Enrico Borghi INTRODUZIONE ALLA QUANTIZZAZIONE DEI CAMPI

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1 Enrio Borghi INTRODUZIONE ALLA QUANTIZZAZIONE DEI CAMPI

2 Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo la Introduzione alla quantizzazione dei ampi si inontrano rihiami ai seguenti studi (a) Le variabili dinamihe del ampo salare reale (b) Le variabili dinamihe del ampo di Maxwell () Le variabili dinamihe del ampo di Dira (d) Il teorema di Nöther (e) L equazione di Dira (f) Seonda quantizzazione he fanno parte di fisiarivisitata e he devono essere ben noti a hi si interessa alla quantizzazione dei ampi seguendo la presentazione he di questo argomento viene data in questo studio. 2

3 Simboli usati in questo studio (on riferimento al ampo salare reale in ui a(k) = a (k)): Spazio R t, ±R k ω, ±k ; k R = k 0t k R = ωt k R. a(k)e ik R dk + a (k)e ik R dk ψ (+) (R) = ψ ( ) (R) = Spazio R R,it a(k)e ik R dk = a (k)e ik R dk = a(k)e i(ωt k R) dk a (k)e i(ωt k R) dk k k,i ω ; k R = k R + i ω it = k R ωt. ψ ( ) (R) = ψ (+) (R) = a(k)eik R dk = { a(k)e ik R + a (k)e ik R} dk a (k)e ik R dk = a(k)ei(k R ωt) dk a (k)e i( k R+ωt) dk ψ + (R) si distingue da ψ (R) per il segno di ω nell espressione ±ik R. Nello spazio t, ±R il segno di ω è positivo in +ik R = iωt ik R e negativo in ik R = iωt + ik R. Nello spazio R,it il segno di ω è positivo in ik R = ik R + iωt e negativo in +ik R = ik R iωt. 3

4 Introduiamo la proedura di quantizzazione dei ampi presentando dapprima, sintetiamente, i punti in ui può essere artiolata e approfondendo poi i punti più signifiativi.. Oorre innanzitutto onsiderare lassihe le equazioni (ad esempio quella di Klein- Gordon o quella di Dira) he desrivono l evoluzione delle funzioni d onda assoiate a speifihe partielle. 2. In ambiente lassio le funzioni d onda diventano oordinate lagrangiane lassihe desrittive di altrettanti ampi (ampo di Klein-Gordon, ampo di Dira); in orrispondenza di iasun ampo esiste, ome sappiamo, una densità lagrangiana funzione delle oordinate lagrangiane e delle loro derivate. Si ha osì, ad esempio, per il ampo salare reale (v. studio (a)) ( L ψ, ψ ) x α = ψ i h i h ψ 2m 0 x µ x µ 2 m 0ψ 2 ; α,µ = 0,,2,3 () per il ampo vettoriale reale di Maxwell (v. studio (b)) L ( ) Φα = Φ ν Φ ν ; α,β,µ,ν = 0,,2,3 (2) x β 2 x µ x µ per il ampo bispinoriale di Dira (v. studio ()) ( L Ψ,Ψ, Ψ x, Ψ ) = ( Ψγ µ i h Ψ ) Ψ i h α x α 2 x µ x µ γµ Ψ m 0 ΨΨ ; α,µ = 0,,2,3 (3) e.. Le oordinate lagrangiane, oltre a eventuali indii disreti tensoriali o bispinoriali, possiedono indii ontinui: sono le oordinate dei punti evento R t, x, y, z he, ome è noto, in meania lagrangiana dei sistemi ontinui fungono da parametri he etihettano gli assi dello spazio in ui L è definita. 3. La densità lagrangiana, introdotta nelle equazioni di Lagrange per sistemi ontinui, fornise le equazioni del moto delle oordinate lagrangiane (oinidenti, formalmente, on le equazioni d onda quantistihe relativistihe). 4. Le espressioni delle oordinate lagrangiane di iasun ampo si ottengono integrando le equazioni del moto del rispettivo ampo. 5. Ciò posto, in aordo on la proedura della Seonda quantizzazione (v. studio (f)) si reinterpretano le oordinate lagrangiane ome operatori di ampo definiti in uno spazio di Hilbert S H ; tali operatori agisono su un vettore di stato Ψ assoiato al sistema desritto dalla lagrangiana he si sta onsiderando. 6. Gli operatori di ampo hanno espressione di tipo simile a questa, he è propriamente riferita a un ampo salare hermitiano (v. studio (a)): ψ (+) (R) + ψ ( ) (R) (4) 4

