0. Funzioni di variabile complessa

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1 . Funzioni di variabile complessa In questo capitolo esporremo le linee essenziali della teoria delle funzioni di variabile complessa. Questa teoria è una tra le più compiutamente sviluppate da un puntodivista teorico e più largamente utilizzata nelle applicazioni. In essa molti concetti matematici hanno una formulazione più generale e semplice; essa, inoltre, offre una serie di strumenti matematici essenziali per la risoluzione di problemi di trasmissione del calore, della conduzione elettrica, di elettromagnetismo e di molti altri settori scientifici. Come problema matematico i numeri complessi nascono dall esigenza di ampliare il campo dei numeri reali; infatti è ben noto che l insieme dei numeri reali non è algebricamente chiuso, ovvero, non tutte le equazioni algebriche hanno soluzioni reali (si pensi all equazione x 2 + = ). D altro canto, a meno di isomorfismi, il campo dei numeri reali èl unico campo totalmente ordinato e completo; quindi se siamo pronti ad ampliarlo dobbiamo essere pronti a perdere questa proprietà. In altri termini dati due numeri complessi non potremo dire che un numero complesso è maggiore dell altro ma soltanto se sono uguali o diversi... Il campo dei numeri complessi Cominciamo la nostra trattazione richiamando alcune nozioni sui numeri complessi ben note allo studente. Introduciamo una struttura algebrica che rende R 2 un campo, cioè definiamo in R 2 un operazione di somma ed una di prodotto (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) (a, b), (c, d) R 2. Per indicare tale campo useremo il simbolo C, edr 2 dotato delle operazioni suddette si chiamerà il campo complesso.

2 2 Funzioni di variabile complessa L insieme dei numeri complessi del tipo (a, ), a R, è isomorfo ad R; cioè C è un ampliamento di R. Poniamo (, ) = i. Il numero complesso z = (a, b) sipuò riscrivere nella forma z = a + ib; a è la parte reale di z ed ib la parte immaginaria; b si dice coefficiente della parte immaginaria. Nel seguito porremo anche a = Re z, b = Im z. Il numero z = a ib si dice il coniugato di z. Sono di immediata dimostrazione le seguenti proprietà: z + z = 2Rez, z z = 2i Im z, z + z 2 = z + z 2, z z 2 = z z 2, z = z, ( ) = z z. Dato z C poniamo z = z z = Re 2 z + Im 2 z. Il numero z si dice modulo del numero complesso z. Il modulo di un numero complesso gode delle seguenti proprietà: z e z =seesolosez = ; Re z, Im z z Re z + Im z ; z z 2 z ± z 2 z + z 2. Alla scrittura z = Re z + i Im z si dà ilnomediforma algebrica del numero complesso z. Eseguire somme e prodotti di numeri complessi in forma algebrica diventa facile; basta operare con le usuali regole dell algebra tenendo presente che i 2 =. Peroperare più agevolmente con potenze e radici invece risulta più comodo potere rappresentare i numeri complessi in un altra forma, la cosiddetta forma trigonometrica. Siano z C, z eθ R tale che cos θ = Re z z, sen θ = Im z z. Il numero θ è un argomento di z. Chiaramente, se θ è un argomento di z lo sono anche i numeri θ + 2kπ con k Z; l argomento èdefinito a meno di multipli interi di 2π. Se z = considereremo θ un qualsiasi numero reale.

3 Funzioni di variabile complessa 3 Denoteremo uno qualsiasi di tali numeri con arg z. Potremo allora scrivere, per ogni z C, laforma trigonometrica del numero complesso z z = z (cos arg z + i sen arg z). I vantaggi di questa nuova rappresentazione sono evidenti. facilmente Infatti, si ha z z 2 = z z 2 ( cos(arg z + arg z 2 ) + i sen(arg z + arg z 2 ) ). Da ciò si trae immediatamente la formula di De Moivre che risulta utilissima per il calcolo delle potenze z n = z n( cos(n arg z) + i sen(n arg z) ), z C, n N. Affrontiamo adesso il problema della radice n-esima di un numero complesso. Sia ω C. Vogliamo cercare gli eventuali numeri complessi z tali che z n = ω, n N. Usando la forma trigonometrica, ciò equivale a richiedere che z n = ω, n arg z = arg ω + 2kπ, k Z e quindi n (..) ( ω = ω /n arg ω + 2kπ cos + i sen n ) arg ω + 2kπ, k Z. n Lo sfasamento angolare tra due radici consecutive èsemprelostessoe precisamente, arg ω + 2(k + )π n arg ω + 2kπ n = 2π n. Le radici distinte sono quindi esattamente n e possono determinarsi dando a k ivalori,,...,n..2. Funzioni di variabile complessa Iniziamo lo studio delle funzioni il cui argomento è un numero complesso e che, in generale, sono a valori complessi. Lo scopo è quello di estendere in questo nuovo contesto quanto si conosce per le funzioni reali di variabile reale. Vedremo nel seguito che alcuni concetti si estendono in maniera immediata e che alcune proprietà hanno delle formulazioni più generali rispetto alle

