Gli angoli e le funzioni goniometriche

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1 Gli angoli e le funzioni goniometriche A a. Poiché sin sin cos e cos Ö á Ücos l equazione diventa: cos cos cos b. Il grafico della funzione cos si ottiene dal grafico della funzione cos alicando rima una dilatazione orizzontale di raorto e di equazioni: < : che trasforma la funzione cos nella funzione cos, e successivamente alicando alla funzione cos una dilatazione verticale di raorto e di equazioni = cos s O = cos Si osservi che la dilatazione orizzontale, essendo il raorto minore di, dimezza il eriodo della funzione a cui viene alicata che assa, quindi, da a ma lascia inalterata l immagine della funzione e quindi anche la sua amiezza. La dilatazione verticale non influisce sul eriodo della funzione, che rimane, ma varia l immagine che non è iù â, ä ma â, ä. In altre arole, la dilatazione verticale ha trasformato la funzione coseno di amiezza in una funzione di amiezza, uguale al valore assoluto del raorto di dilatazione. c. Una funzione del tio cos ha eriodo. Nel caso in esame, essendo, il eriodo è, come gi evidenziato nel unto recedente. d. Calcoliamo le ordinate dei unti del grafico di föü di ascisse e : f cos cos f ÖÜ cos Ö Ü Abbiamo quindi i unti, e Ö, Ü. Sostituiamo le coordinate di tali unti nell equazione g Ö Ü a á b sin : a á b sin a á b a a á b sin a b. L equazione cercata è: m Ö Ü con ; ; m tan tan Quindi si ha: á Ö Ü. La funzione coseno assume tutti i valori comresi tra e inclusi e, quindi dovr essere: ale ale Dobbiamo, quindi, risolvere il sistema: á >: ale >: ale Risolviamo, er il momento, le due disequazioni fratte: á ÅÅ á _ á ale _ Quindi si ha á ale < _. ÅÅ á _ ale _ Quindi si ha ale ale _ < ale. ale < _ Riuniamo le soluzioni trovate. ale _ < ale LIBRAMNT FOTOCOPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SA,

2 Gli angoli e le funzioni goniometriche S S S Raresentiamo nel seguente schema l insieme S delle soluzioni della rima disequazione, l insieme S delle soluzioni della seconda disequazione e l insieme S delle soluzioni del sistema: Il sistema è dunque soddisfatto er ale ale _ ale ale.. a b a b cos 7 á ab cos sin a á b sin á ab a á b ab á a á b Öa bü. Öa á ÜÖa Üsin Ö ÜáÖaáÜcos Ö á 9 ÜÖaáÜ Öa á ÜÖa Üsin 9 á Öa á Ücos Öa á Ü Öa á ÜÖa Ü á Öa á Ü Öa á Ü. a á a á Öa á Ü a á a á Öa á Ü Öa á Ü Öa á Ü råå sin á sin cos sin á cot tan á cot tan vå u á t á á såå á á á s á á á á á á á á B a. Poiché cos cos e sin á cos cos, l equazione diventa: cos cos cos b. Il grafico della funzione cos si ottiene dal grafico della funzione cos alicando rima una dilatazione orizzontale di raorto e di equazioni: che trasforma la funzione cos nella funzione cos, e successivamente alicando alla funzione cos una dilatazione verticale di raorto e di equazioni = cos O = cos Si osservi che la dilatazione orizzontale, essendo il raorto di dilatazione, raddoia il eriodo della funzione a cui viene alicata che assa, quindi, da ama lascia inalterata l immagine della funzione e quindi anche la sua amiezza. La dilatazione verticale non influisce sul eriodo della funzione che rimane, ma varia l immagine che non è iù â, ä ma â, ä. In altre arole, la dilatazione verticale ha trasformato la funzione coseno di amiezza in una funzione di amiezza, uguale al valore assoluto del raorto di dilatazione. c. Una funzione del tio cos ha eriodo. Nel caso in esame, essendo, il eriodo è, come gi evidenziato nel unto recedente. d. Calcoliamo le ordinate dei unti del grafico di föü di ascisse e: f ÖÜ cos f cos Abbiamo quindi i unti Ö, Ü e,. Sostituiamo le coordinate di tali unti nell equazione g ÖÜasin b: a sin b a sin b b a b b b a á a LIBRAMNT FOTOCOPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SA,

3 . L equazione cercata è: m Ö Ü con ; ; m tan tan. Quindi si ha: á Ö Ü. La funzione seno assume tutti i valori comresi tra e inclusi e, quindi dovr essere ale Dobbiamo, quindi, risolvere il sistema: á á >: á ale >: ale ale. Risolviamo, er il momento, le due disequazioni fratte: á á ÅÅ á _ á á ale ale Quindi si ha á á á á ÅÅ á á ale ale Gli angoli e le funzioni goniometriche ale _ < ale. _ S S S Quindi si ha á ale ale < _. ale _ < ale Riuniamo le soluzioni trovate. ale < _ Raresentiamo nel seguente schema l insieme S delle soluzioni della rima disequazione, l insieme S delle soluzioni della seconda disequazione e l insieme S delle soluzioni del sistema: Il sistema è dunque soddisfatto er ale < _ ale ale.. Öa á bü sin ab cos á a á b cos Öa á bü ab á a á b ÖÜ a á b á ab ab a b. Öb á Ü sin Ö Ü b á Öb á Ü sin. cos Ö 9 Ü Ö Ü b á Öb á Ü sin Ö Ü b á cos b Ö á Ü á b á b b á b á b r sin cos á cos cos á cos á cos v u t á á cos Ö 9 Ü vå u t LIBRAMNT FOTOCOPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SA,