5 on ψ (+) e ψ ( ), detti rispettivamente parte a frequenza positiva e parte a frequenza negativa, funzioni degli operatori a(k) e a (k): ψ (+) (R) = ψ ( ) (R) = a(k)e ik R dk = a (k)e ik R dk = a(k)e i(+k0t k R) dk a (k)e i( k0t+k R) dk (5) dove ω(k) = k 2 + m2 0 2 h 2 (6). Per un ampo salare omplesso si avrà, in luogo dell operatore ψ he ompare nella (4), una oppia di operatori ψ(r) e ψ (R), mentre per un ampo bispinoriale si avrà Ψ a (R) e Ψ a (R), per un ampo vettoriale reale si avrà Φ µ (R) e., tutti rappresentabili ome somma di parti a frequenza positiva e parti a frequenza negativa. 7. Applihiamo il Prinipio di Corrispondenza: imponiamo la ondizione he i valori medi degli operatori di ampo si trasformino, a seguito di una trasformazione infinitesima di Lorentz, ome gli oggetti matematii lassii (ad es.: salari, tensori, bispinori,...) ui gli operatori di ampo sono assoiati. Da questa ondizione si riava una relazione fra gli operatori di ampo (e loro derivate) e i generatori della trasformazione unitaria infinitesima indotta in S H dalla trasformazione infinitesima di Lorentz. Da questa relazione, in virtù del legame esistente fra generatori e variabili dinamihe di ampo, è possibile, almeno in linea di prinipio, determinare gli operatori assoiati a tali variabili he risultano essere funzioni degli operatori di ampo e delle loro derivate. 8. Si può mostrare he a(k) e a (k) sono operatori rispettivamente di distruzione e reazione. Per essi valgono relazioni di ommutazione o antiommutazione he verranno definite in seguito. 9. Si rappresentano Ψ e gli operatori assoiati alle variabili dinamihe di ampo nello spazio di Fok. 0. I valori medi di P e J sono espressi dai valori medi dei numeri di oupazione.. Il vettore di stato Ψ è rappresentativo di un sistema di partielle identihe non interagenti. * * * Ci proponiamo ora di ommentare e approfondire aluni dei punti he abbiamo elenato. Innanzitutto vogliamo mostrare ome si riava l espressione della oordinata lagrangiana di un ampo salare reale integrando l equazione del moto di questo ampo (punto 4.) L equazione del moto in assenza di potenziale è uguale alla (32) dello studio L equazione di Klein-Gordon salvo il fatto he ora ψ è reale, ioè ψ (R): ( ) 2 + m2 0 2 h 2 0 ; R t ;, (7) ±R t 5