4 4 Funzioni di variabile complessa analoghe proprietà nel caso reale. D altra parte tutte le proprietà in cui si fa uso dell ordinamento non potranno essere estese alle funzioni complesse. La struttura di spazio metrico di cui è munito R 2 si trasporta immediatamente in C. Siaz C esiaδ>. L insieme B δ (z ) ={z C : z z <δ} si chiamerà come nel caso dello spazio euclideo in due dimensioni intorno (o disco) di centro z e raggio δ. Ci sarà poi utile nel seguito considerare l insieme B δ (z ) ={z C : < z z <δ} che chiameremo intorno bucato (o disco bucato) di centro z e raggio δ. Sia I C esiaz I. Diciamo che il punto z è interno ad I se esiste un disco B δ (z ) I. L insieme dei punti interni ad I sarà denotato con il simbolo I.SeI I l insieme I si dirà aperto. Diremo, poi, che un insieme è chiuso se è il complementare di un insieme aperto. Le varie definizioni insiemistiche (punto di accumulazione, derivato di un insieme, frontiera di un insieme, etc.) sono identiche a quelle che si conoscono nel caso dello spazio euclideo R 2. Consideriamo una funzione f (z) definita in I C a valori complessi. Ponendo z = x + iy e f (z) = Re f (z) + i Im f (z), la funzione si può identificare con la funzione f : I C C f : I R 2 R 2 che ha come componenti, rispettivamente, Re f (x, y)eim f (x, y). Consideriamo un insieme I C esiaz un suo punto di accumulazione. Sia f (z) una funzione definita in I a valori complessi. Diciamo che la funzione f è convergente al numero l C al tendere di z a z e scriveremo f (z) = l quando lim z z ε > δ > : z B δ (z ) I f (z) l <ε. È immediato provare che lim Re f (z) = Re l z z lim f (z) = l z z lim Im f (z) = Im l. z z

5 Funzioni di variabile complessa 5 lim z Se l insieme I non è limitato potremo dare significato alla scrittura f (z) = l quando ε > R > : z {z C : z > R} I f (z) l <ε. Ovviamente tutti i risultati circa le interazioni tra le operazioni aritmetiche e l operazione di limite rimangono essenzialmente invariati rispetto al caso delle funzioni reali. Con il simbolo lim z z f (z) = si intende lim f (z) =+. z z Diremo che una funzione è continua in un punto z di accumulazione per I appartenente ad I quando lim f (z) = f (z ) e, ovviamente, la somma, z z il prodotto e la composizione di funzioni continue sono ancora funzioni continue. Definiamo adesso alcune importanti funzioni complesse. Cominciamo con la funzione esponenziale. Per z = x + iy, poniamo e z := e x (cos x + i sen y). Si verifica facilmente che per essa continuano a sussistere proprietà analoghe a quelle della funzione esponenziale nel campo reale. Servendosi poi della funzione esponenziale, si definiscono le funzioni trigonometriche ed iperboliche. Per z C poniamo sen z := eiz e iz 2i, cos z := eiz + e iz 2 ; senh z := ez e z, cosh z := ez + e z. 2 2 Le funzioni iperboliche possono essere espresse mediante le funzioni trigonometriche in maniera ovvia. Si ha, infatti, senh z = ei(iz) e i(iz) 2i 2 = i sen(iz) cosh z = ei(iz) + e i(iz) = cos(iz). 2

