Funzioni, equazioni e disequazioni esponenziali

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1 A a. La funzione á è definita purché il denominatore sia diverso da á zero á á 6 Risolviamo, dunque, l equazione esponenziale seguente á á Poniamo t, quindi t. Con queste sostituzioni, l equazione á diventa t t á t 5 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t _ t ostituiamo al posto di t nelle soluzioni appena trovate Il dominio della funzione è R f, g. b. tudiamo il segno della funzione > á á > á á > á > á > < á á > < _ > < _ > Riportiamo i risultati nel seguente schema Quindi > <, < >. c. Gli eventuali zeri della funzione si ottengono ponendo il numeratore uguale a zero Poiché tale valore di non appartiene al dominio della funzione, non ci sono zeri. d. Le equazioni della simmetria rispetto alla retta sono Nel nostro caso, essendo, si ha - - La funzione data, con queste sostituzioni, diventa quindi á á á á Il grafico della funzione g Ö Ü si può ottenere simmetrizzando prima il grafico della funzione föü rispetto all asse e poi traslandolo verticalmente di due unit verso l alto. = g = f = g = f á 9 e. Risolviamo il sistema á á > á á á á á á á á á 4 á Ponendo t, si ha 4t t á t p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 69 4 t 4 _ t ostituiamo al posto di t nelle soluzioni appena trovate soluzione non accettabile perché al di fuori del dominio della funzione 4 equazione che non si è ancora in grado di risolvere LUZINI DLL PRV DI VRIFICA LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6 45

2 LUZINI DLL PRV DI VRIFICA. La funzione è definita purché sia < á á á > Riportiamo i risultati della disequazione fratta nel seguente schema i ha quindi il sistema < < _ Rappresentiamo nel seguente schema l insieme delle soluzioni della prima disequazione, l insieme delle soluzioni della seconda disequazione e l insieme delle soluzioni del sistema 4. Applichiamo le equazioni della traslazione di vettore! v Ö, Ü a b ssendo nel nostro caso a eb, si ha á á ffettuando queste sostituzioni nell equazione ottenuta precedentemente e omettendo gli apici, si ha á 4 áá á ÅÅÅÅÅÅ p ÅÅÅÅÅ á á L insieme delle soluzioni dell equazione data è f5g. 5. Per risolvere il sistema applichiamo il metodo del confronto e e á e e á e e e e e e á e e e e e e e e 5 5 Poiché e á e, si ha. In definitiva, il dominio è. 4 á á ÅÅ á 4 á 4 á 4 á. Applichiamo alla funzione á le equazioni della simmetria rispetto alla retta ssendo nel nostro caso, si ha 4 ffettuando queste sostituzioni nell equazione data e omettendo gli apici, si ha 4 á 4 á e e e e e e e 5 e e La soluzione del sistema è pertanto 5,. 6. Le soluzioni dell equazione, se esistono, sono le ascisse dei punti d intersezione tra il grafico della funzione e il grafico della funzione 4 á. Quest ultima è una parabola di vertice VÖ, Ü che interseca l asse nei punti Ö, Ü e Ö, Ü e l asse nel punto Ö, Ü. P = = 4 Dal grafico si vede che le curve hanno in comune un solo punto P la cui ascissa è compresa tra e. 46 LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6

