CAPITOLO 1: MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI. è chiamata matrice. Possiamo abbreviare la notazione scrivendo ( )

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1 CAPIOLO : MARICI DEERMINANI E SISEMI LINEARI MARICI Sino n ed m de nmeri rtenenti d N L tbell di nmeri reli n n A m m m mn A è chimt mtrice Possimo bbreire l notione scriendo ( ) con R i m e j n ij Diremo che est è n mtrice m (nmero delle righe) er n (nmero delle colonne) oero n mtrice m n Per esemio l second colonn dell mtrice è e l rt rig ( n ) m (il nmero degli elementi di n colonn è gle l nmero delle righe il nmero degli elementi di n rig è gle l nmero delle colonne) Chimeremo l ij esim comonente dell mtrice elemento comne ij lli esimrig ed ll j esimcolonn Denoteremo l mtrice A nche con A m n e ( A ) m n se oglimo metterene in eiden le dimensioni llor i denot l rig e j l Qndo denotimo n mtrice con ( ) ij colonn di rtenen del nmero ESEMPIO L segente è n mtrice : H de righe e tre colonne: le righe sono( ) (rim rig) e( ) (second rig) le colonne sono (rim colonn) (second colonn) e (ter colonn) ij ij

2 Le righe di n mtrice m nossono essere iste come delle n le oriontli o ettori rig mentre le colonne ossono essere iste come delle m le erticli o ettori colonn Un ettore rig di dimensione n è n mtrice n mentre n ettore colonn di dimensione n è n mtrice n ESEMPIO Per l mtrice risltno e n singolo nmero ò essere isto come l mtrice :( si ( ij ) n mtrice Se n m n m (nmero delle righe gle l nmero delle colonne) llor l mtrice è dett drt definimo mtrice nll ell mtrice con ttti gli elementi L ) mtrice nll è l mtrice L mtrice nll di dimensione m n srà denott O m n PRODOO DI UNA MARICE PER UN NUMERO REALE Sino c R e A ( ij ) n mtrice m n Definimo ca l mtrice l ci ij esim comonente è c ij scrieremo ( c ij ) m n ca Scrieremo A er l mtrice ( )A ij : A ( ij ) A ( ) m n ij m n ESEMPIO Sino A B e c Allor 8 A ( ) B e A ( ) A

3 SOMMA DI MARICI Qndo sono dell stess dimensione è definit l somm di de mtrici Sino A ( ij ) e B ( b ) m n ij de mtrici con le stesse dimensioni m n Definimo A B l mtrice ( d ij ) m n con d ij ij bij er ogni i m e j n ESEMPIO Sino A e B Allor A B se O è l mtrice nll di dimensione m n llor bbimo O A A O A Inoltre A ( A) A A O l mtrice A è chimt iners dditi dell mtrice A MARICE RASPOSA Sino A ( ij ) e B ( b ) m n ij de mtrici Fissti i { m} e n m j { n} considerimone risettimente le comonenti mtrice A mtrice B i rig e j rig b ij ji j colonn i colonn Se le de comonenti sono gli llor l mtrice B è chimt trsost dell mtrice A e denott A Dt n mtrice si ottiene l trsost scmbindone le righe con le colonne Se A è n mtrice m n llor l s trsost A è n mtrice n m l ci rim rig è l rim colonn di A l second rig è l second colonn di A etc Un cso imortnte è ello di n mtrice drt A ( m n ) er ci A A Un tle mtrice è dett simmetric

4 ESEMPIO se llor A A Notimo che ( ) A A se llor A A e A A NOA se A e B sono mtrici dell stess dimensione llor ( ) B A B A ( ) A A PRODOO DI MARICI Sino ( ) n m ij A e ( ) n b jk B de mtrici con il nmero delle colonne dell rim gle l nmero delle righe dell second È ossibile definirne l mtrice rodotto ( ) m c ik AB oe ( ) ( ) ( ) ( ) n j jk ij nk in k i k i k i ik b b b b b c ESEMPIO Le mtrici e A B ossono essere moltilicte tr di loro Sono definite le mtrici AB di dimensione e BA di dimensione Clcolimo le comonenti dell mtrice ( ) ik c AB Comonente c Si moltilicno le comonenti dell rim rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell rim colonn dell mtrice B : ( ) c Comonente c Si moltilicno le comonenti dell rim rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell second colonn dell mtrice B :

