Geometria 3 A.A Esercizi. Esercizi nn.1 4 del libro [Sernesi, Geometria 2] Capitolo 4 13.

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1 Geometria 3 A.A Esercizi Omotopia di applicazioni contiue. Sia X uno spazio topologico e sia p X. Denotiamo con C a (p) l insieme dei punti di X che possono essere connessi per archi con p. Si dimostri che C a (p) è la componente connessa per archi di X che contiene p. Esercizi nn.1 4 del libro [Sernesi, Geometria 2] Capitolo Si dimostri che f : S n 1 Y è omotopa ad un applicazione costante h : S n 1 {p} Y se e solo se f si estende ad un applicazione continua g : D n Y. Si dimostri che R n \{}, D n \{} e D n \{} sono spazi topologici omotopicamente equivalenti alla sfera S n 1. Un sottospazio topologico X R n si dice stellato se esiste un punto p X tale che per ogni q X il segmento pq è contenuto in X. Si dimostri che ogni insieme stellato è contraibile. Sia X R n un aperto convesso. Sia p X. Si dimostri che X\{p} è omotopicamente equivalente alla sfera S n 1. Sia l R 3 una retta. Si dimostri che R 3 \l è omotopicamente equivalente alla circonferenza S 1. Sia E R n un sottospazio affine di dimensione k. Si dimostri che R n \E è omotopicamente equivalente alla sfera S n k 1. 1

2 Sia B R n un sottoinsieme convesso. Sia X uno spazio topologico e sia A X un suo sottospazio. Siano f : X B e g : X B due applicazioni continue, tali che f( = g( per a. Si dimostri che f è omotopicamente equivalente a g relativamente ad A. Gruppo fondamentale. Nelle esercizi dove si richiede il calcolo del gruppo fondamentale bisogna dare una presentazione tramite generatori e relazioni ed esplicitamente descrivere i generatori. Si dimostri che il gruppo è isomorfo a Z n Z m. < x, y xyx 1 y 1 = 1, x n = 1, y m = 1 > Dimostrare che l insieme x D 2 tale che D 2 \{x} è semplicemente connesso coincide con S 1. Dedurre che se f : D 2 D 2 è un omeomorfismo, allora f(s 1 ) = S 1, f(d 2 ) = D 2. Esiste uno spazio topologico Y, tale che S 1 Y è omeoomorfo a S 2, oppure a RP 2? Siano (T 1, x 1 ) e (T 2, x 2 ) due tori. Si consideri il bouquet X = T 1 T 2 /x 1 x 2. Sia x il punto identificato. Calcolare π 1 (X, x ). Siano x, y D 2. Calcolare π 1 (D 2 \{x, y}, x ). Siano x, y RP 2. Calcolare π 1 (RP 2 \{x, y}, x ). Sia M = T 2 # #T 2 (n volte) e sia x M. Calcolare π 1 (M\{x}, x ). 2

3 Nell esercizio precedente siano x, y M. Calcolare π 1 (M\{x, y}, x ). Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 privato di due rette parallele. Calcolare il gruppo fondamentale della sfera S 2 privata di tre puni distinti. Siano L 1, L 2, L 3 le tre assi coordinate di R 3. Calcolare π 1 (R 3 \L 1 L 2 L 3, x ). Suggerimento. Ridurre il problema ad un sottospazio di S 2. Calcolare il gruppo fondamentale di R 3 privato di due rette passanti per l origine. Sia M una varietà topologica connessa di dimensione n 3. Si dimostri che per ogni q M si ha un isomorfismo π 1 (M\{q}, x ) = π1 (M, x ) indotto dall inclusione M\{q} M. Sia M una varietà topologica connessa di dimensione n 3. Siano q 1,..., q m punti di M. Si dimostri che si ha un isomorfismo π 1 (M\{q 1,..., q m }, x ) = π1 (M, x ) indotto dall inclusione M\{q 1,..., q m } M. Sia X R 3 l unione di S 2 con il segmento {(,, z) 1 z 1}. Si calcoli π 1 (X, N), dove N è il polo nord. Descrivere esplicitamente il/i generatore/i del gruppo. Si calcoli il gruppo fondamentale del manico. Si calcoli il gruppo fondamentale del nastro di Moebius. 3

