METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2005/2006 Prof. C. Presilla. Prova in itinere 2 marzo 2006

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1 METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 005/006 Prof. C. Presilla Prova in itinere marzo 006 Cognome Nome penalità esercizio voto

2 Determinare e graficare il luogo ei punti z el piano comp- Esercizio lesso tali che cosh z a a R, 0 < a < [punteggio 5] Si ha cosh z ez + e z ovvero a e z ae z + 0 le cui soluzioni sono e z a ± i a Le soluzioni cercate sono z log a ± i ) a ln a + a ) + i arccos a + πk) k 0, ±, ±,... ove arccos a inica il valore principale compreso tra π/ e π/. In conclusione z i arccos a + πk) k 0, ±, ±,... che per a 0, ) rappresentano gli intervalli sull asse immaginario π/ + πk, π/ + πk). Alternativamente, si ponga z x+iy. L equazione a risolvere è equivalente al sistema { cosh x cos y a sinh x sin y 0 La soluzione y kπ, k 0, ±, ±,..., ella secona equazione è incompatibile con la prima equazione. La soluzione x 0 ella secona equazione sostituita nella prima equazione fornisce cos y a che per a 0, ) ha soluzione y π/ + πk, π/ + πk) con k 0, ±, ±,....

3 Esercizio Determinare il ominio i analiticità elle seguenti funzioni, consieranone il ramo principale se necessario, e il valore elle rispettive erivate in tale ominio. Dire quanti rami istinti possiee ogni funzione. a) sinz n ) b) sinz n/m ) c) sinz c ) n, m N, c R Q [punteggio 6] a) La funzione sinz n ) è intera esseno composizione i funzioni intere. In ogni punto z C la sua erivata vale z sinzn ) cosz n )nz n b) Se n è multiplo i m si ricae nel caso a). Altrimenti la funzione sinz n/m ) sinexpn/m) log z)) è poliroma con m rami istinti. Il ramo principale, corrisponente al ramo principale i log z, è una funzione analitica in tutto il piano complesso a eccezione el semiasse reale negativo. All interno el ominio i analiticità la erivata vale z sinzn/m ) cosz n/m )n/m)z n/m c) La funzione sinz c ) sinexpc log z)) è poliroma con infiniti rami istinti. Il ramo principale, corrisponente al ramo principale i log z, è una funzione analitica in tutto il piano complesso a eccezione el semiasse reale negativo. All interno el ominio i analiticità la erivata vale z sinzc ) cosz c )cz c

4 Esercizio 3 Assumeno per le funzioni polirome il ramo principale, calcolare l integrale cos z z z C ove C è la circonferenza z R percorsa in verso antiorario. [punteggio 5] Posto z re iθ, il ramo principale i F z) sinz / ) è una funzione analitica per r > 0 e π < θ < π e in questa regione la sua erivata vale z sinz/ ) cosz / )z / Posto C ε {zϕ) Re iϕ, π ε) ϕ π ε}, per z C ε la funzione F z) è una primitiva ella funzione integrana cos z/ z. Pertanto cos z cos z z lim z C z ε 0 C ε z [ ] zre lim sinz / iπ ε) ) ε 0 zre iπ ε) ) lim sinr / e iπ ε)/ ) sinr / e iπ ε)/ ) ε 0 sini R) sin i R) 4 sini R) 4i sinh R

5 Esercizio 4 Sviluppare in serie i Laurent intorno a z 0 0, in entrambe le regioni anulari 0 < z < e < z <, la funzione fz) z [punteggio 6] Per 0 < z < possiamo scrivere la funzione fz) nella forma fz) z + z Posto w z/ e usano lo sviluppo notevole si ha + w ) n w n w < z 3 z + ) z ) n 3 n+ zn + 3 z + ) n 3 n+ zn + n ) n z n ) n zn n+ ) n ) n zn n+ ) n n z n 3 z 4z + 8 z 6 + z Per < z < possiamo invece scrivere fz) z 3 + z Posto ora w /z nella regione anulare consierata si ha w < e quini 3 z z 3 + ) ) n z ) n z 3 ) n n z n 3 + ) n n z n 3 ) n n z n 3 + z + ) n n z n 3 ) n+ n+ z n 3 n z + z 3 z z 5 8 z z 7 3 z

6 Esercizio 5 Sia P n z) a 0 +a z+a z +...+a n z n con z, a 0, a, a,..., a n C e a n 0 un polinomio i grao n. Dimostrare che esiste almeno un punto z 0 C tale che P n z 0 ) 0 teorema fonamentale ell algebra). [punteggio 5] Si supponga, per assuro, che P n z) 0 z C. Allora la funzione fz) /P n z) è intera. Tale funzione è anche limitata. Infatti fz) è continua e unque limitata nel compatto z R con R arbitrario. E possibile mostrare che fz) è limitata anche in z > R se R è opportunamente grane. A tale scopo si ponga gz) a 0 z n + a z n + a z n a n z così che P n z) z n gz) + a n ). Posto R > max n a ) /n k) k k0,,...,n a n per z > R si ha a k a n < z n k n e quini k 0,,,..., n gz) + a n a n gz) > a n n a n n a n Si conclue che per z > R fz) P n z) z n gz) + a n < a n R n Esseno fz) analitica e limitata in C, per il teorema i Liouville si giunge all assuro che essa è costante in C. Pertanto eve esistere un punto z 0 C tale che P n z 0 ) 0.

7 Esercizio 6 Ciascuna elle seguenti funzioni, si consieri il ramo principale per quelle polirome, ha una singolarità in z 0. Classificare la natura ella singolarità e, se il caso, calcolare il corrisponente resiuo. a) z b) z log z c) log + z) [punteggio 6] a) La funzione può essere riscritta come z φz) z φz) + z con φz) analitica e non nulla in z 0. Pertanto la funzione consierata ha in z 0 un polo oppio e Res z0 z φ 0)! 4 b) Inipenentemente al ramo scelto, la funzione poliroma z log z ha in z 0 una singolarità non isolata punto i iramazione). Non esiste pertanto una regione anulare 0 < z < ε ove sia possibile svilupparla in serie i Laurent. c) Utilizzano lo sviluppo notevole log + z) ) n n n zn z < si ha log + z) z z z z + z3 3 z [ z + z 3 z ) z z + 3 z ) ) z z z ] z + z + z 4... Pertanto la funzione consierata ha in z 0 un polo semplice e Res z0 log + z)