6 Assumiamo ome soluzione della (7) il seguente integrale di Fourier della ψ(r) nello spazio dei momenti k: δ (k 2 m2 0 2 ) h 2 a(k)e ik R dk (8) on k = k 0 ±k Infatti se inseriamo la (8) nella (7) otteniamo ( 2 + m2 0 2 h 2 ) ovvero, essendo 2 e ik R = = ω/ ±k δ (k 2 m2 0 2 ) h 2 a(k)e ik R dk = = ( δ (k 2 m2 0 2 ) ( h 2 a(k) 2 2 e ik R + m2 0 2 h 2 e ik R) dk = 0 (t) 2 2 )e i(k 0t k R) = ( k k2 )e i(k 0t k R) = k 2 e ik R δ (k 2 m2 0 2 ) ( h 2 a(k) k 2 + m2 0 2 ) h 2 e ik R dk = 0 da ui (k 2 m2 0 2 h 2 ) δ (k 2 m2 0 2 h 2 ) a(k)e ik R dk = 0 equazione he è verifiata per qualunque a(k) perhé l integrando ontiene un termine del tipo xδ(x). Ora osserviamo he k 2 = k 2 0 k2 e quindi k 2 m2 0 2 periò ponendo, in aordo on la (6), si può srivere h 2 = k 2 0 k2 m2 0 2 h 2 ω 2 (k) 2 = k 2 + m2 0 2 h 2 (9) k 2 m2 0 2 h 2 = k 2 0 ω2 (k) 2 (0) Tenendo presente la nota proprietà della funzione delta di Dira espressa da δ(x 2 a 2 ) = {δ(x a) + δ(x + a)} ; a > 0 2a 6

7 si può srivere la (8) nel modo seguente δ ( k 0 ω(k) ) e i(k0t k R) a(k 0,k)dk 0 dk+ + Integrando rispetto a k 0 si ottiene δ e i(ω(k)t k R) a(ω(k),k)dk + ( ( k 0 ω(k) )) e i(k0t k R) a(k 0,k)dk 0 dk e i( ω(k)t k R) a( ω(k),k)dk Effettuiamo nel seondo integrale a membro destro la sostituzione k k. Tenendo onto del fatto he ω(k) non ambia segue Segue anora e i(ω(k)t k R) a(ω(k),k)dk+ a(ω(k),k)e ik R dk + e i( ω(k)t+k R) a( ω(k), k)d( k) a( ω(k), k)eik R dk () Poniamo, per ragioni he appariranno hiare più avanti, a(k) = a(ω(k),k) ; a( k) = a( ω(k), k) (2) Segue Ora osserviamo he ψ (R) = a(k)e ik R dk + a (k)e ik R dk + a( k)eik R dk (3) a ( k)e ik R dk (4) Avendo assunto he la oordinata lagrangiana he stiamo trattando sia reale deve risultare ψ = ψ (5) 7

8 e quindi osihé a (k) = a( k) ; a ( k) = a(k) (6) { a(k)e ik R + a (k)e ik R} dk (7) on ±ik R = i(±k 0 t k R). Poniamo anora ψ (+) (R) = ψ ( ) (R) = a(k)e ik R dk = a (k)e ik R dk = a(k)e i(+k 0t k R) dk (8) a (k)e i( k0t+k R) dk (9) osihé ψ ( ) = ψ (+). Le ψ (+) (R) e ψ ( ) (R), on riferimento al segno he preede k 0 (he è onsiderato positivo), sono dette rispettivamente parte a frequenza positiva e parte a frequenza negativa della ψ(r). La (7) si può risrivere osì e viene osì giustifiato il punto 6. ψ (+) (R) + ψ ( ) (R) (20) Imponendo ondizioni al ontorno periodihe, ioè effettuando la sostituzione dk V k dove V è il volume di una satola di lato L, si ottiene dalla (7) V k 2ω k { a(k)e ik R + a (k)e ik R} (2) essendo k il vettore numero d onde avente omponenti k,k 2,k 3 on k l = 2πm l /L e m l = 0,,2,3,... ; l indie k sta per k,k 2,k 3 (periò la sommatoria è in effetti tripla) osihé ω k = k 2 + k2 2 + k3 3 + m2 0 2 ;a(k) = a ( k h 2 (m ),k 2 (m 2 ),k 3 (m 3 ) ). * * * Infine nel quadrispazio R R, it, partendo dall eq. (38) dello studio L equazione di Klein-Gordon he qui risriviamo assumendo he ψ(r) sia reale { } 2 m2 0 2 h 2 0 ;, it 8