4 Rivestimenti. Si dimostri che l applicazione p : S n RP n data di p((x, x 1,..., x n )) = (x : x 1 : : x n ) è un rivestimento di grado 2. Si dimostri che se p 1 : R 1 X 1 e p 2 : R 2 X 2 sono rivestimenti, allora p 1 p 2 : R 1 R 2 X 1 X 2 è un rivestimento. Se p 1 e p 2 sono rivestimenti finiti di gradi d 1 e d 2 rispettivamente, quanto è il grado di p 1 p 2? Sia p : R X un rivestimento finito di grado n. Si dimostri che R è compatto se e solo se X è compatto. Esistono rivestimenti infiniti con R compatto? Negli esercizi seguenti si assume che i rivestimenti sono applicazioni tra spazi topologici connessi e localmente connessi per archi. Si dimostri che se p : R X è un rivestimento di grado n, allora il sottogruppo p π 1 (R, r ) ha indice n in π 1 (X, x ), dove r R è punto arbitrario e x = p(r ). Costruire un rivestimento connesso di grado 3 del toro T 2, oppure dimostrare che tale rivestimento non esiste. Costruire un rivestimento connesso di grado 3 del piano proiettivo RP 2, oppure dimostrare che tale rivestimento non esiste. Sia p : R X un rivestimento finito di grado n. Supponiamo π 1 (X, x ) = Z. Calcolare il gruppo fondamentale di R. 4

5 Dimostrare che un rivestimento p : R X è omeomorfismo se e solo se p π 1 (R, x ) = π 1 (X, x ). Numeri complessi; Limiti e continuità. Sia z = 1 + i, w = 2 i, ζ = 4 + 3i. Calcolare Re(ζ 1 ), Im(ζ 1 ), b) w z c) ζ 2 + 2ζ + 3 Rappresentare in forma esponenziale re iθ i numeri ( ) 4 5 i, b) 2 1+i 1+i c) 2 Trovare le radici 3 i, b) 5 1 i c) i Trovare i punti dove le funzioni sono continue f(z) = b) f(z) = { z 3 +i z i, 2 { z 4 1 z i, 4i z i z = i z i z = i Trovare i seguenti limiti all infinito o spiegare perchè non esistono 1 z f(z) = z 1, b) h(z) = z c) g(z) = 4z6 7z 3 (z 2 4) 3 d) h(z) = Arg(z) e) g(z) = z4 1 z 3 +3z+2 5

6 Serie. Serie di potenze. Siano k a k e k b k due serie di numeri complessi. Supponiamo le serie siano assolutamente convergenti e siano A e B le loro somme. Si dimostri che il prodotto di Cauchy n c n, dove c n = n k= a kb n k è assolutamente convergente a la sua somma è uguale a A B. Trovare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze: k= k(z 1)k, b) j= z3j 2 c) j n= z n 5( 1)n Trovare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze: k=1 (k!) 2 (2k 1)! (z 2)k, b) k= ( 1)k z 2k c) n=1 n! n n z n Supponiamo f(z) = n= a n(z z ) n abbia raggio di convergenza R >. Suponiamo esista un r R, r > tale che f(z) = per ogni z z < r. Si dimostri che a = a 1 =... = a n =... =. Se F (z) = n= a n(z z ) n e G(z) = n= b n(z z ) n hanno valori uguali in qualche disco z z < r, r >, si dimostri che a = b, a 1 = b 1,..., a n = b n,.... Trovare le somme infinite n= nzn, b) n= n2 z n Siano f(z) = n= a n(z z ) n e g(z) = n= b n(z z ) n due serie di potenze convergenti nel disco z z < R. Allora il prodotto di Cauchy n= c n(z z ) n, dove c n = n k= a kb n k è convergente nello stesso disco e si ha f(z)g(z) = n= c n(z z ) n per z z < R. 6

