FM210 - Fisica Matematica 1 Tutorato VIII - Martha Faraggiana e Enzo Livrieri (soluzioni degli esercizi)

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1 Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 01/013 FM10 - Fisica Matematica 1 Tutorato VIII - Martha Faraggiana e Enzo ivrieri (soluzioni degli esercizi) Esercizio 1. Il moto dei due atomi é un esempio applicativo del problema dei due corpi. Dire che il sistema forma uno stato legato é equivalente a dire che l orbita del punto individuato dalla coordinata relativa é limitata. 1. Abbiamo che V (ρ) ε[3( r 0 ρ ) 10 5( r 0 ρ ) 6 ]; ponendo per comoditá A 3εr0 10 e B 5εr6 0, avremo che dobbiamo studiare il potenziale efficace V eff (ρ) A ρ 10 B ρ 6 + µρ al variare di A, B, µ, > 0. Calcolando i limiti otteniamo che lim V ρ 0 + eff (ρ) lim V (x) 0 ρ + Per quel che riguarda i valori critici del potenziale avremo che V eff (ρ) ρ B ρ 7 µρ 3 10µA + 6µBρ4 ρ 8 µρ 11 Con la sostituzione y ρ 4 otteniamo che V eff 0 y + 6µBy 10µA 0 che ha come radici y 1, 3µB ± 9µ B 10µA Quindi il potenziale avrá 0, 1, punti critici a seconda che 9µ B 10µA sia maggiore, minore o uguale a 0. caso a) 9µ B 10µA > 0 < 9µB la derivata si annullerá dunque in quattro punti ρ 1 4 3µB+ 9µ B 10µA ρ 4 3µB+ 9µ B 10µA ρ 3 4 3µB 9µ B 10µA ρ 4 4 3µB 9µ B 10µA 1

2 chiaramente ρ e ρ 4 devono essere scartati in quanto < 0, mentre ρ 1 é ben definito. Per quel che riguarda ρ 3 dobbiamo invece verificare che la quantitá sotto radice quarta sia positiva; questo é vero se ma essendo 3µB 9µ B 10µA > 0 9µ B 10µA < 3µB 3µB 9µ B 10µA > 0 Come si puó vedere facilmente dallo studio del segno della derivata prima ρ 3 e ρ 1 sono rispettivamente un minimo e un massimo per il potenziale (e quindi rispettivamente un punto stabile e un punto instabile per il sistema). Il grafico di V eff é rappresentato in Figura 1 (curva gialla). Figura 1 Il grafico di V eff al variare dei parametri (Problema 1). caso b) 9µ B 10µA 0 9µB la derivata si annulla in un solo punto ρ 1 4 3µB. Per studiare la natura del punto critico andiamoci a calcolare la derivata seconda del potenziale e quindi V eff ( 4 3µB V eff 1 (ρ) ρ 1 4B ρ µρ 4 ; ) 1 ( 3µB ) 4B 3 ( 3µB (Ricordiamo che siamo nell ipotesi 9µB ) ) + 3 µ 3µB 0 Quindi il punto ρ 1 é un punto di flesso per il potenziale e dunque un punto instabile per il sistema.

