcsin(/) 4 (sin t) sin t π/ cos t cos t d t d t. π/ sin t La funzione integranda può essere scritta come prodotto tra una funzione razionale di cos t e sin t ; quindi la sostituzione cos t s trasforma l integrale in quello di in una funzione razionale. Si ha infatti π/ π/ cos t sin t d t π/ π/ cos t sin t π/ cos t sin t d t π/ cos t sin t d t. Poiché la derivata della funzione coseno è la funzione sin, con la sostituzione cos t s si ottiene π/ π/ cos t cos t cos(π/) sin t d t cos(π/) s / s d s s s d s. Il polinomio a numeratore ha lo stesso grado di quello a denominatore, quindi bisogna anzitutto scrivere la frazione come somma di un polinomio e di una frazione il cui numeratore abbia grado minore di quello del denominatore. Si ha Inoltre s Pertanto si ha + 4 s + s s + s s. (+ s)+( s) s / d s+ log + s log s / +log + s s s + s s + + s. s / s d s + + +log s + d s s + +log log ) La funzione integranda è funzione razionale della variabile e della radice quadrata di un polinomio di secondo grado in ; occorre innanzitutto effettuare una sostituzione che consenta di eliminare tale radice, trasformando l integrando in una funzione razionale. Si ha + + ( ) ( + )+44 ( ) ; quindi, per eliminare la radice dalla funzione integranda, risulta utile porre sin t, cioè ϕ(t)+sin t e ϕ (t)cos t. Poiché ( )/ [/,] (arcsin), si ha

9 Capitolo. Integrali 4 tϕ ()arcsin ( )/, quindi per si ha t arcsin(/)π/ e per si ha t arcsinπ/. Se t [π/,π/] si ha cos t, quindi sin t cos t ; pertanto risulta π/ π/ 4+cos t sin t π/ 4+ 4 (sin t) d cos t d t π/ sin t π/ 4cos t+ cos t cos t d t d t. π/ sin t Questa funzione integranda può essere facilmente trasformata nel prodotto di una funzione razionale di cos t moltiplicata per sin t, in modo che, con la sostituzione cos t s, si ottenga l integrale di una funzione razionale. Abbiamo infatti π/ π/ 4cos t+ cos t sin t π/ 4cos t+ cos t π/ 4cos t+ cos t d t sin t d t sin t d t ; π/ sin t π/ cos t con la sostituzione cos t s, poiché che la derivata della funzione coseno è l opposto della funzione seno, si ottiene π/ π/ 4cos t+ cos t cos t cos(π/) 4s+ s / s + 4s sin t d t d s d s, cos(π/) s s La funzione integranda è razionale. Il polinomio a numeratore ha lo stesso grado di quello a denominatore, quindi bisogna anzitutto scrivere la frazione come somma di un polinomio edi una frazione il cui numeratore abbia grado minore di quello del denominatore. Si ha s + 4s s s ++4s s + 4s+ s, Dobbiamo scomporre in fratti semplici la funzione 4s+. Poiché s si s (+ s)( s), la scomposizione in fratti semplici è della forma fattorizza in con a e b numeri reali da determinare. Si ha a + s + b s a + s + b s, a( s)+ b(+ s) (+ s)( s) (b a)s+ a+b s, affinché questo sia uguale a (4s+ )/( s ), i polinomi 4s+ e (b a)s+ a+b devono avere gli stessi coefficienti; a e b dovranno quindi soddisfare il sistema b a 4, a+b.

10 Capitolo. Integrali 4 Sommando membro a membro si ottiene b, da cui b ; sottraendo membro a membrosi ottiene a, da cui a. Quindi si ha / 4s+ s d d s s s log + s log s / / + s + d s s + log log. 7) La funzione integranda è il prodotto di due funzioni di ciascuna delle quali si trova facilmenteunaprimitiva: ilprimofattoreammettelaprimitiva,mentreilsecondofattore sipresentanella formaϕ ()(ϕ()), conϕ()5sin + cos, quindi unasua primitiva è (ϕ()) /. Pertanto è possibile integrare per parti in due modi diversi; evidentemente è opportuno derivare il fattore, perché con tale scelta rimane da integrare una funzione in cui la variabile compare esclusivamente come argomento delle funzioni seno e coseno, cosa che non accade nell altro caso. Si ha π/ Il primo addendo è uguale a sin + 5cos (5sin + cos ) d π/ (5sin + cos ) π/ + (5sin + cos ) π π π 5sin + cos π/ π π/ (5sin + cos ) d (5sin + cos ) d. π π +. Consideriamo l integrale ancora da calcolare. La funzione integranda è quoziente tra una costante e una funzione omogenea di grado in seno e coseno. È quindi possibile esprimerla tramite la funzione tangente, poiché l intervallo di integrazione è incluso nel dominio di tale funzione. Si ha sin + cos (5sin + cos ) (5sin + cos ) sin cos + 5 sin cos + tan + (5tan + ) ; pertanto è opportuno effettuare la sostituzione tan t. Poiché [,π/] è incluso nell immaginedellafunzionearcotangente, siha ϕ(t)arctan t,dacuiϕ (t)/(+ t ).

