1 Sistemi di equazioni lineari

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Faoltà i Farmaia e Meiina - Corso i Laurea in CTF 1 Sistemi i equazioni lineari Sia ato un sistema i equazioni lineari in ue equazioni in ue inognite Se, a esempio, a = 0 e b 0 allora il sistema iventa by = e y = e b y = e b x + e b = A questo punto, istinguiamo ue asi 0 e = 0 se 0 è una e una sola soluzione el sistema e è x = 1 [ e ] = b y = e b b e b se = 0 i sono solo ue asi: e b = oppure e b e allora i sono ininite soluzioni el tipo x = α y = e b e allora non i sono soluzioni. Un ragionamento analogo vale se = 0 e 0, iniziano alla seona equazione per ui neessariamente y =, o anhe se a 0 e b = 0 (ma stavolta ominiano on x = e a ) o anora se 0 = 0. ESEMPI 2y = 3 4x + y = 1 y = 3/2 4x + 3/2 = 1 y = 3/2 4x = 1 3/2 x = 1/8 Veriia 2y = 3 aloliamo 4x + y = 1 per x = 1/8, y = 3/2 2(3/2) = 3 OK 4( 1/8) + 3/2 = 1 1/2 + 3/2 = 1 OK

2 Per ompletezza mettiamo anhe il seguente aso banale in ui a = 0 b = 0, MA NON E NECES- SARIO GUARDARLO se a = 0 b = 0 hiaramente il sistema iventa 0 = e se e 0 non ammette nessuna soluzione, mentre se e = 0 si possono avere iverse situazioni: 1. 0 e 0, allora il sistema ammette ininite soluzioni: el tipo x = α y = α 2. = 0 e 0, allora il sistema ammette ininite soluzioni: el tipo x = α y = 3. 0 e = 0, allora il sistema ammette ininite soluzioni: el tipo y = β x = β 4. (CASO BANALE) = 0 e = 0, allora, se = 0 il sistema ammette ininite soluzioni: el tipo x = α y = β, mentre se 0 allora il sistema non ammette nessuna soluzione.

3 Consieriamo ora il aso generale in ui a, b, e siano tutti iversi a 0. Invee i proeere per sostituzione per risolvere il sistema suggeriamo i proeere nel seguente moo: L iea è utilizzare in moo intelligente il atto he se α, β, γ e δ sono numeri reali e se inoltre η 0 e θ 0 sono numeri reali 1 allora α = β α = β γ = δ α + γ = β + δ e anhe α = β γ = δ ηα = ηβ θγ = θδ Di onseguenza, moltipliano per la prima riga e per b la seona riga, otteniamo (ax + by) = e ax + by = e b(x + y) = b bx by = b ax + by = e ax + by = e ax + by bx by = e b (a b)x = e b a ui NECESSARIAMENTE (a b)x = e b e quini, obbiamo istinguere ue asi (a b) 0 e (a b) = 0 se (a b) 0 allora e b y si riava univoamente insereno il valore trovato x = a b nella prima equazione ax + by = e, e b OSSIA RISOLVENDO a + by = e ossia a b (COME VEDREMO C E UNA FORMULA ANALOGA PER y) e b x = a b e in onlusione la soluzione è ata a a e y = a b 1 Le lettere grehe α, β, γ, δ, η e θ si leggono nel seguente moo α=ala, β=beta, γ=gamma, δ=elta, η=eta e θ=teta

4 se (a b) = 0 allora mentre se e b 0 hiaramente non i sono soluzioni se e b = 0 i sono ininite soluzioni: inatti possiamo prenere x = α, per un qualsiasi valore α R e poi riavare y alla prima equazione ax + by = e insereno il valore α al posto i x OSSIA risolveno a α + by = e, x = α a ui le soluzioni sono e a α y = b MOSTRIAMO ORA COME RICAVARE l espressione i y on un metoo analogo a quello per trovare l espressione i x IN ALTERNATIVA moltipliano per la prima riga e per a la seona riga, otteniamo (ax + by) = e ax by = e a(x + y) = a ax + ay = a ax by = e ax + ay ax by = a e a ui, veiamo, he, NEL CASO IN CUI a b 0 y = a e a b ax + by = e (a b)y = a e NON RIPETIAMO INVECE QUI L ANALISI DEL CASO IN CUI a b = 0

