AUTOVALORI E AUTOVETTORI

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1 pputi di Mtemtic Computziole Lezioe 4 UOVLORI E UOVEORI. Defiizioi Si C, il umero C, rele o complesso, è detto utovlore di se esiste u vettore C,, tle che vlg l relzioe () llor il vettore è detto utovettore di corrispodete ll utovlore. L isieme degli utovlori di u mtrice costituisce lo spettro di e il modulo mssimo degli utovlori di è detto rggio spettrle di e si idic co ρ(). Il sistem () può essere riscritto ell form ( I). () Per il teorem fodmetle dei sisitemi lieri esso mmette soluzioi o ulle se e solo se cioè se i cui det( I) det( I), P ( ) ( ) ( ) tr( ) ( ) e det( ) ii i., (3)

2 Il poliomio P () è detto poliomio crtteristico di e l euzioe P() è dett euzioe crtteristic di. Gli utovlori di soo tutti e soli i vlori che ullo P (), cioè le rdici di P (). Poiché u poliomio di grdo mmette sempre rdici reli o complesse, distite o coicideti, u mtrice h sempre utovlori, o ecessrimete distiti. Dlle relzioi che lego i coefficieti e le rdici di u euzioe lgebric risult che i i tr( ) e i det( ). i Gli utovettori corrispodeti gli uto vlori di soo le soluzioi o ulle del sistem liere omogeeo (). Quidi u utovettore corrispodete d u utovlore risult determito meo di u costte moltiplictiv α, cioè se è u utovettore di che α è u utovettore di corrispodete llo stesso utovlore. Esempio: Il poliomio crtteristico dell mtrice 3 3 si ricv dl determite 3 det(- I) det ( ) 9 3 L euzioe crtteristic corrispodete 8 h come rdici - e 4 che soo gli utovlori dell mtrice. 8.

3 L utovlore corrispodete ll utovlore - si clcol risolvedo il sistem () che i uesto cso divet Dll prim euzioe di ottiee + d cui - D cui segue che uluue vettore α Co α è u utovettore di corrispodete.. Proprietà degli utovlori Gli utovlori di u mtrice digole o trigolre soo uguli gli elemeti digoli. Se è u utovlore di u mtrice o sigolre e u utovettore corrispodete, llor risult.. / è utovlore di - co utovettore corrispodete. Iftti dll () si h e uidi e Per il rggio spettrle di vle ρ() Iftti bbimo perciò vle. 3

4 Se è u utovlore di u mtrice, llor esso è che utovlore di. Iftti, poiché det det, si h det( I) det( I ) det( I). Se è u utovlore di u mtrice ortogole, cioè tle che -, llor risult. Iftti dll relzioe () si h e uidi d cui si h ( ) ( ), Poiché è ortogole, I e uidi si h Essedo, segue che.., uidi e. Se è u utovlore di u mtrice, llor è che utovlore di. Iftti dll relzioe si ottiee 443 K volte 443 K 443 K.. volte volte Poiché P() è u poliomio di grdo, esso mmette rdici reli o complesse, o ecessrimete tutte distite, uidi u mtrice, se cotimo le rdici multiple di P() secodo l loro molteplicità, mmette utovlori o ecessrimete distiti. I prticolre vle il seguete teorem: 4

5 5 Def. Si defiisce molteplicità lgebric di u utovlore, e si idic co il simbolo σ(), l molteplicità di i uto rdice dell euzioe crtteristic (3). Esempio : Se cosiderimo l mtrice Si h P()(-) 3. L utovlore h molteplicità lgebric pri 3. I corrispodez di uesto utovlore si possoo però determire 3 utovettori liermete idipedeti 3 Esempio 3:Se cosiderimo l mtrice Si h P()(-) 3. L utovlore h molteplicità lgebric pri 3 m i corrispodez di uesto utovlore si può determire u solo utovettore liermete idipedete,cioè utti gli ltri soo multipli di esso.

