Eserciziario del corso di Metodi Matematici per l Ingegneria. (Proff. Ugo Gianazza - Giuseppe Savaré)

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Annibale Mattei
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1 Eserciziario del corso di Metodi Matematici per l Ingegneria (Proff. Ugo Gianazza - Giuseppe Savaré) Dott. Antonio Marigonda 6 febbraio 9 Dipartimento di Matematica F. Casorati Università di Pavia Ufficio E antonio.marigonda@unipv.it

2 Indice Analisi complessa 5. Sviluppi residui e serie di potenze Integrali di funzioni trigonometriche Calcolo di integrali Integrali di funzioni razionali fratte Applicazioni del Lemma di Jordan Serie e Trasformate di Fourier 5. Sviluppi in serie di Fourier Trasformate di Fourier e Laplace A Formulario 63 3

3 Capitolo Analisi complessa. Sviluppi residui e serie di potenze Esercizio... Si consideri la funzione di variabile complessa: f(z) cos z z e /z. Determinare le singolarità della f classificarle e calcolare il relativo residuo (è molto utile osservare che la f è la somma di due funzioni). Scrivere quindi lo sviluppo di Laurent della f relativo a z precisandone l insieme di convergenza. Soluzione... La funzione f è olomorfa in tutti i punti eccettuati quelli per cui z ovvero z k e iπ/3+kπ/3 k e il punto z 3. Si osservi che per k si ha z k 8/z k I punti z k k 3 sono poli semplici. Ricordando che e /z è olomorfa in un intorno di z k e cos z k : Res(f; z k ) lim (z z k )f(z) lim cos z (z z k) z z k z z k z (z z k)e /z cos z k cos z k 3z k 8 cos z k z k(e izk + e izk ) 3z k 3 (z z k ) lim z z k (z 3 + 8) + (zk 3 + 8) Per quanto riguarda z 3 si ha che si tratta di una singolarità essenziale infatti cos z/(z 3 + 8) è olomorfa in un intorno di e in C \ {} vale: e /z ( /z) k + k ( ) k + z k k pertanto Res(f; z 3 ). Ricordando che: cos z z ( ) n zn + z3 8 8 ( ) n 3n z3n ( ) n 3(n+) z3n se z < Lo sviluppo di Laurent di f relativo a z che converge se < z < è il seguente: f(z) ( ) ( ) ( ) n zn ( ) n ( ) k z3n + + 3(n+) k ( ) n zn ( ) j ( ) k 3(j+) z3j + + z k k n+jk ( ) k k n+jk k 3(j+) z3j+i + + ( ) k k z k z k 5

4 6 CAPITOLO. ANALISI COMPLESSA Esercizio... Determinare e classificare le singolarità di ( ) exp z f(z). z + Calcolare il residuo del polo e scrivere lo sviluppo di Laurent relativo a z precisando l insieme di convergenza. Soluzione... La funzione presenta singolarità in z e z. Si ha che z è un polo semplice in quanto la funzione f(z)(z z ) è olomorfa in un intorno di z. Pertanto il calcolo del residuo porge: ( ) ( Res(f; z ) lim f(z)(z z ) lim exp exp ). z z z z Nel punto z la funzione presenta una singolarità essenziale: si ha infatti posto w (z ) da cui exp w + ( (z ) m f(z) (z ) m + z + w n ) (z ) m n che al limite per z diverge per ogni m N. La funzione è olomorfa in B( ) \ {} ovvero nell insieme {z C : < z < } e pertanto in tale insieme la serie di Laurent relativa a z converge. f(z) (z ) + k+jn j w j j! ( ) k wj (z )k k+ j! + z j w j j! k+jn Esercizio..3. Si consideri la funzione di variabile complessa f(z) z sin ( ) 3 z (z )(z + i). k ( ) k k+ (z )k ( ) k k+ j! (z )k j. Senza trascurare z determinare le singolarità di f classificarle e calcolare i relativi residui. Soluzione..3. La funzione è singolare in z z z i. z e z sono poli semplici mentre z è una singolarità essenziale. Calcoliamo i residui: Res(f z ) lim (z z )f(z) 4 sin(3/) ( i) sin(3/) z z + i Res(f z ) 4 sin( 3/(i)) lim (z z )f(z) sin(i3/)) z z i + i Per quanto riguarda z si ha: f(/z) sin(3z) z (/z )(/z + i) sin(3z) ( z)( + iz) j w j j! ( + i) sinh(3/) e tale funzione è olomorfa in un intorno di z pertanto z è una singolarità eliminabile. Per calcolare il residuo in z poniamo: Si avrà allora: g(w) f (/w) w w Si ha che w è un polo semplice per g quindi: w sin(3w) (/w )(/w + i) Res(f z ) Res(g; ). sin(3w) w ( w)( + iw). sin(3w) Res(f z ) Res(g; ) lim wg(w) lim w w w( w)( + iw) 3.

