Complementi di Analisi Matematica e Statistica 04/07/ Testo e Soluzioni

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1 Complementi i Analisi Matematica e Statistica 04/07/016 - Testo e Soluzioni Parte A 1. Esercizio A1: Dati α, β, Si consieri la seguente serie i potenze: e αn n + 1 ( β)n. eterminare il raggio i convergenza e l insieme i convergenza S. Soluzione: Per prima cosa poniamo a n := eαn n+1. Allora si ha L := a n+1 e α(n+1) n + 1 lim n + a n n + e αn n + = eα. Dunque, il Teorema (7.4) fornisce che il raggio i convergenza ella serie è = 1 L = e α e che la serie converge nell intervallo I := (β e α, β + e α ). e che la serie non converge per β >. Per caratterizzare l insieme i convergenza S obbiamo unque stuiare il comportamento ella serie negli estremi ell intervallo I. Nel secono estremo = β + e α, si ha che la serie iventa 1 n + 1 che iverge (serie armonica). Di contro, nel primo estremo = β e α la serie iventa che converge per il Criterio i Leibniz.. Esercizio A: Dato il campo F (, y) = ( 1) n n + 1 ( ) 15 y, y se ne etermini un eventuale potenziale e se ne calcoli il lavoro lungo il segmento i estremi P 0 = (1, 0) e P 1 = (0, 1). Soluzione: Per prima cosa cerchiamo un potenziale U per F, cioè una funzione U : i classe C 1 tale che U = F. In particolare, si eve avere U (, y) = 15 y U y (, y) = y. 1

2 Integriamo la prima equazione rispetto a. Otteniamo U(, y) = 5 3 y + g(y), ove g : è una funzione ella sola y a eterminarsi. Per eterminare g e unque U, integriamo rispetto a y la secona equazione otteneno Dunque si ha che g eve soisfare y = U y (, y) = 53 + g (y). g (y) = 3y a cui g(y) = 3 y. Un potenziale per F è unque U(, y) = 5 3 y + 3 y. Abbiamo quini mostrato che il campo F è conservativo (Definizione 6.5) e unque il lavoro lungo una curva ipene solo agli estremi i tale curva. Più precisamente si ha (Lemma 6.1) L = U(P 1 ) U(P 0 ) = 3 ( 1) = 5 3. Esercizio A3: Data f(, y) = ( + y ) con (, y) D = (, y), + y }, si consieri la superficie = graf(f) e il campo vettoriale F (, y) = ( y,, 3z). Calcolare ν (il versore normale uscente a ) e calcolare rotf νs. Soluzione: Osserviamo prima i tutto che la superficie è l emisfero su ella sfera i centro (0, 0, ) e raggio. Una parametrizzazione per è ata alla seguente funzione φ : D 3, φ(, y) = (, y, f(, y)). Dunque, il campo ei vettori normali è ato a Un semplice conto, mostra che v = φ φ (, y) (, y). y e = v = e 1 y e + e 3. ( + y ), y = y ( + y ).

3 Dunque, v(, y) = ( ( + y ), y ( + y ), 1). Si noti che per costruzione il vettore v è sempre un vettore che punta verso l alto. In particolare, per la superficie in esame risulta entrante (suggerimento: provare a calcolare il vettore normale nel punto ella sfera-il polo su-che corrispone alla scelta = y = 0). Un vettore normale uscente è unque v. Per otterenere il versore normale uscente basta unque calcolare v = v e consierare ν := v v. Abbiamo unque v = Calcoliamo ora v (, e ν(, y) := ( + y ) v =, y f(, y) ),. I := rotf νs Strategia 1: Usiamo il Teorema i Stokes (Teorema 6.10) che fornisce rotf νs = F T + ove abbiamo inicato con + il boro i orientato positivamente (con la normale uscente) e con T il versore tangente a tale boro. Si ha che + è la circonferenza i centro (0, 0, ) che giace interamente nel piano z = e percorsa in senso orario. Percorreno cioè il boro rimaneno sul lato i su cui ν è uscente, si tengono i punti i alla propria sinistra. Inichiamo con γ : [0, π] 3 la parametrizzazione i + ata a γ(t) = ( cos t, sin t, ), t [0, π], e quini F (γ(t)) = ( sin t, cos t, 3). Inoltre abbiamo che γ = e unque T(γ(t)) = ( sin t, cos t, 0) (con la notazione T(γ(t)) si intene il versore tangente alla curva γ, cioè +, nel punto γ(t)). Conseguentemente, si ha Quini, F (γ(t)) T(γ(t)) = sin t ( sin t) + cos t ( cos t) =. + F T := π 0 π F (γ(t)) T(γ(t)) γ (t) t = t = π. 0 Strategia : Calcoliamo irettamente l integrale I. Per prima cosa calcoliamo rotf. Si ha rotf (, y, z) = e 3. Dunque, se (, y) D, si ha rotf (, y) ν(, y) = f(,y). Di conseguenza, l integrale iventa (vei Definizione i integrale su superficie) f(, y) I = rotf νs = φ φ (, y) (, y) y y = D ( + y ) D ( + y ) y = Area(D ) = π. 3