6 6 Funzioni di variabile complessa Per tali funzioni continuano a valere molte proprietà valide per le analoghe funzioni reali; ad esempio si provano facilmente le formule fondamentali sen 2 z + cos 2 z =, cosh 2 z senh 2 z =, e, di conseguenza, tutte le altre formule basate su queste. Tuttavia è da tener presente che non tutto ciò cheè vero nel campo reale è vero nel campo complesso; ad esempio non è vero che il modulo delle funzioni sen z ecosz sia minore o uguale ad uno. Determiniamo la parte reale e la parte immaginaria delle funzioni trigonometriche e quindi delle funzioni iperboliche. Per la formula di addizione del seno si ha sen(x + iy) = sen x cos(iy) + cos x sen(iy) = sen x cosh y + i cos x senh y e sen z 2 = sen 2 x cosh 2 y + cos 2 x senh 2 y = sen 2 x cosh 2 y + senh 2 y sen 2 x senh 2 y = sen 2 x + senh 2 y. In maniera analoga si prova poi cos(x + iy) = cos x cosh y i sen x senh y, cos z 2 = cos 2 x + senh 2 y. Sfruttando il legame tra le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche si ha senh z 2 = sen(iz) 2 = senh 2 x + sen 2 y, cosh z 2 = cos(iz) 2 = senh 2 x + cos 2 y. Porremo, poi, tang z = sen z cos z z π 2 + kπ, k intero relativo tangh z = i tang(iz) z i π + ikπ, 2 k intero relativo. Esercizio.2.. Determiniamo i numeri complessi z = x + iy tali che sen z >. Si deve avere che il numero sen x cosh y + i cos x senh y deve essere reale e maggiore di uno. Cioè cosx senh y = ; il che comporta o y = esenx > impossibile, oppure x = π/2 + kπ, k intero relativo, e ( ) k cosh y >. In definitiva le soluzioni della disequazione sen z > sono i numeri complessi π/2 + 2kπ + iy, y.

7 Funzioni di variabile complessa 7 Definiamo il logaritmo di un numero complesso. Sia z = z e i arg z, z ; diremo log z un numero complesso tale che o, in altri termini, tale che e log z = z e Re log z e i Im log z = z e i arg z. Pertanto deve essere { e Re log z = z e i Im log z = e i arg z dacuisiricava log z = ln z +i arg z dove con ln a si è indicato il logaritmo naturale del numero positivo a, cioè l unico numero reale per cui e ln a = a. Risulta allora evidente che la funzione logaritmo è una funzione ad infiniti valori definita in C \{}; fissato z la differenza tra due sue determinazioni è2kπ i con k intero relativo. Fissato α R la funzione log z = ln z +i arg z, α arg z <α+ 2π, z è una determinazione del logaritmo definita in C \{} ad un sol valore. Si noti che in tal modo, piuttosto che considerare la funzione logaritmo come una funzione ad infiniti valori, si considerano infinite funzioni ad un sol valore. Generalmente tutte queste funzioni vengono indicate con lo stesso simbolo; è bene, quindi, specificare di volta in volta con quale determinazione si sta operando. In particolare per α = π la funzione log z = ln z +i arg z, π arg z <π, z prende il nome di determinazione (o valore) principale del logaritmo. Consideriamo la determinazione del logaritmo log z = ln z +i arg z, π arg z <π, z. Essa non è continua nei punti della semiretta z = x, x <. Ad esempio proviamo che non è continua nel punto z =. Consideriamo la restrizione della funzione log z alla semiretta z = + iy, y > ; si ha ( lim ln + y2 + i arg( + iy) ) = iπ ; y +

8 8 Funzioni di variabile complessa mentre considerando la restrizione alla semiretta z = + iy, y <, si ha ( lim ln + y2 + i arg( + iy) ) = iπ. y Considerazioni analoghe potrebbero essere fatte per le altre determinazioni del logaritmo; più precisamente fissato α R la funzione log z = ln z +i arg z, α arg z <α+ 2π, z non è continua nei punti della semiretta z = te iα, t >. È possibile ovviare a ciò considerando la funzione log z = ln z +i arg z, α < arg z <α+ 2π, z che èdefinita nel cosiddetto piano tagliato lungo la semiretta z = te iα, t >. Si badi bene, però, che considerando il piano complesso privato di una semiretta uscente dall origine in esso sonodefinite infinite determinazioni continue del logaritmo. Ad esempio considerando l insieme C privato della semiretta (x, ), x in esso sono definite la determinazione principale del logaritmo e le determinazioni log z = ln z +i arg z, (2k )π <arg z < (2k + )π, k =±, ±2,... Analoghe considerazioni valgono per la funzione radice ennesima essendo, per z, n z = e n log z = z /n e i arg z n. La funzione radice ennesima è una funzione ad n valori e quindi si potrà pensare ad essa come ad n funzioni ad un sol valore. Esse si ottengono considerando, fissato α R, α + 2(k )π <arg z <α+ 2kπ, k =,...,n. Per mezzo del logaritmo possiamo definire le potenze ad esponente complesso ponendo, per μ C e α R, z μ = e μ log z = e μ ln z e iμ arg z, α < arg z <α+ 2π eperβ C, β z = e z log β, z C avendo cura di fissare preventivamente una determinazione di log β.

