Il calcolo integrale: intro

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2 Il clcolo integrle: intro Le ppliczioni del clcolo integrle sono svrite: esistono, inftti, molti cmpi, dll fisic ll ingegneri, dll iologi ll economi, in cui si f lrgo uso degli integrli. Per fornire l ide intuitiv del concetto crdine del clcolo differenzile, ossi l derivt, imo introdotto il prolem dell tngente; llo stesso modo, per presentre l ide di integrle trtteremo il prolem del clcolo dell re. Si immgini di dover clcolre l re dell regione S sottostnte l curv y = f(x) d, rppresentt in figur.

3 Come si evince dll precedente figur S rppresent l regione compres tr il grfico dell funzione f e le rette verticli x = e x = : Nel tenttivo di clcolre l re dell regione S, ci domndimo: qul è il significto dell prol re? L domnd è semplice per regioni con i lti rettilinei; d esempio per un rettngolo l re è semplicemente il prodotto dell se per l ltezz. Per un poligono, l re si trov suddividendolo in tringoli, come in figur, e sommndo l re dei tringoli così ottenuti. Invece, non è fftto semplice trovre l re di regioni delimitte d contorni curvilinei.

4 Illustrimo l ide nell esempio seguente: si y = x 2 l prol rppresentt in Figur; supponimo di voler clcolre l re dell regione sottostnte l curv delimitt dlle rette x = 0 e x = 1, utilizzndo dei rettngoli. Si noti suito che essendo S l regione sottostnte il grfico e delimitt dlle rette x = 0 e x = 1, mmetterà re compres tr 0 e 1; tle risultto si potev nche giungere immginndo di rcchiudere S in un qudrto di lto 1; prtire d tle riflessione, cerchimo un stim migliore. Supponimo di dividere S in quttro strisce S1; S2; S3; ed S4 disegnndo le rette verticli x =1/4 ; x =1/2; e x =3/4 come in Figur

5 Possimo pprossimre ogni strisci con un rettngolo vente l stess se dell strisci e ltezz pri l lto destro dell strisci, così come mostrto in Figur. In ltre prole, le ltezze di questi rettngoli sono i vlori dell funzione f(x) = x 2 nell estremo destro dei sotto intervlli [0; 1/4]; [1/4; 1/2]; [1/2; 3/4] e [3/4; 1]:

6 Ogni rettngolo h se ¼ e le ltezze sono (1/4) 2,(1/2) 2,(3/2) 2 e 1 2. Se indichimo con R 4 l somm delle ree di questi rettngoli pprossimti, ottenimo R 4 =0, M dll figur è chiro che l re A di S è minore di R 4 e dunque A<0, Se, invece di usre questo tipo di pprossimzione, ne usssimo un ltr crtterizzt d rettngoli le cui ltezze sono i vlori di f nell estremo sinistro dei sotto intervlli, come mostrto in figur L somm delle ree di questi rettngoli pprossimnti è L 4 =0,21875; inoltre, essendo l re di S mggiore di L 4 ottenimo un stim per difetto ed un per eccesso di A: 0,21875<A<0, Ripetendo quest procedur con un numero mggiore di strisce, si ottiene un stim sempre migliore di A.

7 Il metodo di esustione L'ide di se del concetto di integrle er not d Archimede di Sircus, vissuto tr il 287 ed il 212.C., ed er contenut nel metodo d lui usto per il clcolo dell're del cerchio o del segmento di prol, detto metodo di esustione. L're del cerchio è determint costruendo un successione di poligoni che ssomiglino sempre di più l cerchio. Ad esempio, un successione di poligoni regolri con numero crescente di lti: in figur, un pentgono, un esgono e un ottgono. A second che si scelgno poligoni iscritti o circoscritti nell circonferenz, l're di quest risulterà essere pprossimt inferiormente o superiormente. Entrme le scelte portno comunque l limite ll're del cerchio.

8 Introduzione storic Nel XVII secolo lcuni mtemtici trovrono ltri metodi per clcolre l're sottes l grfico di semplici funzioni, e tr di essi figurno d esempio Fermt (1636) e Nicolus Merctor(1668). Nel dicissettesimo e diciottesimo secolo Newton, Leiniz, Johnn Bernoulli scoprirono indipendentemente il teorem fondmentle del clcolo integrle, che ricondusse tle prolem ll ricerc dell primitiv di un funzione. L definizione di integrle per le funzioni continue in tutto un intervllo, introdott d Pietro Mengoli ed espress con mggiore rigore d Cuchy, venne post su se divers d Riemnn in modo d evitre il concetto di limite, e d comprendere clssi più estese di funzioni. Nel 1875 Gston Droux mostrò che l definizione di Riemnn può essere enuncit in mnier del tutto simile quell di Cuchy, purché si intend il concetto di limite in modo un po' più generle. Per questo motivo si prl di integrle di Cuchy-Riemnn. Il simolo che rppresent l'integrle nell notzione mtemtic fu introdotto d Leiniz ll fine del XVIII secolo. Il simolo si s sul crttere ſ (esse lung), letter che Leiniz utilizzv come inizile dell prol summ, in ltino somm, poiché questi considerv l'integrle come un somm infinit di ddendi infinitesimli.

