II prova intermedia (salvo cambiamenti causa aula): Venerdì 18 Gennaio 2013, iscrizione via SIFA

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1 II pro intermedi (slo cmbimenti cs l): Venerdì 8 Gennio, iscrizione i SIFA Per registrre oto complessio proe intermedie o Proe esme: Iscriersi ttrerso l SIFA ll ppello Oggi: de risltti di bse per i sistemi lineri, Teorem di Crmer Teorem di Roché-Cpelli

2 Esempio. Si ssegnt n rete idrlic in ci sono indicti i flssi noti e i flssi non noti in ingresso/scit d ogni snodo. Conoscendo lcni flssi è possibile ricostrire gli ltri? (Non scriimo le nità di misr). 5 5 F F F4 F5 F F6 7

3 Sistem linere (de eqzioni in de incognite, Interpretzione geometric: b b rett rett R R Qndo esiste ed è nic l solzione: qndo Le rette NON sono prllele.

4 Possibilità: R rett b R rett b / / Determinnte / /

5 Sistem linere b b Mtrice del sistem A Determinnte del sistem det(a) Abbimo dimostrto che l solzione esiste ed è nic se e solo se det(a)

6 Sistem linere b b Interpreto come combinzione linere b b Trore l solzione: oero Posso esprimere il ettore termine noto come combinzione linere Dei ettori colonn dell mtrice? (b,b )

7 PRODOTTO VETTORIALE: Solo in R Esso è n ettore e si indic con l scrittr: Λ Come si clcol: Modlo: Λ sen θ (re del prllelogrmmo di lti e ) Direzione: perpendicolre l Verso: : come in figr pino di e Λ θ

8 L regol dell mno destr Prim formlzione Si dispone il pollice lngo il primo ettore Si dispone l indice lngo il secondo ettore Il erso del medio indiid il erso del prodotto ettorile Second formlzione Si chide pgno l mno destr mntenendo solleto il pollice Le dit chise pgno deono indicre il erso in ci il primo ettore dee rotre per sorpporsi l secondo in modo che l ngolo θ di rotzione si minore di π Il erso del pollice indiid il erso del prodotto ettorile b b b b Ne sege che il prodotto ettorile non è commttio, m nticommttio: Λ - Λ

9 PRODOTTI Prodotto ettorile tr i ersori principli i j k (ettori di modlo nitrio lngo, y, z) k i Λ j k j Λ i -k j Λ k i k Λ j -i k Λ i j i Λ k -j i j i k j Procedendo nel erso delle frecce, n ertice per il sccessio dà per prodotto il terzo ertice, mentre nel erso contrrio lle frecce ottenimo l opposto del terzo ertice

10 PRODOTTI Prodotto ettorile De ettori non nlli sono prlleli se e solo se Il loro prodotto ettorile è nllo. θ θ π Inftti de ettori prlleli ( (stess direzione) ) formno n ngolo θ di (erso concorde) o di π (erso discorde): In entrmbe i csi sen θ ; qindi il prodotto esterno è nllo in consegenz del so modlo nllo ( Λ sen θ )

11 PRODOTTI Prodotto ettorile in rppresentzione lgebric Il prodotto esterno di de ettori di dte coordinte: V ( ; y ; z ) ; U ( ; y ; z ) si clcol esprimendoli come combinzione linere dei ersori principli i, j, k e pplicndo l proprietà distribti (rmmentndo i prodotti esterni tr i ersori): V Λ U ( i y j z k) Λ ( i y j z k) ) (y z y z ) i (z z ) j ( y - y ) k Es.: V (; -; 4) ; U (; ; -) V Λ U [(-)*(-)[ *4] i [4* (-)*] j [*-*(-)] k i j k

12 V Λ U ( i y j z k) Λ ( i y j z k) ) (y z y z ) i (z z ) j ( y y ) k Dll definizione di determinnte di n mtrice : y y z z i z z j y y k Es.: V (; -; 4) ; U (; ; -) 4 4 i j k

13 PRODOTTO misto Implic tre ettori (d. es.,, w) e si indic con l scrittr: ( Λ) w ed è n nmero (sclre) : il prodotto ettorile di e è s olt moltiplicto sclrmente per w. Geometricmente h il significto del Volme del prllelepipedo che h i tre ettori come spigoli

14 Esempio: Dti tre pnti (,, -), (4,,) e (, -, 5) in n pino, trore l eqzione del pino nell form generle. Solzione: Per scriere l eqzione del pino dobbimo trore n direzione normle l pino stesso. Prim troo de ettori complnri e poi, tilizzndo il prodotto ettorile, possimo identificre n ettore normle. De ettori: d (,, -) (4,, ): (4-, -, ) (,-,4)U d (,, -) (, -, 5): (-, --, 5) (,-,6)V Prodotto ettore: U V i 4 j 7 k 4 j 7 k Eqzione del pino: ( ) 4( y ) 7( z ) 4y 7z o y z

15 Prodotto misto di U (,, ),V(,, ), W (w, w, w ) k j i V U ) ( w ) ( w w V U W Definimo come determinnte dell mtrice ) ( w w w V U W

16 PRODOTTI Prodotto misto Il prodotto misto dà n criterio di Complnrità di tre ettori: Tre ettori non nlli sono complnri se e solo se il loro prodotto misto è nllo. Qindi il determinnte corrispondente, w w w è nllo qndo il prllelepipedo è degenere

17 Se i tre ettori non sono complnri, geometricmente si pò erificre che il sistem linere b b b h n solzione che è nic. Posso rppresentre ogni ettore b come Combinzione linere delle colonne dell Mtrice del sistem.