9 Funzioni di variabile complessa 9.3. Funzioni olomorfe Consideriamo adesso l operazione di derivazione pensando, in un primo momento, la funzione f (z) come funzione delle variabili x ed y, poniamo: f x = Re f x f y = Re f y + i Im f x + i Im f y Agendo in questo modo, tuttavia, non si tiene adeguatamente conto della natura della funzione, ma si opera su di essa pensandola come funzione delle variabili reali x, y e non come funzione della variabile complessa z. L operazione di derivazione complessa agisce in modo apparentemente identico al caso delle funzioni di una variabile reale ma produce effetti profondamente diversi. Fissiamo questa importante idea introducendo la seguente Definizione.3.. Sia un aperto non vuoto di C. Consideriamo una funzione f (z) definita in a valori complessi. Sia z e supponiamo che esista finito il limite f (z) f (z ) lim = f (z ). z z z z In tal caso diciamo che la funzione f è derivabile in sensocomplesso o cheè olomorfa nel punto z. Ovviamente una funzione olomorfa in z è ivi continua. Diremo, poi, che una funzione è olomorfa in se è olomorfa in tutti i punti di. Una funzione olomorfa in C si dirà intera. Come sivede, la definizioneè formalmente identica alla classica definizione di derivata appresa studiando le funzioni reali di una variabile reale. Occorre notare che, nella definizione di rapporto incrementale, e quindi di derivata, si ha a che fare con l operazione di moltiplicazione nel campo complesso e conseguentemente ci convinceremo tra non molto che questa operazione di derivazione è differente dall analoga operazione nel campo reale. Esempio.3.. Sia f : C C la funzione definita ponendo f (z) = z. Verifichiamo che la funzione non è derivabile in C. Infatti sia z = x + iy ;il rapporto incrementale in z è f (z) f (z ) z z = z z z z..

10 Funzioni di variabile complessa Consideriamo la restrizione del rapporto incrementale alla retta z = x + iy, y R. Siha iy + iy = i. y y Scegliendo invece la restrizione alla retta z = x + iy, x R il rapporto incrementale diventa x x =. x x La funzione non è, quindi, derivabile in senso complesso in z. Si noti peraltro che, essendo f (z) = x iy, la funzione vista come funzione da R 2 in R 2 risulta di classe C. Consideriamo un altro esempio. Esempio.3.2. Sia f : C C la funzione definita ponendo f (z) = z. La funzione differisce pochissimo da quella dell esempio precedente, tuttavia essa risulta derivabile in C. Infatti, calcoliamo il rapporto incrementale della funzione f.siha f (z) f (z ) = z z =. z z z z La funzione risulta quindi derivabile e la derivata è identicamente uguale ad. Anche in questo caso la funzione, guardata dal punto di vista reale, èuna funzione che ha componenti di classe C. I due esempi precedenti mostrano che affinché una funzione complessa risulti derivabile, non èsufficiente che la parte reale e la parte immaginaria siano derivabili in senso reale. La derivazione in senso complesso è totalmente diversa dall analoga operazione per le funzioni di variabile reale; funzioni di classe C nel senso reale possono essere non derivabili nel senso complesso. È allora di notevole importanza caratterizzare le funzioni che risultano derivabili in senso complesso. Precisamente si ha il seguente Teorema.3.. (Cauchy Riemann) Siano C un aperto e f (z) una funzione definita in a valori complessi. Sia z = x + iy. Poniamo f (z) = u(x, y) + iv(x, y). La funzione f (z) èolomorfainz se e soltanto se le seguenti condizioni sono verificate: ) u(x, y), v(x, y) sono differenziabili in (x, y ); 2) u x (x, y ) = v y (x, y ), u y (x, y ) = v x (x, y ). Quando le condizioni sono soddisfatte risulta f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = ( u y (x, y ) + iv y (x, y ) ) i