5 c ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell rim rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell ter colonn dell mtrice B : c ( ) ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell second rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell rim colonn dell mtrice B : c ( ) ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell second rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell second colonn dell mtrice B : c ( ) ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell second rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell ter colonn dell mtrice B : c ( ) ( ) ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell ter rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell rim colonn dell mtrice B : c ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell ter rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell second colonn dell mtrice B : c ( ) Comonente c Si moltilicno le comonenti dell ter rig dell mtrice A er le corrisondenti comonenti dell ter colonn dell mtrice B : c ( ) ( ) In definiti

6 Clcolimo le comonenti dell mtrice ( d ik ) BA Comonente d Si moltilicno le comonenti dell rim rig dell mtrice B er le corrisondenti comonenti dell rim colonn dell mtrice A: d ( ) Comonente d Si moltilicno le comonenti dell rim rig dell mtrice B er le corrisondenti comonenti dell second colonn dell mtrice A: d ( ) Comonente d Si moltilicno le comonenti dell second rig dell mtrice B er le corrisondenti comonenti dell rim colonn dell mtrice A: d ( ) 8 Comonente d Si moltilicno le comonenti dell second rig dell mtrice B er le corrisondenti comonenti dell second colonn dell mtrice A: d ( ) In definiti 8 Rgionndo slle sole dimensioni si dedce che l moltilicione di mtrici non è n oerione commtti ESEMPIO Sino A B e C tre mtrici di diers dimensione Sono definite le mtrici rodotto AB ( AB) con

7 AB BC ( BC) con BC A( BC) ( A( BC) ) con A ( BC) 8 ( AB ) C (( AB) C) con ( AB )C 8 A BC AB Rislt ( ) ( )C ( m Se X ) è n mtrice m (otremmo nche riscriere X ( m ) con le irgole er gdgnre sio) e A ( ij ) llor rislt definito il rodotto Y XA e m n n n Y ( m ) ( n ) m m mn m m n n doe k k k mmk In esto cso Y è ncor n ettore rig m di diers dimensione D ltr rte sino X n X e A ( ij ) Allor è definito m n n nche il ettore colonn Y AX :

8 n n m m mn m n m n n m doe i i i inn se A è n mtrice drt llor è definito il rodotto AA che rislt essere ncor n mtrice drt delle stesse dimensioni di A Srà denott A Similmente ò essere definit l mtrice drt A con N ossimo definire mtrice nitri di dimensione n n l mtrice con i j ij oero I n con l i j rorietà: B I I B I n n n n n n n se Aè n mtrice drt n n llor ossimo definire A I n NOA se A è n mtrice n n e N llor A A A A A il rodotto di de mtrici non è commttio Con A e B sono definite le mtrici rodotto ABe BA Però AB e BA In lcni csi ò essere AB BA I n PROPRIEÀ DEL PRODOO DI MARICI Sino e R A m n B n C n D legge distribti Sono definite le mtrici B C A ( B C) AB AC B A ( B) ( AB) e risltno A B C AB A B AB ( ) AC ( ) ( )

9 legge ssociti Sono definite le mtrici AB ( )C ( AB )C A( BC) legge dell trsost di n rodotto B è n mtrice di dimensione n AB BC ( BC) A e rislt A è n mtrice di dimensione n me sono definiti i rodotti di mtrici AB AB B A ( ) A B ESEMPIO 8 Con A e B risltno A B 8 AB e A B 8 si osser che AB B A ( ) Inoltre MARICE INVERSA Non esiste n oerione di diisione er le mtrici Sotto certe iotesi er le mtrici drte è ossibile definire l mtrice iners DEFINIZIONE Si dt l mtrice A n n L mtrice A se AB BA I n Per l esisten dei de rodotti dee essere B n n B è n iners er NOA L mtrice iners con l rorietà AB BA In ò essere definit solo er le mtrici drte Sino e A m n B Se è definito il rodotto AB llor n e ( AB ) m Se AB I n llor m Se è definito il rodotto BA llor m e ( BA ) n Se BA I n llor n In conclsione m n

