ESERCITAZIONE DELL 11 DICEMBRE 2008 SOLUZIONI Corso di Matematica I per Geologia. dx dx dx sin x = (sin x)2 + (cos x) 2. (1)

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Gustavo Pastore
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1 ESERCITAZIONE DELL DICEMBRE 008 SOLUZIONI Corso i Matematica I per Geologia A. Calcolare le erivate elle seguenti funzioni:. sin cos, sin 3, e sin 3 4 cos 3; +. log, log, arctan. Soluzioni.. Prima erivata. Abbiamo che sin cos sin cos + cos sin sin + cos. Secona erivata. Date ue funzioni f, g sappiamo che fg f gg ; la funzione sin 3 è ella forma fg con f 3, g sin, unque grazie alla : Terza erivata. Poiché fa af a, e e, sin 3 3sin cos. 3 e sin 3 4 cos 3 e sin 3 4 cos 3+e 6 cos 3+ sin 3 e 6 sin 3 cos 3.. Prima erivata. log { log > 0 log < 0 log { 4 > 0 < 0, 5 al momento che log. Secona erivata. log + 3 log log + + > 0 + < 0 ; 6 per + > 0 abbiamo che log + 3 e è facile renersi conto che , 7

2 log + 3 log Terza erivata. La erivata ell arcotangente è ata a unque,. 8 3 arctan + ; 9 + arctan B. Calcolare l equazione ella retta tangente alla funzione f nel punto 0 : Soluzione. f sin8, 0 0, f e + 3, 0.. Primo caso. In generale, l equazione y ella retta tangente alla funzione f nel punto 0 è ata a se f sin8 e 0 0 abbiamo che y f f 0 ; al momento che f0 0 e f 6 cos8, unque f Secono caso. La erivata i f è ata a e + 3 e e y 0, unque f 5e 4 ; al momento che f e 4 la ci ice che e , 3 C. Stuiare e rappresentare graficamente le funzioni y 5e 4 + e 4. 4 f + 3, g e. +

3 Soluzione.. Stuio i f. a Come prima cosa notiamo che f è efinita su tutti i punti reali iversi a ; in la funzione presenta un asintoto verticale, al momento che b lim lim ±. 5 ± + ± lim lim ± ± + ± ; 6 più precisamente per ± la funzione presenta un asintoto obliquo con penenza, al momento che lim ± f. c La curva f interseca l asse elle quano f 0, ovvero quano ± 3 ± 3 ; 7 notare che i ue punti si trovano a sinistra e a estra ell asintoto verticale, al momento che + >, <. La erivata i f è sempre positiva, ovvero f è strettamente crescente; infatti, f , 8 e il numeratore ella 8 è sempre positivo. e A questo abbiamo tutto ciò che ci serve per tracciare il grafico ella funzione f; veere figura.. Stuio i g. a L insieme i efinizione i g coincie con R. b Per ± la funzione g presenza un asintoto orizzontale y 0, infatti: lim 0. 9 ± e c La funzione g è strettamente positiva per > 0, e strettamente negativa per < 0; g 0 per 0. Stuiamo il segno ella erivata i g; e e e e, 0 unque lo stuio el segno i g è equivalente allo stuio el segno i, al momento che e > 0 per ogni. Quini, g < 0 per,, +, g > 0 per,, e g 0 per ±.

4 f Figura : Anamento i f Il punto è un massimo locale i g, al momento che per 0, g > 0 g cresce, mentre per, + g < 0 g ecresce; al contrario, il punto è un minimo locale i g, perché per, g < 0 g ecresce, mentre per, 0 g > 0 g cresce. e Per 0 la funzione g va a zero linearmente, ovvero la retta tangente a g nel punto 0 ha equazione y ; questo iscene al fatto che g0 0 e g 0. f Infine, notiamo che g g unque ci bastava stuiare g per positivi. e Abbiamo tutto ciò che ci serve per isegnare il grafico i g; veere figura.

5 g Figura : Anamento i g e.

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