COMPITO DI ALGEBRA 29 maggio ax 1 (mod 81) a x 1 (mod 81) a b a, b, c, 0 F 0 c

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "COMPITO DI ALGEBRA 29 maggio ax 1 (mod 81) a x 1 (mod 81) a b a, b, c, 0 F 0 c"

Flavio Natale
5 anni fa
Visualizzazioni

1 29 maggio ) Determinare per quali valori del parametro a il sistema è risolubile. ax 1 (mod 81) a x 1 (mod 81) 2) Sia G il gruppo moltiplicativo G = ( ) a b a, b, c, 0 F 0 c 5, ac 0} (i) Determinare il centro di G. (ii) Verificare se il sottogruppo di G formato dalle matrici diagonali (cioè quelle in cui b = 0) è normale. (iii) Dimostrare che Int(G) non è abeliano. 3) Determinare, per ogni gruppo di ordine 55, il numero degli elementi di ordine 5. 4) Sia A = Z[X] e I = (5, f(x)) dove f(x) è un polinomio monico di grado maggiore o uguale a 1. (i) Dimostrare che l anello A/I è finito. (ii) Sia f(x) Z/5Z[X] il polinomio ottenuto da f(x) riducendo i suoi coefficienti modulo 5. Dimostrare che A/I è un campo se e solo se f(x) è irriducibile. 5) Sia α = Determinare il grado [Q(α) : Q] e il grado del campo di spezzamento del polinomio minimo di α sui razionali.

2 26 giugno ) Sia a un intero positivo. Contare, in funzione di a, il numero di soluzioni modulo a(a + 2) del seguente sistema: 3x 4 (mod a) 3x 1 (mod a + 2) 2) Sia A 9 il gruppo delle permutazioni pari su 9 elementi e sia σ = ( )(6 7 8) A 9. (i) Determinare il centralizzatore di σ; (ii) dire se le permutazioni del tipo (abcde)(fgh) sono tutte coniugate in A 9. 3) Sia G un gruppo di ordine 100 e siano A = x G x 4 = e}, B = x G x 25 = e}. Dimostrare che G è abeliano se e solo se A e B sono due sottogruppi di G. 4) Sia A = S 1 Z, dove S = 2 n n N}, e sia I l ideale di Z generato da (i) Per quali valori interi di n si ha S 1 I S 1 (n)? (ii) Per quali valori interi di m si ha S 1 I = S 1 (m)? 5) Determinare il grado del campo di spezzamento del polinomio X 7 1 su Q e su F 25. Detto K il campo di spezzamento sui razionali, determinare inoltre [K R : Q].

3 18 settembre ) Determinare il numero di soluzioni intere positive (x, y, z) dell equazione xyz = ) Dato un gruppo G e un gruppo abeliano A, denotato additivamente, indichiamo con Hom(G, A) il gruppo degli omomorfismi f : G A con l operazione definita da (f + g)(x) = f(x) + g(x) per ogni x G. Dimostrare che, se G 1 e G 2 sono due gruppi e A è un gruppo abeliano, si ha Hom(G 1 G 2, A) = Hom(G 1, A) Hom(G 2, A). 3) Sia G un gruppo abeliano finito. Dimostrare che l ordine di G è pari se e solo se il numero di elementi di G il cui ordine è un numero primo è dispari. 4) Sia A un anello commutativo con identità che possiede solo un numero finito di ideali. Dimostrare che o A è un campo oppure A non è un dominio di integrità. 5) Determinare il grado [Q( 2, 3 4, 4 8) : Q] e il grado del campo di spezzamento del polinomio (X 2 2)(X 3 4)(X 4 8) su F 3 e su F 9.

4 10 ottobre ) Determinare il numero di soluzioni della congruenza x 4 x 2 (mod 216) 2) Sia G il sottoinsieme delle permutazioni σ S 6 che soddisfano la proprietà i j (mod 3) = σ(i) σ(j) (mod 3) (i) Dimostrare che G è un sottogruppo di S 6. (ii) G è un sottogruppo normale di S 6? (iii) Calcolare l ordine di G. 3) Sia G un gruppo finito tale che Aut(G) è ciclico e diverso dalla sola identità. Dimostrare che Aut(G) ha ordine pari. 4) Siano A un anello commutativo con identità e S un suo sottoinsieme moltiplicativamente chiuso tale che 0 / S, 1 S. Sia J un ideale di S 1 A e sia I = x A x 1 J}. Dimostrare che: (i) esiste un omomorfismo iniettivo ϕ : A/I S 1 A/J; (ii) se I è un ideale massimale di A, allora J è un ideale massimale di S 1 A. 5) Sia K il campo di spezzamento del polinomio (X 4 + 1)(X 4 + 2) su Q. Determinare il grado [K : Q] e dimostrare che per ogni σ Gal(K/Q) si ha σ 4 = id.