5 RICAPITOLANDO se a b 0 allora è una e una sola soluzione ata a e b x = a b y = a e a b se invee a b = 0 allora i sono solo ue possibilità: o nessuna soluzione o ininite soluzioni. OSSERVAZIONE se si trova una soluzione el sistema e il eterminante a b è nullo, allora siuramente i sono ininite soluzioni La quantità a b è etta DETERMINANTE, proprio per questo motivo Come orse è noto si parla i eterminante i una matrie A = he, in questo aso, rappresenta il sistema e i ui invee il vettore (olonna) e viene etto vettore ei termini noti, in quanto il sistema si srive in moo sintetio ome x e = y Si einise et(a) Si noti he et(a) = et = }{{} notazione a b = a b = a b }{{} einizione Di onseguenza, on questa notazione, e b a e et = a b et = e b et = a e

6 e quini, se et(a) = a b 0 allora, possiamo aermare he è una e una sola soluzione el sistema e sriverla sintetiamente ome x = y = e b a b = a e a b = et e et a et a et a b b e b SI NOTI[ CHE la ] matrie el numeratore he ompare[ per la] omponente x ella soluzione, [ ossia ] la e b a matrie è ottenuta a quella el sistema A = sostitueno la prima olonna on e a e la olonna el termine noto, mentre quella relativa alla omponente y, ossia la matrie b è ottenuta a quella el sistema A = sostitueno la seona olonna on la olonna el e termine noto,

7 A questo punto obbiamo introurre un altra interpretazione i un sistema lineare i equazioni lineari: i solito si pensa a l intersezione i ue rette, ma si può pensare in un altro moo. Una oppia (x P, y P ) si può pensare ome un punto P (x P, y P ) nel piano artesiano, ma iniviua anhe un vettore v P = 0P, appliato all origine. E inoltre issati omunque 4 numeri a, b,,, posso pensare he il vettore v P = 0P viene trasormato/spostato nel vettore v P = 0P, on P (x P, y P ) i omponenti x P = ax P + by P y P = x P + y P Più in generale possiamo pemsare he tutti i punti/vettori iniviuati alle oorinate/ omponenti (x, y) vengano trasormati ontemporaneamente attraverso la trasormazione x = ax + by y = x + y in punti/vettori i oorinate/omponenti (x, y ). A esempio ESEMPIO 1 x = 100x y = 1000y se x e y sono misure/istanze in metri, allora x sono istanze in entrimenti e y sono istanze in millimetri... i moo he a esempio il punto (x, y) = (2m, 3m) iviene il punto (x, y ) = (200m, 3000mm). e senza unità i misura il punto (2, 3) iventa il punto (200, 3000) ESEMPIO 2 x = x/100 y = y/1000 se x e y sono misure/istanze in metri, allora x sono istanze in ettometri e y sono istanze in hilometri... i moo he a esempio il punto (x, y) = (200m, 3000m) iviene il punto (x, y ) = (2hm, 3km) e senza unità i misura il punto (200, 300) iventa il punto (2, 3) SECONDA INTERPRETAZIONE risolvere il sistema ax + by = e iventa quini risolvere il seguente problema: ato il punto P (e, ) (vettore v P = OP ) trovare il punto P (x, y) i ui è il trasormato.

