L IPERBOLE. x si sviluppano i prodotti notevoli; 25 y 8 si porta un radicale al 2 membro; 25 y si elevano i due membri al quadrato;

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1 L IPERBOLE L'IPERBOLE COME LUOGO GEOMETRICO L iperole è il luogo geometrio dei punti P del pino rtesino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi, F ed F, detti fuohi. Il punto medio tr i fuohi si him entro dell'iperole. Per ottenere l equzione rtesin dell iperole, generlmente si onsider un iperole he h il entro nell'origine degli ssi e i fuohi disposti sull'sse oppure sull'sse. In questo modo l equzione dell iperole risult molto più semplie. EQUAZIONE DELL'IPERBOLE CON I FUOCHI SULL'ASSE X Come esempio, pplihimo l definizione di iperole per trovre l equzione dell iperole vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F (-5;) ed F (5;) e l differenz delle distnze di fuohi d -d =. (Osservre he F F d d perhé in un tringolo un lto è mggiore dell differenz degli ltri due) Indihimo on P(;) un punto generio dell iperole. Per definizione di iperole deve risultre: F P F P Cioè 5 5 si sviluppno i prodotti notevoli; 5 5 si port un rdile l memro; 5 5 si elevno i due memri l qudrto; si semplifi; 6 5 si isol il rdile; 6 5 si divide per ; 5 5 si elev l qudrto; si moltipli; 5 56 si semplifi; 5 56 si portno l memro tutti i termini he ontengono ed ; 5 56 si sommno i termini simili; 9 si divide per in modo d ottenere l memro; 9 9 si trsform e si semplifi; si semplifino le frzioni; 9 equzione finle dell iperole.

2 In generle, se i fuohi si trovno sull sse, l distnz tr i fuohi si indi on e l differenz delle distnze di P di fuohi si indi on. Cioè risult: F F e F P F P Poihé in un tringolo un lto è sempre mggiore dell differenz degli ltri due, deve essere: e si pone L equzione generi di un iperole on i fuohi sull sse è del tipo: Conosendo l form noni dell iperole on i fuohi sull sse, si può determinre l equzione dell iperole senz pplire l definizione, m sempliemente riordndo he: Ad esempio, per srivere l equzione dell iperole on F (-5;) ed F (5;) e l differenz delle distnze di fuohi d d, si può osservre he: =5 ; = e quindi =; = - =5-=9 quindi l equzione noni: divent: 9 Per dimostrre l formul generle, pplihimo l definizione di iperole per trovre l equzione dell iperole vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F (-;) ed F (;) e l differenz delle distnze di fuohi d -d = (on >) Indihimo on P(;) un punto generio dell iperole. Per definizione di iperole deve risultre: F P F P Cioè si sviluppno i prodotti notevoli; si port un rdile l memro; si elevno i due memri l qudrto; si semplifi; si isol il rdile; si divide per ; si elev l qudrto; si moltipli; si semplifi; si portno l memro tutti i termini he ontengono ed ;

3 si roglie fttore omune; Siome >, risult nhe > e quindi - > Per ottenere un equzione più semplie si pone - = e risult: si divide per in modo d ottenere l memro; si semplifi e si ottiene: he è l equzione noni (in form normle) dell iperole. LE PROPRIETA DELL IPERBOLE CALCOLO DEI SEMIASSI, DEI VERTICI, DEGLI ASINTOTI, DEI FUOCHI E RAPPRESENTAZIONE GRAFICA. EQUAZIONE DELL'IPERBOLE CON I FUOCHI SULL'ASSE Y Come esempio, pplihimo l definizione di iperole per trovre l equzione dell iperole vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F (;-) ed F (;) e l differenz delle distnze di fuohi d -d =6. (Osservre he 6 d d F F perhé in un tringolo un lto è mggiore dell differenz degli ltri due) Indihimo on P(;) un punto generio dell iperole. Per definizione di iperole deve risultre: 6 P F F P Cioè 6 si sviluppno i prodotti notevoli; 6 si port un rdile l memro; 6 si elevno i due memri l qudrto; 36 si semplifi; 36 si isol il rdile; 36 si divide per ;

4 3 9 si elev l qudrto; 9 7 si moltipli; si semplifi; 9 9 si portno l memro tutti i termini he ontengono ed ; 9 9 si sommno i termini simili; 9 7 si divide per in modo d ottenere - l memro; 9 7 si trsform e si semplifi; 9 7 si semplifino le frzioni; 7 9 equzione finle dell iperole. In generle, se i fuohi si trovno sull sse, l distnz tr i fuohi si indi on e l differenz delle distnze di P di fuohi si indi on. Cioè risult: F F e F P F P Siome in un tringolo un lto è mggiore dell differenz degli ltri due, deve essere: e si pone L equzione generi di un iperole on i fuohi sull sse è del tipo: Conosendo l equzione noni dell iperole on i fuohi sull sse, si può determinre l equzione dell iperole senz pplire l definizione, m sempliemente riordndo he: Ad esempio, per srivere l equzione dell iperole on F (;-) ed F (;) e l differenz delle distnze di fuohi d -d =6, si può osservre he: = ; =6 e quindi =3; = - =-9=7 quindi l equzione noni: divent: 7 9

5 Per dimostrre l formul generle, pplihimo l definizione di iperole per trovre l equzione dell iperole vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F (;-) ed F (;) e l differenz delle distnze di fuohi d -d =. (on <) Indihimo on P(;) un punto generio dell iperole. Per definizione di iperole deve risultre: P F P F Cioè si sviluppno i prodotti notevoli; si port un rdile l memro; si elevno i due memri l qudrto; si semplifi; si isol il rdile; si divide per ; si elev l qudrto; si moltipli; si semplifi; si portno l memro tutti i termini he ontengono ed ; si roglie fttore omune; Siome >, risult nhe > e quindi - > e si può porre - = L equzione divent: si divide per in modo d ottenere l memro; si semplifi; si mi il segno e si ottiene; he è l equzione noni dell iperole on i fuohi sull sse. CALCOLO DEI SEMIASSI, DEI VERTICI, DEGLI ASINTOTI, DEI FUOCHI E RAPPRESENTAZIONE GRAFICA. L ECCENTRICITA DELL IPERBOLE

6 INTERSEZIONI DELL IPERBOLE CON UNA RETTA LE RETTE TANGENTI AD UN IPERBOLE PASSANTI PER UN PUNTO CONDIZIONI PER DETERMINARE L EQUAZIONE DI UN IPERBOLE Per determinre l equzione di un iperole sono neessrie due ondizioni, poihé due sono i oeffiienti d determinre nell equzione: oppure Queste ondizioni possono essere: - pssggio per un punto; - onosenz di un fuoo; - onosenz di un vertie; - onosenz di un sintoto; - onosenz dell eentriità; - tngenz di un rett. PROPRIETA OTTICA DELL IPERBOLE CURVE DEDUCIBILI DALL IPERBOLE Sono grfii di funzioni he si possono riondurre ll equzione di un iperole. DOMINI PIANI LIMITATI DA IPERBOLI L IPERBOLE TRASLATA CALCOLO DEL CENTRO, DEI SEMIASSI, DEI VERTICI, DEGLI ASINTOTI E DEI FUOCHI L IPERBOLE EQUILATERA L IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI LA FUNZIONE OMOGRAFICA