0. Funzioni di variabile complessa
|
|
- Albano Pagani
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 . Funzioni di variabile complessa In questo capitolo esporremo le linee essenziali della teoria delle funzioni di variabile complessa. Questa teoria è una tra le più compiutamente sviluppate da un puntodivista teorico e più largamente utilizzata nelle applicazioni. In essa molti concetti matematici hanno una formulazione più generale e semplice; essa, inoltre, offre una serie di strumenti matematici essenziali per la risoluzione di problemi di trasmissione del calore, della conduzione elettrica, di elettromagnetismo e di molti altri settori scientifici. Come problema matematico i numeri complessi nascono dall esigenza di ampliare il campo dei numeri reali; infatti è ben noto che l insieme dei numeri reali non è algebricamente chiuso, ovvero, non tutte le equazioni algebriche hanno soluzioni reali (si pensi all equazione x 2 + = ). D altro canto, a meno di isomorfismi, il campo dei numeri reali èl unico campo totalmente ordinato e completo; quindi se siamo pronti ad ampliarlo dobbiamo essere pronti a perdere questa proprietà. In altri termini dati due numeri complessi non potremo dire che un numero complesso è maggiore dell altro ma soltanto se sono uguali o diversi... Il campo dei numeri complessi Cominciamo la nostra trattazione richiamando alcune nozioni sui numeri complessi ben note allo studente. Introduciamo una struttura algebrica che rende R 2 un campo, cioè definiamo in R 2 un operazione di somma ed una di prodotto (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) (a, b), (c, d) R 2. Per indicare tale campo useremo il simbolo C, edr 2 dotato delle operazioni suddette si chiamerà il campo complesso.
2 2 Funzioni di variabile complessa L insieme dei numeri complessi del tipo (a, ), a R, è isomorfo ad R; cioè C è un ampliamento di R. Poniamo (, ) = i. Il numero complesso z = (a, b) sipuò riscrivere nella forma z = a + ib; a è la parte reale di z ed ib la parte immaginaria; b si dice coefficiente della parte immaginaria. Nel seguito porremo anche a = Re z, b = Im z. Il numero z = a ib si dice il coniugato di z. Sono di immediata dimostrazione le seguenti proprietà: z + z = 2Rez, z z = 2i Im z, z + z 2 = z + z 2, z z 2 = z z 2, z = z, ( ) = z z. Dato z C poniamo z = z z = Re 2 z + Im 2 z. Il numero z si dice modulo del numero complesso z. Il modulo di un numero complesso gode delle seguenti proprietà: z e z =seesolosez = ; Re z, Im z z Re z + Im z ; z z 2 z ± z 2 z + z 2. Alla scrittura z = Re z + i Im z si dà ilnomediforma algebrica del numero complesso z. Eseguire somme e prodotti di numeri complessi in forma algebrica diventa facile; basta operare con le usuali regole dell algebra tenendo presente che i 2 =. Peroperare più agevolmente con potenze e radici invece risulta più comodo potere rappresentare i numeri complessi in un altra forma, la cosiddetta forma trigonometrica. Siano z C, z eθ R tale che cos θ = Re z z, sen θ = Im z z. Il numero θ è un argomento di z. Chiaramente, se θ è un argomento di z lo sono anche i numeri θ + 2kπ con k Z; l argomento èdefinito a meno di multipli interi di 2π. Se z = considereremo θ un qualsiasi numero reale.
3 Funzioni di variabile complessa 3 Denoteremo uno qualsiasi di tali numeri con arg z. Potremo allora scrivere, per ogni z C, laforma trigonometrica del numero complesso z z = z (cos arg z + i sen arg z). I vantaggi di questa nuova rappresentazione sono evidenti. facilmente Infatti, si ha z z 2 = z z 2 ( cos(arg z + arg z 2 ) + i sen(arg z + arg z 2 ) ). Da ciò si trae immediatamente la formula di De Moivre che risulta utilissima per il calcolo delle potenze z n = z n( cos(n arg z) + i sen(n arg z) ), z C, n N. Affrontiamo adesso il problema della radice n-esima di un numero complesso. Sia ω C. Vogliamo cercare gli eventuali numeri complessi z tali che z n = ω, n N. Usando la forma trigonometrica, ciò equivale a richiedere che z n = ω, n arg z = arg ω + 2kπ, k Z e quindi n (..) ( ω = ω /n arg ω + 2kπ cos + i sen n ) arg ω + 2kπ, k Z. n Lo sfasamento angolare tra due radici consecutive èsemprelostessoe precisamente, arg ω + 2(k + )π n arg ω + 2kπ n = 2π n. Le radici distinte sono quindi esattamente n e possono determinarsi dando a k ivalori,,...,n..2. Funzioni di variabile complessa Iniziamo lo studio delle funzioni il cui argomento è un numero complesso e che, in generale, sono a valori complessi. Lo scopo è quello di estendere in questo nuovo contesto quanto si conosce per le funzioni reali di variabile reale. Vedremo nel seguito che alcuni concetti si estendono in maniera immediata e che alcune proprietà hanno delle formulazioni più generali rispetto alle