6 Per poter differezire uesti due csi, che corrispodoo differeti proprietà delle mtrici corrispodeti, si defiisce molteplicità geometric di u utovlore, e si idic co il simbolo µ(), il umero di utovettori liermete idipedeti corrispodeti. L molteplicità lgebric e molteplicità geometric soo legte dll seguete relzioe µ() σ(). 3. Loclizzzioe degli utovlori Si vuole or dre u loczioe prelimire dello spettro dell mtrice el pio complesso. Def. Si C. I cerchi del pio complesso K z C : z, i,,.., i ii ij j j i di cetro ii e rggio r i ij soo detti Cerchi di Gerschgori. j j i Vle il seguete teorem. eorem: (Primo teorem di Gerschgori) Gli utovlori dell mtrice di ordie soo tutti coteuti i U K i i,..,. 6

7 Osservzioe: Poiché il teorem precedete può essere pplicto che ll mtrice che h gli stessi utovlori di, si osserv che gli utovlori di pprtegoo che ll uioe dei cerchi H z C : z, j,,.., j jj ji i i j e uidi gli utovlori di pprtegoo ll isieme U K i. I U i,.., j,.., H j. eorem: (Secodo teorem di Gerschgori) Se l uioe M di cerchi di Gerschgori è disgiut dll uioe M dei rimeti -, llor uto vlori pprtegoo M e - uto vlori pprtegoo M. Esempio: Si cosideri l mtrice 5 3 ll ule soo ssociti i segueti cerchi di Gerschgori K K K { z C : 5 4} z { z C : 4} { z C : 3} z 3 z rppresetti ell figur seguete 7

8 K K K Per il primo teorem di Gerschgori possimo ffermre che gli utovlori di sto elle ree grigie. Si cosiderio poi i cerchi ssociti ll mtrice H H H { z C : 5 3} z { z C : 3} z { z C : 5} z 3 e rppresetti ell figur sottto 8

9 H 3 H H Quidi gli utovlori di sto ell itersezioe dei due isiemi di cerchi, ovvero K 3 H H Per il secodo teorem di Gerschgori si può ffermre che u uto vlore di è coteuto i K 3 metre gli ltri due pprtegoo d H H. 9

10 4. rsformzioi per similitidue Poiché bbimo visto che tutti gli utovlori di u mtrice soo le rdici del poliomio crtteristico cosiderte co l loro molteplicità, si potrebbe pesre che il clcolo degli utovlori di u mtrice si ricoducibile l clcolo delle rdici del suo poliomio crtteristico. Quest strd però o è l migliore dl puto di vist dell lisi Numeric; iftti il clcolo delle rdici di u poliomio è tipicmete u problem ml codizioto, i cui piccole vrizioi sui coefficieti del poliomio corrispodoo forti vrizioi delle rdici. U esempio tipico è dto dl poliomio p()(-)(-) (-) Le rdici di uesto poliomio soo,,.,, uidi be distite tr loro. Cosiderimo di clcolrle co u clcoltore che lvor i bse e co t3 cifre per l mtiss. Per vedere come le rdici dipedoo fortemete di coefficieti modifichimo l tretesim cifr biri reltiv l vlore - otteedo Eseguedo i coti co t9 si ottiee che i primi uttro vlori soo estti, poi comicio peggiorre fio d rrivre ziché 9 e per i vlori d 9 si ottegoo ddirittur dei umeri complessi. Nel clcolo degli utovlori come rdici del poliomio crtteristico, i coefficieti di uest ultimo soo il risultto dei clcoli ecessri llo sviluppo del determite det( - I), uidi soo ecessrimete dei vlori ffetti d errori dovuti l ftto che operimo co umeri fiiti. Dt l sesibilità delle rdici piccole vrizioi dei coefficieti del poliomio, il clcolo degli utovlori i uesto modo o risult ffidbile. Si preferisce operre sull mtrice effettudo delle trsformzioi che e lscio ivrito lo spettro, cioè gli utovlori, m che l trsformio i u mtrice per l ule il clcolo degli utovlori si immedito, d esempio mtrici digoli o mtrici trigolri.