9 e dalla si trova δ (k 2 + m2 0 )a(k)e 2 ik R h 2 dk ; k k,i ω { a(k)e ik R + a (k)e ik R} dk (22) on ±ik R = i(±k R ± i ω it) e quindi, se faiamo riferimento al segno he preede ω, le parti a frequenza positiva e negativa sono espresse da ψ ( ) (R) = ψ (+) (R) = a(k)ei(k R+i ω it) dk = a (k)e i( k R i ω it) dk = a(k)ei(k R ωt) dk a (k)e i( k R+ωt) dk * * * Ci proponiamo di mostrare ome si possa fare uso del Prinipio di Corrispondenza per determinare gli operatori assoiati alle variabili dinamihe di ampo (punto 7.). Imponiamo he in ambiente quantistio i valori medi degli operatori si trasformino, a seguito di una trasformazione di Lorentz, osì ome si trasformano i orrispondenti ampi tensoriali in ambiente lassio. Effettuiamo una trasformazione infinitesima di Lorentz (23) R = R + dr ; x β = x β + dx β (24) ed assumiamo, per fissare le idee, he il ampo sia vettoriale (v. eq. (D35) e (D42) dell Appendie D dello studio (d)): ψ α (R ) = ψ α (R) + dψ α = ψ α (R) + δψ α (R) + ψα x β dxβ (25) Ora aloliamo il valor medio di questa equazione operatoriale assumendo he l intera variazione dovuta alla trasformazione di simmetria venga inglobata in δψ α (R), ioè nella dipendenza funzionale dell operatore ψ α dal suo argomento R, e he di onseguenza R rimanga invariato e quindi dr dx β = 0 ovvero R = R osihé la (25) diviene ψ α (R) = ψ α (R) + δψ α (R) e il suo valor medio nello stato Ψ è espresso da Ψ ψ α (R) Ψ = Ψ ψ α (R) + δψ α (R) Ψ Ma il membro sinistro non ambia se si attribuise la variazione a Ψ mantenendo ostante l operatore di ampo ψ α, periò Ψ ψ α (R) Ψ = Ψ ψ α (R) + δψ α (R) Ψ (26) 9

10 Veniamo ora alla rappresentazione unitaria del gruppo di Lorentz. La (24) indue una trasformazione unitaria infinitesima del vettore di stato he assumiamo nella forma seguente Ψ = U inf Ψ = ( + ) i h U βdx β Ψ (27) dove U β è il generatore della trasformazione. Sostituendo nella (26) si ottiene: Ψ U inf ψα U inf Ψ = Ψ ψ α + δψ α Ψ e quindi U inf ψα U inf = ψ α + δψ α ovvero ( ) ( i h U βdx β ψ α + ) i h U βdx β = ψ α + δψ α da ui, trasurando l infinitesimo di seondo ordine, segue e anora ψ α i h U βdx β ψ α + ψ α i h U βdx β = ψ α + δψ α i h [ψα,u β dx β ] = δψ α e infine, tenendo onto dell eq. (D42) dell Appendie D dello studio (d) i h [ψα,u β dx β ] + ψα x β dxβ = dψ α (28) La (28) esprime la ondizione ui devono soddisfare gli operatori di ampo ψ α e i generatori delle trasformazioni infinitesime U β affinhé i valori medi degli operatori di ampo si trasformino ome tensori. Da essa è possibile, in linea di prinipio, riavare U β. * * * Se dx β è una traslazione infinitesima, ioè se dx β = ε β (29) allora la variazione dψ α è nulla e si può dimostrare he U β dx β = P β ε β, dove P β è il quadrimomento della partiella assoiata al ampo ψ α osihé ovvero Se dx β è una rotazione infinitesima, ioè se i h [ψα,p β ε β ] + ψα x β εβ = 0 i h [ψα,p β ] = ψα x β (30) dx β = ω β α xα (3) 0