4 4 Funzioni di variabile complessa analoghe proprietà nel caso reale. D altra parte tutte le proprietà in cui si fa uso dell ordinamento non potranno essere estese alle funzioni complesse. La struttura di spazio metrico di cui è munito R 2 si trasporta immediatamente in C. Siaz C esiaδ>. L insieme B δ (z ) ={z C : z z <δ} si chiamerà come nel caso dello spazio euclideo in due dimensioni intorno (o disco) di centro z e raggio δ. Ci sarà poi utile nel seguito considerare l insieme B δ (z ) ={z C : < z z <δ} che chiameremo intorno bucato (o disco bucato) di centro z e raggio δ. Sia I C esiaz I. Diciamo che il punto z è interno ad I se esiste un disco B δ (z ) I. L insieme dei punti interni ad I sarà denotato con il simbolo I.SeI I l insieme I si dirà aperto. Diremo, poi, che un insieme è chiuso se è il complementare di un insieme aperto. Le varie definizioni insiemistiche (punto di accumulazione, derivato di un insieme, frontiera di un insieme, etc.) sono identiche a quelle che si conoscono nel caso dello spazio euclideo R 2. Consideriamo una funzione f (z) definita in I C a valori complessi. Ponendo z = x + iy e f (z) = Re f (z) + i Im f (z), la funzione si può identificare con la funzione f : I C C f : I R 2 R 2 che ha come componenti, rispettivamente, Re f (x, y)eim f (x, y). Consideriamo un insieme I C esiaz un suo punto di accumulazione. Sia f (z) una funzione definita in I a valori complessi. Diciamo che la funzione f è convergente al numero l C al tendere di z a z e scriveremo f (z) = l quando lim z z ε > δ > : z B δ (z ) I f (z) l <ε. È immediato provare che lim Re f (z) = Re l z z lim f (z) = l z z lim Im f (z) = Im l. z z
5 Funzioni di variabile complessa 5 lim z Se l insieme I non è limitato potremo dare significato alla scrittura f (z) = l quando ε > R > : z {z C : z > R} I f (z) l <ε. Ovviamente tutti i risultati circa le interazioni tra le operazioni aritmetiche e l operazione di limite rimangono essenzialmente invariati rispetto al caso delle funzioni reali. Con il simbolo lim z z f (z) = si intende lim f (z) =+. z z Diremo che una funzione è continua in un punto z di accumulazione per I appartenente ad I quando lim f (z) = f (z ) e, ovviamente, la somma, z z il prodotto e la composizione di funzioni continue sono ancora funzioni continue. Definiamo adesso alcune importanti funzioni complesse. Cominciamo con la funzione esponenziale. Per z = x + iy, poniamo e z := e x (cos x + i sen y). Si verifica facilmente che per essa continuano a sussistere proprietà analoghe a quelle della funzione esponenziale nel campo reale. Servendosi poi della funzione esponenziale, si definiscono le funzioni trigonometriche ed iperboliche. Per z C poniamo sen z := eiz e iz 2i, cos z := eiz + e iz 2 ; senh z := ez e z, cosh z := ez + e z. 2 2 Le funzioni iperboliche possono essere espresse mediante le funzioni trigonometriche in maniera ovvia. Si ha, infatti, senh z = ei(iz) e i(iz) 2i 2 = i sen(iz) cosh z = ei(iz) + e i(iz) = cos(iz). 2
6 6 Funzioni di variabile complessa Per tali funzioni continuano a valere molte proprietà valide per le analoghe funzioni reali; ad esempio si provano facilmente le formule fondamentali sen 2 z + cos 2 z =, cosh 2 z senh 2 z =, e, di conseguenza, tutte le altre formule basate su queste. Tuttavia è da tener presente che non tutto ciò cheè vero nel campo reale è vero nel campo complesso; ad esempio non è vero che il modulo delle funzioni sen z ecosz sia minore o uguale ad uno. Determiniamo la parte reale e la parte immaginaria delle funzioni trigonometriche e quindi delle funzioni iperboliche. Per la formula di addizione del seno si ha sen(x + iy) = sen x cos(iy) + cos x sen(iy) = sen x cosh y + i cos x senh y e sen z 2 = sen 2 x cosh 2 y + cos 2 x senh 2 y = sen 2 x cosh 2 y + senh 2 y sen 2 x senh 2 y = sen 2 x + senh 2 y. In maniera analoga si prova poi cos(x + iy) = cos x cosh y i sen x senh y, cos z 2 = cos 2 x + senh 2 y. Sfruttando il legame tra le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche si ha senh z 2 = sen(iz) 2 = senh 2 x + sen 2 y, cosh z 2 = cos(iz) 2 = senh 2 x + cos 2 y. Porremo, poi, tang z = sen z cos z z π 2 + kπ, k intero relativo tangh z = i tang(iz) z i π + ikπ, 2 k intero relativo. Esercizio.2.. Determiniamo i numeri complessi z = x + iy tali che sen z >. Si deve avere che il numero sen x cosh y + i cos x senh y deve essere reale e maggiore di uno. Cioè cosx senh y = ; il che comporta o y = esenx > impossibile, oppure x = π/2 + kπ, k intero relativo, e ( ) k cosh y >. In definitiva le soluzioni della disequazione sen z > sono i numeri complessi π/2 + 2kπ + iy, y.