11 Vedimo uidi come si crtterizzo ueste trsformzioi che lscio ivrito lo spettro. Def: Mtrici Simili Sio e B due mtrici udrte dello stesso ordie, si dice che B è simile d, o che B è otteut d medite u trsformzioe di similitudie se esiste u mtrice udrt o sigolre tle che B Si osserv che l similitudie tr mtrici è u relzioe di euivlez, cioè è simile d Se è simile B B è simile d Se è simile B e B è simile C è simile C Proprietà di mtrici simili: Due mtrici simili ho lo stesso spettro, cioè gli stessi utovlori. Ioltre ho gli utovettori legti tr loro dll mtrice di similitudie. Iftti è fcile verificre che se (, ) è u coppi utovlore-utovettore di llor (, - ) lo è di B - B. Se è utovlore di ed è il reltivo utovettore vle Si or y - llor si h By y d cui By y cioè e B ho gli stessi utovlori e utovettori legti dll mtrice di similitudie.

12 Due mtrici simili e B ho lo stesso poliomio crtteristico, cioè P ()P B () Iftti si h P ( ) det( B I ) det B det( det( I) P [( )] det[ ( ( I) ) ] )det( I) det( ) det( I) det( ( ) Se e B soo due mtrici simili, llor l molteplicità lgebric σ() e l molteplicità geometric degli utovlori µ() rime ivrit. Iftti l ivriz dell molteplicità lgebric segue dll ivriz del poliomio crtteristico; metre l ivriz dell molteplicità geometric segue dl ftto che, essedo mtrice o sigolre, i vettori,,, µ soo liermete idipedeti se e solo se lo soo i vettori y i - i i,,, µ. ) Le trsformzioi di similitudie soo stte itrodotte perché ei più importti metodi per il clcolo degli utovlori e utovettori di u mtrice si eseguoo u serie di trsformzioi di similitudie del tipo ( i ) i,, K e ( i ) () i i llo scopo di trsformre progressivmee l mtrice i u mtrice simile m il cui clcolo degli utovlori si immedito o comuue fcilmete eseguibile. ll bse di uesti lgoritmi ci soo degli importti risultti teorici che grtiscoo che l mtrice può essere trsformt per similitudie i forme cosidette coiche i cui gli uto vlori si clcolo fcilmete. eorem di Schur Si u mtrice udrt di ordie, co elemeti reli, llor esiste u trsformzioe ortogole U tle che trsform, per similitudie, i u B mtrice trigolre superiore B, cioè B U U U U.

13 Poichè B è trigolre e simile d, gli utovlori di soo gli elemeti digoli di B. Il teorem di Schur si prticolrizz udo ziché vere u mtrice uluue si h u mtrice simmetric.cioè udo. eorem di Shur: Si u mtrice simmetric di ordie, cioè tle che. llor ess h utovlori reli, K,, o ecessrimete tutti distiti, ed utovettori, corrispodeti u,u, K,u, che formo u bse ortogole per R. Idicdo co U l mtrice che h u,u, K, come coloe si h U co D mtrice digole. U u D dig(,, K, ) Esempio 4: Si 3 Per clcolre gli utovlori di cosiderimo P ( ) det( ) det 3 I 3 3 ( ) + ( )( 5 + 4) ( )(4 )( ) Quidi P ) 4 ( 3 Per clcolre u utovettore ssocito ll utovlore si cosider u soluzioe del sistem (-I), cioè 3

14 4 3 U soluzioe è il vettore. I mier del tutto log è possibile determire gli uto vettori corrispodeti gli utovlori e 3, otteedo 3. Se si vluto i prodotti sclri > < > < > < 3 3,,, si può verificre che soo ulli, cioè soo uto vettori mutulmete ortogoli cioè liermete idipedeti poiché reltivi d utovlori distiti ( coferm del teorem). Prim di dre il teorem che crtterizz l form coic più importte, itroducimo l seguete mtrice ν ν ) ( ν O M O O M M J Blocco di Jord (3) Quest mtrice h u uico utovlore co molteplicità lgebric ν e molteplicità geometric.