11 la variazione di dψα è espressa dall eq. (D36) dell Appendie D dello studio (d) he qui risriviamo: dψ α = 2 ω νβp νβ,α µ ψµ e si può dimostrare he U β dx β = 2 Jνβ ω νβ, dove J νβ è il quadrimomento angolare della partiella assoiata al ampo ψ α, osihé la (28) diviene Ora osserviamo he 2i h [ψα,j νβ ω νβ ] + ψα x γ ωγ β xβ = 2 ω νβp νβ,α µψ µ ψ α x γ ωγ β xβ = ψα x ω µβx β g µγ = ψ α ( ωµβ x β ω γ 2 x γ βµ x β) g µγ = ψ α ( ωνβ δ ν 2 x γ µ xβ ω νβ δ β µ xν) g µγ = 2 ω ψ α ( νβ δ νγ x γ x β δ βγ x ν) e si ha infine ovvero 2i h [ψα,j νβ ω νβ ] + ψ α ( x β δ νγ x ν δ βγ) ω 2 x γ νβ = 2 ω νβp νβ,α µψ µ i h [ψα,j νβ ] = ψα x γ ( x β δ νγ x ν δ βγ) P νβ,α µ ψµ (32) * * * A ausa delle diffioltà he si inontrano negli sviluppi formali, per determinare P e J non si fa usualmente riorso alle (30) e (32). Conviene invee riferirsi alle medesime quantità riavandole dal Teorema di Nöther he, ome si può verifiare, fornise espressioni delle variabili dinamihe uguali a quelle riavabili dalle (30) e (32). Trovano osì giustifiazione i seguenti studi presenti in fisiarivisitata e basati sul Teorema di Nöther - Le variabili dinamihe del ampo di Dira - Le variabili dinamihe del ampo salare reale - Le variabili dinamihe del ampo di Maxwell di ui ora si può apprezzare l utilità in vista del suessivo passo della quantizzazione dei rispettivi ampi. Notiamo he, poihé il Teorema di Nöther è stato stabilito in ambiente lassio, rimane l inertezza onnessa on i prodotti di più variabili dinamihe, he ora diventano prodotti di più operatori da disporre in una sequenza he rimane impreisata. L ordine dei fattori nella sequenza potrà tuttavia essere determinato effettuando verifihe mediante le (30) e (32). * * * Vogliamo ora mostrare he, ome si è detto al punto 8., a(k) e a (k) sono rispettivamente operatori di distruzione e reazione faendo riferimento, per fissare le idee, a un ampo salare hermitiano.

12 Per interpretare il signifiato di a e a inseriamo la parte a frequenza positiva della (2) nella (30) e teniamo presente he k R = k β x β,β = 0,,2,3: i h [ V k a(k)e ik R,P β ] = 2ω k V k 2ω k ik β a(k)e ik R ovvero k 2ωk {[a(k)e ik R,P β ] hk β a(k)e ik R} = 0 da ui, poihé e ik R è un -numero k 2ωk {[a(k),p β ]e ik R hk β a(k)e ik R} = 0 (33) osihé si riava: [a(k),p β ] = hk β a(k) (34) Analogamente, inserendo nella (30) la parte a frequenza negativa della (2) si trova: [a (k),p β ] = hk β a (k) (35) Consideriamo ora l equazione agli autovalori dell operatore momento P β : P β K β = hk β K β (36) dove hk β è l autovalore di P β. Moltiplihiamo la (34) a destra per K β : a(k)p β K β P β a(k) K β = hk β a(k) K β Ma tenendo onto della (36) si può srivere: hk β a(k) K β P β a(k) K β = hk β a(k) K β da ui P β a(k) K β = h(k β k β )a(k) K β (37) e analogamente si ottiene P β a (k) K β = h(k β + k β )a (k) K β Si vede osì he se K β è un autovettore di P β appartenente all autovalore hk β, allora anhe a(k) K β è un autovettore di P β appartenente all autovalore h(k β k β ); analogamente a (k) K β è un autovettore di P β appartenente all autovalore h(k β + k β ). Conlusione: l operatore a(k) desrive la distruzione di una partiella di momento hk β mentre a (k) desrive la reazione di una partiella avente uguale momento. * * * 2