4 4. Esercizio A4: Dato il campo F (, y, z) := a( 3, y 3, z 3 ), si consieri il ominio i 3 ato a Ω = (, y, z) 3 : b + y + z c }. Calcolare il flusso i F uscente a Ω. Soluzione: Il ominio Ω è una sfera cava i raggio c. Il raggio ella cavità sferica è b. Tale Ω soisfa le ipotesi el Teorema ella Divergenza che fornisce F νs = ivf (, y)yz. Calcoliamo unque ivf = 3a( + y + z ) che in coorinate sferiche iventa ivf = 3aρ con ρ [ b, c]. Abbiamo unque, usano le coorinate sferiche (pag. 05) e il relativo cambiamento i variabile negli integrali multipli (Teorema 5.11) Parte B Ω = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ Ω con ρ [ b, c], φ [0, π], θ [0, π), π π c ivf (, y)yz = 3a ρ 4 sin φρφθ = 1 ( 0 0 b 5 aπ ( c) 5 ( b) 5). Esercizio B1: Si consieri la funzione f(, y) = log( y ), Allora il ominio D i f è: D = (, y) : > 0 e y (0, 1 } 4 ) Soluzione: Per renersi conto che la soluzione proposta è quella giusta è sufficiente risolvere la isequazione y > 0. Prima i tutto, notiamo che ev essere sicuramente y > 0 per ar senso alla raice e per ar senso alla frazione. Poi, abbiamo che ev essere > y e unque pure risulta strettamente positivo. Infine, visto che entrambi i membri ella isequazione qui sopra sono positivi, possiamo elevare al quarato e ottenere a cui l ultima conizione y < 4. > 4y, 4

5 Esercizio B: Sia f : ifferenziabile tale che f(, 1) = (3, ). ν = (, ), si ha 5 (, 1) = ν. Soluzione: Esseno f ifferenziabile, il Teorema 3.9 fornisce ν ( 0, y 0 ) = f( 0, y 0 ) ν. Dunque il risultato segue con la scelta ( 0, y 0 ) = (, 1). Allora, posto Esercizio B3: Sia f : una funzione ifferenziabile. Dati un punto P e un versore ν si consieri una curva γ : [0, 1] tale che γ(0) = P e γ (0) = ν. Allora t f(γ(t)) t=0 vale ν ( P ) Soluzione: Il Teorema i ifferenziabilità ella funzione composta (in questo caso f γ : [0, 1] ) fornisce t f(γ(t)) = f(γ(t)) γ (t). Dunque, se t = 0, otteniamo (ricorare anche il Teorema 3.9) Esercizio B4: t f(γ(t)) t=0 = ν ( P ). Data f : i classe C si efinisce f := iv( f). Allora si ha Soluzione: Eviente. Basta fare il calcolo. f = f + f y ; Esercizio B5: Si consieri f(, y) = 0 se = 0 o y = 0 + y altrimenti. Allora etto ν = (, ), si ha (0, 0) =. ν Soluzione: Calcoliamo la erivata irezionale i f irettamente usano la efinizione (Definizione 3.15). Visto che f(0, 0) = 0, si ha (0, 0) ν f(h, h ) h + h h 0 h h 0 h h h 0 h =. 5