10. Integrazione delle funzioni RAZIONALI FRATTE ( = rapporti di polinomi)

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1 0. Integrazione delle funzioni RAZIONALI FRATTE ( rapporti di polinomi) Studieremo ora tecniche specifiche per gli integrali della forma A ( ), B ( ) essendo A( ) e B ( ) due polinomi. E lecito supporre che il numeratore A ( ) sia di grado inferiore rispetto al denominatore B ( ): infatti, se così non fosse, ci si potrebbe pur sempre riportare a questo caso, sostanzialmente tramite una divisione fra polinomi, come mostra l esempio seguente. + + Poiché il numeratore non è di grado inferiore rispetto al denominatore, svolgiamo la divisione: A( ) + B ( ) + + Q( ) R ( ) Ora abbiamo a disposizione l identità + ( + )( + ) 5 e ciò fa sì che il nostro integrale possa essere trascritto come: + ( + )( + ) ( + )( + ) 5 5 5ln c A ( ) In generale, di fronte ad un integrale di funzione razionale fratta B ( ) in cui sia deg ( A( ) ) deg ( B( )) (deg significa grado, dall inglese degree) si svolgerà la divisione A( ): B( ), poi si utilizzerà l identità dividendo quoziente divisore + resto A ( ) Q ( ) B ( ) + R ( ) che permetterà di scrivere la funzione integranda sotto una forma diversa: A ( ) Q ( ) B ( ) + R ( ) Q ( ) B ( ) B ( ) B ( ) R ( ) R ( ) + Q( ) + B ( ) B ( ) B ( ) In tal modo ci si ricondurrà all integrazione del polinomio Q ( ) (immediata) e della funzione razionale fratta R( )/ B( ). Ma in quest ultima il numeratore è di grado inferiore rispetto al denominatore, perché in una divisione di polinomi il polinomio resto ha sempre grado minore rispetto al polinomio divisore.

2 Il caso in cui il denominatore è di grado Se il polinomio a denominatore è di grado, allora, per quanto sopra, possiamo supporre che il numeratore sia di grado zero, cioè sia una costante. Dunque il nostro integrale sarà della forma e procederemo come nell esempio che segue: In generale: NOTA k a + b ln 8 + c (NOTA) k k a k k ln a + b c a+ b a+ b a a+ b a ln 8 ln 8 + c + c ; 8 Per la precisione, sarebbe ( ) d altra parte, poiché c indica una costante arbitraria, anche 7 c sarà una costante arbitraria; e questa costante arbitraria potrà essere indicata ancora con c. Volendo effettuare tutti i passaggi, con perfetta salvaguardia della correttezza formale, si potrebbe scrivere: ( ln 8 ) ln 8 ln 8 + c + c + c 8 Ma NELLA PRATICA, questi passaggi e ragionamenti vengono di norma saltati e si scrivono direttamente catene che portano dappertutto la sola c : l c 8 8 n ESERCIZI ) ) 0 + ) 5) ) 5( ) ) 0 Suggerimento: 0 + Suggerimento: ( + ) + RISPOSTE ) ln c ) ln + c oppure ln 5( ) + c (NOTA) ) ln c ) + ln + c 5 9 5) ln ln c 6) ln ln ln ln + + c c c NOTA ln + c ln + c 5( ) oppure : ln c ln 5( ) + c 5( ) ( ln5 + ln ) + c ln5 ln + c Questo risultato equivale al precedente, perché se c è una costante arbitraria, allora anche ln 5 + c è una costante arbitraria! 5

3 Il caso in cui il denominatore è di grado Allora, per quanto sopra, possiamo supporre che il numeratore sia di grado 0 o di grado : k + h a + b + c L integrazione si effettua con tecniche diverse, a seconda che, nel trinomio I. Δ> 0 II. Δ 0 III. Δ< 0 Primo sottocaso: Δ> 0 a + b + c, sia: E noto che un trinomio di grado con Δ>0 è scomponibile in due fattori di grado, distinti fra loro. La tecnica di integrazione consiste nell effettuare la scomposizione e poi nello spezzare la frazione in una somma algebrica di due frazioni col denominatore di primo grado. Esempio: + Δ b ac 9 0 > Consideriamo la funzione integranda, scomponiamone il denominatore, e scriviamola come somma algebrica di due frazioni aventi per denominatori i due fattori di primo grado ottenuti e per numeratori due costanti A, B da determinarsi in modo opportuno: + + A B + ( + )( ) + Si tratta ora di stabilire per quali valori di A, B l uguaglianza + A B + ( + )( ) + è verificata per tutti i valori di, ossia è un identità. Dovrà essere, identicamente (cioè: per ogni ), + A ( ) + B(+ ) (+ )( ) (+ )( ) + A A+ B+ B (+ )( ) (+ )( ) + ( A + B ) + ( A+ B) (+ )( ) (+ )( ) A+ B e a tale scopo A, B dovranno soddisfare il sistema { A+ B 5 7 A 5/ + Risolvendo, si ha { da cui + B 7/ ( + )( ) + Il nostro integrale allora diventa: (+ )( ) ln + + ln + c 6 PROVACI TU!!! Fai vedere che si ha 8 ln ln + c +