5 .. SVILUPPI RESIDUI E SERIE DI POTENZE 7 Essendo infine: si ricava che: Res(f z ) + Res(f z ) + Res(f z ) + Res(f z ) Res(f z ) 3 ( + i) sinh(3/) ( i) sin(3/). Esercizio..4. Senza trascurare di studiare il comportamento sul bordo determinare l insieme di convergenza della serie + ( ) n z n. + log n z + 4i Soluzione..4. Poniamo w z z+4i a n (n + log n). Dal criterio del rapporto si ha: a n+ (n + ) + log(n + ) lim lim n a n n n + log n pertanto il raggio di convergenza è. Se w < la serie converge se w > diverge. Se w si ha: + + n + log n < n < +. Quindi si ha convergenza anche per w. Si ha w z z+4i per cui w < se z < z + 4i ovvero z < z + 4i quindi posto z x + iy si ha che w < se e solo se (x ) + y < x + (y + 4) quindi semplificando y > ( 3 x)/. Esercizio..5. Calcolare gli sviluppi in serie di Taylor centrati in delle funzioni: (Sugg.: ricordare che d dz arctan z +z ) Soluzione..5. Si ha: pertanto: Si ha: f(z) e3z z g(z) arctan(z). (3z ) n 3 n e 3z + + zn f(z) 3 n z(n ) 3 n+ (n + )! zn. + z ( z ) n ( ) n z n pertanto integrando termine a termine e ricordando che g() : e quindi arctan(z) g(z) ( ) n n + zn+ ( ) n n+ z n+. n + Esercizio..6. Determinare la somma e il raggio di convergenza delle serie di potenze: n z n + nz n 3 n z n + 3nz 3n 3 4 n z n + 4nz 4n 4 5 n z n + 5nz 5n 5

6 8 CAPITOLO. ANALISI COMPLESSA Soluzione..6. Sia a { 3 4 5} e consideriamo: a n z n a a n z n a (az) n eaz a e il suo raggio di convergenza è r. Sia a { 3 4 5} e consideriamo: Posto w z a si ha: anz an a a nw n a anz an a a n(z a ) n ( d dw wn a d ) w n a d ( ) dw dw w a ( w) a ( z a ) e il suo raggio di convergenza è quello della serie geometrica (za ) n quindi si deve avere z a < e quindi r. Esercizio..7. Determinare i valori di z C tali che: Soluzione..7. Si ha per h k Z: sin(z) + i cos(z) + i. sin(z) + i cos(z) i( i sin(z) + cos(z)) i(i sin( z) + cos( z)) ie iz e iπ/+ihπ e iz e iπ/ iz+ihπ + i e iπ/4+ikπ da cui si ricava π/4 + kπ π/ z + hπ e pertanto posto n h k z π/8 + nπ n Z. Esercizio..8. Trovare le radici in campo complesso delle equazioni:. z 3 + 8i e z i. z 3 8i e z + i 3. z 3 7i e z + i 4. z 3 + 7i e z i Soluzione..8. z 3 + 8i z 3 3 ( i) 3 e iπ/+kπ z k e iπ/6+kπ/3 k z e iπ/6 z e iπ/ z e iπ7/6 z 3 i z i z 3 i z 3 8i z 3 3 i 3 e iπ/+kπ z k e iπ/6+kπ/3 k z e iπ/6 z e iπ5/6 z e iπ9/6 e iπ3/ e iπ/ z 3 + i z 3 + i z i z 3 + 7i z ( i) 3 3 e iπ/+kπ z k 3e iπ/6+kπ/3 k z 3e iπ/6 z 3e iπ/ z 3e iπ7/6 z 3 ( 3 i) z 3i z 3 ( 3 i) z 3 7i z i 3 3 e iπ/+kπ z k 3e iπ/6+kπ/3 k z 3e iπ/6 z 3e iπ5/6 z 3e iπ9/6 e iπ3/ e iπ/ z 3 ( 3 + i) z 3 ( 3 + i) z 3i

7 .. INTEGRALI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 9 e z i e z i z log( i ) + iarg( i) log + i( π/4 + kπ) k Z e z + i e z + i z log( + i ) + iarg( + i) log + i(3π/4 + kπ) k Z e z + i e z i z log( i ) + iarg( i) log 8 + i( 3π/4 + kπ) k Z e z i e z i z log( i ) + iarg( i) log 8 + i( π/4 + kπ) k Z. Integrali di funzioni trigonometriche Esercizio... Calcolare il seguente integrale al variare di n N {}: e int 5 + cos t dt. Soluzione... Poniamo z e it. Grazie alle formule di Eulero si ha che cos t (z + z ) pertanto l integrale richiesto vale γ z n dz 5 + (z + /z) iz i γ z n z + 5z + dz dove γ è la circonferenza centrata nell origine di raggio percorsa in verso antiorario. La funzione integranda f(z) z n /(z +5z +) è singolare per z +5z + ovvero nei punti z ( 5+ )/ e z ( 5 )/ si tratta di poli semplici. Stabiliamo quali singolarità sono contenute all interno di γ. Si ha z (5+ )/ > 5/ > quindi z non è interno a γ. D altra parte si ha z (5 )/. Si ha 5 < ovvero z < perché > 9 quindi z è interno a γ. E possibile pertanto applicare la formula dei residui: Il calcolo del residuo è immediato: L integrale richiesto vale quindi: i γ f(z) dz πres(f; z ). Res(f; z) lim (z z )f(z) zn z z e int 5 + cos t Esercizio... Calcolare il seguente integrale: ( 5 + ) n dt π n. e 5it sin(6t) dt. Soluzione... Grazie alle formule di Eulero si ha che e 5it cos(5t) + i sin(5t) pertanto l integrale richiesto vale e 5it sin(6t) dt Ricordando a questo punto che per m n N si ha: cos(mx) cos(nx) dx sin(mx) sin(nx) dx sin(mx) cos(nx) dx si conclude che l integrale richiesto è nullo. cos(5t) sin(6t) dt + i sin(5t) sin(6t) dt. { π se m n cos((m n)x) + cos((m + n)x) dx se m n { π se m n cos((m n)x) cos((m + n)x) dx se m n sin((m + n)x) sin((m n)x) dx

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