7 Funzioni di variabile complessa 7 Definiamo il logaritmo di un numero complesso. Sia z = z e i arg z, z ; diremo log z un numero complesso tale che o, in altri termini, tale che e log z = z e Re log z e i Im log z = z e i arg z. Pertanto deve essere { e Re log z = z e i Im log z = e i arg z dacuisiricava log z = ln z +i arg z dove con ln a si è indicato il logaritmo naturale del numero positivo a, cioè l unico numero reale per cui e ln a = a. Risulta allora evidente che la funzione logaritmo è una funzione ad infiniti valori definita in C \{}; fissato z la differenza tra due sue determinazioni è2kπ i con k intero relativo. Fissato α R la funzione log z = ln z +i arg z, α arg z <α+ 2π, z è una determinazione del logaritmo definita in C \{} ad un sol valore. Si noti che in tal modo, piuttosto che considerare la funzione logaritmo come una funzione ad infiniti valori, si considerano infinite funzioni ad un sol valore. Generalmente tutte queste funzioni vengono indicate con lo stesso simbolo; è bene, quindi, specificare di volta in volta con quale determinazione si sta operando. In particolare per α = π la funzione log z = ln z +i arg z, π arg z <π, z prende il nome di determinazione (o valore) principale del logaritmo. Consideriamo la determinazione del logaritmo log z = ln z +i arg z, π arg z <π, z. Essa non è continua nei punti della semiretta z = x, x <. Ad esempio proviamo che non è continua nel punto z =. Consideriamo la restrizione della funzione log z alla semiretta z = + iy, y > ; si ha ( lim ln + y2 + i arg( + iy) ) = iπ ; y +
8 8 Funzioni di variabile complessa mentre considerando la restrizione alla semiretta z = + iy, y <, si ha ( lim ln + y2 + i arg( + iy) ) = iπ. y Considerazioni analoghe potrebbero essere fatte per le altre determinazioni del logaritmo; più precisamente fissato α R la funzione log z = ln z +i arg z, α arg z <α+ 2π, z non è continua nei punti della semiretta z = te iα, t >. È possibile ovviare a ciò considerando la funzione log z = ln z +i arg z, α < arg z <α+ 2π, z che èdefinita nel cosiddetto piano tagliato lungo la semiretta z = te iα, t >. Si badi bene, però, che considerando il piano complesso privato di una semiretta uscente dall origine in esso sonodefinite infinite determinazioni continue del logaritmo. Ad esempio considerando l insieme C privato della semiretta (x, ), x in esso sono definite la determinazione principale del logaritmo e le determinazioni log z = ln z +i arg z, (2k )π <arg z < (2k + )π, k =±, ±2,... Analoghe considerazioni valgono per la funzione radice ennesima essendo, per z, n z = e n log z = z /n e i arg z n. La funzione radice ennesima è una funzione ad n valori e quindi si potrà pensare ad essa come ad n funzioni ad un sol valore. Esse si ottengono considerando, fissato α R, α + 2(k )π <arg z <α+ 2kπ, k =,...,n. Per mezzo del logaritmo possiamo definire le potenze ad esponente complesso ponendo, per μ C e α R, z μ = e μ log z = e μ ln z e iμ arg z, α < arg z <α+ 2π eperβ C, β z = e z log β, z C avendo cura di fissare preventivamente una determinazione di log β.
9 Funzioni di variabile complessa 9.3. Funzioni olomorfe Consideriamo adesso l operazione di derivazione pensando, in un primo momento, la funzione f (z) come funzione delle variabili x ed y, poniamo: f x = Re f x f y = Re f y + i Im f x + i Im f y Agendo in questo modo, tuttavia, non si tiene adeguatamente conto della natura della funzione, ma si opera su di essa pensandola come funzione delle variabili reali x, y e non come funzione della variabile complessa z. L operazione di derivazione complessa agisce in modo apparentemente identico al caso delle funzioni di una variabile reale ma produce effetti profondamente diversi. Fissiamo questa importante idea introducendo la seguente Definizione.3.. Sia un aperto non vuoto di C. Consideriamo una funzione f (z) definita in a valori complessi. Sia z e supponiamo che esista finito il limite f (z) f (z ) lim = f (z ). z z z z In tal caso diciamo che la funzione f è derivabile in sensocomplesso o cheè olomorfa nel punto z. Ovviamente una funzione olomorfa in z è ivi continua. Diremo, poi, che una funzione è olomorfa in se è olomorfa in tutti i punti di. Una funzione olomorfa in C si dirà intera. Come sivede, la definizioneè formalmente identica alla classica definizione di derivata appresa studiando le funzioni reali di una variabile reale. Occorre notare che, nella definizione di rapporto incrementale, e quindi di derivata, si ha a che fare con l operazione di moltiplicazione nel campo complesso e conseguentemente ci convinceremo tra non molto che questa operazione di derivazione è differente dall analoga operazione nel campo reale. Esempio.3.. Sia f : C C la funzione definita ponendo f (z) = z. Verifichiamo che la funzione non è derivabile in C. Infatti sia z = x + iy ;il rapporto incrementale in z è f (z) f (z ) z z = z z z z..
