Lezione 3.1 Cenni di relatività ristretta

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1 Corso di Fisia moderna di base Modlo 1: Elementi di Strttra della Materia ATTENZIONE: LE SEGUENTI PAGINE SONO INTESE COME UNO SCHEMATICO RIASSUNTO DI QUANTO TRATTATO IN AULA, NON PRETENDONO DI ESSERE ESAURIENTI O SOSTITUTIVE ALLE LEZIONI STESSE Lezione 3.1 Cenni di relatività ristretta Riserratevi on qalhe amio nella maggior stanza he sia sotto overta di aln gran naviglio, e qivi fate d'aver moshe, farfalle e simili animaletti volanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente ome qelli animaletti volanti on pari veloità vanno verso ttte le parti della stanza [...] e voi, gettando all'amio alna osa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso qella parte he verso qesta, qando le lontananze sieno egali; e saltando voi, ome si die, a piè ginti, egali spazi passerete verso ttte le parti. Osservate he avrete diligentemente ttte qeste ose [...] fate mover la nave on qanta si voglia veloità: he (pr he il moto sia niforme e non flttante in qa e in là) voi non rionoserete na minima mtazione in ttti li nominati effetti, né da alno di qelli potrete omprender se la nave ammina o pre sta ferma (Galileo, Dialogo, giornata seonda) Dal prinipio di inerzia alla definizione di sistema inerziale Il prinipio di inerzia di Newton asserise he n orpo permane nel so stato di moto impertrbato (stato di qiete o di moto rettilineo niforme), se non è sottoposto a forze esterne. Qesto però non vale in ttti i sistemi di riferimento. Siamo periò ondotti a dare la definizione di Sistema Inerziale: n sistema di riferimento tale he, rispetto ad esso, he n orpo permane nel so stato di moto impertrbato (stato di qiete o di moto rettilineo niforme), se non è sottoposto a forze esterne. Per verifiare le proprietà di n sistema, è tile riordare la forma generale in i posso srivere l eqazione del moto rettilineo niforme nidimensionale, aratterizzato da na veloità v: xx 0 +v(t-t 0 ) Vediamo he per definire n sistema inerziale devo mettere in relazione i onetti di spazio e tempo. Definiamo evento n insieme di nmeri (x,y,z,t), o nel aso nidimensionale (x,t). Il prinipio di relatività galileiano e le trasformazioni galileiane (TG) ttti i sistemi di riferimento inerziali sono eqivalenti, nel senso he le leggi della fisia newtoniana si esprimono nella stessa forma in ognno di essi. Gli esperimenti porteranno a risltati identii. Se ho de sistemi di riferimento inerziali, ero na relazione he permetta di tradrre la desrizione di n osservatore he tilizza n determinato sistema S(x,t) in qella data dall osservatore he tilizza l altro, S (x,t ). Qesta si hiama trasformazione. La trasformazione galileiana è molto semplie: x' x t y' y z' z t' t 3-1