8 OSSERVAZIONE IMPORTANTE questa trasormazione mana rette in rette: se a esempio onsieriamo la retta r = {(x, y) : y = 2x + 1} e la trasormazione x = x + y y = x y allora l insieme ei punti trasormati iventa r = {(x, y ) : x = x + y, y = x y, on la onizione he y = 2x + 1, x R} ossia, sostitueno y = 2x + 1 nel sistema x = x + (2x + 1) = 3x + 1 y = x (2x + 1) = x 1 he è una retta in orma parametria, parametrizzata al parametro x R (si onsiglia ome eserizio i trovare la omra NON PARAMETRICA DELLA RETTA PRECEDENTE, nelle oorinate (x, y )) Il prossimo esempio riguarerà le rotazioni, ma PER CAPIRE QUESTO ESEMPIO BISOGNA AVERE PRESENTE LE COORDINATE POLARI OSSIA quelle usate per le arte geograihe nelle viinanze el polo: Ogni punto P (x, y) el piano (a parte l origine) è ientiiato a ue parametri: la istanza allo zero e l angolo θ he il vettore ρ = ρ P := ist(o, P ) = x 2 + y 2 > 0 OP orma on l asse elle asisse, ovvero, posto r a l asse elle asisse e r P la retta he passa per l origine O(0, 0) e il punto P (x, y), θ è l angolo ra le rette r a e r P : DI SOLITO SI PRENDE θ [0, 2π) θ = θ P := r a, r P [ATTENZIONE a volte invee si può prenere invee θ ( π, π], ma è solo una questione i onvenzione] Al ontrario, ato un angolo θ [0, 2π) e un numero ρ > 0 questa oppia iniviua univoamente un punto el piano i oorinate x = ρ os(θ) y = ρ sin(θ) ESEMPIO ome esempio il punto i oorinate artesiane (x, y) = (3, 3) in oorinate polari è il punto i oorinate (ρ, θ) = ( , π/4) = (3 2, π/4

9 Vieversa il punto i oorinate polari (ρ, θ) = ( , π/4) è il punto i oorinate artesiane (x, y) = (3, 3) Il punto i oorinate artesiane (x, y) = ( 3, 3) in oorinte polari è il punto i oorinate (ρ, θ) = ( , ra54π) = 3 2, ra54π), se si è selta la onvenzione i prenere θ [0, 2π)] [ATTEN- ZIONE se si seglie invee la onvenzione i prenere θ ( π, π], allora le oorinate polari sono invee (ρ, θ) = ( , π/4) = 3 2, π/4)] OSSERVAZIONE: la oppia (ρ, θ) iniviua univoamente ogni punto el piano eslusa l origine, per la quale ovviamente si prene ρ = 0, ma θ non è univoamente iniviuato...ovvero, se ρ = 0 allora per qualunque valore i θ si iniviua sempre l origine... ESEMPIO 3: ROTAZIONI Preniamo la trasormazione x = os(α) x sin(α) y y = sin(α) x + os(α) y o on il linguaggio elle matrii ( ) ( ) ( ) x os(α) sin(α) x = y sin(α) os(α) y Veiamo ora he la trasormazione he ompie su qualunque punto/vettor (x, y) è una rotazione i un angolo α: per mostrarlo preniamo un punto generio (x, y) e sriviamolo in oorinate polari x = ρ os(θ) y = ρ sin(θ) onsieriamo ora le oorinate el punto (x, y ) x = os(α)x sin(α)y = os(α)ρ os(θ) sin(α)ρ sin(θ) y = sin(α)x + os(α)y = sin(α)ρ os(θ) + os(α)ρ sin(θ) a ui x = ρ [ os(α) os(θ) sin(α) sin(θ) ] = ρ os(α + θ) y = ρ [ sin(α) os(θ) + os(α) sin(θ) ] = ρ sin(α + θ) ovvero il punto (x, y ) appartiene alla stessa ironerenza i raggio ρ e entro l origine, el punto originario (x, y), ma è spostato i un angolo α (in senso antiorario) rispetto all angolo iniviuato al vettore OP, on P (x, y) e ala retta elle asisse.