5 15 dicembre ) Determinare il numero di classi di congruenza, per un modulo opportuno, che risolvono il sistema (x, 21) = 3 (x, 35) = 5 2) Sia G un gruppo di ordine n e sia Z il suo centro, di ordine k. Sia poi D il sottogruppo diagonale di G G, ossia D = (x, x) G G x G}. (i) Determinare l ordine del normalizzatore di D, ossia del gruppo N(D) = (a, b) G G (a, b)d(a, b) 1 D} (ii) N(D) è un sottogruppo normale di G G? 3) Sia G un gruppo finito e siano H, K due sottogruppi distinti di G di indice 2. Dimostrare che 4 ord(g). Quanti sottogruppi di indice 2 può avere, al massimo, un gruppo il cui ordine non è divisibile per 8? 4) Siano A un anello commutativo con identità e sia P n n Z} un insieme di ideali primi di A tali che P n P n+1 per ogni n Z. Dimostrare che P n e P n sono n Z n Z ideali primi di A. 5) Sia f(x) = X 4 X 1 K[X], dove K è un campo. Sia α una radice di f(x) in una chiusura algebrica di K e sia g(x) il polinomio minimo di α 2 su K. (i) Calcolare g(x) nel caso in cui K = Q. (ii) Dimostrare che f(x) è irriducibile in K[X] se e solo se g(x) ha grado 4.

6 27 febbraio ) Determinare i valori del parametro a per i quali il seguente sistema è risolubile: ax 2 (mod 9) x 2 + a 0 (mod 15) 2) Sia A 5 il gruppo delle permutazioni pari su 5 elementi. (i) A 5 possiede sottogruppi di 10 elementi? (ii) A 5 possiede sottogruppi di 15 elementi? 3) Dimostrare che un gruppo G è isomorfo al prodotto diretto di due suoi sottogruppi propri se e solo se è isomorfo al prodotto diretto di due suoi quozienti propri. 4) Siano A un anello commutativo con identità e, per ogni ideale I di A, sia N(I) = a A ax = 0 x I}. Dimostrare che (i) N(I) N(J) N(I + J) (ii) N(I) + N(J) N(IJ) Sono vere le relazioni di contenuto inverse? 5) Sia f(x) = X 6 2X 4 X Determinare il grado del campo di spezzamento ed il gruppo di Galois di f(x) su Q e su F 5.

7 ESERCITAZIONE DI ALGEBRA 1 marzo Sia α un numero reale tale che 0 < α < 1. Dimostrare che per ogni intero n 2 vale la disuguaglianza (1 α) n n(n 1) 1 nα + α Determinare il numero delle funzioni f : 1, 2,..., 100} 1, 2, 3} tali che f(x) f(x + 1) f(x) + 1 per ogni 1 x Risolvere il seguente sistema di congruenze: 4 x 1 (mod 9) 3x 4 (mod 13) 4. Determinare i valori del parametro intero a per cui il seguente sistema di congruenze è risolubile: ax 1 (mod 5) x 2 + a 0 (mod 15) 5. Sia G i l gruppo moltiplicativo delle matrici 2 2 a coefficienti reali con determinante non nullo. Dimostrare che ( i seguenti ) sottoinsiemi sono sottogruppi di G : a b (i) le matrici della forma con a 0; 0 1 (ii) le matrici con determinante razionale. Dire inoltre se tali sottogruppi sono normali in G. 6. Sia G il sottogruppo di C definito da e sia Dimostrare che G/H è isomorfo a G. G = z C n N tale che z 5n = 1} H = z G z 5 = 1} 7. Sia p un numero primo e sia G = Z/p 3 Z Z/p 2 Z Z/pZ. Calcolare il numero di elementi di G di ciascun ordine.

Documenti analoghi

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e