10 Funzioni di variabile complessa Consideriamo la restrizione del rapporto incrementale alla retta z = x + iy, y R. Siha iy + iy = i. y y Scegliendo invece la restrizione alla retta z = x + iy, x R il rapporto incrementale diventa x x =. x x La funzione non è, quindi, derivabile in senso complesso in z. Si noti peraltro che, essendo f (z) = x iy, la funzione vista come funzione da R 2 in R 2 risulta di classe C. Consideriamo un altro esempio. Esempio.3.2. Sia f : C C la funzione definita ponendo f (z) = z. La funzione differisce pochissimo da quella dell esempio precedente, tuttavia essa risulta derivabile in C. Infatti, calcoliamo il rapporto incrementale della funzione f.siha f (z) f (z ) = z z =. z z z z La funzione risulta quindi derivabile e la derivata è identicamente uguale ad. Anche in questo caso la funzione, guardata dal punto di vista reale, èuna funzione che ha componenti di classe C. I due esempi precedenti mostrano che affinché una funzione complessa risulti derivabile, non èsufficiente che la parte reale e la parte immaginaria siano derivabili in senso reale. La derivazione in senso complesso è totalmente diversa dall analoga operazione per le funzioni di variabile reale; funzioni di classe C nel senso reale possono essere non derivabili nel senso complesso. È allora di notevole importanza caratterizzare le funzioni che risultano derivabili in senso complesso. Precisamente si ha il seguente Teorema.3.. (Cauchy Riemann) Siano C un aperto e f (z) una funzione definita in a valori complessi. Sia z = x + iy. Poniamo f (z) = u(x, y) + iv(x, y). La funzione f (z) èolomorfainz se e soltanto se le seguenti condizioni sono verificate: ) u(x, y), v(x, y) sono differenziabili in (x, y ); 2) u x (x, y ) = v y (x, y ), u y (x, y ) = v x (x, y ). Quando le condizioni sono soddisfatte risulta f (z ) = u x (x, y ) + iv x (x, y ) = ( u y (x, y ) + iv y (x, y ) ) i
11 Funzioni di variabile complessa Dimostrazione. Supponiamo la funzione olomorfa nel punto z e poniamo f (z ) = a + ib. Poniamo (.3.) ω(z) = f (z) f (z ) f (z )(z z ) ; ovviamente ed anche lim z z Re(ω(z)) lim z z z z ω(z) z z =, Considerando la parte reale in (.3.) si ha e quindi = lim z z Im(ω(z)) z z =. u(x, y) u(x, y ) a(x x ) + b(y y ) = Re(ω(z)), u(x, y) u(x, y ) a(x x ) + b(y y ) lim = z z z z ecioè la funzione u(x, y)è differenziabile nel punto (x, y ) e risulta u x (x, y ) = a, u y (x, y ) = b. Ragioniamo alla stessa maniera con la parte immaginaria; otteniamo v(x, y) v(x, y ) b(x x ) a(y y ) = Im(ω(z)) ; da cui segue che anche la funzione v(x, y) è differenziabile nel punto (x, y ) e risulta v x (x, y ) = b, v y (x, y ) = a. Da un confronto delle eguaglianze ricavate si ha la tesi. Proviamo adesso il viceversa ovvero che le ), 2) implicano l olomorfia della funzione in z. Ricordando la definizione di funzione differenziabile si ha con u(x, y) u(x, y ) u x (x, y )(x x ) u y (x, y )(y y ) = ω (x, y) v(x, y) v(x, y ) v x (x, y )(x x ) v y (x, y )(y y ) = ω 2 (x, y) lim z z ω (x, y) z z = lim z z ω 2 (x, y) z z =.
