FM210 - Fisica Matematica I

Transcript

1 Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 22/3 FM2 - Fisica Matematica I Appello Scritto [6-9-23] SOLUZIONI Esercizio Il sistema è della forma ẋ = Ax + b con A = b =. Cerchiamo gli autovalori della matrice A che sono soluzioni dell equazione ovvero ( λ) ( λ) = λ 3 + 3λ 2 = λ = 3 λ 23 =. La matrice è perció singolare (det(a) = ) e quindi non invertibile. L autovettore corrispondente a λ ha la forma (α α α) con α R α e possiamo perció fissare v = ( ). Gli autovettori corrispondenti all autovalore sono invece della forma (α β α β) con α β R e almeno uno dei due non nullo. Possiamo quindi prendere e scegliere v 3 in modo che sia ortogonale a v e.g. v 2 = ( 2) v 3 = ( ). La matrice è quindi diagonalizzabile come avremmo dovuto aspettarci essendo A smmetrica reale. La matrice del cambiamento di base P dalla base canonica a (v v 2 v 3 ) è P = 2 mentre la matrice del cambiamento di coordinate Q = ( P ) T è Q = Se quindi poniamo y = Qx nelle nuove coordinate il sistema è della forma con La soluzione nelle nuove coordinate è banale: ẏ = Dy + c D = 3 c =. y(t) = (( y () + 3) e 3t 3 y 2() y 3 () )

2 che in generale nelle coordinate di partenza si può scrivere x(t) = [( a + 3) e 3t 3] v + bv 2 + cv 3 dove (a b c) R 3 sono determinate dai dati iniziali e piú precisamente se x := x() è il dato iniziale: a = v 2 x v = 3 x v b = v 2 2 x v 2 = 6 x v 2 c = v 3 2 x v 3 = 2 x v 3. Riguardo ai punti di equilibrio osserviamo anzitutto che poiché la matrice A è singolare le posizioni di equilibrio non si possono determinare usando la formula x e = A b semplicemente perché A non esiste. Verifichiamo esplicitamente se esistono altre posizioni di equilibrio ovvero soluzioni del sistema Ax + b = = x + y + z = da cui ricaviamo che le posizioni di equilibrio sono della forma x e = (α β α β) con α β R. L insieme di tali punti di equilibrio è un piano descritto parametricamente da quest ultima equazione. Dato che la matrice A ha un autovalore strettamente positivo tali posizioni di equilibrio sono instabili. L equazione del moto è Esercizio 2 [ r = ρ 2 + 3α ] r ρ 4 ρ con ρ = r e gli integrali primi sono il momento angolare e l energia meccanica con L = r ṙ E = 2ṙ2 + V (ρ) = 2 ρ2 + V eff (ρ) V eff (ρ) = ρ α ρ 3 + L2 2ρ 2. (a) Osserviamo che lim ρ V eff (ρ) = e lim ρ + V eff (ρ) =. La derivata V eff (ρ) si annulla dove ρ 2 + 3α ρ 4 L2 ρ 3 = ρ2 L 2 ρ + 3α ρ 4 = Pertanto i punti critici sono se esistono le soluzioni reali di ρ 2 L 2 ρ + 3α = ovvero ρ Mm = L2 L 4 2α 2 Quindi: se L 4 < 2α non ci sono punti critici; se L 4 = 2α c è un solo punto critico a ρ f = L 2 /2 = 3α dove Veff ha un flesso; se L 4 2α V eff ha un massimo locale in ρ M e un minimo locale in ρ m. In quest ultimo caso il massimo locale può corrispondere a un massimo assoluto o a un massimo relativo a seconda del segno di V eff (ρ M ). Per stabilirlo studiamo il segno di V eff : V eff (ρ) = 2ρ2 L 2 ρ + 2α 2ρ 3 si annulla in ρ ± = 4 (L2 ± L 4 6α) se L 4 6α altrimenti è sempre negativo; se L 4 = 6α il potenziale efficace si annulla solo in ρ = L 2 /4 = α e per il resto è negativo; se L 4 > 6α il potenziale efficace è positivo tra ρ e ρ + e per il resto è negativo. In conclusione: se 2α < L 4 < 6α V eff (ρ M ) < e quindi ρ M non è un massimo assuluto; se L 4 6α V eff (ρ M ) e quindi ρ M è un massimo assuluto. Il grafico del potenziale efficace al variare di α L si trova in fig...