11 Capitolo. Integrali 44 Con la sostituzione gli estremi di integrazione diventano tan e tan(π/). Pertanto si ha π/ π/ (5sin + cos ) d / (5t+ ) d t 5(5t+ ) tan + (5tan + ) d / tan(π/) t + (5t+ ) + t d t tan + Quindi π/ sin + 5cos (5sin + cos ) d (5sin + cos ) π/ 5(5t+ ) π / 8) Pereliminarelaradiceèopportunoeffettuarelasostituzione ϕ(t)sinh t,quindi ϕ (t)cosh t. Si ha t arcsinh(/), quindi per risulta t, mentre per risulta t arcsin log + + log + 5. Pertanto arcsinh d arcsinh log(+ 5) 5+ 9sinh t+ 9 e t + e t d t +e t + e t log(+ 5) cosh t d t log(+ 5) cosh t 5+cosh t d t e t + e t + e t + d t. Per calcolare l integrale è opportuno eliminare l esponenziale, ponendo s e t, cioè effettuiamo la sostituzione tψ(s)log s ; poichéψ (s)/s, si ha log(+ 5) e t + ep(log(+ 5)) e t + e t + d t s e s + s+ s d s s + (s + s+ )s d s. Il trinomio s + s+ si annulla per s 5± 5 9 5±4,, pertanto s + s+ (s+ ) s+ (s+ )(s+ ). Quindi la funzione integranda può essere scomposta in fratti semplici nella forma a s + b s+ + c s+, con a, b e c numeri reali opportuni. Deve essere a(s + s+ )+ b s(s+ )+ c s(s+ )s + ;

12 Capitolo. Integrali 45 perciò a+ b+ c, a+b+ c, a. Quindi a e rimaneil sistema b+ c, b+ c. Si ha quindi c b, sostituendo nell ultima equazione si ottiene b 9b, da cui segue b 5/4 e c 5/4. Perciò l integrale da calcolare è uguale a s + 5 s+ 5 d s + 5 4log s+ 5log(s+ ) 5log(s+ ) s+ 4 log log log log log log ) Pereliminarelaradiceèopportunoeffettuarelasostituzione ϕ(t)cosh t. Allora ϕ (t)sinh t, quindi risulta arccosh ( 9) 9 d arccosh arccosh cosh t+ arccosh arccosh cosh t d t arccosh 8cosh t+ 9 sinh t d t (8cosh t 9) 9cosh t 9 e t + e t + e t + e t d t arccosh e t + + e t + arccosh arccosh e t + + e t d t e 4t + 4e t + d t. arccosh e 4t + Posto s e t, quindi tψ(t)(/)log s, si ottiene arccosh arccosh e 4t + 4e t + e 4t + β s + 4s+ d t α s + s d s, dove α ep(arccosh)ep log , βep(arccosh)ep Siha s + 4s+ s + s s + s + s + 4s s + s s + 4 s +.

13 Capitolo. Integrali 4 Quindi l integrale è uguale a β α s + 4 d s β log s+ 4arctan s s α + log 7+ + arctan 7+ log 7+4 arctan 7+4. ) La funzione integranda si può esprimere sotto forma di prodotto arctan + (+ 4) /, ed è facile trovare una primitiva del secondo fattore, mentre il primo fattore ha come derivata una funzione razionale. Per questo è utile integrare per parti, derivando il primo fattore. Una primitiva di(+ 4) / è (/)(+ 4) /. Quindi si ha arctan + d (+ 4) / arctan arctan π ( + + 4) + 4 d d + 4 d Nell integrale che rimane da calcolare compare il termine + 4, per ricondurci all integrale di una funzione razionale poniamo + 4 t, cioè + 4 t, da cui si ha (t 4)/. Quindi effettuiamo la sostituzione ϕ(t)(t 4)/; si haϕ (t)(/)t. All estremo di integrazione corrisponde t ( )+4, mentre a corrisponde t +4, perciò risulta ( + + 4) + 4 d t 4 8t + +(t 4)+ d t t 4 + t t t 4 t + 4 d t, t d t Abbiamo l integrale di una funzione razionale, che ha numeratore di grado minore del denominatore, quindi può essere scomposta in fratti semplici, Per fare questo bisogna fattorizzare ildenominatore t 4 t + 4; tale polinomio èbiquadratico eildiscriminante del polinomio di secondo grado che si ottiene prendendo come incognita s t è 4 4 <, quindi il polinomio non ha radici reali. Perciò il polinomio t 4 t + 4 si fattorizza nel prodotto di due trinomi di secondo grado irriducibili. La ricerca dei due fattori può essere effettuata in due modi diversi. Un primo modo di procedere consiste nella ricerca delle radici complesse del polinomio, trovate le quali si