12 2 Funzioni di variabile complessa Si ha, quindi, f (z) f (z ) ( u x (x, y ) + iv x (x, y ) ) (z z ) = ω (x, y) + iω 2 (x, y) da cui che èlatesi. f (z) f (z ) lim = u x (x, y ) + iv x (x, y ) z z z z Per verificare l olomorfia di una funzione sarà sufficiente verificare che f x = f i y dopo avere controllato che le derivate siano funzioni continue. Possiamo rivedere gli esempi precedenti alla luce di questo teorema. La funzione f (z) = z non è olomorfa, perché non sono soddisfatte le condizioni di Cauchy Riemann, mentre la funzione f (z) = z è olomorfa perché le soddisfa. L estensione delle regole di derivazione valide per la derivazione nel campo reale non presenta alcuna difficoltà. Si avrà quindi, se f, g sono funzioni olomorfe D(λf (z) + μg(z)) = λf (z) + μg (z) λ,μ C D( f (z)g(z)) = f (z)g(z) + f (z)g (z) D f (z) = f (z) f (z) [ f (z)] 2 Dg( f (z)) = g ( f (z)) f (z). A volte risulta utile esprimere le condizioni di olomorfia in coordinate polari. Sia f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione olomorfa in un aperto. Poniamo z = ϱe iθ,(ϱ, θ ) tale che il corrispondente punto z = ϱe iθ. Poniamo g(ϱ, θ ) = f (ϱe iθ ) = u(ϱ cos θ,ϱsen θ) + iv(ϱ cos θ,ϱsen θ), (ϱ, θ ). Si ha allora sfruttando le condizioni di olomorfia g ϱ = (u x + iv x )cosθ + i(v y iu y )senθ = f (ϱe iθ )e iθ (.3.2) g [ ] θ = iϱ i(u x + iv x )senθ + (v y iu y )cosθ = iϱ f (ϱe iθ )e iθ
13 Funzioni di variabile complessa 3 e quindi (.3.3) g ϱ = g iϱ θ. Viceversa, supponiamo che valga la (.3.3). Per le (.3.2) si ha l eguaglianza (u x + iv x )cosθ + i(v y iu y )senθ = i(u x + iv x )senθ + (v y iu y )cosθ che può essere riscritta nel modo seguente [ (ux + iv x ) (v y iu y ) ] e iθ = da cui, essendo e iθ, si ricava u x + iv x = v y iu y ecioèl olomorfia delle funzione f.siavrà anche f (ϱe iθ ) = g ϱ e iθ = iϱ g θ e iθ. Vediamo qualche esempio importante di funzione olomorfa. Esempio.3.3. Sia n un intero positivo. La funzione z n è intera. Infatti, Dz n = lim h (z + h) n z n h = lim h n j= ( n ) j z j h n j h = nz n. Pertanto i polinomi sono funzioni intere. Le funzioni razionali sono funzioni olomorfe nel loro campo di esistenza. Esempio.3.4. La funzione esponenziale e z = e x (cos y + i sen y) èinterae si ha De z = e z. Infatti e z x = ex (cos y + i sen y) = i ex ( sen y + i cos y) = e z i y
14 4 Funzioni di variabile complessa Esempio.3.5. Le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche sono intere e risulta, per ogni z C, D sen z = cos z, D cos z = sen z, Risulta, poi, D senh z = cosh z, D cosh z = senh z. D tang z = cos 2 z, z π 2 + kπ, k Z D tangh z = cosh 2 z, z i π 2 + kπi, k Z. Esempio.3.6. Consideriamo il logaritmo nel campo complesso e proviamo che tutte le determinazioni del logaritmo definite in un piano tagliato sono funzioni olomorfe ed hanno tutte la stessa derivata. Sia log z = ln z +i arg z, α < arg z <α+ 2π, α R. Usando le coordinate polari si ha log(ϱe iθ ) = ln ϱ + iθ, ϱ>,α<θ<α+ 2π e quindi ϱ log(ϱeiθ ) = ϱ = iϱ θ log(ϱeiθ ). Per le (.3.3) si ha quindi l olomorfia della funzione e D log z = D log(ϱe iθ ) = ϱ e iθ = z. Esempio.3.7. Utilizzando la derivata della funzione logaritmo, si ha anche che Dz μ = μz μ, α < arg z <α+ 2π, μ C,α R e anche Dβ z = β z log β, z C.
15 Funzioni di variabile complessa 5.4. Integrali su cammini Consideriamo adesso il problema dell integrazione delle funzioni complesse, avendo cura di distinguere il caso delle funzioni complesse di variabile reale dal caso delle funzioni complesse di variabile complessa. Precisamente, sia f :[a, b] C; supponendo che le funzioni Re f, Im f siano sommabili in [a, b] porremo: b b b f (t) dt := Re f (t) dt + i Im f (t) dt. a Una diseguaglianza particolarmente utile è la seguente b b f (t) dt f (t) dt. a Proviamola. Consideriamo il numero complesso b b f (t) dt = f (t) dt eiϕ. Si ha, allora, b b f (t) dt = e iϕ f (t) dt = a b a a a a a a b Re(e iϕ f (t)) dt a b a Re(e iϕ f (t)) dt a e iϕ f (t) dt = b a f (t) dt. L integrazione delle funzioni complesse di variabile complessa si effettua in maniera analoga a quella delle forme differenziali lineari integrandole su cammini. Precisamente, Definizione.4.. Sia f : C una funzione continua e sia f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Siano z, z esiaγ un cammino congiungente i punti z, z,cioè una curva generalmente regolare con sostegno contenuto in di equazione parametrica z = z(t) :[a, b] tale che z(a) = z, z(b) = z. Poniamo, f (z) dz := (γ ) z z (γ ) u(x, y) dx v(x, y) dy z z z + i(γ ) v(x, y) dx + u(x, y) dy. z = b a f (z(t))z (t) dt.