13 Ci proponiamo ora, ome si è detto al punto 9., di rappresentare nello spazio di Fok (v. studio (f)) i vettori e gli operatori definiti finora in questo apitolo. Si ha quindi, introduendo la notazione semplifiata...n k... equivalente alle notazioni (2) dello studio (f), e anhe a(k)... n k... = n k...(n ) k... (38) a (k)... n k... = (n + ) k... (n + ) k... (39) a(k)a (k)... n k... = (n + ) k a(k)... (n + ) k... = (n + ) k... n k... (40) a (k)a(k)... n k... = n k a (k)... (n ) k... = n k... n k... (4) Sottraendo la seonda dalla prima si ottiene: Inoltre dalle [a(k),a (k)]... n k... =... n k... (42) a(k)a (k )... n k... n k... = n k (n + )k...(n ) k...(n + ) k... (43) a (k )a(k)... n k... n k... = (n + ) k nk...(n ) k...(n + ) k... (44) si dedue he a(k) e a (k ) ommutano, perhé n k e n k sono sorrelati, periò [a(k),a (k )] = 0 Da questa e dalla (42), dalla quale riaviamo [a(k),a (k)] =, si ottiene in definitiva [a(k),a (k )] = δ kk (45) Con ragionamenti analoghi si ottiene anhe [a(k),a(k )] = [a (k),a (k )] = 0 (46) Si usa introdurre l operatore numero di oupazione (v. il ap. 2 dello studio (f)) N(k) = a (k)a(k) (47) osihé la (4) diviene N(k)... n k... = n k...n k... (48) e si ha [N(k),N(k )] = 0 (49) [a(k),n(k)] = a(k) (50) [a (k),n(k)] = a (k) (5) L operatore N(k) è definito positivo, ome sappiamo dall eq. (573) dello studio Reinterpretare l Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meania quantistia. Segue 3

14 he anhe il valor medio di N(k) deve essere positivo se esso opera su un vettore dello spazio di Hilbert he abbia metria definita positiva, ioè se Ψ N(k) Ψ = n k Ψ Ψ 0 (52) Ψ Ψ 0 (53) Vediamo quali onseguenze derivano da queste proprietà. Moltipliando la (40) a sinistra per a (k) e riordando la (47) si ottiene N(k) { a (k) Ψ } = (n + ) k { a (k) Ψ } Dalla (4), moltipliando a sinistra per a(k) e riordando la (50) si ottiene: N(k) { a(k) Ψ } = (n ) k { a(k) Ψ } e quindi a (k) Ψ è un autovettore di N(k) on autovalore (n+) k, mentre a a(k) Ψ è un autovettore di N(k) on autovalore (n ) k. Ma gli autovalori di N(k) devono essere sempre positivi, e quindi n deve rimanere sempre positivo, dal he si dedue he deve esistere uno stato Ψ 0 tale he e periò a(k) Ψ 0 = 0 (54) N(k) Ψ 0 = 0 (55) Tale stato Ψ 0 è detto stato del vuoto (v. ap. 2 dello studio (f)). Partendo da questo si possono ostruire stati ontenenti un numero qualunque di partielle. Ad esempio lo stato ontenente partiella è definito da Ψ( k ) = a (k) Ψ 0 e soddisfa la seguente equazione agli autovalori Lo stato ontenente 2 partielle è definito da e soddisfa l equazione agli autovalori N(k) Ψ( k ) = k Ψ( k ) (56) Ψ(2 k ) = a (k)a (k) Ψ 0 N(k) Ψ(2 k ) = 2 k Ψ(2 k ) eetera. Lo stato del vuoto può essere definito anhe in funzione delle (8) e (9) nelle quali ompaiono rispettivamente a(k) e a (k): ψ ( ) (R) Ψ 0 = 0 ; Ψ 0 ψ (+) (R) = 0 (57) 4