4 Formule e identit goniometriche A a. Nell equazione del fascio Ö Ü á Ö á Ü, svolgiamo i rodotti: á á Raccogliamo oi i termini in : Ö á Ü á Le generatrici sono le rette di equazioni á e. Per trovare le coordinate del centro del fascio, risolviamo il sistema formato dalle equazioni delle due generatrici: á >: b. Siano m e m i coefficienti angolari risettivamente delle rette á e. Si ha dunque m em. La tangente dell angolo formato dalle due rette è: tan m m á m m arctan c. La circonferenza cercata ha centro in OÖ, Ü e raggio uguale alla distanza di OÖ, Ü da C,, quindi si ha: r r 9 á 9 råå L equazione della circonferenza è dunque á. d. Una circonferenza di centro Ö, Ü e raggio r ha equazioni arametriche: á r cos con â, ä á r sin Nel caso in esame si ha: cos >: sin. A B b AC arcsin sin B b AC. Poiché A b C B 9 B b AC, si ha: sin A b C B sin Ö9 B b ACÜ cos B b AC cos A b C B cos Ö9 B b ACÜ sin B b AC tan A b C B tan Ö9 B b ACÜ cot B b AC cot A b C B cot Ö9 B b ACÜ tan B b AC B Poiché si ha: qåå rå cos BAC b sin BAC b 9 tan BAC b sin B AC b cos BAC b cot BAC b otteniamo sin AC b B, cos A C b B e tan A C b B, cot AC b B.. Ponendo arcsin, si ha sin ÅÅ rå er cui cos sin 9. C Alichiamo la formula di addizione del seno: ale sin arcsin á sin á sin cos á cos sin á á. Il rimo membro raresenta una differenza di quadrati er cui: h sin cos á i h sin ácos á i Alichiamo le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno: h sin cos cos sin cos cos ásin sin i h sin cos cos sin ácos cos sin sin i " sin cos cos # á sin " sin cos á cos # sin " # sin á cos á " # sin á cos LIBRAMNT FOTOCOPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SA,

5 á Ösin cos Ü sin cos Ösin á cos Ü Ö cos cos Ü. La curva di equazione á á èuna circonferenza che ha centro nel unto di coordinate Ö, Ü e raggio r ÅÅ á. Le equazioni arametriche di una circonferenza di centro Ö, Ü e raggio r sono: á r cos á r sin Nel caso in esame si ha: á cos á sin Alichiamo le formule arametriche onendo t tan : sin Formule e identit goniometriche t á t cos t á t á >: á t á t t á t Å. Calcoliamo il termine a á b, detto fattore normalizzante: Å a á b Si ha quindi: a cos Å a á b b sin Å a á b Un angolo che soddisfa queste condizioni è, er cui l equazione diventa: sin á La funzione assume valori minimi quando: sin á á á 7 á La funzione assume valori massimi quando: sin á á á á = sin - ale = sin B a. Nell equazione del fascio Ö á Ü Ö á Ü á, svolgiamo i rodotti: á á Raccogliamo oi i termini in : Ö á Üá Le generatrici sono le rette di equazioni á e. Per trovare le coordinate del centro del fascio, risolviamo il sistema formato dalle equazioni delle due generatrici: á b. Siano m e m i coefficienti angolari risettivamente delle rette á e. Si ha dunque m e m. La tangente dell angolo formato dalle due rette è: tan m m á m m á arctan c. La circonferenza cercata ha centro in OÖ, Ü e raggio uguale alla distanza di OÖ, Ü da CÖ, Ü, quindi r ÅÅ á. L equazione della circonferenza è dunque á. d. Una circonferenza di centro Ö, Ü e raggio r ha equazioni arametriche: á r cos con â, ä á r sin Nel caso in esame si ha: cos sin LIBRAMNT FOTOCOPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SA, 7

6 . A B b AC arccos cos Bb AC Poiché A b C B 9 B b AC, si ha: sin A b C B sin Ö9 B b ACÜ cos B b AC tan A b C B tan Ö9 B b ACÜ cot B b AC cot A b C B cot Ö9 B b ACÜ tan B b AC Poiché si ha: q rå sin BAC b cos BAC b tan B b AC sin B b AC cos B b AC cot B b AC otteniamo B sin A b C B, cos A b C B, tan A b C B e cot A b C B.. Ponendo arccos, si ha cos, er cui sin Å rå cos 9.. Alichiamo la formula di addizione del seno: " # cos arccos á cos á cos cos sin sin á sin cos á sin Ösin cos Formule e identit goniometriche á cos sin C á cos sin Ü sin á sin cos á cos á á sin cos. La curva di equazione á á èuna circonferenza che ha centro nel unto di coordinate Ö, Ü e raggio r ÅÅ á, quindi le equazioni arametriche: á r cos á r sin diventano, nel caso in esame á cos á sin Alichiamo le formule arametriche onendo t tan : sin t á t cos t á t á t á t á t >: á t Å. Calcoliamo Å il termine a á b, detto fattore normalizzante: a á b ÅÅ á Si ha quindi: a cos Å a á b b sin Å a á b Un angolo che soddisfa queste condizioni è, er cui l equazione diventa: sin á La funzione assume valori minimi quando: sin á á á á La funzione assume valori massimi quando: sin á á á á = = sin sin - ale Ösin cos ÜÖ á sin cos Ü á cos sin á Ö sin cos Ü sin cos á cos sin sin sin LIBRAMNT FOTOCOPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SA,