16 6 Funzioni di variabile complessa Le forme differenziali u(x, y) dx v(x, y) dy e v(x, y) dx + u(x, y) dy sono le forme differenziali associate alla funzione f (z). Esercizio.4.. Per ogni m Z si consideri la funzione f (z) = z m. Calcoliamo l integrale della funzione lungo il cammino γ, il cui sostegno èla circonferenza di centro e raggio r, percorsa in senso antiorario. Considerando le equazioni parametriche della curva γ, z(t) = re it, t [, 2π]siha 2π { z m dz = ir m+ e i(m+)t dt = sem 2πi se m = γ Naturalmente la possibilità di calcolare esplicitamente l integrale èlegata al verificarsi di tante circostanze fortunate. A volte la valutazione esatta dell integrale è impossibile o comunque non necessaria. In questo senso potrebbe essere utile una stima dell integrale evitando il calcolo diretto. Questo è il contenuto del prossimo risultato. Lemma.4.. (Darboux) Sia f : C una funzione continua. Sia γ un cammino congiungente i punti z, z. Allora, z (γ ) f (z) dz γ max f (z) z sostegno γ dove γ indica la lunghezza della curva γ. Dimostrazione. z (γ ) b f (z) dz = b f (z(t))z (t) dt f (z(t))z (t) dt z a b max f (z) sostegno γ a a z (t) dt = γ max f (z). sostegno γ Il teorema seguente è uno dei più importanti di tutta l analisi complessa ed ha notevoli conseguenze come vedremo nel seguito. Teorema.4.. (Cauchy Goursat) Sia f (z) una funzione olomorfa nell aperto C e sia T un dominio regolare contenuto in. Allora, (.4.) f (z) dz = ( ). + T ( ) Con + T intendiamo la frontiera del dominio regolare T percorsa nell usuale verso positivo. Nel caso in cui T è una circonferenzao un arco di circonferenza con+ T intenderemo sempre la circonferenza percorsa in verso antiorario.
17 Funzioni di variabile complessa 7 Osservazione.4.. La dimostrazione del Teorema di Cauchy Goursat è banale se si aggiuge l ipotesi della continuità della derivata. In tal caso, infatti, le forme differenziali associate alla funzione f (z) sono chiuse e la (.4.) è una conseguenza delle formule di Gauss Green. Si osservi, daltronde, che, come verrà provato in seguito, la continuità della derivata è una conseguenza dello stesso Teorema di Cauchy Goursat. Dimostrazione del Teorema di Cauchy Goursat. Basterà dimostrare la (.4.) nel caso in cui T è un dominio normale regolare. Supponiamo in un primo momento che T sia un triangolo. Indichiamo com λ il perimetro del triangolo T.Perε> decomponiamo T nell unione di un numero finito di triangoli j, j =,...,s, simili al triangolo T a due a due privi di punti interni comuni e tali che sia possibile scegliere un punto z j j ( j =,...,s) tale che per la funzione f (z) f (z j ) f (z j ) se z j \{z j } ϕ j (z) = z z j se z = z j si abbia ϕ j (z) ε λ 2. Proviamo che tale decomposizione è possibile. Per assurdo supponiamo che non sia possibile decomporre T nel modo suddetto. Poniamo T = T. Decomponiamo il triangolo T, unendo i punti medi dei suoi lati, in quattro triangoli (simili a T ) e diciamo T 2 quello (o uno fra quelli) che non sia possibile decomporre nel modo suddetto. Considerato il triangolo T 2 e procedendo analogamente troveremo un triangolo T 3 non decomponibile come sopradetto. Si costruisce in tal modo una successione {T n } di triangoli decrescente e tale che la successione dei loro diametri sia infinitesima. Si avrà T n ={z }. n N Poniamo f (z) f (z ) f (z ϕ (z) = ) se z \{z } z z se z = z. Essendo lim z z ϕ (z) =, si ha definitivamente per z T n ϕ (z) ε λ 2,
18 8 Funzioni di variabile complessa e quidi l assurdo. Sia, dunque, T = 2... s. Indichiamo con λ j ( j =,...,s) il perimetro del tringolo j.siha s f (z) dz f (z) dz + T j= + j s [ = f (zj ) z j f (z j ) ] dz + zf (z j ) dz j= + j + j s + ϕ j (z)(z z j ) dz + j = ϕ j (z)(z z j ) dz + j < ε s λ 2 λ 2 j = ε λ 2 j= s j= j= λ 2 T j =ε. La (.4.) è dunque vera per i triangoli e quindi per i poligoni, essendo questi ultimi decomponibili in un numero finito di triangoli a due a dueprivi di punti interni comuni. Sia T un dominio normale regolare; precisamente siano α(x),β(x) C ([a, b]) e supponiamo in un primo momento che α(x) <β(x) per ogni x [a, b]. Consideriamo il dominio regolare T definito da (.4.2) T = { (x, y) R 2 : a x b,α(x) y β(x) }. Per δ = dist (T, )( C) poniamo T δ = { (x, y) R 2 : a x b,α(x) δ/2 y β(x) + δ/2 }. Ovviamente T δ. Siano {g n (x)} e {h n (x)} due successioni di funzioni costanti a tratti in [a, b] tali che b b (.4.3) lim g n (x) α (x) dx = lim h n (x) β (x) dx =. n a n a Poniamo α n (x) = α(a) + β n (x) = β(a) + x a x a g n (t) dt h n (t) dt.