3 B á 4 a. La funzione á 5 è definita purché il denominatore sia diverso da á zero á 5 á 6 Risolviamo, dunque, l equazione esponenziale seguente á 5 á Poniamo t, quindi t. Con queste sostituzioni, l equazione 5 á diventa t 5t á t 5 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 56 5 t 4 4 _ t ostituiamo al posto di t nelle soluzioni appena trovate Il dominio della funzione è R f, g. á 4 b. tudiamo il segno della funzione á 5 á á 4 > á 5 á > á 4 > á > á > < á 5 á > < _ > < _ > Riportiamo i risultati nel seguente schema Quindi > <, < >. c. Gli eventuali zeri della funzione si ottengono ponendo il numeratore uguale a zero á 4 Poiché tale valore di non appartiene al dominio della funzione, non ci sono zeri. d. Le equazioni della simmetria rispetto alla retta sono Nel nostro caso, essendo, si ha 4 La funzione data, con queste sostituzioni, diventa quindi 4 á 4 á 5 á 4 á 4 á 5 á Il grafico della funzione g Ö Ü si può ottenere simmetrizzando, prima il grafico della funzione föü rispetto all asse e poi traslandolo verticalmente di quattro unit verso il basso. = f = g = f = g á 4 e. Risolviamo il sistema á 5 á > á 4 4 á 5 á á 4 á 5 á 4 á 4 á 5 á á 4 4 á 5 á á 4 á á 4 á 4 Ponendo t, si ha t t á 4 t 4 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 4 t _ t ostituiamo al posto di t nelle soluzioni appena trovate soluzione non accettabile perché al di fuori del dominio della funzione equazione che non si è ancora in grado di risolvere LUZINI DLL PRV DI VRIFICA. La funzione è definita purché sia 4 á apple _ 6 á 6 apple _ 6 Il dominio della funzione è quindi dato dagli intervalli apple _ >.. 7á á Ö Ü á 7á á 7á 6á á LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6 47

4 LUZINI DLL PRV DI VRIFICA. Applichiamo alla funzione á le equazioni della simmetria rispetto alla retta 4. ssendo nel nostro caso, si ha ffettuando queste sostituzioni nell equazione data e omettendo gli apici, si ha. Applichiamo le equazioni della traslazione di vettore! v Ö, Ü a b ssendo nel nostro caso a eb, si ha á ffettuando queste sostituzioni nell equazione ottenuta precedentemente e omettendo gli apici, si ha ÅÅÅÅÅÅ 9 ÅÅÅÅÅ á p á áá áá á á á 6 6á L insieme delle soluzioni dell equazione data è fg. 5. Per risolvere il sistema applichiamo il metodo di sostituzione e e e e e e e > e e e e e e e e e > e e e e e 4 e e e 4 6 e e 4 4 La soluzione del sistema è pertanto 4, Le soluzioni dell equazione, se esistono, sono le ascisse dei punti d intersezione tra il grafico della funzione e il grafico della funzione á. Quest ultima è una parabola di vertice VÖ, Ü che interseca l asse nei punti Ö, Ü e Ö, Ü e l asse nel punto Ö, Ü. V P = = Dal grafico si vede che le due curve hanno in comune il punto VÖ, Ü e il punto P la cui ascissa è compresa tra e. 4 LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6

5 aritmiche A a. La funzione è definita purché sia definito il aritmo al numeratore, la radice quadrata e il denominatore sia diverso da zero. Quanto detto si traduce nel sistema > > > < _ > > < _ > Rappresentiamo nel seguente schema l insieme delle soluzioni della prima disequazione, l insieme delle soluzioni della seconda disequazione e l insieme delle soluzioni del sistema Rappresentiamo la tabella dei segni - - Dunque si ha > > e < <. LUZINI DLL PRV DI VRIFICA Il sistema è soddisfatto per < < _ >, che rappresenta il dominio della funzione. b. tudiamo il segno della funzione > q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ > > > qååååååååååååååååååååå > > < _ > c. Gli eventuali zeri della funzione si ottengono ponendo uguale a zero il numeratore Poiché tale valore di non appartiene al dominio della funzione, essa non ha zeri. d. La funzione qåååååååååååååååååååå A è definita se q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ >, cioè per quanto detto prima, per >.. 4 á 4 Prendendo i aritmi naturali di entrambi i membri, si ha ln ln ln á ln ln Öln ln Üln ln ln ln. Per le condizioni di esistenza dei aritmi deve essere ÅÅ > < < _ > á > < _ > > > > Rappresentiamo nel seguente schema l insieme delle soluzioni della prima disequazione, l insieme delle soluzioni della seconda disequazione, l insieme delle soluzioni della terza disequazione e l insieme delle soluzioni del sistema seguente. Il sistema è soddisfatto per >.. Innanzitutto, per le condizioni di esistenza dei aritmi deve essere ÅÅÅÅÅ 6 > ÅÅ < < 4 _ > 4 9 > < _ > > > > Rappresentiamo nel seguente schema l insieme delle soluzioni della prima disequazione, l insieme delle soluzioni della seconda disequazione, l insieme delle soluzioni della terza disequazione e l insieme delle soluzioni del sistema seguente. LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6 49

