Polinomi. Docente: Francesca Benanti. 24 Marzo L anello dei polinomi. Divisibilità in K[x] Prodotti notevoli. Esercizi.

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1 Polinomi Docente: Francesca Benanti 24 Marzo 2007 Page 1 of 22

2 1. L Anello dei Polinomi Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo è posto immediatamente dopo lo studio degli interi poichè la struttura algebrica dell insieme dei polinomi a coefficienti in un campo è simile alla struttura algebrica dell insieme degli interi, nel senso che gran parte delle definizioni e proprietà che abbiamo visto nel caso degli interi si possono dare in modo pressochè invariato nel caso dei polinomi. L anello dei polinomi L educazione scolastica impone lo studio dei polinomi già a livello della scuola media inferiore. La moltiplicazione tra polinomi, la divisione tra due polinomi, la fattorizzazione di un polinomio, la semplificazione di polinomi costituiscono parte integrante dell educazione matematica di uno studente. Introduciamo, dunque, formalmente la nozione di polinomio in una indeterminata a coefficienti in un campo. Page 2 of 22

3 Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomio f(x) nell indeterminata x a coefficienti nel campo K una espressione formale del tipo f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n dove a i K, i = 1,... n. Gli elementi a i, i = 1,... n sono detti coefficienti del polinomio f(x). Page 3 of 22

4 Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomio f(x) nell indeterminata x a coefficienti nel campo K una espressione formale del tipo f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n dove a i K, i = 1,... n. Gli elementi a i, i = 1,... n sono detti coefficienti del polinomio f(x). Esempi: f(x) = 5 + x 7x 2 + 3x 3 4x 8 polinomio a coefficienti razionali; f(x) = 5 + 3x 3 polinomio a coefficienti reali. f(x) = i + x 2 polinomio a coefficienti complessi. Page 3 of 22

5 Definizione: Sia f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n un polinomio nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Si definisce grado di f(x) l intero n, se a n 0, e si scrive gr(f(x)) = n. Il coefficiente a n 0 è detto coefficiente principale o direttivo di f(x). Page 4 of 22

6 Definizione: Sia f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n un polinomio nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Si definisce grado di f(x) l intero n, se a n 0, e si scrive gr(f(x)) = n. Il coefficiente a n 0 è detto coefficiente principale o direttivo di f(x). Esempi: Sia f(x) = 5 + x 7x 2 + 3x 3 4x 8, allora gr(f(x)) = 8; Sia f(x) = 5 + 3x 3, allora gr(f(x)) = 3; Sia f(x) = i + x 2, allora gr(f(x)) = 2; Sia f(x) = 45, allora gr(f(x)) = 0. Page 4 of 22

7 Definizione: Sia f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n un polinomio nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Si definisce grado di f(x) l intero n, se a n 0, e si scrive gr(f(x)) = n. Il coefficiente a n 0 è detto coefficiente principale o direttivo di f(x). Esempi: Sia f(x) = 5 + x 7x 2 + 3x 3 4x 8, allora gr(f(x)) = 8; Sia f(x) = 5 + 3x 3, allora gr(f(x)) = 3; Sia f(x) = i + x 2, allora gr(f(x)) = 2; Sia f(x) = 45, allora gr(f(x)) = 0. Osservazione: Si noti che il grado di un polinomio costante f(x) = a 0 è zero. Al polinomio nullo f(x) = 0 K non si attribuisce in genere un grado. Page 4 of 22

8 Definizione: Un polinomio con un solo termine è detto monomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio, e così via. Page 5 of 22

9 Definizione: Un polinomio con un solo termine è detto monomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio, e così via. Esempi: f(x) = +2x, f(x) = 2x 8, f(x) = 9 sono monomi; f(x) = +2x x 4, f(x) = 2x 8 + 1, f(x) = 9 x sono binomi; f(x) = +2 3x 2 x 4, f(x) = 2x x, f(x) = 9 x + x 5 sono trinomi. Page 5 of 22

10 Definizione: Si indica con K[x] = {f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n a i K, n N} l insieme di tutti i polinomi nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Page 6 of 22

