CAPITOLO 4. Limiti e continuità

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1 CAPITOLO 4 Limiti e cotiuità Ua delle ozioi cetrali dell Aalisi Matematica è la ozioe di cotiuità di ua fuzioe. Quado riferita ad ua fuzioe del tipo f : I R R, essa può essere formulata i modo grossolao dicedo che ua fuzioe è cotiua se è possibile disegare il grafico seza staccare la pea dal foglio, ovvero seza fare salti. Purtroppo o ci soo carta e pea i matematica: bisoga fare lo sforzo di tradurre le ostre ituizioi i defiizioi strigeti, possibilmete ache abbastaza semplici e geerali da poterle poi adattare a cotesti diversi. La defiizioe rigorosa di cotiuità viee formulata oggigioro mediate la ozioe di limite, il vero cuore dell Aalisi. Essa icorpora l idea ituitiva dell avviciarsi sempre più, divetare arbirariamete vicii, ossia tedere ad u certo valore, seza ecessariamete raggiugerlo. U applicazioe dell idea di limite molto facile da compredere è l esempio delle successive bisezioi di u segmeto. Dato u segmeto S 0 di lughezza L, sia S 1 uo dei due segmeti otteuti tagliado S 0 el puto medio, ossia i due. Esso avrà lughezza L/2. Il segmeto S 2 otteuto tagliado S 1 a metà avrà lughezza L/2)/2 = L/2 2 e la metà di questo, ossia S 3, avrà lughezza L/2 3, e così via. Il processo ideale di iterata suddivisioe i due di u segmeto produce, al passo esimo, u segmeto S di lughezza L/2. Poiché 2 può essere reso grade quato vogliamo, pur di predere opportuamete grade, la lughezza di S può essere resa piccola a piacere, ovvero, come impareremo ad esprimerci, essa tede a zero. Duque, astraedo, a mao a mao che la variabile el ostro caso, ) cresce idefiitamete, ua gradezza che da essa dipede si avvicia sempre più ad u certo valore limite el ostro caso, zero). Nella discussioe svolta, è importate iterpretare la crescita idefiita di come l approssimarsi di ad ua meta ideale che o sarà mai raggiuta. La meta cui alludiamo i questo caso o è idetificabile i u puto preciso, così come o è u puto preciso l orizzote visivo. I matematici creao espressioi quali tedere all ifiito per suggerire u immagie, per cosetire ua sorta di visualizzazioe dei feomei che si itedoo studiare: la coclusioe matematica dell esempio della bisezioe del segmeto sarà espressa dicedo che L/2 tede a zero quado tede all ifiito. I geerale, saremo iteressati al comportameto che ua fuzioe di variabile reale può esibire quado la variabile si avvicia sempre più ad ua certa meta. Essa potrà essere come discusso fiora u puto all ifiito, cioè ua meta idefiitamete grade o idefiitamete grademete egativa, oppure può essere u puto al fiito, cioè u umero reale x 0. I quest ultimo caso, si tratterà di aalizzare che cosa succede ai valori della fuzioe quado la variabile si trova elle regioi immediatamete vicie ad x 0, seza peraltro curarsi di che cosa accada i x 0. Illustriamo questo caso mediate u vero classico, che verrà ripreso più avati. Cosideriamo la circofereza 83

2 84 Aalisi Matematica 1 trigoometrica e u arco piccolo e positivo x, ossia miore di π/2 se espresso i radiati. Vale la disuguagliaza 0 < six) < x, come idicato i figura. x si x Vogliamo valutare il rapporto tra il seo di x e x, ossia il valore della fuzioe fx) = si x x quado l argometo x diviee sempre più piccolo. Come ogi buo costruttore di pedoli sa bee, questo rapporto diviee sempre più prossimo ad uo se si cosiderao archi x sempre più piccoli. Si osservi peraltro che il valore x 0 = 0 o può eppure essere preso i cosiderazioe, dal mometo che f o è defiita per x 0 = 0. Quidi ci iteressao valori sempre più piccoli di x ma o il valore x 0 = 0. La coclusioe sarà formulata dicedo che fx) tede a uo 1 quado x tede a zero. Il processo che trasforma le idee che abbiamo presetato, per ora abbastaza fumose, i defiizioi precise ossia fodate solamete sui vari cocetti primitivi che siamo disposti ad accettare seza ulteriori spiegazioi ha dato luogo storicamete alla ascita della cosiddetta aalysis situs, locuzioe che potremmo parafrasare i aalisi locale dello spazio. Le teorie modere che hao sviluppato le cosegueze più dirette della ozioe di limite soo l Aalisi e la Topologia, due brache della matematica itimamete itercoesse. Il grade successo dell apparato cocettuale che si sviluppa a partire da questa autetica pietra miliare del pesiero - cioè il cocetto di limite - è dovuto all accuratezza co la quale i modelli matematici che da essa traggoo origie descrivoo u gra umero di feomei fisici, perlomeo quelli per schematizzare i quali si fa segretamete appello all atica covizioe che atura o facit saltus. 1 Vedi ad esempio le formule 1.26) e 2.53).