10 ESEMPIO 9 L mtrice B è l iners dell mtrice A AB I e BA I Un mtrice drt si dice singolre se non h iners ell che h iners si dice non singolre o inertibile PROPRIEÀ DELLA MARICE INVERSA Sen sere come e ndo si determin l mtrice iners è ossibile con l sol definiione rorne le segenti rorietà l iners di n mtrice non singolre è nic Sino B e D de inerse dell mtrice A Allor AB BA I n AD DA I n BA I n BAD ( BA) D I n D D B ( AD) D (oe AD I n ) B D L iners dell mtrice A ndo esiste srà denott d se l mtrice A è non singolre rislt ( A ) A A L scrittr AA A A I n ò essere lett in de modi: A è l iners di A oero A è l iners di A sino A n n e B n n de mtrici non singolri llor ( AB ) B A Poiché ( B A )AB B ( A A)B B B I n AB ( B A ) A ( BB ) A AA I n e er l nicità dell mtrice iners si h l tesi sino A n n e B n n de mtrici non singolri tli che AB I n llor BA I n e er definiione B A AB A ABA AB I n (moltilicndo destr er l mtrice A) ( ) A A ( BA) A (moltilicndo sinistr er l mtrice A ) A A( BA) A A BA I n si A n mtrice non singolre llor l mtrice A A ( ) ( ) A è non singolre e

11 I n AA I ( I ) ( AA ) ( A ) A n n I n A A I ( ) ( ) ( ) n In A A A A Per le de imlicioni recedenti l mtrice ( A ) rislt essere n iners dell mtrice A Per l nicità dell mtrice iners ossimo orre ( A ) ( A ) Qli sono delle condiioni sfficienti ffinché n mtrice drt A si non singolre? Dee essere il so determinnte dierso d ero DEERMINANE E ossibile clcolre solo il determinnte di n mtrice drt Determinnte di ordine Si A cioè A ( ) (mtrice ridott d n nmero) Allor il det A rislt essere det A determinnte dell mtrice A denotto ( ) Determinnte di ordine Si A Definimo A det( A) ( ) ESEMPIO Il determinnte dell mtrice A det ( A) Il determinnte dell mtrice B è det B ( ) ( ) ( ) è NOA Se llordet A det A b c Se A llor det A c d b d det A d ( ) cb A ( ) ( ) A ( ) d bc e Determinnte di ordine Si A Allor det ( A)

12 Un metodo er clcolre il determinnte di n mtrice srà di segito illstrto con le colonne dell mtrice A si scrie l tbell si consider l digonle (rim d sinistr) ed il rodotto dei soi elementi: si consider l digonle ed il rodotto dei soi elementi: si consider l digonle ed il rodotto dei soi elementi: si consider l digonle (rim d destr) ed il rodotto dei soi elementi cmbito di segno: si consider l digonle ed il rodotto dei soi elementi cmbito di segno: si consider l digonle ed il rodotto dei soi elementi cmbito di segno: det( A) è gle ll somm (lgebric) dei sei rodotti recedentemente definiti

13 ESEMPIO Clcolre il determinnte dell mtrice A Si scrie l tbell e si considerno i sei rodotti: 8 e Allor det A 8 8 ( ) NOA sino e Allor ( A) det( A ) det se esiste A n n B ( AB) det( A) det( B) ( ) A llor det A det ( A ) n n ricordndo che rislt ( ) det I n det sege dll rim rorietà ANCORA SULLA MARICE INVERSA Si A n n tle che det( A) Allor esiste A Vedimo cos ccde nel cso n b Sino A con det ( A) d bc e X ( cndidt c d w mtrice iners) con AX I (l condiione XA I er nto già isto è intile) b b bw AX I c d w c d c dw b bw e c d c dw Qesti ltimi sono de sistemi di de eioni e de incognite ESEMPIO Determinre se esiste l iners dell mtrice A Poiché det( A) l mtrice iners esiste Le comonenti si ottengono risolendo il sistem nelle incognite e ed il sistem w nelle incognite e w w Primo sistem:

14 8 8 8 Secondo sistem: w w 8 8 w w 8 w w w w w Allor l mtrice iners rislt essere X SISEMI LINEARI Un sistem con eioni lineri e incognite ò essere scritto nell form c c c Ponimo er l mtrice A X er il ettore colonn e er il ettore colonn Allor il sistem ò essere riscritto nell form ettorile C c c c c C AX (dimensionlmente C X A ) A è l mtrice dei coefficienti X è il ettore colonn incognito o delle incognite e C è il ettore colonn dei termini noti Per il sistem rieste imortn l mtrice

15 c c B c di dimensione ( ) chimt mtrice comlet del sistem L mtrice B si ric dll mtrice A ggingendoi destr n colonn formt dlle comonenti del ettore colonn C ( ) esim ESEMPIO er il sistem con eioni e le incognite e l mtrice comlet è B er il sistem con eioni e le incognite e l mtrice comlet è B er il sistem con eioni e le incognite e l mtrice comlet è B MEODO DI RIDUZIONE DI GAUSS Il metodo di ridione di Gss medinte trsformioni dell mtrice comlet B ermette: di stbilire se il sistem: non h solioni h n sol solione h infinite solioni se esistono solioni di rerre il sistem er il clcolo delle stesse Le trsformioni dell mtrice B sono legte d oerioni slle eioni del sistem che non ne rino le solioni scmbire tr di loro de righe:

16 bi bi bi bi bi( ) ( ) b j b j b j b j b j b j b j b j b j b j( ) ( ) bi bi bi bi bi moltilicre n rig er n costnte α : b i bi bi bi( ) α b α α α ( ) i bi bi bi sostitire n rig con l stess sommt d n ltr: bi bi bi( ) ( ) b j b j b j bi bi bi( ) ( ) ( ) b j bi b j bi b j bi scmbire tr di loro de delle rime colonne (l ltim non si tocc!):

17 b i b j b ( ) bi b j b( ) b( ) i b( ) j b( )( ) bi bj b( ) b j b i b ( ) b j bi b( ) b( ) j b( ) i b( )( ) bj bi b( ) (ttenione lle incognite!) Si oer fino d ottenere n mtrice B eilente (cioè ci corrisonde n sistem con le stesse solioni) con : b (comonente in lto sinistr) dll second rig il rimo elemento non nllo se esiste si tro destr del rimo elemento non nllo dell rig recedente ESEMPIO errore!! OK Qndo n mtrice h est strttr si dice che è sclini: nell ridione sclini di n mtrice col metodo di Gss il modo di oerre non è nico l esisten ed il nmero delle solioni di n sistem non diende dll ridione sclini dell s mtrice comlet Si consider l s ltim rig non nll (non costitit d ttti ) Se l nico elemento non nllo è ello iù destr llor il sistem non h solione ltrimenti esistono delle solioni Si s nmero delle incognite meno il nmero delle righe non nlle dell mtrice comlet ridott sclini

18 Se s llor l solione è nic come ettore colonn e fcilmente clcolbile Se s > llor occorrono s rmetri er descriere ttte le solioni L mtrice sclini er come è costrit non ò essere s < ESEMPIO si ridc sclini l mtrice B Si moltilic er l rig: 8 si sostitisce ll rig l somm delle de righe: Qest è n mtrice sclini er il sistem con eioni e le incognite l mtrice comlet è B che ridott sclini dient Allor l solione è nic e l si ò trore risolendo il sistem eilente Il sistem è detto eilente erché h ttte e solo le solioni del sistem di rten Dll second eione ottenimo sostitendo il lore troto nell rim eione bbimo L nic solione del sistem è il ettore colonn Per comodità inece di ossimo scriere ( ) oero ( ) ESEMPIO si ridc sclini l mtrice B Si sostitisce ll rig l rig meno l rig: (sono segnte le riioni dell ltim mtrice risetto ll recedente) si moltilic er l rig:

19 si sostitisce ll rig l rig meno l rig: si moltilic er l rig: si diide er l rig (l si moltilic er ) e si sostitisce l rig con l somm dell e dell rig: si moltilic er l rig e er l rig: L mtrice è sclini er il sistem di eioni nelle incognite e l mtrice comlet è B che ridott sclini dient Allor l solione è nic e l si ò trore risolendo il sistem