9 Appliczioni ll iologi Tr i differenti contesti pplictivi del clcolo integrle, ci foclizzeremo sul cmpo dell iologi, nlizzndo l.ppliczione dell integrzione ll individuzione dell gettt crdic, ossi del volume del sngue pompto dl cuore nell unità di tempo o meglio l velocità del flusso nell ort. Il sngue ritorn l corpo ttrverso le vene, entr nell trio destro del cuore e viene pompto i polmoni ttrverso le rterie polmonri per ossigenrsi. Poi ritorn ll trio sinistro ttrverso le vene polmonri e viene rimndto del resto del corpo ttrverso l ort. L gettt crdic rppresent l velocità del flusso nell ort, l cui misurzione vviene utilizzndo un metodo detto metodo di diluizione dell tintur.

10 Quest ultim viene iniettt nell trio destro e fluisce ttrverso il cuore nell ort. Un sond inserit nell ort misur l concentrzione di tintur che lsci il cuore dopo uguli periodi di tempo nell intervllo [0; T] finché l tintur non è più rilevile. Si c(t) l concentrzione dell tintur l tempo t: Se dividimo l intervllo [0; T] in sottointervlli di ugule lunghezz Δt, llor l quntità di tintur che oltrepss il punto dell misurzione durnte il sottointervllo d t = t i 1 t i è circ concentrzione volume = c t i F t, dove F è l velocità del flusso che stimo cercndo di clcolre. Così l quntità totle di tintur è circ n i=1 c t i F t = F n i=1 c t i t per n l sommtori discret si trsform in un somm continu sull intervllo [0,T] e di conseguenz, trovimo che l tintur totle è: Allor l gettt crdic è dt d: A = F F = T 0 0 T c t dt c t dt Dove l quntità di tintur A è not e l integrle può essere pprossimto con le letture di concentrzione. A

11 Primitive e integrzione indefinit Definizione: Si dice che un funzione f : X R è dott di primitiv, se esiste un funzione F definit in X, ivi derivile, tle che: F x = f x, x X Proposizione: Se F è un primitiv di f, llor, c R, F + c è nch ess un primitiv di f Dimostrzione. L dimostrzione di tle sserto è immedit se si tiene presente che un funzione costnte in X h derivt null in ogni punto di X. Proposizione: Se f è definit in un intervllo X, llor due primitive di f differiscono per un costnte. Dimostrzione: Se F e G, inftti, sono due primitive di f, l funzione F - G è derivile in X e risult: F G x = f x f x = 0, x X pertnto F - G è costnte in X e l tesi è dimostrt.

12 Definizione. Si I un intervllo di R ed f un funzione definit nell intervllo I di R; l insieme di tutte le primitive dell f in I si chim integrle indefinito dell f e si denot con f x dx Osservzione. L operzione di integrzione indefinit può considerrsi come invers dell operzione di derivzione. Non isogn, tuttvi, dimenticre che l operzione di integrzione indefinit, qundo è possiile, ssoci d un funzione un clsse di funzioni; mentre l operzione di derivzione d ogni funzione ssoci un sol funzione. Definizione. L integrle indefinito è l opertore inverso dell derivt perché ssoci ll funzione integrnd f(x) l insieme di tutte e sole le funzioni primitive di f(x) stess.

13 Proposizione: L integrle indefinito è un opertore linere Inftti gode delle seguenti due proprietà: Proprietà di linerità: un costnte moltiplictiv si può trsportre dentro o fuori del segno di integrle indefinito k f x dx = k f x dx Proprietà di dditività: l integrle di un somm lgeric di due o più funzioni è ugule ll somm lgeric degli integrli delle singole funzioni f 1 x + f 2 (x) dx = f 1 x dx + f 2 x dx Cominndo insieme le due proprietà si h: k 1 f 1 x + k 2 f 2 (x) dx = k 1 f 1 x dx + k 2 f 2 x dx

