1 Integrali Doppi e Cambiamento nell Ordine di Integrazione

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1 1 Integrli Doppi e Cmbimento nell Ordine di Integrzione Introduimo il onetto di Integrle Doppio in modo ssolutmente non rigoroso. Considerimo il seguente gr o y d b x Supponimo di dividere il rettngolo de nito d bd in pioli rettngolini e supponimo di volerli sommre tutti. Un possibile modo e quello di sommre tutti i rettngolini per ogni rig orizzontle (si vedno le free orizzontli nel gr o) e poi di sommre tutte le righe tr di loro (si ved l frei vertile nel gr o). Nel primo so e ome se stessimo fendo un sort di integrzione in x (tenendo y ostnte) mentre nel seondo so stimo fendo un sort di integrzione in y. Quest e l ide he st dietro gli integrli doppi. In simboli, per il so in esme, possimo srivere: Z d Z b dxdy (1) l espressione 1) i die he stimo integrndo prim rispetto x (inner integrl) e dopo rispetto d y (outer integrl). Nel so volessimo integrre un qulhe funzione f(x; y) de nit nell re bd del gr o sopr, possimo srivere: 1

2 Z d Z b f(x; y)dxdy = Z d Z b f(x; y)dx5 dy () Notte he in questo so ottenete un misur del volume tr z = f(x; y) ed il pino x-y. Il mbimento nell ordine di integrzione si bs sul ftto he: Z Z Z Z f(x; y)dxdy = f(x; y)dydx () Vle dire integrre prim rispetto d x e poi rispetto d y e equivlente d integrre prim rispetto d y e poi rispetto d x: Tuttvi in ) bbimo integrli inde niti. Per gli integrli de niti (ome in 1)), e evidente he vle lo stesso prinipio di equivlenz, m in questo so, nel mbire ordine di integrzione, oorre de nire bene gli estremi di integrzione dei singoli integrli. Ad esempio, si onsideri il seguente integrle doppio, dove integrimo prim rispetto d y (mntenendo ostnte x): Z 1 Z x f(x; y)dydx () L regione di integrzione del doppio integrle ) e visulizzt nel gr o sottostnte, dove gli estremi di integrzione sono: y x e x 1: (L line blu vi d l direzione verso l qule stte integrndo). Se desso volessimo integrre prim rispetto d x (mntenendo y ostnte), l regione di integrzione (he deve essere identi quell di prim) divent: Cio he e mbito rispetto prim, sono i limiti degli intervlli in ui vdo de nire le mie vribili. I nuovi limiti di integrzione diventno: y 1 e

3 y x 1: Per ui l integrle di riferimento (dopo il mbimento nell ordine di integrzione) divent: Z 1 Z 1 f(x; y)dxdy (5) E evidente he gli integrli ) e 5) sono equivlenti. y Ordine di Integrzione nel Modello di Yri Utilizzimo l simbologi in Heijdr nd Vn der Ploeg pitolo 16. L funzione di utilit ttes dell gente rppresenttivo e dt d: E(T ) f(t )(T )dt (6) ome: dove (T ) = u(())e d: Usndo quest ultim espressione, risrivimo l 6) E(T ) f(t ) u(())e d5 dt = f(t )u(())e d5 dt (7) Adesso bbimo un integrle doppio, dove stimo integrndo prim rispetto. L regione di integrzione per il doppio integrle 7) e de nit nel gr o sottostnte:

4 T = τ L inner integrl in 7), e de nito su ompreso tr e T: Quindi l regione di riferimento per l inner-integrl e dt dll re on linee orizzontli nel gr o sopr. L outer-integrl in 7) e de nito su T ompreso tr e T : Quindi l regione di riferimento e quell on linee vertili. (Le linee vi dnno nhe un ide sull direzione verso l qule stte integrndo). L regione di integrzione del doppio integrle sr pertnto pri ll regione qudrettt (notte l oinidenz on l regione su ui e de nito l inner-integrl). Or supponimo di voler integrre prim rispetto T. Quindi voglimo risrivere il doppio integrle in 7) ome: Z Z f(t )dt u(())e d (8) nel qule dobbimo mettere i giusti estremi di integrzione. Dto he l regione di integrzione di questo doppio integrle deve essere l stess di prim, desso l innerintegrl e de nito su T he ssume vlori tr e T : Mentre l outer integrl deve essere de nito su he ssume vlori tr e T : Quindi, mbindo l ordine di integrzione in 7), ottenimo il seguente doppio integrle equivlente: 6 7 f(t )dt 5 u(())e d (9)

5 Dto he Z T f(t )dt = (probbilit di essere vivo dopo istnti), l espressione 9) puo essere sritt ome: ()u(())e d (1).1 Sull Condizione di Arbitrggio nel Modello di Yri L probbilit di essere vivi in e dt d: f(t )dt = (11) mentre l probbilit di essere vivi + dt e dt d: f(t )dt = 1 F ( + d) (1) +d Possimo de nire l seguente probbilit ondiziont: Pr(essere vivi + d j si e vivi in ) = 1 Considerimo l derivt rispetto di 1 F ( + d) F (); quest e dt d: (1) d[] = f() (1) d dove f() e l density funtion. Utilizzndo l de nizione di derivt ome rpporto inrementle, possimo srivere f() nel seguente modo: [1 F ( + d)] [] f() (15) d L 15) d solmente un pprossimzione, dto he l uguglinz srebbe estt solo prendendo il limite del seondo membro per d! : Usndo l 15), bbimo he 1 F ( + d) [] f()d: (16) L ondizione di turil firness impli he: 1 F ( + d) (1 + r A ()d) = 1 + r()d (17) 5

6 l 17) puo essere risritt ome: 1 F ( + d) r A ()d = [] [1 F ( + d)] [] + r()d (18) Sostituendo l espressione 16) l posto di [1 F ( + d)] seondo membro dell 18), bbimo he: 1 F ( + d) r A f() ()d = d + r()d (19) [] o equivlentemente: 1 r A () F ( + d) = f() + r() () [] Prendendo il limite dell ) per d! ; e riordndosi he ottenimo l ondizione di rbitrggio: f() [] = (); r A () = r() + () (1) 6