15 Form coic di Jord Si u uluue mtrice udrt di ordie o sigolre e,,,, sio i suoi utovlori distiti co molteplicità ) σ e ) ( i µ rispettivmete, i,..,. ( i) Per ogi utovlore i esistoo µ ) umeri turli distiti ν,,,..., µ ( ), tli che ( i ( i σ ( ) ν + i ( i) ( i ) ( i ) + ν... ν µ ( ) i j j ed u mtrice o sigolre H che trsform i u mtrice digole blocchi J tle che J H H dig( Jσ ( )( )... Jσ ( )( )) i ot come form coic di Jord, dove è utovlore di e J ( ) j σ ( ) j h j dimesioe σ ) σ ( ). ( j j Il teorem fferm che, i sostz, u mtrice ulsisi può essere trsformt per similitudie i u mtrice digole blocchi; il umero e l dimesioe di uesti blocchi soo legti ll molteplicità geometric e lgebric degli utovlori dell mtrice. Iftti per ciscu utovlore bbimo tti blocchi di Jord uti soo gli utovlori liermete idipedeti corrispodeti d esso e l dimesioe totle di uesti blocchi è esttmete ugule ll molteplicità lgebric dell utovlore stesso. Se l molteplicità lgebric degli utovlori è ugule ll molteplicità geometric l form coic di Jord è digole. I prticolre si h che ogi mtrice co utovlori distiti è digolizzbile medite trsformzioi di similitudie, cioè H H D dig(... e l mtrice H h come coloe gli uto vettori di. Poiché H è ivertibile segue che utovettori corrispodeti d utovlori distiti soo liermete idipedeti. ) 5

16 5. lisi di Stbilità e Codiziometo Si vuole or studire il codiziometo del problem del clcolo degli utovlori di u mtrice, cioè si lizz l vrizioe idott sugli utovlori d u perturbzioe degli elemeti dell mtrice. Si C u mtrice digolizzbile e si H l mtrice dei suoi utovettori. Idichimo co δ C u mtrice perturbzioe di. Vle il seguete teorem: eorem (Buer-Fie) Si µ u utovlore dell mtrice +δ, llor esiste lmeo u utovlore di tle che µ K ( H ) δ p dove. p è u uluue orm p di mtrice e K p (H) H p H - p è detto idice di codiziometo spettrle di. p Il teorem ci dice che perturbdo gli elemeti di u mtrice, gli utovlori cmbio proporziolmete ll etità dell perturbzioe δ. Il codiziometo del problem è legto ll idice di codiziometo dell mtrice H degli utovettori. U importte coseguez di uesto teorem è che se è u mtrice simmetric i suoi uto vettori soo ortogoli e uidi K(H), perciò il problem del clcolo degli utovlori per mtrici simmetriche è be codizioto per tutti gli utovlori. Esempio5: Si cosiderio le mtrici 9 e B 98 6

17 e si ε ( ε) + εb 9 ε 98 gli utovlori di soo e ; se predimo ε. si ottiee (ε ) e i suoi uto vlori soo (ε).98 e (ε).7. Questo sigific che d u vrizioe dello.% sui coefficieti di corrispode u vrizioe del 3% sugli utovlori di. I uesto esempio l mtrice H tle che 9 H e H 9 co K(H)44. H H è 6. Metodi Numerici per il clcolo degli utovlori di u mtrice Or voglimo lizzre i metodi umerici per clcolre gli utovettori di u mtrice. Fr uesti lcui soo coveietemete pplicbili mtrici dese ltri ivece utilizzo proprietà o sprsità dell mtrice permettedo di trttre problemi di dimesioi elevte. Vi soo poi metodi che permettoo di clcolre tutto lo spettro di ltri ivece che permettoo di clcolre solo lcui utovlori. Osservzioe: D 7