11 Funzioni di variabile complessa Dimostrazione. Supponiamo la funzione olomorfa nel punto z e poniamo f (z ) = a + ib. Poniamo (.3.) ω(z) = f (z) f (z ) f (z )(z z ) ; ovviamente ed anche lim z z Re(ω(z)) lim z z z z ω(z) z z =, Considerando la parte reale in (.3.) si ha e quindi = lim z z Im(ω(z)) z z =. u(x, y) u(x, y ) a(x x ) + b(y y ) = Re(ω(z)), u(x, y) u(x, y ) a(x x ) + b(y y ) lim = z z z z ecioè la funzione u(x, y)è differenziabile nel punto (x, y ) e risulta u x (x, y ) = a, u y (x, y ) = b. Ragioniamo alla stessa maniera con la parte immaginaria; otteniamo v(x, y) v(x, y ) b(x x ) a(y y ) = Im(ω(z)) ; da cui segue che anche la funzione v(x, y) è differenziabile nel punto (x, y ) e risulta v x (x, y ) = b, v y (x, y ) = a. Da un confronto delle eguaglianze ricavate si ha la tesi. Proviamo adesso il viceversa ovvero che le ), 2) implicano l olomorfia della funzione in z. Ricordando la definizione di funzione differenziabile si ha con u(x, y) u(x, y ) u x (x, y )(x x ) u y (x, y )(y y ) = ω (x, y) v(x, y) v(x, y ) v x (x, y )(x x ) v y (x, y )(y y ) = ω 2 (x, y) lim z z ω (x, y) z z = lim z z ω 2 (x, y) z z =.

12 2 Funzioni di variabile complessa Si ha, quindi, f (z) f (z ) ( u x (x, y ) + iv x (x, y ) ) (z z ) = ω (x, y) + iω 2 (x, y) da cui che èlatesi. f (z) f (z ) lim = u x (x, y ) + iv x (x, y ) z z z z Per verificare l olomorfia di una funzione sarà sufficiente verificare che f x = f i y dopo avere controllato che le derivate siano funzioni continue. Possiamo rivedere gli esempi precedenti alla luce di questo teorema. La funzione f (z) = z non è olomorfa, perché non sono soddisfatte le condizioni di Cauchy Riemann, mentre la funzione f (z) = z è olomorfa perché le soddisfa. L estensione delle regole di derivazione valide per la derivazione nel campo reale non presenta alcuna difficoltà. Si avrà quindi, se f, g sono funzioni olomorfe D(λf (z) + μg(z)) = λf (z) + μg (z) λ,μ C D( f (z)g(z)) = f (z)g(z) + f (z)g (z) D f (z) = f (z) f (z) [ f (z)] 2 Dg( f (z)) = g ( f (z)) f (z). A volte risulta utile esprimere le condizioni di olomorfia in coordinate polari. Sia f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione olomorfa in un aperto. Poniamo z = ϱe iθ,(ϱ, θ ) tale che il corrispondente punto z = ϱe iθ. Poniamo g(ϱ, θ ) = f (ϱe iθ ) = u(ϱ cos θ,ϱsen θ) + iv(ϱ cos θ,ϱsen θ), (ϱ, θ ). Si ha allora sfruttando le condizioni di olomorfia g ϱ = (u x + iv x )cosθ + i(v y iu y )senθ = f (ϱe iθ )e iθ (.3.2) g [ ] θ = iϱ i(u x + iv x )senθ + (v y iu y )cosθ = iϱ f (ϱe iθ )e iθ

13 Funzioni di variabile complessa 3 e quindi (.3.3) g ϱ = g iϱ θ. Viceversa, supponiamo che valga la (.3.3). Per le (.3.2) si ha l eguaglianza (u x + iv x )cosθ + i(v y iu y )senθ = i(u x + iv x )senθ + (v y iu y )cosθ che può essere riscritta nel modo seguente [ (ux + iv x ) (v y iu y ) ] e iθ = da cui, essendo e iθ, si ricava u x + iv x = v y iu y ecioèl olomorfia delle funzione f.siavrà anche f (ϱe iθ ) = g ϱ e iθ = iϱ g θ e iθ. Vediamo qualche esempio importante di funzione olomorfa. Esempio.3.3. Sia n un intero positivo. La funzione z n è intera. Infatti, Dz n = lim h (z + h) n z n h = lim h n j= ( n ) j z j h n j h = nz n. Pertanto i polinomi sono funzioni intere. Le funzioni razionali sono funzioni olomorfe nel loro campo di esistenza. Esempio.3.4. La funzione esponenziale e z = e x (cos y + i sen y) èinterae si ha De z = e z. Infatti e z x = ex (cos y + i sen y) = i ex ( sen y + i cos y) = e z i y