18 IMPORTANTE Combinzione linere di ettori Dti de o più ettori,, n, se si moltiplic ciscno di essi per n nmero rbitrrio c,c,,c n e poi si sommno i ettori così ottenti, si ottiene n combinzione linere dei ettori dti. w c c c n n

19 Qindi se: w c c c n n (doe c, c,, c n sono nmeri reli) dicimo che il ettore w è n combinzione linere dei ettori,, n. Es.: (,, -5); (,, 4) w (4, 6, -) (,, 4) (5, 6, -6) w è n combinzione linere dei ettori e.

20 n ettori (de o più) (( ; ; ; n ) si dicono linermente dipendenti se ciscno di essi si pò esprimere come combinzione linere degli ltri n- ettori. Ciò eqile dire che l combinzione linere degli n ettori è nll (gle l ettore nllo) per lori dei coefficienti c i non ttti nlli.

21 Se ciscno degli n ettori (( ; ; ; n ) non si pò esprimere come combinzione linere degli ltri, le dire che l combinzione linere degli n ettori è nll (gle l ettore nllo) solo per lori dei coefficienti c i ttti nlli, llor gli n ettori si dicono Esempi: linermente indipendenti.- In R de ettori prlleli sono lin. dipendenti.- In R de ettori non prlleli sono lin. indipendenti..- In R tre ettori complnri sono lin. dipendenti 4.- In R tre ettori non complnri sono lin. indipendenti

22 BASE Un insieme di ettori costitisce n sistem di bse (n bse) per lo spzio R n se è: -Un Un insieme di ettori linermente indipendenti - ogni ettore pò essere espresso come combinzione linere degli n ettori Esempio: in R i ersori i,j,k sono linermente indipendenti e generno Ttto lo spzio.

23 Assegnti tre ettori in R U(,,),V(,, ), W (w, w, w) Qndo sono linermente indipendenti? Se il determinnte w w w È dierso d zero. OSSERVAZIONE. Prtendo dgli esempi ftti possimo ssocire d ogni Mtrice nn (tbell con n righe e n colonne) n lore nmerico detto determinnte dell Mtrice che è legto ll indipendenz/dipendenz linere Delle righe (colonne) dell mtrice. Se è dierso d zero sege che le righe (colonne) sono linermente indipendenti e che il corrispondente sistem linere mmette n solzione che è nic.

24 Dt n Mtrice qdrt A nn n n n n nn Si chim Minore complementre di n elemento ij e lo si indic con M ij, il determinnte dell mtrice ottent cncellndo l rig i e l colonn j dll mtrice A Esempi. A M M M

25 A M ) ( 9 ) 4 5 ( 5 ) 5 (

26 Si chim complemento lgebrico di n elemento ij il nmero A ij (-) ij M ij Not. Si h che (-) ij se (ij) è pri mentre (-) ij - se (ij) è dispri. Teorem di Lplce. Il determinnte di n mtrice qdrt A si ottiene Sommndo i prodotti degli elementi di n qlnqe rig (o colonn) Per i loro complementi lgebrici, det( A ) k Ak k Ak... A kn kn (fissndo n rig) oppre det( A ) k A k k A k... A nk nk (fissndo n colonn)

27 Teorem di Crmer. Il sistem Ab h n ed n sol solzione se e solo se det(a) Esempio A Det(A) A -, il sistem mmette solzione nic.

28 Regol di Crmer se A è n mtrice n n non-singolre, det(a) l nic solzione del sistem Ab è dt d,,,..., ) ; ( n k per b k A A k Doe A(k; B) è l mtrice nn ottent sostitendo ll colonn k-esim di A il ettore b A A Esempio.

29 Eqzioni ettorili e sistemi lineri b b b L eqzione ettorile A b è qindi eqilente n sistem di eqzioni lineri ( di primo grdo ), o semplicemente sistem linere nelle incognite,, (in qesto cso il sistem è qdrto )

30 Eqzioni ettorili e sistemi lineri D qnto isto pre che n sistem linere pò ere: ) Un nic solzione (tern ordint di lori *, *, *, le dire n ettore * ( *; *; *) b) Infinite solzioni c) Nessn solzione

31 Un sistem linere A b pò essere isto come l ricerc di n combinzione linere delle colonne di A (ettori) con ci ottenere Il ettore b (termine noto). I coefficienti dell combinzione linere Sono i lori delle (incognite),,, n Si definisce rngo (crtteristic) di n mtrice A l intero r tle che Esiste n sottomtrice estrtt d A di ordine r con determinnte non nllo e ogni sottomtrice di ordine r estrtt d A h determinnte nllo. Il rngo di A rppresent il mssimo nmero di righe (o di colonne) linermente indipendenti.

32 Dto n sistem linere Ab, con mtrice dei coefficienti A, si B l mtrice complet B(A b) ottent ggingendo d A il ettore dei termini noti. Teorem di Roché-Cpelli. Condizione necessri e sfficiente ffinchè Il sistem bbi solzione è che l mtrice A e l mtrice B bbino lo Stesso rngo. NOTA. Se ho n sistem linere nn, e rngo(a)rngo(b)n l solzione è nic. Se rngo(a)rngo(b)r<n ho n-r solzioni (seleziono n-r ribili come prmetri e risolo il sistem rr)

33 Spzi ettorili strtti

34 Somm e prodotto di n-ple

35 Strttr di R n