18 Il metodo delle poteze Il metodo delle poteze è u metodo itertivo per determire l utovlore di modulo mssimo e uello di modulo miimo di u mtrice e i reltivi utovettori. L soluzioe di tle problem risult di grde iteresse i umerosi problemi reli legti ll geosismic, ll sttistic, llo studio delle reti elettriche, Clcolo di l Si R digolizzbile e si X C l mtrice le cui coloe soo gli utovettori i di, per i,, e sio gli utovlori di orditi i modo decrescete, cioè > L co di molteplicità lgebric, cioè utovlore domite di. Si ssegto u vettore () iizile, rbitrrio, di orm uitri. Il metodo delle poteze cosider le segueti successioi: Per,, z z z ( dove l * idic il vettore trsporto coiugto. Si vede fcilmete che () tede disporsi ell direzioe dell utovettore. lizzimo le proprietà di covergez del metodo. Procedimo per iduzioe sul psso. Si h ( ) ) * ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () Poichè è digolizzbile i suoi utovettori i formo u bse per C. 8

19 Quidi () può essere espresso come u combizioe liere degli utovettori i, i,..,, cioè () α i i αi C i,...,. i Essedo i i i si h () α ii αi i αii i α + i i i i α α i i i,... Poiché è utovlore domite di si h che < i e uidi Ne segue che i. () () ±. D uest relzioe segue che l utità * tede l tedere di. e l covergez è tto più veloce uto più è piccolo. Poiché lvorimo co u metodo itertivo occorre vlutre il criterio di rresto dell lgoritmo. Si defiisce residuo l psso : r () () - () () Fisst u tollerz ε come codizioe d rresto del metodo si us r () < ε. Clcolo di l (Metodo delle Poteze Iverse) Il metodo delle poteze forisce u pprossimzioe dell utovlore di modulo di miimo se si verific che e se viee pplicto d -. Iftti l utovlore < di modulo miimo di risult l utovlore di modulo mssimo di - essedo gli utovlori di - i reciproci degli uto vlori di. 9

20 Per,, z z z ( ( ) ) H Oss. Per o clcolre l mtrice ivers - si risolve, d ogi psso, il sistem u sistem liere ( ) ( ) z, i cui l mtrice viee prim fttorizzt. I geerle, il metodo delle poteze può essere pplicto ll mtrice (-µi) che h come uto vlori ( µ ) che coverge ll utovlore di più vicio µ. Il metodo di Jcobi per mtrici simmetriche Il metodo di Jcobi sce per determire tutti gli utovlori di mtrici Hermitie o simmetriche. Ricoducedoci solo l cso rele, se è simmetric llor oltre l metodo QR è possibile utilizzre u metodo più semplice, itertivo che si bs sull costruzioe di u successioe di mtrici ortogoli llo scopo di digolizzre medite trsformzioi di similitudie. I prticolre il metodo di Jcobi rggiuge i modo itertivo il risultto del teorem di Shur cioè di portre l mtrice simmetric e defiit positiv i form digole medite trsformzioi di similitudie ortogoli. Il metodo di Jcobi cosiste ell operre successive trsformzioi di similitudie medite mtrici ortogoli di Gives G p,, che corrispodoo rotzioi pie, geerdo u successioe di mtrici () i cui d ogi psso viee elimito u elemeto fuori digole e il suo simmetrico. Quest sucessioe di mtrici si