19 Funzioni di variabile complessa 9 Le diseguaglianze provano che α(x) α n (x) β(x) β n (x) x a x a lim n α n(x) = α(x), α (t) g n (t) dt β (t) h n (t) dt b a b lim β n (x) = β(x) n a α (t) g n (t) dt β (t) h n (t) dt uniformemente in [a, b]. Ne consegue che per n abbastanza grande α n (x) < β n (x)in[a, b] e che considerato il poligono T n = { (x, y) R 2 : a x b,α n (x) y β n (x) } si ha T n. Infatti, posto μ = min [a,b] [ β(x) α(x) ],definitivamente si ha e Si ha, allora, β n (x) α n (x) = β n (x) β(x) + α(x) α n (x) + β(x) α(x) > μ 2 μ 2 + μ = T n T δ. f (z) dz =. Proviamo che lim f (z) dz = n + T n + T f (z) dz, opiù dettagliatamente che (.4.4) b lim n a f (t + iα n (t)) ( + ig n (t)) dt = b a f (t + iα(t)) ( + α (t)) dt, βn(b) (.4.5) lim n α n (b) f (b + it) dt = β(b) α(b) f (b + it) dt
20 2 Funzioni di variabile complessa (.4.6) b lim n a f (t + iβ n (t)) ( + ih n (t)) dt = b a f (t + iβ(t)) ( + β (t)) dt. Proviamo la (.4.4). Si ha b a f (t + iα n (t)) ( + ig n (t)) f (t + iα(t)) ( + α (t)) dt b max f gn (t) α (t) dt T δ a + max [a,b] + α (t) b a f (t + iα n (t)) f (t + iα(t)) dt e la tesi si consegue ricordando la (.4.3) ed osservando che lim f (t + iα n(t)) = f (t + iα(t)) n uniformemente in [a, b]. La prova della (.4.6) è analoga. La prova della (.4.5) segue, poi, dalla diseguaglianza βn (b) β(b) f (b + it) dt f (b + it) dt α n (b) α(b) β(b) α(b) max T δ f f χ[αn (a),β n (b)] dt [ ] α n (b) α(b) + β n (b) β(b). Consideriamo, infine, per il dominio regolare (.4.2) il caso più generale: α(x) <β(x) in]a, b[. Consideriamo il dominio T k = { (x, y) R 2 : a x b,α(x) δ 2k y β(x)}. Per esso si ha + T k f (z) dz =
21 Funzioni di variabile complessa 2 e, quindi, basterà provare che lim f (z) dz = k + T k + T f (z) dz. Si ha, infatti, b lim f ( t + iα(t) i δ ) ( + iα (t)) dt k a 2k β(b) lim k α(b) δ/(2k) β(a) lim k α(a) δ/(2k) = b a f (b + it) dt = f (a + it) dt = f (t + iα(t)) ( + iα (t)) dt, β(b) α(b) β(a) α(a) f (b + it) dt, f (a + it) dt. La prima conseguenza di questo teorema è data dalla seguente formula. Teorema.4.2. (Prima formula di Cauchy) Sia f (z) una funzione olomorfa nell aperto C. Sia T un dominio regolare contenuto in. Allora, per ogni z T,siha (.4.7) f (z) = 2πi + T f (ζ ) ζ z dζ. Dimostrazione. Sia z T. La frontiera del dominio T è un insieme compatto e quindi dist(z, T ) >. Posto T = T \ B δ (z), <δ<dist(z, T ), T èun dominio regolare e per il Teorema di Cauchy Goursat si ha f (ζ ) + T ζ z dζ = da cui, per l additività dell integrale curvilineo e usando le equazioni parametriche ζ (t) = z + δe it, t [, 2π], della circonferenza B δ (z), si ottiene + T f (ζ ) ζ z dζ = f (ζ ) 2π + B δ (z) ζ z dζ = i f (z + δe it ) dt.