14 4 Funzioni di variabile complessa Esempio.3.5. Le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche sono intere e risulta, per ogni z C, D sen z = cos z, D cos z = sen z, Risulta, poi, D senh z = cosh z, D cosh z = senh z. D tang z = cos 2 z, z π 2 + kπ, k Z D tangh z = cosh 2 z, z i π 2 + kπi, k Z. Esempio.3.6. Consideriamo il logaritmo nel campo complesso e proviamo che tutte le determinazioni del logaritmo definite in un piano tagliato sono funzioni olomorfe ed hanno tutte la stessa derivata. Sia log z = ln z +i arg z, α < arg z <α+ 2π, α R. Usando le coordinate polari si ha log(ϱe iθ ) = ln ϱ + iθ, ϱ>,α<θ<α+ 2π e quindi ϱ log(ϱeiθ ) = ϱ = iϱ θ log(ϱeiθ ). Per le (.3.3) si ha quindi l olomorfia della funzione e D log z = D log(ϱe iθ ) = ϱ e iθ = z. Esempio.3.7. Utilizzando la derivata della funzione logaritmo, si ha anche che Dz μ = μz μ, α < arg z <α+ 2π, μ C,α R e anche Dβ z = β z log β, z C.

15 Funzioni di variabile complessa 5.4. Integrali su cammini Consideriamo adesso il problema dell integrazione delle funzioni complesse, avendo cura di distinguere il caso delle funzioni complesse di variabile reale dal caso delle funzioni complesse di variabile complessa. Precisamente, sia f :[a, b] C; supponendo che le funzioni Re f, Im f siano sommabili in [a, b] porremo: b b b f (t) dt := Re f (t) dt + i Im f (t) dt. a Una diseguaglianza particolarmente utile è la seguente b b f (t) dt f (t) dt. a Proviamola. Consideriamo il numero complesso b b f (t) dt = f (t) dt eiϕ. Si ha, allora, b b f (t) dt = e iϕ f (t) dt = a b a a a a a a b Re(e iϕ f (t)) dt a b a Re(e iϕ f (t)) dt a e iϕ f (t) dt = b a f (t) dt. L integrazione delle funzioni complesse di variabile complessa si effettua in maniera analoga a quella delle forme differenziali lineari integrandole su cammini. Precisamente, Definizione.4.. Sia f : C una funzione continua e sia f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Siano z, z esiaγ un cammino congiungente i punti z, z,cioè una curva generalmente regolare con sostegno contenuto in di equazione parametrica z = z(t) :[a, b] tale che z(a) = z, z(b) = z. Poniamo, f (z) dz := (γ ) z z (γ ) u(x, y) dx v(x, y) dy z z z + i(γ ) v(x, y) dx + u(x, y) dy. z = b a f (z(t))z (t) dt.

16 6 Funzioni di variabile complessa Le forme differenziali u(x, y) dx v(x, y) dy e v(x, y) dx + u(x, y) dy sono le forme differenziali associate alla funzione f (z). Esercizio.4.. Per ogni m Z si consideri la funzione f (z) = z m. Calcoliamo l integrale della funzione lungo il cammino γ, il cui sostegno èla circonferenza di centro e raggio r, percorsa in senso antiorario. Considerando le equazioni parametriche della curva γ, z(t) = re it, t [, 2π]siha 2π { z m dz = ir m+ e i(m+)t dt = sem 2πi se m = γ Naturalmente la possibilità di calcolare esplicitamente l integrale èlegata al verificarsi di tante circostanze fortunate. A volte la valutazione esatta dell integrale è impossibile o comunque non necessaria. In questo senso potrebbe essere utile una stima dell integrale evitando il calcolo diretto. Questo è il contenuto del prossimo risultato. Lemma.4.. (Darboux) Sia f : C una funzione continua. Sia γ un cammino congiungente i punti z, z. Allora, z (γ ) f (z) dz γ max f (z) z sostegno γ dove γ indica la lunghezza della curva γ. Dimostrazione. z (γ ) b f (z) dz = b f (z(t))z (t) dt f (z(t))z (t) dt z a b max f (z) sostegno γ a a z (t) dt = γ max f (z). sostegno γ Il teorema seguente è uno dei più importanti di tutta l analisi complessa ed ha notevoli conseguenze come vedremo nel seguito. Teorema.4.. (Cauchy Goursat) Sia f (z) una funzione olomorfa nell aperto C e sia T un dominio regolare contenuto in. Allora, (.4.) f (z) dz = ( ). + T ( ) Con + T intendiamo la frontiera del dominio regolare T percorsa nell usuale verso positivo. Nel caso in cui T è una circonferenzao un arco di circonferenza con+ T intenderemo sempre la circonferenza percorsa in verso antiorario.