21 dimostr tedere d u mtrice digole D simile d e uidi co lo stesso spettro di. Formlmete si h: Si R simmetric. Il metodo di Jcobi l geerico psso trsform () ortogole secodo il seguete lgoritmo: dove, () ( + ) G p G p,k, medite u mtrice () G è u mtrice di rotzioe di u golo θ el pio di vettori bse p e, p ovvero: ( G ) p O cosθ siθ colo p siθ O cosθ colo O rig rig p G p I N Y dove Y è u mtrice ull tre che i posizioe (p,p) (,) (p,) (,p): y pp y -cosθ e -y p y p siθ. E fcile verificre che l mtrice Gp è u mtrice ortogole, cioè G G p p. Premoltiplicdo () per l mtrice G si vuole ullre l elemeto p metre ( + ) p, postmoltiplicdo per G, per l simmetri di, si ull p ( + ), p, cioè

22 ( + ) ( + ) p,, p Per scegliere l golo θ che permette di otteere uesto risultto si osserv che gli elemeti di che o pprtegoo lle righe p e vegoo lsciti ilterti, cioè. ( + ) i, j p,, i, j i, j metre vegoo modificti gli elemeti delle righe e coloe p-esim e -esim. I prticolre, per vedere come si modific l elemeto che voglimo zzerre cosiderimo ( + ) pp ( + ) p ( + ) p ( + ) cosθ siθ siθ cosθ pp p p cosθ siθ siθ cosθ pp pp cosθ siθ + p p siθ cosθ p p ( cosθ siθ + ) siθ cosθ cosθ siθ siθ cosθ pp pp cos θ p si θ cosθ + si θ cosθ p cos θ p p si θ cosθ + si θ si θ si θ cosθ pp pp si θ cosθ p si θ + si θ + si θ cosθ + p p p cos θ θ θ si cos si θ cosθ + cos θ ( + ) ( + ) ffiché, essedo p,, p, si deve imporre che, p p, si θ + cos θ + ( )si θ cosθ (4) p, p, p, p, d cui si ricvo i vlori di cosθ e siθ per costruire l mtrice () G. p Dll (4) si ottiee Se poimo p, p, pp ttgθ e m si h ( ) p cos θ si cos θ θ + ( ( tg θ ) + ( ) tgθ p, p, p, p, si θ cosθ ) cos θ t + mt

23 e uidi m + t m + m + m se m > se m < d cui cosθ + m si θ t cosθ. I uesto modo si ull d ogi psso u elemeto o digole (e il suo simmetrico). Questo o esclude che i pssi successivi u elemeto o digole ullo poss essere modificto ed ssumere vlore o ullo. uttvi si può dimostrre che l somm dei moduli degli elemeti etrdigoli tede cioè che l successioe () geert dl metodo di Jcobi coverge ll mtrice digole Ddig(,,, ),,, soo gli uto vlori di. Questo suggerisce come criterio di rresto: ( + ) ( + ) ε o m ε co ε> tollerz i, j i, j i> j prefisst. Le vrie formulzioi del metodo di Jcobi differiscoo per l scelt di ule elemeto p ullre d ogi psso.. Metodo di Jcobi Clssico: d ogi psso viee ullto l elemeto di modulo mssimo etrdigole p, m i j i, j Quest scelt o è coveiete dl puto di vist computziole poiché si ggiuge il costo dovuto ll determizioe del m.. Metodo di Jcobi Ciclico: 3

24 vrite del metodo clssico i cui si elimio tutti gli elemeti etrdigoli icotrti percorredo per righe l mtrice. L operzioe è ciclic perché può ccdere che elemeti ullti risco e uidi si ricomici. 3. Metodo di Jcobi co Sogli: vrite del metodo clssico che cosiste el fissre u opportuo vlore di sogli ed ullre per primi i vlori mggiori dell sogli. Osservzioe: Il procedimeto itertivo port d otteere u mtrice digole che h per elemeti gli utovlori di G K G () G () () () G 4G 4 K H 4 4 G3 ( + ) H H ( + ) H H H HD ( + ) L mtrice H ivece è l mtrice le cui coloe soo gli utovettori di. 4