20 8 L nic solione del sistem è ( ) Si ossono fre iù oerioni er olt erò è meglio se l somm e l sostitione di righe sono ftte in temi diersi! ESEMPIO si ridc sclini l mtrice B Oerioni di ridione sclini: L mtrice è sclini er il sistem di eioni e le incognite e

21 l mtrice comlet è B che ridott sclini dient Allor l solione non è nic (edere Esemio 9) ESEMPIO 8 Si ridc sclini l mtrice 8 B Oerioni er l ridione sclini: L mtrice è sclini er il sistem 8 di eioni e le incognite e l mtrice comlet è B che ridott sclini dient Allor il sistem non h solioni l ter eione dienterebbe

22 CALCOLO DELLE SOLUZIONI DI UN SISEMA LINEARE QUANDO QUESA NON E UNICA Limitimoci d lcni esemi ESEMPIO 9 Determinre ttte le solioni del sistem di eioni e le incognite e Per nto già isto nell Esemio l sistem corrisondono l mtrice comlet ridott sclini ed il sistem di de eioni e tre incognite solione rticolre del sistem Con n cert libertà si cerc n solione (non nll) del sistem Ponendo ottenimo il sistem che h er solione ( ) Qest è n solione rticolre non nll del sistem in esme sistem omogeneo ssocito e s solione Il sistem omogeneo ridotto ssocito l sistem di rten è (se AX C è n sistem linere llor AX O oe O è n ettore colonn con ttti gli elementi nlli è il sistem omogeneo ssocito) Qesto sistem h semre solioni lmeno l solione nll n delle tre incognite (in generle s delle incognite) iene ist come n rmetro (conser er semlicità lo stesso nome) e l si sost destr del segno " " il incolo nell scelt del rmetro è il segente: l mtrice drt (di dimensione gle l nmero delle righe non nlle dell mtrice ridott sclini) che si form con i coefficienti rimsti sinistr del segno " " gle dee ere gli elementi sll digonle rincile non nlli e ttti gli elementi l di sotto dell stess nlli Risettto il incolo i è n cert libertà rsformimo l incognit in rmetro

23 sistem corrisondente: mtrice drt: conti er l solione del sistem omogeneo: l solione generle del sistem omogeneo ssocito è ( ) con R L trsformione dell incognit in rmetro è mmissibile mentre l trsformione dell incognit in rmetro non è coneniente solione generle del sistem: l solione generle del sistem si ottiene sommndo ll solione generle del sistem omogeneo ssocito l solione rticolre recedentemente ottent Per il sistem in esme l solione generle è ( ) ( ) ESEMPIO Determinre ttte le solioni del sistem di eioni e le incognite e mtrice comlet: B ridione dell mtrice comlet: 9

24 L mtrice è sclini esisten dell solione e nmero di rmetri necessri er descrierl: il sistem h solione e necessitno s (nmero incognite meno nmero righe non nlle dell mtrice ridott) rmetri sistem eilente d risolere: oero con l scelt di come rmetro (l mtrice drt corrisondente est scelt è ) solione rticolre del sistem eilente: osto ottenimo il sistem che ò essere fcilmente risolto rtire dll second eione n solione rticolre del sistem è( ) solione generle del sistem omogeneo ssocito: il sistem omogeneo ssocito è

25 oero solione del sistem omogeneo: l solione generle del sistem omogeneo è ( ) con R solione generle del sistem: ( ) ( ) con R ESEMPIO Determinre ttte le solioni del sistem di eioni e le incognite e mtrice comlet: già sclini esisten dell solione e nmero di rmetri necessri er descrierl: il sistem h solione e necessitno s rmetri sistem d risolere: oero doo er scelto le incognite e come rmetri (ll scelt corrisonde l mtrice drt ) solione rticolre del sistem: doo er osto ottenimo il sistem che h er solione ( ) solione generle del sistem omogeneo ssocito

26 il sistem omogeneo ssocito è si one e si determin l solione del sistem diendente solo dl rmetro : solione ( ) Si one e si determin n solione del sistem diendente solo dl rmetro : solione ( ) L solione generle del sistem omogeneo è ( ) ( ) con R solione generle del sistem: ( ) ( ) ( ) con R