17 Funzioni di variabile complessa 7 Osservazione.4.. La dimostrazione del Teorema di Cauchy Goursat è banale se si aggiuge l ipotesi della continuità della derivata. In tal caso, infatti, le forme differenziali associate alla funzione f (z) sono chiuse e la (.4.) è una conseguenza delle formule di Gauss Green. Si osservi, daltronde, che, come verrà provato in seguito, la continuità della derivata è una conseguenza dello stesso Teorema di Cauchy Goursat. Dimostrazione del Teorema di Cauchy Goursat. Basterà dimostrare la (.4.) nel caso in cui T è un dominio normale regolare. Supponiamo in un primo momento che T sia un triangolo. Indichiamo com λ il perimetro del triangolo T.Perε> decomponiamo T nell unione di un numero finito di triangoli j, j =,...,s, simili al triangolo T a due a due privi di punti interni comuni e tali che sia possibile scegliere un punto z j j ( j =,...,s) tale che per la funzione f (z) f (z j ) f (z j ) se z j \{z j } ϕ j (z) = z z j se z = z j si abbia ϕ j (z) ε λ 2. Proviamo che tale decomposizione è possibile. Per assurdo supponiamo che non sia possibile decomporre T nel modo suddetto. Poniamo T = T. Decomponiamo il triangolo T, unendo i punti medi dei suoi lati, in quattro triangoli (simili a T ) e diciamo T 2 quello (o uno fra quelli) che non sia possibile decomporre nel modo suddetto. Considerato il triangolo T 2 e procedendo analogamente troveremo un triangolo T 3 non decomponibile come sopradetto. Si costruisce in tal modo una successione {T n } di triangoli decrescente e tale che la successione dei loro diametri sia infinitesima. Si avrà T n ={z }. n N Poniamo f (z) f (z ) f (z ϕ (z) = ) se z \{z } z z se z = z. Essendo lim z z ϕ (z) =, si ha definitivamente per z T n ϕ (z) ε λ 2,

18 8 Funzioni di variabile complessa e quidi l assurdo. Sia, dunque, T = 2... s. Indichiamo con λ j ( j =,...,s) il perimetro del tringolo j.siha s f (z) dz f (z) dz + T j= + j s [ = f (zj ) z j f (z j ) ] dz + zf (z j ) dz j= + j + j s + ϕ j (z)(z z j ) dz + j = ϕ j (z)(z z j ) dz + j < ε s λ 2 λ 2 j = ε λ 2 j= s j= j= λ 2 T j =ε. La (.4.) è dunque vera per i triangoli e quindi per i poligoni, essendo questi ultimi decomponibili in un numero finito di triangoli a due a dueprivi di punti interni comuni. Sia T un dominio normale regolare; precisamente siano α(x),β(x) C ([a, b]) e supponiamo in un primo momento che α(x) <β(x) per ogni x [a, b]. Consideriamo il dominio regolare T definito da (.4.2) T = { (x, y) R 2 : a x b,α(x) y β(x) }. Per δ = dist (T, )( C) poniamo T δ = { (x, y) R 2 : a x b,α(x) δ/2 y β(x) + δ/2 }. Ovviamente T δ. Siano {g n (x)} e {h n (x)} due successioni di funzioni costanti a tratti in [a, b] tali che b b (.4.3) lim g n (x) α (x) dx = lim h n (x) β (x) dx =. n a n a Poniamo α n (x) = α(a) + β n (x) = β(a) + x a x a g n (t) dt h n (t) dt.

19 Funzioni di variabile complessa 9 Le diseguaglianze provano che α(x) α n (x) β(x) β n (x) x a x a lim n α n(x) = α(x), α (t) g n (t) dt β (t) h n (t) dt b a b lim β n (x) = β(x) n a α (t) g n (t) dt β (t) h n (t) dt uniformemente in [a, b]. Ne consegue che per n abbastanza grande α n (x) < β n (x)in[a, b] e che considerato il poligono T n = { (x, y) R 2 : a x b,α n (x) y β n (x) } si ha T n. Infatti, posto μ = min [a,b] [ β(x) α(x) ],definitivamente si ha e Si ha, allora, β n (x) α n (x) = β n (x) β(x) + α(x) α n (x) + β(x) α(x) > μ 2 μ 2 + μ = T n T δ. f (z) dz =. Proviamo che lim f (z) dz = n + T n + T f (z) dz, opiù dettagliatamente che (.4.4) b lim n a f (t + iα n (t)) ( + ig n (t)) dt = b a f (t + iα(t)) ( + α (t)) dt, βn(b) (.4.5) lim n α n (b) f (b + it) dt = β(b) α(b) f (b + it) dt