25 Il metodo bsto sull fttorizzzioe QR Il metodo QR cosiste el ridurre l mtrice, medite opportue trsformzioi per similitudie, d u form per l ule il clcolo degli utovlori si più gevole rispetto ll mtrice di prtez. Il metodo QR è u metodo itertivo per determire l mtrice uitri U del teorem di Schur tle che U U, co trigolre superiore ed elemeti digoli pri gli utovlori di. Il metodo è bbstz complicto che se si bs su u semplice pricipio: riduzioe prelimire di u mtrice i form trigolre o di Hessemberg superiore e si bs sull fttorizzzioe QR di u mtrice. lgoritmo bse: Nel metodo QR per il clcolo degli uto vlori si geer u successioe { } di mtrici come segue: Per per,, si clcol l fttorizzzioe QR dell mtrice Q R dove Q mtrice uitri, R mtrice trigolre superiore Si poe + R Q. Per come defiite le mtrici dell successioe soo tutte simili tr loro; iftti si h + Q Q, e uidi + Q Q - - Q - Q Q Q Q.Q (Q.Q ) Q.Q. 5

26 Ogi mtrice è ortogolmete simile d. Si dimostr che l successioe coverge (essezilmete) d u mtrice trigolre superiore co piccoli blocchi sull digole. Nel cso più semplice di utovlori semplici e seprti i vlore ssoluto > >... > Si dimostr che le mtrici Q i I e le mtrici i tedoo d u mtrice trigolre superiore co i sull digole. I prticolre si dimostr che l covergez degli elemeti sotto digoli i,j è liere ed è O( i ) i>j, cioè tto migliore uto più gli uto vlori di soo seprti i vlore ssoluto. j Costo Computziole dell lgoritmo Il metodo QR pplicto d u mtrice di ordie h d ogi psso u costo computziole dell ordie di 3 operzioi moltiplictive. Per bbssre il costo computziole globle coviee prim trsformre l mtrice i form di Hesseberg superiore. Quest trsformzioe iizile viee pplict u sol volt perché poi l fttorizzzioe QR mtiee l form. Def: U mtrice si dice i form di Hesseberg superiore se (i,j) per ogi i > j+. Il metodo QR pplicto d u mtrice i form di Hesseberg superiore h d ogi psso u costo computziole di operzioi moltiplictive. Dt u mtrice è possibile trsformrl per similitudie i form di Hesseberg superiore co u costo computziole di 3. L lgoritmo richiede complessivmete - pssi e l trsformzioe per similitudie Q può essere clcolt come prodotto di mtrici elemetri di Householder. 6

27 Mtrici Rettgolri Nel cso di mtrici rettgolri o si possoo clcolre gli utovlori m soo stte itrodotte ltre grdezze ote come vlori sigolri di u mtrice. Decomposizioe i Vlori Sigolri :SVD rmite pre e post moltipliczioi per mtrici uitrie è possibile ridurre u mtrice i form digole. L decomposizioe i vlori sigolri di u mtrice si bs sul seguete teorem: eorem: Si R m. llor esistoo due mtrici uitrie U R mm e V R tli che U V dove Σ R m co p mi( m, ) e σ σ L σ. p Σ dig σ, σ, L, σ ) (*) ( p L (*) è dett decomposizioe i vlori sigolri (o Sigulr Vlue Decompositio) di e i σ i soo detti vlori sigolri di, metre le coloe di U e V soo dette vettori sigolri siistri e destri rispettivmete. I vlori sigolri di u mtrice ho le segueti proprietà: σ i soo sempre reli e ; il rpporto σ /σ ci forisce l idice di codiziometo dell mtrice rettgolre ; il umero di vlori sigolri o ulli rppreset il rgo dell mtrice ; ioltre σ ( ) ( ) i, L,. i i 7

28 Iftti si h che se UΣV llor h VΣU UΣV VΣ V, cioè digole Σ che uidi cotiee i suoi utovlori. D ciò segue che ( ) σ, i,..,. i i cioè σ VΣU e uidi essedo U e V uitrie si ( ), i,..,. i i è ortogolmete simile ll mtrice Utilizzdo i vlori sigolri e i corrispodeti vettori sigolri si può otteere l decomposizioe spettrle di ell form σ ju jv j. j 8