14 Capitolo. Integrali 47 fattorizza il polinomio nel campo complesso e infine, combinando opportunamente a due a due i fattori trovati, si ricava la fattorizzazione reale. Alternativamente si può esprimere il polinomio come prodotto di due trinomi con coefficienti incogniti, imporre sui coefficienti le condizioni necessarie affinché il prodotto sia uguale al polinomio da scomporre e ricavare i coefficienti. Procediamo seguendo il primo metodo. Come già osservato, il discriminante del trinomio s s+ 4 è, quindi il trinomio si annulla per s ± i ± i. Dobbiamo risolvere le equazioni t ± i, cioè trovare le radici quadrate di ± i. Tali numeri complessi sono uno il coniugato dell altro, quindi, se conosciamo le radici quadrate di uno dei due, le radici quadrate dell altro sono i complessi coniugati delle precedenti. Ilnumero + i ha modulo e un suoargomentoè arctan π/. Pertantole sue radici quadrate sono ± cos π + i sinπ ± + i ± + i. Questiduenumericomplessi, oltreailoroconiugati, sonoradicidelpolinomio t 4 t +4. Pertanto t 4 t + 4 t+ + i t+ i t i t + i t+ i t i t + t+ + t t+ + t + t+ t t+. In questo caso la fattorizzazione poteva anche essere ottenuta più velocemente ricorrendo ad un semplice trucco. Si ha infatti t 4 t + 4 t 4 + 4t + 4 t (t + ) t t + t t + + t. Per calcolare l integrale dobbiamo scomporre la funzione integranda in fratti semplici, cioè dobbiamo determinare i numeri reali a, b, c e d tali che t 4 t + 4 at+ b t + t+ + c t+ d t t+. Siha at+ b t + t+ + c t+ d t b) t t+ +(c t+ d) t + t+ (at+ t+ t + t+ t t+ at at + at+ b t b t+ b+ c t + c t + c t+ d t + d t+ d t + t+ t t+ (a+ c)t +( a+b+ c+ d)t +(a b+ c+ d)t+ b+ d t + t+ t t+,

15 Capitolo. Integrali 48 quindi i coefficienti a, b, c e d sono soluzione del sistema a+ c, a+b+ c+ d, a b+ c+ d, b+ d. Dalla prima equazione si ha c a e, sostituendo, il sistema diventa c a, a+b a+ d, b+ d, b+ d. Dalla terza equazione si ottiene d b, quindi restano le equazioni b e a b. Pertanto b / e a /, da cui segue d / e c /. Si ha quindi t 4 t + 4 t+ t + t+ + t+ t. t+ L integrale è uguale a t+ t + t+ + t+ t d t t+ t+ 4 t + t+ + t + t+ t t t+ + t d t t t+ t + t+ + t t+ + t t+ + t + d t t+ t + t+ + t+ + t t t+ + d t t + t log + t+ + arctan t+ logt t+ + arctan t 4 log + + arctan + 4 log + arctan 4 log + arctan log arctan

16 Capitolo. Integrali 49 arctan + + arctan arctan + arctan. L integrale cercato è quindi uguale a 9 π+ arctan + + arctan arctan + arctan. ) Si ha e (e + ) 4 d e (e + ) 4 d ; la funzione integranda è prodotto di due funzioni di ciascuna delle quali si trova facilmente una primitiva: il primo fattore ammette la primitiva /, mentre il secondo fattore è nella forma ϕ ()(ϕ()) 4, con ϕ()e +, quindi una sua primitiva è (ϕ()) /. Si può integrare per parti in due modi diversi; evidentemente conviene derivare il fattore, perché in tal caso nell integrale che rimane da calcolare la variabile compare solo in un esponenziale. Perciò otteniamo e (e + ) d 4 (e + ) + (e + ) d. Per calcolare l integrale rimasto è utile porre t e, cioè effettuare la sostituzione ϕ(t)(log t)/. Si haϕ (t)/t, quindi risulta e (e + ) d e (t+ ) t d t t(t+ ) d t. Scomponiamo la funzione integranda in fratti semplici. Dobbiamo determinare i numeri reali a, b, c e d tali che a t(t+ ) t + b t+ + c d (t+ ) + (t+ ), cioè a(t + t + t+ 8)+ b t(t + 4t+ 4)+ c t(t+ )+ d t. Quindi deve essere a+b, a+ 4b+ c, a+ 4b+ c+ d, 8a,