20 2 Funzioni di variabile complessa (.4.6) b lim n a f (t + iβ n (t)) ( + ih n (t)) dt = b a f (t + iβ(t)) ( + β (t)) dt. Proviamo la (.4.4). Si ha b a f (t + iα n (t)) ( + ig n (t)) f (t + iα(t)) ( + α (t)) dt b max f gn (t) α (t) dt T δ a + max [a,b] + α (t) b a f (t + iα n (t)) f (t + iα(t)) dt e la tesi si consegue ricordando la (.4.3) ed osservando che lim f (t + iα n(t)) = f (t + iα(t)) n uniformemente in [a, b]. La prova della (.4.6) è analoga. La prova della (.4.5) segue, poi, dalla diseguaglianza βn (b) β(b) f (b + it) dt f (b + it) dt α n (b) α(b) β(b) α(b) max T δ f f χ[αn (a),β n (b)] dt [ ] α n (b) α(b) + β n (b) β(b). Consideriamo, infine, per il dominio regolare (.4.2) il caso più generale: α(x) <β(x) in]a, b[. Consideriamo il dominio T k = { (x, y) R 2 : a x b,α(x) δ 2k y β(x)}. Per esso si ha + T k f (z) dz =

21 Funzioni di variabile complessa 2 e, quindi, basterà provare che lim f (z) dz = k + T k + T f (z) dz. Si ha, infatti, b lim f ( t + iα(t) i δ ) ( + iα (t)) dt k a 2k β(b) lim k α(b) δ/(2k) β(a) lim k α(a) δ/(2k) = b a f (b + it) dt = f (a + it) dt = f (t + iα(t)) ( + iα (t)) dt, β(b) α(b) β(a) α(a) f (b + it) dt, f (a + it) dt. La prima conseguenza di questo teorema è data dalla seguente formula. Teorema.4.2. (Prima formula di Cauchy) Sia f (z) una funzione olomorfa nell aperto C. Sia T un dominio regolare contenuto in. Allora, per ogni z T,siha (.4.7) f (z) = 2πi + T f (ζ ) ζ z dζ. Dimostrazione. Sia z T. La frontiera del dominio T è un insieme compatto e quindi dist(z, T ) >. Posto T = T \ B δ (z), <δ<dist(z, T ), T èun dominio regolare e per il Teorema di Cauchy Goursat si ha f (ζ ) + T ζ z dζ = da cui, per l additività dell integrale curvilineo e usando le equazioni parametriche ζ (t) = z + δe it, t [, 2π], della circonferenza B δ (z), si ottiene + T f (ζ ) ζ z dζ = f (ζ ) 2π + B δ (z) ζ z dζ = i f (z + δe it ) dt.

22 22 Funzioni di variabile complessa Passiamo al limite per δ. Essendo f (z + δe it ) max f (z) <δ<dist(z, T ), t [, 2π] T è possibile applicare il Teorema di Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno di integrale; si ha quindi: f (ζ ) dζ = 2πif(z), ζ z + T ecioèla(.4.7). Si noti che + T { f (ζ ) ζ z dζ = 2πif(z) per z T per z \ T La prima formula di Cauchy rivela una caratteristica interessante delle funzioni olomorfe. Data una curva che sia la frontiera di un dominio regolare, i valori assunti dalla funzione f (z) nei punti interni al dominio non sono indipendenti dai valori che questa funzione assume sulla frontiera del dominio anzi sono determinati univocamente da essi. In altri termini due funzioni olomorfe che coincidono sulla frontiera di un dato dominio devono essere identicamente uguali in tutti i punti interni al dominio. Questo fatto è ovviamente falso nel caso di funzioni derivabili in senso reale. Una importante conseguenza della prima formula di Cauchy e quindi del Teorema di Cauchy Goursat è il fatto che una funzione olomorfa è necessariamente di classe C. Anche questo fatto è ovviamente falso per funzioni derivabili in senso reale. Precisamente si ha Teorema.4.3. (Seconda formula di Cauchy) Sia f (z) una funzione olomorfa nell aperto C. Allora f (z) è di classe C ( ). Inoltre per ogni dominio regolare T e per ogni intero n N si ha (.4.8) f (n) (z) = n! 2πi + T f (ζ ) (ζ z) n+ dζ, z T. Dimostrazione. Fissato un dominio regolare T contenuto in cominciamo con il provare che (.4.9) f (z) = f (ζ ) 2πi (ζ z) dζ, z 2 T. + T

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