29 Problem Suppoimo che città sio tr loro vrimete collegte ed ssocimo d esse u mtrice udrt di dimesioe il cui geerico elemeto (i,j) è così defiito i, j sel città i è collegtll città j ltrimeti Simo iteressti determire l fcilità di ccesso lle vrie città. Si può dimostrre che i moduli delle compoeti dell'utovettore (di orm uitri) ssocito ll'utovlore di modulo mssimo soo u misur dell fcilità di ccesso lle vrie città, più sigifictiv del cotre semplicemete il umero di ccessi possibile per ciscu città. Cosiderimo l rete ferroviri collegte le città cpoluogo dell Lombrdi. Se ssocimo d ogi città u umero possimo fcilmete geerre l mtrice delle coessioi. 9

30 L' utovettore di orm uitri ssocito ll'utovlore di modulo mssimo h le segueti compoeti (i modulo) Ordidole i modo decrescete si deduce che subito dopo Milo, l città meglio collegt è Bergmo, seguit d Como e Bresci. Le peggio collegte soo Sodrio e Mtov. Si oti Pvi, Vrese, Mtov e Sodrio preseto lo stesso umero di ccessi, m crtteristiche di ccessibilità diverse ( si oti che uest lisi o tiee coto dell freuez dei collegmeti, m solo dell'esistez o meo del collegmeto). Per clcolre tutti gli utovlori di u mtrice ci servimo dell fttorizzzioe QR di u mtrice. 3

31 PPENDICE Fttorizzzioe QR di u mtrice L fttorizzzioe QR di u mtrice cosiste el trsformre l mtrice i u mtrice trigolre superiore medite l utilizzo di trsformzioi ortogoli che modifico l mtrice lscido ilterto lo spettro. I prticolre dt R vuole determire u mtrice Q R ortogole tle che Q R si Per determire l mtrice Q ortogole dell fttorizzzioe si cosider il metodo di Householder che costruisce Q come prodotto di u successioe P K di mtrici elemetri di Householder, ovvero P 443 L P4P R Q dove ogi mtrice elemetre di Householder P K ortogole tle che: ww P I. w è u mtrice simmetric e Quidi per costruire l mtrice P occorre defiire il vettore w. Le mtrici elemetri di Householder possoo essere utilizzte per ullre u blocco di compoeti di u dto vettore R. Se i prticolre si volessero ullre tutte le compoeti di, tre le m-esim, bisogerebbe scegliere w ± essedo e m l m-esimo versore di R, i modo tle che e m [,, K, ±,,, ] K P. 3

32 Se ivece si vuole costruire l mtrice P i modo d lscire ilterte le prime compoeti di e ullre tutte le compoeti dll +, bisogerebbe scegliere P tle che I ~ P ~, P I P ww w dove I è l mtrice idetità di ordie metre ~ P Householder di ordie - il cui vettore w è defiito come w ± e è l mtrice elemetre di essedo R - il vettore coicidete co le ultime - compoeti di e primo versore dell bse coic di R -. Le compoeti di y P risulto uidi: y y y j j j j + K, ± j, K, + e il Pertto dt u mtrice R M O K L M del tipo [,..., ], Si determi P i modo tle d ullre gli elemeti dell prim colo di ( ) dl secodo elemeto i poi, cioè ~ P M O K L M co ~ ± 3

33 l psso si gisce sull secod colo di ulldo gli elemeti dl terzo i poi, cioè ~ P P M ~ M K 3 M 3 M I ~ ww dove P ~, P I P w Dopo trsformzioi elemetri di Householder si ottiee P 4 L 43 P P R Q D cui ricorddo che il prodotto di mtrici ortogoli è cor u mtrice ortogole, Q Q- e uidi QR 33