14 Nozione di integrle per un funzione rele continu Si consideri l prtizione P di un intervllo chiuso [;] in n sottointervlli [x k-1 ;x k ] di ugule mpiezz, e si consideri un funzione continu f(x) definit su [;]. Per ogni intervllo dell prtizione si possono definire due punti: m k = inf f(x) e M k = sup x x k 1,x k x x k 1,x k f(x) che corrispondono ll'ordint minore m k nell'intervllo e ll'ordint mggiore M k dell'intervllo. Si definisce somm integrle inferiore reltiv ll prtizione P il numero: n s P = m k x k x k 1 k=1 Ammettendo che f ssum vlori positivi nell'intervllo, l somm integrle inferiore è l somm dei rettngoli inscritti ll regione del pino. Anlogmente, si definisce somm integrle superiore reltiv ll prtizione P il numero: n S P = M k x k x k 1 k=1

15 L somm integrle superiore è quindi l somm delle ree dei rettngoli circoscritti ll regione. Si pong: m < f x < M, x [, ] si dimostr che per ogni coppi di prtizioni P e Q di [;] si h: m < s P < S Q < M( ) Per ogni possiile prtizione P di [;] si definiscono: δ = s P, = S(P) Dl lemm precedente si può dedurre che gli insiemi δ e Σ sono seprti cioè: s<s L'ssiom di completezz di R fferm che llor esiste lmeno un numero rele ξ pprtenente R tle che: s ξ S Se vi è un unico elemento di seprzione ξ tr δ e Σ llor si dice che f(x) è integrile in [,] secondo Riemnn. L elemento ξ si indic con: ξ = f x dx e si chim integrle definito di f in [;]. I numeri e sono detti estremi di integrzione ed f è dett funzione integrnd. L vriile di integrzione è un vriile mut, e dx è detto differenzile dell vriile di integrzione.

16 Integrle secondo Riemnn DEFINIZIONE: L'integrle secondo Riemnn di f nell'intervllo chiuso e limitto [;] è definito come il limite per n che tende d infinito dell somm integrle: σ n = f(t n k ) k=1 dett somm integrle di Riemnn. Se tle limite esiste, è finito e non dipende dll scelt dei punti t k, si h: f x dx = lim σ n = f(t n n s ) s=1 L'esistenz di un unico elemento seprtore tr δ e Σ nell definizione è equivlente richiedere che: s(p) = S(P) = f x dx L funzione limitt f è integrile in [;] se e solo se per ogni ε>0 esiste un prtizione P di [;] per cui si h: S P s(p) < ε Se l funzione integrile f(x) è positiv llor l'integrle ssume il significto di re dell regione, mentre se l funzione f cmi segno su [;] llor l'integrle rppresent un somm di ree con segno diverso n n

17 Teorem dell medi Il teorem dell medi integrle è un teorem che mette in relzione le nozioni di integrle e di funzione continu per le funzioni di un vriile rele. Un funzione continu f definit su un intervllo h come immgine ncor un intervllo: il teorem dell medi integrle stilisce che l medi integrle di f è un vlore incluso nell'intervllo immgine. Il concetto di medi integrle è un generlizzzione dell'ide di medi ritmetic. L'ide è quell di clcolre il vlore medio ssunto d un funzione su un intervllo [,] clcolndo l medi ritmetic dei vlori che l funzione ssume su un insieme finito (molto grnde) di punti distriuiti uniformemente nell'intervllo, cioè si suddivide l'intervllo in N sottointervlli [x k, x k+1 ] tutti di lunghezz (-)/N e si clcol l medi: f x 0 + f x f(x N ) N quest può essere scritt nche come 1 N i=0 N f(x i) Dll definizione di integrle di Riemnn segue che considerndo quntità N sempre mggiori di punti, quest espressione convergerà l vlore che viene chimto medi integrle di f. 1 f x dx

18 Teorem Se f: [, ] R è continu e integrile llor esiste un punto c pprtenente d [,] tle che x o equivlentemente detto 1 f x dx = f x dx = f(c) f(c) Essendo f continu in [,], per il teorem di Weierstrss ess è dott di mssimo M e di minimo m su [,], quindi si vrà m f(x) M Dll proprietà di monotoni dell'integrle risult mdx f x dx Mdx Nei memri destr e sinistr dell disuguglinz stimo integrndo un funzione costnte, quindi imo Anlogmente mdx = m Mdx = M dx = m( ) d x = M( )

19 Si ottiene quindi ovvero, se >, m( ) m 1 f x dx M( ) f x dx M Per il teorem dei vlori intermedi, f deve ssumere in [,] tutti i vlori compresi tr sup f x = M e inf f x = m [,] [,] Quindi in prticolre esisterà un punto c pprtenente d [,] tle che f c = 1 f x dx