6 aritmiche LUZINI DLL PRV DI VRIFICA 4 4 Il sistema è soddisfatto per > 4. Applicando le propriet dei aritmi, si ha ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 6 ÅÅ 6 ÅÅ á 6 Ponendo t, si ha p t t á 6 t 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 6 t _ t p, ÅÅÅ p,4 ÅÅÅ Poiché la condizione di esistenza dei aritmi impone che sia > 4, nessuna soluzione è accettabile. L equazione è dunque impossibile. 4. Il sistema è definito purché gli argomenti dei aritmi siano positivi. Le condizioni di esistenza sono quindi > ^ > ^ >. Riconduciamo il sistema in esame a un sistema algebrico e risolviamolo Ö á Ü á < á 9 á < á > 9 7 á 6 5 La soluzione trovata soddisfa le condizioni di esistenza, quindi è soluzione del sistema. 5. ssendo e , si ha ÅÅÅ á ÅÅÅ 9 4 á á ÅÅÅ p ÅÅÅ B a. La funzione è definita purché siano definiti i aritmi, la radice quadrata e il denominatore sia diverso da zero. Quanto detto si traduce nel sistema á > > > > Ö á Ü > 6 > 6 ^ 6 > > > 6 ^ 6 Rappresentiamo la tabella dei segni - - Dunque si ha > < < _ > e < < <. Il sistema è soddisfatto per ^ 6 ^ 6, che rappresenta il dominio della funzione. b. tudiamo il segno della funzione ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ > Ö á Ü > qååååååååååååååååååååååååå Ö á Ü > Ö á Ü > á > > > Ö Ü > < _ > < _ > c. Gli eventuali zeri della funzione si ottengono ponendo uguale a zero il numeratore Ö á Ü 5 LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6

7 aritmiche d. La funzione föü ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è definita se sono definiti i aritmi e il denominatore è maggiore di zero Ö á Ü < > < > á > > > Ö á Ü > >. á á á 4 4 Prendendo i aritmi naturali di entrambi i membri, si ha ln ln ln á ln ln á ln Öln ln Ü ln ln ln ln ln ln. Per le condizioni di esistenza dei aritmi deve essere á á > > > > Risolviamo inizialmente la disequazione fratta á á > attraverso lo schema seguente Dunque è á > per < _ >. Il sistema diventa á < < _ > > > > Il sistema è soddisfatto per >.. criviamo innanzitutto le condizioni di esistenza dei aritmi e le condizioni per le quali hanno significato i denominatori > 6 6 á á á á á á á á 4 _ Le soluzioni sono accettabili perché verificano le condizioni poste. 4. Il sistema è definito purché gli argomenti dei aritmi siano positivi. Le condizioni di esistenza sono quindi > 5 ^ > ^ > > ^ >. Riconduciamo il sistema in esame a un sistema algebrico e risolviamolo á < Ö á Ü á 5 > á 5 á > á 5 á á 5 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ á 4 4 La prima coppia di soluzioni non soddisfa le condizioni di esistenza, quindi non è soluzione del sistema, mentre lo è la seconda coppia. 5. ssendo 4 e ln 4 ln, e 6 e ln 6, si ha 4ln ln ln ln 4ln ln ln ln lná ln ÖlnÜ ln ln ÖlnÜ LUZINI DLL PRV DI VRIFICA LIBRAMNT FTCPIABIL Petrini - La matematica a colori F De Agostini cuola pa, 6 5