3 Figura : Potenziale efficace V eff (ρ) nei casi L 4 > 6α (blu scuro) L 4 = 6α (giallo) 2α < L 4 < 6α (viola) L 4 = 2α (blu chiaro) e L 4 < 2α (verde). Figura 2: Orbite nel caso L 4 < 2α. (b) I punti di equilibrio del moto radiale sono ovviamente i punti critici del potenziale V eff (ρ) ovvero ρ Mm se L 4 > 2α e ρ f se L 4 = 2α. ρ M e ρ f sono punti di equilibrio instabili in quanto massimo locale e flesso del potenziale mentre ρ m è un punto di equilibrio stabile in quanto minimo locale isolato. I valori critici dell energia del moto radiale sono E = V eff (+ ) = in tutti e tre i casi (asintoto orizzontale) E Mm = V eff (ρ Mm ) se L 4 > 2α e E f = V eff (ρ f ) se L 4 = 2α. I grafici delle orbite del moto radiale nel piano delle fasi (ρ ρ) nei diversi casi sono riportati in fig e 6. La linea in rosso indica la separatrice con energia E M = V eff (ρ M ); nei casi 2α < L 4 < 6α e L 4 > 6α viene anche indicata in verde la separatrice a energia nulla (nel caso L 4 = 6α queste due separatrici coincidono). (c) Orbite periodiche del moto radiale esistono solo se L 4 > 2α. Se 2α < L 4 < 6α queste corrispondono a energie E m E < E M ; se L 4 6α corrispondono a energie E m E <. Con riferimento alle figure 4 5 e 6 tali orbite sono: tutte quelle contenute nella componente destra (i.e. quella alla destra del punto di equilibrio instabile (ρ M )) della separatrice rossa in fig.4 e 5; tutte quelle contenute nella componente destra della separatrice verde in fig.6. Figura 3: Orbite nel caso L 4 = 2α.

4 Figura 4: Orbite nel caso 2α < L 4 < 6α. Figura 5: Orbite nel caso L 4 = 6α. Figura 6: Orbite nel caso L 4 > 6α.

5 (d) Possono esistere orbite periodiche del moto complessivo se L 4 > 2α e E = E m con ρ() = ρ m oppure E m < E < min{ E M } ed è verficata la condizione T /T Q dove: T è il periodo del moto radiale che è dato da T = 2 ρ3 ρ 2 2(E Veff (ρ)) dove ρ 23 sono la seconda e terza radice dell equazione V eff (ρ) = E (qui stiamo supponendo che le tre radici di V eff (ρ) = E siano ordinate ρ < ρ 2 < ρ 3 ). T è il secondo periodo del moto angolare (si ricordi che in generale il moto angolare è la sovrapposizione di due moti periodici uno dei quali di periodo T ) che è dato da π [ ρ 3 T = T L ρ 2 ρ 2 2(E V eff (ρ)) In conclusione la condizione affinché il moto complessivo sia periodico è che la quantità sia un multiplo razionale di π. L ρ3 ρ 2 ρ 2 2(E V eff (ρ)) (e) Un caso in cui il moto esibisce una caduta verso il centro è quello in cui E < E m e il punto parte da fermo a distanza ρ dall origine dove ρ è l unica radice di E = V eff (ρ). Il tempo di caduta T si calcola come: ρ ρ T = 2(E Veff (ρ)) = 2(E + ρ L2 2ρ + α 2 ρ ) 3 che è finito poiché la funzione integranda è integrabile sia vicino a ρ (dove si comporta come (cost.) (ρ ρ) /2 ) sia vicino a (dove si comporta come (cost.) ρ 3/2 ). Quindi in questo caso il moto non esiste globalmente. ] Esercizio 3 (a) L equazione del moto del punto materiale P nel sistema di riferimento solidale con π è m r = k (r d) mω 2 e z (e z r) 2mωe z ṙ dove abbiamo posto r = OP e d = OC e ez denota il versore unitario ortogonale a π uscente da O. Usando un sistema di assi cartesiani con origine in O e asse ˆx lungo d l equazione del moto si scrive in componenti { mẍ = kx + kd + mω 2 x + 2mωẏ mÿ = ky + mω 2 y 2mωẋ. (b) Le posizioni di equilibrio si caratterizzano per le condizioni r = e ṙ = ovvero kx + kd + mω 2 x = ky + mω 2 y = ẋ = ẏ =. Pertanto esiste un unica posizione di equilibrio r e = d mω2 k se e solo se mω 2 k. Se mω 2 = k il sistema non ammette posizioni di equilibrio.