11 Definizione: Si indica con K[x] = {f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n a i K, n N} l insieme di tutti i polinomi nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Osservazione: Due polinomi di K[x] e f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m sono uguali se e solo se a i = b i, i (in particolare se m > n, allora b n+1 = b n+2 = = b m = 0). Page 6 of 22

12 Definizione: Si indica con K[x] = {f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n a i K, n N} l insieme di tutti i polinomi nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Osservazione: Due polinomi di K[x] e f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m sono uguali se e solo se a i = b i, i (in particolare se m > n, allora b n+1 = b n+2 = = b m = 0). Introduciamo adesso in K[x] due operazioni: l Addizione e la Moltiplicazione. Page 6 of 22

13 Definizione: Dati due polinomi in K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Si definisce, (se n m), f(x)+g(x) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 + +(a n +b n )x n Page 7 of 22

14 Definizione: Dati due polinomi in K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Si definisce, (se n m), f(x)+g(x) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 + +(a n +b n )x n Esempio: f(x) = 2 3x 2 x 4, g(x) = 1 x + x 2, Allora f(x) + g(x) = (2 3x 2 x 4 ) + (1 x + x 2 ) = 3 x 2x 2 x 4 Page 7 of 22

15 Osservazione: L addizione tra polinomi gode delle seguenti proprietà: Associativa; 0 K[x] = 0 K è l elemento neutro; Commutativa; Ogni polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ha il suo simmetrico che è dato dal polinomio f(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2 + a n x n. Page 8 of 22

16 Osservazione: L addizione tra polinomi gode delle seguenti proprietà: Associativa; 0 K[x] = 0 K è l elemento neutro; Commutativa; Ogni polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ha il suo simmetrico che è dato dal polinomio f(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2 + a n x n. (K[x], +) è un gruppo abeliano Page 8 of 22

17 Definizione: Dati due polinomi in K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Si definisce, f(x) g(x) = = (a 0 b 0 )+(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+(a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 )x 2 + +(a n b m )x n+m Page 9 of 22

18 Definizione: Dati due polinomi in K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Si definisce, f(x) g(x) = = (a 0 b 0 )+(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+(a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 )x 2 + +(a n b m )x n+m Page 9 of 22 Esempio: f(x) = 2 3x 2 x 4, g(x) = 1 x + x 2, Allora f(x) g(x) = (2 3x 2 x 4 )(1 x + x 2 ) = = 2 2x+(2 3)x 2 +3x 3 +(3 1)x 4 = 2 2x 1x 2 +3x 3 +2x 4

19 Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delle seguenti proprietà: Associativa; 1 K[x] = 1 K = 1 K + 0 K x + 0 K x 2 + è l elemento neutro; Commutativa. Page 10 of 22

20 Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delle seguenti proprietà: Associativa; 1 K[x] = 1 K = 1 K + 0 K x + 0 K x 2 + è l elemento neutro; Commutativa. (K[x], ) è un monoide commutativo Page 10 of 22

21 Osservazione: Se f(x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x], allora vale la proprietà distributiva: [f(x) + g(x)]h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x) Page 11 of 22

22 Osservazione: Se f(x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x], allora vale la proprietà distributiva: [f(x) + g(x)]h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x) (K[x]; +, ) è un anello commutativo con unità Page 11 of 22

23 2. Teorema (Algoritmo della divisione per i polinomi) Sia K un campo. Siano f(x), g(x) K[x] due polinomi, con g(x) 0. Allora esistono, e sono univocamente determinati, due polinomi q(x) e r(x) in K[x] tali che f(x) = g(x)q(x) + r(x) L anello dei polinomi con r(x) = 0 oppure gr(r(x)) < gr(g(x)). q(x) è detto quoziente r(x) è detto resto Page 12 of 22

24 Esempio: Consideriamo i due polinomi in Q[x] f(x) = x 6 + 4x 5 12x + 1 e g(x) = x 3 + 4x Determiniamo q(x) e r(x) Page 13 of 22 Allora q(x) = x 3 1 r(x) = 4x 2 12x + 2

25 Definizione: Si dice che un polinomio g(x) K[x] divide un polinomio di f(x) K[x], e si scrive g(x) f(x), se esiste q(x) K[x] tale che f(x) = g(x)q(x) Page 14 of 22