2 Eqazione 1 se, he per sempliità onsideriamo di direzione solo lngo l asse x, è la veloità on i S vede moversi S. Un annone fisso slla osta, nel pnto x0, è visto dalla nave S, he viaggia a veloità, allontanarsi on na legge del moto x -t. La trasformazione galileiana è stata formlata in modo da lasiare invarianti le distanze; inoltre n moto niforme in n altro moto niforme, dove la veloità di n oggetto è differente, ma si ottiene da na semplie legge di omposizione delle veloità. 1 v v+ Eqazione ad esempio, se slla osta il annone spara n proiettile (verso la nave) on veloità, misrata da terra, v, dalla nave misrano na veloità, per lo stesso proiettile, pari a v v- (perhé - è la veloità on i sembra viaggiare la terra dalla nave). Le aelerazioni non variano. Perhé devo introdrre le trasformazioni di Lorentz (TL) Alla fine del seolo XIX erano emerse delle forti ontraddizioni, tra la meania newtoniana e la teoria dell elettromagnetismo di Maxwell. Nel 1873 Maxwell pbbliò il trattato sll elettromagnetismo; la teoria ontiene la ostante niversale, he ha le dimensioni di na veloità. Essa era stata introdotta già nel 180, da Oersted, per poter onfrontare fenomeni magnetii ed elettrii. Nel 1856 W.Weber aveva osservato he il valore di oinideva on qello misrato per la veloità della le. Dopo il sesso maxwelliano slla teoria delle onde elettromagnetihe, si aettò il fatto he la le viaggiasse on la veloità niversale. Ma qesta ipotesi non è ompatibile on la semplie legge di omposizione delle veloità eq.. La solzione onsiste o nel modifiare le eq.ni di Maxwell in modo he esse soddisfino alla eq., in partiolare dovrebbe variare nei diversi sistemi inerziali in moto niforme no rispetto all altro, oppre trovare n novo tipo di trasformazione, he soddisfi la ondizione he resti la stessa in ttti i riferimenti in moto rettilineo ed niforme no rispetto all altro. La prima via si è dimostrata non perorribile. È stato periò trovato n novo tipo di trasformazioni, dette di Lorentz, he soddisfano a qanto rihiesto. Utilizzando qeste trasformazioni la meania lassia, qella newtoniana, non è invariante. Dovrò qindi erare anhe na nova meania!!! Per gistifiare il fatto he la meania newtoniana dia bone previsioni qando le veloità in gioo sono molto minori di, deve valere n prinipio di orrispondenza : la nova meania, qando le veloità sono piole rispetto a, dovrà dare le stesse previsioni della meania newtoniana. Dal pnto di vista storio, le trasformazioni di Lorentz frono soperte e pbbliate per la prima volta da Joseph Larmor nel Nel 1905, Henri Poinaré, il famoso matematio, le battezzò in onore del fisio e matematio Hendrik Lorentz, il qale ne aveva pbbliato la propria versione nel F lo stesso Poinarè he revisionò il formalismo delle trasformazioni, per onvertirle nella forma he onosiamo oggi. Lorentz soprì nel 1900 he le trasformazioni erano ompatibile on le eqazioni di Maxwell, ma egli le inserì in na propria teoria dell etere ; in partiolare, seondo Lorentz, le trasformazioni esprimevano il fatto he n oggetto, viaggiando a grandi veloità all interno di n etere, si ontraesse onretamente, ome shiaiato. F Albert Einstein, svilppando la teoria della relatività ristretta, he diede n appropriato fondamento teorio alle eqazioni. Trasformazioni di Lorentz (TL) Nell ambito di qesto orso non è spazio per introdrre seriamente le TL. Le riportiamo brtalmente, diendo sempliemente he sono più generali delle TG, pr rispettando alni riteri fondamentali di i la fisia ha bisogno (per es. isotropia dello spazio ). Esse permettono alla le di possedere na veloità niversale, e, per veloità piole rispetto a, si approssimano alle trasformazioni di Galilei. Si srivono: 1 Per nostra onvenzione, adottiamo la lettera v per le veloità he gli oggetti hanno in n determinato sistema di riferimento, on la lettera la veloità di n sistema di riferimento rispetto all altro. 3-

3 x t x' y' y z' z t x t' Eqazione 3 β Introdo, il osiddetto fattore relativistio. Per semplifiare la srittra si sa solitamente γ 1/β: γ 1 Eqazione 4 e la trasformazione si srive: ( ) x' γ x t y' y z' z t' γ ( t x ) Possiamo in maniera semplie vedere ome emerge, on n semplie esperimento mentale detto dell orologio di le, il fattore γ. Per l'osservatore solidale on l'orologio in moto relativo, diiamo nel sistema K', il raggio di le ontina a riflettersi fra i de spehi, perpendiolarmente ad essi. Ma per n osservatore del sistema K, solidale on l'orologio he per noi é in qiete, il moto del raggio di le si ompone on qello traslatorio dell'orologio, di veloità (attenzione, nella figra è erroneamente sritto v) e si ha la traiettoria diagonale della figra: non più AB, ma A'B'' + B''A'''. Ora, sia t il tempo misrato dall'orologio a le in K per arrivare da A a B e tornare indietro, e t' il tempo misrato in K' per perorrere no spazio gale. É hiaro he t < t', essendo AB < A'B'' ; essendo la veloità della le ostante in ogni sistema di riferimento, rislta: per il teorema di Pitagora: A'B'' t', A''B'' t, A'A'' t' 3-3