17 Capitolo. Integrali 5 da cui si ottiene facilmente a /8, b /8, c /4 e d /. Pertanto Quindi e t(t+ ) d t e 8t 8(t+ ) 4(t+ ) d t (t+ ) 8 log t 8 log(t+ )+ 4(t+ ) + 4(t+ ) e (e + ) d 4 (e + ) + (e + ) d + (e + ) 7 8 log t 8 log(t+ )+ 4(t+ ) + 4(t+ ) 9(e + ) log e 8 log(e + )+ 4(e + ) + 4(e + ) + 8 log e + 5e + 7 4(e + ) 8 log e ) a. + log + + log log e. e b. log( + 9)+arctan 5 log 4 + arctan 5 arctan c. log + log + log log5 d. e. f. g. h. 9 8 (+ ) log + 9 log5 log + + log log 5 log log log( + )+ arctan log 4+ arctan 5 + arctan log + + log 4 log arctan 5 5 arctan 5

18 Capitolo. Integrali 5 i. j. k. l. log log( + 5) log log 4 log( + ) log( + ) 5log( + )+ + log 8 5log 45 5 log + log 5 + log + 5 log 5 log ) a. arctan(e ) arctan e π 4 b. arctan(e )+ e arctan e+ e π c. d. e. f. e log(e + ) e+5 9 log(e+ ) 5 9 log 4 e 4 + / 4 log e e / log( e/ ) log(e + )+ log(e+ )+ log 5 e log(e + )+ log(e e + 4) arctan e e log(e+ )+ log(e e+ 4) arctan e + log 4) a. 4 + π/ sin(4) π/4 π b. π/ arctan(sin ) π 4 c. d. 4 log sin 4 log(sin + cos ) π/ π/ log sin + π/ log + 4 log 5 log + e. 5 log(tan + ) log(tan + )+ π/4 5 log log+π

19 Capitolo. Integrali 5 f. g. h. arctan tan π/ π log(cos ) π/4 log(cos + )+arctan(cos ) log log π 4 + arctan 4 log( cos ) 4 log(cos + )+ π/ cos π/4 4 log + + 5) a. + 4log + + 4log 4log b. c. d. arctan π + arctan (+ )/ log + log + + log 5+ e. f. g. h. i. j. k. l. arctan 94 + arcsin / π +π log + 4+ log + +log arcsin( ) + / arctan / π arcsin 4 5 π 7 7 arctan + arcsinh arctan +arcsinh arctan arctan5+π

20 Capitolo. Integrali 5 m. + log + + log + log + n. ( 4+ 5) / (+ ) arcsin + 5 9arcsin π ) a. b. arctan arccosh π log + π + log + / cos + 4 sin cos + 4 sin c. d. e. f. g. h. 5 (e + ) 5/ (e + ) / tan π /4 sin π/ cot π/4 5 (e+ )5/ (e+ )/ 4 5 cos + sin π/ 9 sin π/4 9 + π ( 5)log(+ 5) + 5 5log5+log+ cot + log sin π/ π/4 π 4 + log i. (+ ) e + 4+ e + log(e + ) log(e + ) e + 4+ e + + )(e+ ) e+ 4+ e + log(e (e + )(e+ ) j. k. l. ( + )arcsin + + / 5 4 π e 5 4 e 4. π e sin(π log )

21 Capitolo. Integrali 54 m. n. o. p. q. ep(e + ) e e 5/4 log 4 ( + )e e e /5 (5 + )e 5 e 5 arctan + log(+ ) 8 arctan + log5 arctan( ) log(+ ) π log r. ( )e 7e8 + (/)π s. cos sin + cos + sin sin + sin π π 4 t. + arcsin() / π+ 5 8 u. arctan arctan 4 arctan v. sinh + 4 arctan 4 ep + cosh 4 sinh + cosh + 4 arctan e 4 π w.. y. cos + sin cos + π π /4 4 π log 9+cos (4) + 7+8cos (4) 7+8cos (4) π/8 log() 9 + log + 9 log 9 log+ 5 log + 5 log 5 log log + + log z log log 5+ + log +