4 5 Secondo sottocaso: Δ 0 Un trinomio di grado con Δ 0 è uguale a un quadrato di binomio, eventualmente moltiplicato per una costante. Ma aspettiamo un attimo, prima di effettuare la scomposizione: la prima cosa da fare, infatti, è di far comparire a numeratore la derivata del denominatore, come illustrato dall esempio che segue. Esempio: + + Δ b ac La derivata del denominatore + è 8. Innanzitutto, vogliamo far comparire a numeratore questa espressione. Avremo: ( ) ln + + ( ) 8 ln( ) + ( ) 8 + ( ) ln + + c 8 + ln + c ln + c ( ) PROVACI TU!!! Fai vedere che si ha ln c ( + )

5 6 Terzo sottocaso: Δ< 0 Di un trinomio di grado a + b + c con Δ < 0, noi sappiamo che: non è scomponibile in fattori (a meno di utilizzare coefficienti complessi: ma in questo contesto, non se ne parla neppure!) si può scrivere come a[( + k) + p], essendo p > 0. La tecnica di integrazione, in questo caso, consiste nel ricondursi alla derivata di un arco tangente, come illustrato dall esempio che segue. Anche qui, come nel sottocaso precedente (quello del Δ 0 ) occorre innanzitutto far comparire a numeratore la derivata del denominatore. Esempio: 6+ Δ b ac 6 < I I Si tratta ora di risolvere i due integrali I,I : il primo porta immediatamente a un logaritmo, il secondo va ricondotto ad un arc tg. Dunque: 6 (abbiamo omesso il valore assoluto perché, com è noto, I ln( 6 + ) + c un trinomio di grado con Δ < 0 e coefficiente positivo 6+ è sempre >0, per ogni valore della variabile) I ( ) + ( ) ( ) + NOTA + + arctg + c In definitiva avremo NOTA: stiamo cercando di portarci nelle condizioni di poter applicare la formula di integrazione f '( ) arctg f ( ) + c. + f( ) [ ] La funzione che nella formula è indicata con f ( ) è per noi la E si ha. D D ( ) I I ln( 6 + ) + arctg + c ln arctg + c arctg + c PROVACI TU!!! Fai vedere che si ha ( ln 65 )

6 ESERCIZI ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) 5) ( )( ) ( ) RISPOSTE ) 7ln ln + c ) ln ln + + c ) 5 ln ln + c 9 ) ln + c 5) ln + + c 6) ar ctg ( ) + c 9 9 ( ) 7) ( ln + 6) + arctg + c 8) ( ) ln arctg + c 9) ( 5 0 ln + 0) + arctg + c 0) ln 5 + c 8 5 ) 6 ln 5 ln + c ) + c ) + 0 l n arctg + c 5 ( + ) 6 6 ) ln ln 5 + c 5) ( + ln + + ) arctg + c

7 8 Il caso in cui il denominatore è di grado superiore al secondo Di fronte all integrale di un rapporto tra due polinomi nel quale il grado del denominatore sia superiore a, deg N( ) >, ossia ( ) M( ) N( ) innanzitutto scomporremo in fattori il denominatore N( ). I fattori ottenuti potranno essere dei tipi seguenti: a + b ( a + b) n, n > 0 a + b + c con Δ< (trinomio di grado non scomponibile utilizzando coefficienti reali) a + b + c n con Δ< 0, n > ( ) A questo punto, cercheremo di decomporre la frazione M ( ) in una somma algebrica di frazioni più semplici. N( ) A Per ogni fattore a + b prepareremo una frazione della forma a + b Per ogni fattore ( a + b) n prepareremo n frazioni della forma A A A,,..., n a + b ( a + b) ( a + b) n Per ogni fattore a A+ B + b + c prepareremo una frazione della forma a + b + c Per ogni fattore (a + b + c ) n prepareremo n frazioni della forma A + B A+ B A,,..., n + Bn a + b + c ( a + b + c) ( a + b + c) n Infine determineremo le costanti in gioco in modo che la somma algebrica di tali frazioni sia identicamente uguale alla frazione iniziale M ( ) N( ). Per illustrare il procedimento, consideriamo l integrale seguente: ( + 5) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( + + ) ( ) ( + + ) + 5 A B C + D + ( ) ( ) ( ) I + 5 A ( )( + + ) + B ( + + ) + ( C+ D)( ) ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) + 5 A ( ) + B ( + + ) + ( C+ D)( + ) ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + 5) A A + B + B + B + C C + C + D D + D ( ) ( + + ) ( ) ( + + ) + 5 ( A + C ) + ( B C+ D ) + ( B+ C D ) + ( A+ B+ D) ( ) ( + + ) ( ) ( + + )

8 A + C () + () + () + () B B C + D () A+ C B C D 5 () () + C D 9 A + B + D 0 () A+ B+ D 0 B B B A 0 A+ C A+ C A+ C B C D C D () + () C C A+ D () + () C+ D () () D D 9 E dunque ( ) ( + + ) ( ) + + e di conseguenza: I + + I + 5 ( ) ( + + ) ( ) + + ( ) + + ( ) + + I ( ) c c ( ) + + I ln + + ln ln + + ln ln ln + + arctg c ln + + I + + Finalmente avremo II +I + ln + + arctg + + c ESERCIZI ) ) + + ) ) 5) ( + ) 6) + ( ) RISPOSTE 7 ) ln + ln c ) ln arctg + + c + ) 0arctg + c + ) 6 ln ln c 5) + c 6) ln c + + ( )