22 22 Funzioni di variabile complessa Passiamo al limite per δ. Essendo f (z + δe it ) max f (z) <δ<dist(z, T ), t [, 2π] T è possibile applicare il Teorema di Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno di integrale; si ha quindi: f (ζ ) dζ = 2πif(z), ζ z + T ecioèla(.4.7). Si noti che + T { f (ζ ) ζ z dζ = 2πif(z) per z T per z \ T La prima formula di Cauchy rivela una caratteristica interessante delle funzioni olomorfe. Data una curva che sia la frontiera di un dominio regolare, i valori assunti dalla funzione f (z) nei punti interni al dominio non sono indipendenti dai valori che questa funzione assume sulla frontiera del dominio anzi sono determinati univocamente da essi. In altri termini due funzioni olomorfe che coincidono sulla frontiera di un dato dominio devono essere identicamente uguali in tutti i punti interni al dominio. Questo fatto è ovviamente falso nel caso di funzioni derivabili in senso reale. Una importante conseguenza della prima formula di Cauchy e quindi del Teorema di Cauchy Goursat è il fatto che una funzione olomorfa è necessariamente di classe C. Anche questo fatto è ovviamente falso per funzioni derivabili in senso reale. Precisamente si ha Teorema.4.3. (Seconda formula di Cauchy) Sia f (z) una funzione olomorfa nell aperto C. Allora f (z) è di classe C ( ). Inoltre per ogni dominio regolare T e per ogni intero n N si ha (.4.8) f (n) (z) = n! 2πi + T f (ζ ) (ζ z) n+ dζ, z T. Dimostrazione. Fissato un dominio regolare T contenuto in cominciamo con il provare che (.4.9) f (z) = f (ζ ) 2πi (ζ z) dζ, z 2 T. + T
Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0.
Analisi Complessa Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni Esercizio. Si consideri l equazione z 0. Quante soluzioni distinte esistono in C? Quante di esse sono contenute all interno del disco
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
DettagliPer lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme
1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliCapitolo 2. Operazione di limite
Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A
Dettagli19. Inclusioni tra spazi L p.
19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliNumeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)
Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano
DettagliNUMERI COMPLESSI. Esercizi svolti., e) i 34, f) i 7. 10 i
NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti 1. Calcolare le seguenti potenze di i: a) i, b) i, c) i 4, d) 1 i, e) i 4, f) i 7. Semplificare le seguenti espressioni: a) ( i) i(1 ( 1 i), b) ( + i)( i) 5 + 1 ) 10 i,
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
Dettaglie l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come
Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliLe funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1
Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato
DettagliInsiemi di livello e limiti in più variabili
Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
Dettagli4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale
4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliPolitecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).
Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................
DettagliNumeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.
Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,
DettagliI appello - 24 Marzo 2006
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliUniversità degli Studi di Catania A.A. 2012-2013. Corso di laurea in Ingegneria Industriale
Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013 Corso di laurea in Ingegneria Industriale Corso di Analisi Matematica I (A-E) (Prof. A.Villani) Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste
DettagliSulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale
Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliQuesiti di Analisi Matematica A
Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliSIMULAZIONE TEST ESAME - 1
SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliVademecum studio funzione
Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliApplicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni
Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,
DettagliFondamenti e didattica di Matematica Finanziaria
Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio
DettagliCRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE. lim a n = 0. (1) s n+1 = s n + a n+1. (2) CRITERI PER LE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI
Il criterio più semplice è il seguente. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE Teorema(condizione necessaria per la convergenza). Sia a 0, a 1, a 2,... una successione di numeri reali. Se la serie a k è convergente,
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
DettagliUna ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =
Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha
DettagliCorso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor
a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliEquazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie Denis Nardin January 2, 2010 1 Equazioni differenziali In questa sezione considereremo le proprietà delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicherà
DettagliAnalisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06
Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliIL CONCETTO DI FUNZIONE
IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione
DettagliA.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso
441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;
DettagliSERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013
SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco 6--203 Indice Motivazioni........... 3 Definizione........... 3 Errore tipico........... 3 Un osservazione utile...... 3 Condizione necessaria...... 4 Serie armonica.........
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliB. Vogliamo determinare l equazione della retta
Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura
Dettagli+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:
Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa
Dettaglila funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.
1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero
Dettagli11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni
2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliI Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti
Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliNOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.
NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può
DettagliFUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si
DettagliMatematica generale CTF
Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono
DettagliLEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.
7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliLA FUNZIONE INTEGRALE
LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/
DettagliMETODI MATEMATICI PER LA FISICA
Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della
DettagliEsistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea
DettagliAnno 5 4. Funzioni reali: il dominio
Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado
DettagliDOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA
DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con
Dettaglix 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.
Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliTrigonometria: breve riepilogo.
Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica - Dott.ssa Sandra Lucente Trigonometria: breve riepilogo. Definizioni iniziali Saper misurare un angolo in gradi sessagesimali, saper svolgere
DettagliIL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)
IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali:
DettagliLe derivate versione 4
Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta
Dettagli7 - Esercitazione sulle derivate
7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliAlcuni complementi sulle successioni
Alcuni complementi sulle successioni 1 (Teorema del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari tali che si abbia a n b n n N. (1) Allora: a n b n. (2) Dim. Sia L = a n ed L = b n. Se L =
Dettagli