3 Il grafico di V eff é rappresentato in Figura 1 (curva rossa). caso c) 9µ B 10µA < 0 > 9µB la derivata del potenziale non si annulla in nessun punto. Il grafico di V eff é rappresentato in Figura 1 (curva blu). Quindi in conclusone il sistema forma uno stato legato se le curve nel piano delle fasi sono chiuse e ció avviene se < 9µB e se V eff (ρ 3 ) < E < V eff (ρ 1 ).. Il valore dell energia di legame della molecola é U 0 V eff (ρ 1 ), con U 0 V eff (ρ 3 ) valore dell energia nel punto stabile. 3. a discussione sui punti di equilibrio é stata giá effettuata al punto Si chiede di calcolare il limite del periodo del moto radiale se E V eff (ρ 3 ). Si pone E 0 V eff (ρ 3 ) e sia ε > 0 piccolo. Al livello di energia E ε E 0 + ε il moto si svolge su un orbita chiusa diffeomorfa a un cerchio ed é periodico di periodo m T ε ρ+ dρ (Eε V eff (ρ)) dove ρ ± sono le soluzioni dell equazione E ε V eff (ρ) 0. Ora il nostro potenziale efficace V eff é una funzione C e convessa intorno a ρ 3 che é anche un minimo del potenziale e quindi un punto stabile (teorema di Dirichlet). Allora procedendo come nella dimostrazione del teorema 8.1 delle dispense di Gentile risulta m T ε T 0 π V eff (ρ ε 0 3) che corrisponde al periodo di un oscillatore armonico di costante elastica k V eff (ρ 3) (T π ω con ω k m ). Esercizio. Sappiamo che la traiettoria della particella è simmetrica rispetto alla retta passante per il centro diffusore e il punto più vicino dell orbita. Se φ 0 è l angolo tra tale retta e un asintoto dell orbita abbiamo che l angolo di deviazione χ è dato da χ π φ 0 con + ρ 1 b V ρ mv con b il parametro d impatto, v la velocità della particella all infinito e V l energia potenziale. Per un disegno che aiuti la compresione si puó far riferimento al disegno nel capitolo 18 del andau-ifschitz. Nel nostro caso V (ρ) α con α > 0; l integrale precedente risulta essere ρ + ρ b ρ ρ 1 ( α mv ρ b mv +α mv 1 ρ ) ρ 1 b mv +α mv ρ 3

4 Chiamando C b mv +α e dopo aver fatto il cambiamento di variabile z C mv ρ, dz C dρ ρ avremo che b C [arccos(c ρ )] + Ricordando che è uno zero del radicando, abbiamo da cui ricaviamo b dove abbiamo usato 1 (π χ). πb mv b mv + α 8αφ 0 α(π χ) mv (4φ 0 π ) mv (χ πχ) Ora, essendo riusciti a scrivere b in funzione dell angolo di deviazione χ, la sezione d urto differenziale dσ é semplicemente data dalla formula dσ πb(χ) db(χ) dχ dχ o anche, in termini dell elemento di angolo solido dω Svolgendo i calcoli troviamo dσ b(χ) db(χ) dω sin χ dχ dσ πα mv π χ χ (π χ) dω sin χ. Esercizio 3. Fissiamo in coordinate polari una base ortonormale di R 3 costituita dai vettori e ρ (cos θ, sin θ, 0) e θ ( sin θ, cos θ, 0) e z (0, 0, 1) Il vettore e z é parallelo al vettore momento angolare e in particolare ortogonale al piano dove si svolge il moto. Esprimiamo i vettori posizione r, velocitá ṙ e momento angolare in tale base. Si ha r ρe ρ Inoltre ˆr e ρ e d dtˆr θe θ. ṙ ρe ρ + ρ θe θ µρ θez Verifichiamo che il vettore di Runge-enz A µṙ µkˆr é una grandezza conservata. Ricordiamo che e ρ e z e θ e che µ r k ρ e ρ 0 4

5 Calcoliamo Ȧ Ȧ µ r µk d dtˆr k ρ e ρ µρ θez µk θe θ µk θe θ µk θe θ 0 Quindi il vettore A é una grandezza conservata. Chiaramente é ortogonale a perché il primo termine gli é ortogonale per definizione di prodotto vettoriale mentre il secondo termine é parallelo a e ρ che é ortogonale a e z e quindi a. Calcoliamo A. A µṙ µkˆr µ( ρe ρ + ρ θe θ ) µρ θez µke ρ (µ ρ 3 θ µk)e µ ρ ρ θe θ cioé Ricordiamo che Dunque A (µ ρ 3 θ µk, µ ρ ρ θ, 0) ρ µ (E + k µρ ) θ µρ A µ k + µ E In coordinate polari si ha cioé A r (µ ρ 3 θ µk, µ ρ ρ θ, 0) (ρ, 0, 0) µρk A ρ cos(θ θ 0 ) ρ ( 1 + A µk cos(θ θ 0) ) µk. Chiaramente l angolo θ θ 0 é l angolo compreso tra A ed r. Per quanto riguarda le equazioni delle orbite nei casi e A µk 1 (che risulteranno essere parabole e iperboli) cfr. il Corollario delle dispense del prof. Gentile. 5