26 Definizione: Si dice che un polinomio g(x) K[x] divide un polinomio di f(x) K[x], e si scrive g(x) f(x), se esiste q(x) K[x] tale che f(x) = g(x)q(x) Esempio: Consideriamo i seguenti polinomi in Q[x] f(x) = x 4 2x g(x) = x 1 Osserviamo che x 4 2x = (x 1)(x 3 + x 2 x 1) Dunque g(x) f(x) Page 14 of 22

27 Teorema di Ruffini Se f(x) K[x] e α K è tale che f(α) = 0, allora (x α) f(x). dimostrazione: Dividiamo f(x) per (x α). Si ha f(x) = (x α)q(x) + r(x) con gr(r(x)) < gr(x α) = 1. Dunque f(x) = (x α)q(x) + r con r K costante. Valutando in α, si ottiene 0 = f(α) = (α α)q(α) + r Dunque r = 0. Page 15 of 22

28 Regola di Ruffini: Consideriamo f(x) = x 3 + 3x 2 6x 8 Q[x]. Osserviamo che f( 1) = = 0. Allora per il teorema di Ruffini f(x) è divisibile per x + 1, ossia esiste q(x) Q[x] tale che f(x) = x 3 + 3x 2 6x 8 = (x + 1)q(x). Determiniamo q(x) mediante la nota regola di Ruffini Page 16 of 22 Allora e q(x) = x 2 + 2x 8 x 3 + 3x 2 6x 8 = (x + 1)(x 2 + 2x 8).

29 Definizione: Un polinomio 0 f(x) K[x], con gr(f(x)) > 0, si dice irriducibile su K se f(x) = g(x)h(x) gr(g(x)) = 0 o gr(h(x)) = 0 dove g(x), h(x) K[x]. Se non è irriducibile, il polinomio si dice riducibile. Page 17 of 22

30 Esempi: f(x) = x 2 2 è irriducibile su Q; f(x) = x 2 2 è riducibile su R, infatti x 2 2 = (x 2)(x + 2) e x 2 R[x], x + 2 R[x] f(x) = 3x = 3(x 2 + 1) è irriducibile su R; f(x) = x 4 + 3x è riducibile su Q, infatti x 4 + 3x = (x 2 + 1)(x 2 + 2) Page 18 of 22

31 Teorema di Fattorizzazione unica Ogni polinomio f(x) K[x] di grado positivo si fattorizza in un prodotto di un numero finito di polinomi irriducibili. Tale fattorizzazione è unica nel senso che, se f(x) = p 1 (x)p 2 (x) p s (x) = q 1 (x)q 2 (x) q t (x), con p i (x), q j (x) K[x], allora s = t e riordinando opportunamente i fattori p i (x) = aq i (x), con a K. Page 19 of 22

32 3. Prodotti Notevoli Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su Q è spesso utili ricorrere a dei particolari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio L anello dei polinomi Page 20 of 22

33 3. Prodotti Notevoli Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su Q è spesso utili ricorrere a dei particolari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio Quadrato di un Binomio Indichiamo i generici termini con le lettere S e T. L anello dei polinomi Verifica geometrica (S + T ) 2 = S 2 + T 2 + 2ST Page 20 of 22

34 4. 1. Determinare quoziente e resto delle seguenti divisioni tra i polinomi f(x) e g(x) a coefficienti razionali: f(x) = 2x 3 + 5x 2 8x 1, g(x) = x + 3; f(x) = 4x 3 3x + 8, g(x) = x + 2; f(x) = 2x 4 2x 2 + 3x 1, g(x) = x 2 x Dati i due polinomi a coefficienti razionali L anello dei polinomi f(x) = 9x 3 + x + 2 g(x) = 3x 2 verificare se g(x) divide f(x). 3. Dati i due polinomi a coefficienti razionali f(x) = 2x 3 + 5x g(x) = x verificare se g(x) divide f(x). 4. Utilizzando il teorema di Ruffini verificare che g(x) = x + 2 divide f(x) = x 3 2x 2 + 4x 5 e determinare il quoziente della divisione di f(x) per g(x). Page 21 of 22

35 5. Versione di L anello dei polinomi Page 22 of 22