4 Da i: ioè: on faili passaggi algebrii, si riava: A'B'' A''B'' + A'A'' t' t + t' ( ) t' t t' t Il denominatore é sempre minore di no, qindi l'intervallo di tempo tempo misrato nel sistema K' é sempre maggiore di qello misrato nel sistema K fra de eventi apparentemente ontemporanei, ome si vede in figra. Per l'orologio in moto, insomma, il tempo passa più lentamente. É qesto il fenomeno noto ome DILATAZIONE DEI TEMPI. t' γ t t β Eqazione 5 La ontrazione di Lorentz In n sistema in moto niforme on veloità, le lnghezze appaiono ontratte per n fattore β, in modo analogo a qello in i i tempi sono dilatati. Qando si die modo analogo si intende he esiste proprio na relazione per i, la dilatazione dei tempi e la ontrazione delle veloità sono strettamente orrelate. La lnghezza maggiore di n oggetto si ha qando il sistema di riferimento è solidale on l oggetto, ovvero qando hi la misra lo vede fermo. Qesta lnghezza massima viene hiamata lnghezza a riposo. L x x' γ ( x t ) γ ( x t ) γ ( x x ) L 0 ' γ Es. Vita media dei moni Eqazione 6 Consideriamo n mone prodotto dai raggi osmii alla periferia dell atmosfera, diiamo a 16 Km di altezza. La veloità del mone è tipiamente 0,995 mentre la sa vita media è di ira de milionesimi di seondo. Allora dovrebbe perorrere n perorso di ira xvt 597 metri e poi disintegrarsi. A terra non dovremmo in pratia misrarne. Valori preisi he stimano qanti moni dovrebbero vedersi, e qanti in più davvero se ne osservino (più di 10 volte tanto), sono stati riavati in diversi esperimenti. Essi i dimostrano he visto da terra la vita del mone si allnga di n fattore γ, he in qesto aso, ome si alola failmente è pari ira a 10 (dilatazione dei tempi). Mettiamoi ora nei panni del mone: ome mai rieso a raggingere la Terra, se mi diono he è osì lontana? In effetti per il mone la distanza perorsa è più breve, dello stesso fattore 10; è ome se dovessi perorrere solo 1,6 Km. Con n po di fortna, e la possiamo fare (ontrazione delle lnghezze). Le veloità La omposizione delle veloità assme ora la forma: 3-4

5 + v v' Eqazione 7 v 1+ Qesta espressione onsente alla le di viaggiare nel voto on veloità in ogni sistema di riferimento in moto niforme. Implia anhe he è na veloità massima, he non pò essere mai valiata. Massa, implso, energia Come già aennato, adottare le TL al posto delle TG mi impone di trovare na nova meania, he resti invariante per qeste trasformazioni. In pratia, devo trovare na fisia le i leggi non dipendano dal sistema di riferimento he adotto. In partiolare, la strategia he si applia nella riera di na nova meania si pò hiamare onservazione delle leggi di onservazione. Ad esempio vogliamo he si abbia: onservazione dell implso (o qantità di moto), p. onservazione dell energia, E. Qesto i porta a definire na massa relativistia: m(v )γm 0 Eqazione 8 dove ora γ 1, on v veloità della partiella; ovvero, la massa rese on la veloità, v mentre il valore minimo è la osiddetta massa a riposo, he oinide on la misra della massa effettata in n sistema di riferimento dove appnto la partiella è a riposo. Al tendere della veloità a, la massa tende ad infinito. Per partielle he viaggiano a veloità (i fotoni) il fattore γ non è ben definito. Dalla definizione di massa disende na espressione della qantità di moto, o implso, he garantise l invarianza: pγm 0 v Eqazione 9 Mentre per l energia si riava la nota espressione: E m Eqazione 10 Possiamo inoltre srivere na eqazione he esprime espliitamente le relazioni tra energia ed implso: Se la partiella è ferma, vale la relazione E 0 m 0 4 E p + m 0 Eqazione 11 Nota: Si definise energia a riposo qella di na partiella ferma rispetto al sistema di riferimento (γ1). Grazie a qesta relazione, è possibile esprimere la massa di na partiella in nità di misra tipia dell energia (tipiamente ev o MeV). Se ho a he fare on na partiella di massa a riposo nlla (es n fotone), l energia si esprime on Ehνp da i n implso phν/. Eqazione 1 3-5

6 Si noti he, per tali partielle, il fattore γ non è ben definito, presenta na disontinità. Energia da massa Seondo la relatività, la massa pò essere onvertita in energia. È qesto il prinipio he viene sfrttato nelle entrali nleari, ome si vedrà meglio nel seondo modlo del orso. Ad esempio, senza tenere onto dei diversi fattori he limitano la onversione totale della massa in energia, 1 Kg orrisponde a Joles di energia, mentre il fabbisogno di n ittadino ameriano per anno è dell ordine dei Joles. Shemino riassntivo: - Contraddizione tra legge di omposizione delle veloità e Maxwell - La veloità della le è indipendente dalla veloità della sorgente e dell osservatore è na ostante niversale - Le leggi della fisia sono invarianti per Trasformazioni di Lorentz - Le trasformazioni di Galileo ed il onetto di tempo niversale debbono essere abbandonate - Contrazione delle lnghezze e dilatazione dei tempi (deadimento dei moni nell atmosfera) - La onservazione dell implso onde alla massa relativistia - La veloità della le è na veloità limite nell Universo (legge di omposizione relativistia delle veloità) - Relazione tra massa relativistia, energia, implso. Materiali: Slla relatività e Em trad. in inglese artiolo originale di Einstein del 1905: idem, per agginta s relazione di energia e massa: è in rete n orso di rel ristretta pensato per lieo lassio e/o insegnanti dal grande fisio italiano brno toshek: 3-6