7 Funzioni elementari. Si dimostri che valgono le seguenti identità: cos(z) = 1 2 (eiz + e iz ), sin(z) = 1 2i (eiz e iz ) b) cos( π 2 z) = sin(z), sin(π 2 z) = cos(z) Sia f : A C una funzione di variabile complessa. Un punto z A si dice zero di f se f(z ) =. Trovare gli zeri delle funzioni sin(z) e cos(z). Siano sinh(z) = 1 2 (ez e z ) = z + 1 3! z ! z cosh(z) = 1 2 (ez + e z ) = ! z ! z le estenzioni al piano complesso delle funzioni reali sinh(x) e cosh(x). Verificare le seguenti identità: sin(iz) = i sinh(z), cos(iz) = cosh(z) Trovare gli zeri delle funzioni sinh(z) e cosh(z). Sia α C, α / Z. Sia ( ) α k := α(α 1) (α k+1) k!. Si dimostri che la serie ( ) α z k α(α 1) = 1 + αz + z 2 +, k 2 k= detta serie binomiale, ha raggio di convergenza 1. Sia F α (z) la somma della serie binomiale. Si dimostri che vale l identità F α(z) = α F α(z) 1 + z 7

8 Integrazione di funzioni a variabile complessa, Principio d identità di funzioni olomorfe, Serie di Laurent Calcolare z =2 e z dz b) z4 z 1 =3 sin(z + 1) (z 1) 3 dz Si dimostri che invertendo e z = w si ottiene la funzione polidroma log(w) = ln( w )+i(arg(w)+2kπ), k Z, Arg(w) [, 2π) b) Si dimostri che la funzione Log(1 + z) = z z2 2 + z3 3 soddisfa l identità e Log(1+z) = 1 + z. Quindi la funzione Log(w) = ( 1) n 1(w 1)n n n=1 è un ramo di log(w) nel disco w 1 < 1. Si dimostri che la funzione binomiale F 1 (z) è un ramo della n funzione polidroma n 1 + z nel disco z < 1, cioè: [ F 1 (z)] n n = 1 + z 8

9 Determinare la serie di Laurent della funzione z f(z) = (z 2)(z 3) in un intorno bucato di ciascuno dei due poli z = 2 e z = 3, specificando il massimo raggio di convergenza. Determinare la serie di Laurent della funzione nelle regioni: 1. < z < 3; 2. z 3 2 < 3 2. f(z) = 1 z 2 3z Trovare la parte principale e il residuo di ciascuna delle funzioni nel punto z. ez 1 z 2, z = ; b) z 2 z 2 1, z = 1; c) sin z (z π) 2, z = π Trovare i poli e i residui della funzione Formula dei residui f(z) = 1 sin 2 (z). dx dx b) (x 2 + x + 1)(x 2 + 9) dx (x 2 + 1) 2 9

10 x 2 dx b) x 4 + 6x xdx (x 2 + 1)(x 2 + 2x + 2) dx (x 2 + a 2 )(x 2 + b 2 ), a, b > b) dx x cos αx dx (α > ) b) (x 2 + 1)(x 2 + 4) x sin x x dx sin x dx, b) x 2 + 6x + 1 cos x (x + α) 2 + β 2 dx 2π dθ (2 sin θ) 2 b) 2π dθ (1 + β cos θ) 2 1 < β < 1 c) 2π cos 2θ 1 2a cos θ + a cos x dx (x 2 + a 2 )(x 2 + b 2 ) dθ b) 2 (a > b > ) d) π cos ax dx (a ) x cos θ 3 + cos θ dθ 1