20 Teorem fondmentle del clcolo integrle Il teorem fondmentle del clcolo stilisce un'importnte connessione tr i concetti di integrle e derivt per funzioni vlori reli di vriile rele. L prim prte del teorem è dett primo teorem fondmentle del clcolo, e grntisce l'esistenz dell primitiv per funzioni continue. L second prte del teorem è dett secondo teorem fondmentle del clcolo, e consente di clcolre l'integrle definito di un funzione ttrverso un delle sue primitive. Un prim versione del teorem è dovut Jmes Gregory, mentre Isc Brrow ne fornì un versione più generle. Isc Newton, studente di Brrow, e Gottfried Leiniz completrono successivmente lo sviluppo dell teori mtemtic in cui è mientto il teorem

21 Teorem di Torricelli-Brrow o I teorem fondmentle del clcolo integrle Si f(x) un funzione integrnd, continu in un intervllo chiuso e limitto [,], llor l funzione integrle con x F x = f t dt è derivile in [,] e l derivt dell funzione integrle coincide con l funzione integrnd; si h cioè: F x = f(x) Dimostrzione Ricordimo che un funzione è derivile se esiste ed è finito il limite del rpporto incrementle l tendere 0 dell incremento Δx dell vriile indipendente. Determinimo il rpporto incrementle F x + x F(x) x e osservimo che F x + x = f t dt x+ x

22 Si h llor: F x + x x F(x) = x+ x x f t dt f t dt x Per l proprietà dditiv dell integrle: x+ x F x + x F(x) f t dt f t dt = x x x x+ x x f t dt + f t dt f t dt x = x Per il teorem dell medi esiste un x [x,x+ x] tle che x = x+ x x x f t dt x x x x f ( x) f ( t) dt x f ( x) f ( x) x Clcolimo il limite del rpporto incrementle per x che tende zero e si h, per l ipotesi di continuità, lim f ( x) f ( x) x 0 D cui si può concludere che F x = f(x)

23 Formul di Newton-Leinitz o secondo teorem fondmentle del clcolo integrle Si f:, R un funzione che mmette un primitiv F su [,]. Se f è integrile si h: f x dx = G(x) = G G() Tle relzione è dett formul fondmentle del clcolo integrle.

24 Il clcolo delle ree L integrle definito f x dx rppresent geometricmente l re dell regione di pino limitt dl grfico dell funzione y=f(x) e dll sse x nell intervllo [,]. Di due grfici si può vedere che il segno dell re è negtivo se l prte di pino si trov l di sotto dell sse x mentre è positivo se l prte di pino è l di sopr dell sse x.

25 Esempio Ad esempio che voglimo clcolre l re dell regione di pino rffigurt, compres tr l sse x e l curv di equzione f x = x 3 4x 2 + 3x doimo considerre l intervllo [0,3]. Questo intervllo deve essere diviso in due intervlli: nell intervllo [0,1] l prte di pino si trov l di sopr dell sse x e quindi h segno positivo, mentre nell intervllo [1,3] l prte di pino è l di sotto dell sse x quindi ssume segno negtivo. Pertnto doimo risolvere due integrli: 0 1 x 3 4x 2 + 3x dx 1 3 (x 3 4x 2 + 3x)dx

26 Are tr due curve Ci ponimo or il prolem di determinre l re dell regione di pino limitt di grfici di due funzioni y=f(x) e y=g(x) nell intervllo [,] Come si vede di grfici l re si ottiene come differenz tr l re del trpezoide individuto d f nell intervllo [,] e l re del trpezoide individuto d g nell intervllo [,]. Pertnto, l re cerct risult essere espress dll formul f x dx g x dx NB. Si noti che l formul vle se f(x)>g(x) ltrimenti l differenz v invertit.

27 Integrli delle funzioni pri e dispri Si f(x) un funzione dispri, ossi tle che f(-x)=-f(x) e si consideri il suo integrle in un intervllo simmetrico rispetto ll origine f x dx E intuitivo e si potree dimostrre che l integrle risult nullo: inftti ricordndo il significto geometrico di integrle definito, l integrle rppresent l somm lgeric delle due ree (ros e lu). Per l simmetri del grfico di f(x), tli ree risultno equivlenti e quindi hnno, in vlore ssoluto, l stess misur. Poiché un si trov l di sopr e un l di sotto dell sse x, le loro misure vrnno segni opposti e l loro somm lgeric srà perciò zero.

28 Si invece, y=f(x) un funzion pri il cui grfico, rppresentto in figur, è simmetrico rispetto ll sse y. In questo cso le due ree equivlenti vnno sommte. Pertnto: f ( x) dx 2 f ( x) dx 0