6 (c) Supponiamo che α := ω 2 k/m e definiamo r := r r e. Le equazioni del moto si possono riscrivere nella forma { ẍ = αx + 2ωẏ ÿ = αy 2ωẋ. Introducendo la variabile complessa z = x +iy si trova z +2iωż αz = la cui soluzione generale è z(t) = Ae λ+t + Be λ t dove λ ± sono le radici di λ 2 + 2iωλ α = ovvero λ ± = iω ± ω 2 + α. Ricordando che α = ω 2 k/m si ha che ω 2 + α = k/m e quindi λ ± = i ( k ) ω ± m È facile vedere che il punto di equilibrio è quindi stabile: i dati iniziali che partono vicino all equilibrio corrispondono a valori piccoli di A e B che producono moti che rimangono piccoli per tutti i tempi semplicemente perché λ ± sono immaginari puri e quindi e λ±t =. In altri termini l equilibrio è stabile poiché il sistema è lineare e gli autovalori sono immaginari puri. Esercizio 4 Allo scopo di calcolare gli elementi di matrice del tensore di inerzia notiamo che con il sistema di coordinate scelto in figura il corpo occupa la regione { 2 h z 2 h} { x a y b( x/a)}. Abbiamo quindi (chiamando m la massa del corpo e usando che il suo volume è 2 abh): I = 2m h/2 I 22 = 2m h/2 I 33 = 2m h/2 I 2 = I 2 = 2m abh h/2 h/2 b( x/a) b( x/a) b( x/a) I 23 = I 32 = 2m h/2 I 3 = I 3 = 2m h/2 La matrice d inerzia è quindi a blocchi: I = m 2 dy ( y 2 + z 2) = m(h2 + 2b 2 ) 2 dy ( x 2 + z 2) = m(h2 + 2a 2 ) 2 dy ( x 2 + y 2) = m(a2 + b 2 ) 6 b( x/a) b( x/a) b( x/a) h2 + 2b 2 ab ab h 2 + 2a 2 2(a 2 + b 2 ) dy xy = mab 2 dy yz = dy xz = I momenti principali di inerzia sono quindi I 3 = I 33 = m(a2 +b 2 ) 6 e i due autovalori del blocco 2 2 corrispondente alle ( direzioni e 2 che) si calcolano immediatamente in termini delle radici del polinomio h caratteristico di 2 + 2b 2 ab ab h 2 + 2a 2 : [ (h 2 + 2b 2 λ)(h 2 + 2a 2 λ) a 2 b 2] = = λ = a 2 + b 2 + h 2 ± a 4 + b 4 a 2 b 2

7 In conclusione I 2 = m 2[ a 2 + b 2 + h 2 ± a 4 + b 4 a 2 b 2] I 3 = m 6 (a2 + b 2 ) Il calcolo delle direzioni principali di inerzia procede analogamente: ( l asse ˆη 3 ) coincide con ê 3 mentre gli h assi ˆη 2 vano scelti come le direzioni caratteristiche di 2 + 2b 2 ab ab h 2 + 2a 2 che risultano essere ˆη 2 = ( ) ab N ± b 2 a 2 a 4 + b 4 a 2 b 2 dove N ± = [2(a 4 + b 4 a 2 b 2 ) 2(b 2 a 2 ) ] /2 a 4 + b 4 a 2 b 2