3 Limiti e cotiuità Successioi e loro limiti. L esempio delle bisezioi iterate di u segmeto è u istaza particolare di ua classe di feomei o esempi che possoo essere formalizzati itroducedo le successioi. Ua successioe è ifatti ua lista di umeri reali. Il liguaggio matematico trae ispirazioe dal liguaggio correte ache i questo caso: el dire lista, itediamo proprio dire che c è u primo e poi u secodo e poi u terzo, e così via. Diamo sez altro la defiizioe formale: Defiizioe 1.1. Ua successioe è ua applicazioe a : N R. Solitamete l immagie di N si scrive a ivece di a) e si legge a co. Evidetemete, ua successioe è ota se soo oti i umeri reali a 0, a 1, a 2..., che formao ua lista ordiata. Per coereza co le otazioi adottate el caso degli elemeti del prodotto cartesiao R R, i cui cioè abbiamo distito la coppia x, y) dalla coppia y, x) perché diverso è l ordie i cui essi soo scritti, coveiamo di deotare ua successioe mediate a 0, a 1, a 2,... ), ovvero, siteticamete a ) 0 oppure a ) N. Va detto che i molti testi viee preferita ua delle scritture {a } 0 oppure {a } N, a ostro avviso meo coereti i quato l uso delle paretesi graffe è solitamete riservato agli isiemi, per i quali ivece essu tipo di ordiameto è rilevate. Spesso si descrive ua successioe mediate ua formula geerale che idividua l applicazioe, così come abbiamo visto per molte fuzioi 2 f : I R R. Se ad esempio scriviamo a = + 2 itediamo la successioe a : N R defiita da + 2 ossia la lista 2, 3, 4, 5,... ). Dovrebbe essere peraltro evidete che ache ua formula del tipo a = 3 defiisce ua successioe ache se o soo defiiti i valori a 0, a 1 e a 2 e quidi, a rigore, o è defiita ua mappa a : N R. Ifatti, la formula dà comuque luogo ad ua lista, cioè 0, 1, 2, 3, 2, 5,... ). Per essere pigoli, dovremmo allora dire che ua successioe è ua applicazioe del tipo a : { N : k} R dove k è u qualche itero o egativo. I effetti questa pigoleria può essere icorporata seza difficoltà ella scrittura stadard: basta scrivere a ) k. Nell euciare i vari risultati sulle successioi ci risparmieremo sez altro questo eccesso di zelo formale, cofidado ella capacità del lettore di riadattarli di volta i volta. 2 Da questo puto di vista, valgoo tutte le covezioi stabilite fiora per le fuzioi del tipo f : I R R, perché N è a tutti gli effetti u particolare sottoisieme di R.

4 86 Aalisi Matematica 1 Esempi. 1) Sia L u umero reale positivo. La formula a = L/2, co 0, defiisce la successioe L, L/2, L/4, L/8,... ). Essa è la successioe che fuge da modello matematico per il processo di bisezioe iterata di u segmeto o di qualuque altra gradezza L. 2) La formula a = 1), co 0, defiisce la successioe 1, 1, 1, 1,... ). Ifatti per N si ha evidetemete 1) 1 se è pari = 1 se è dispari. 3) Studieremo ei dettagli l importate successioe defiita per 1 dalla formula a = ). 4) La formula a = 1/, co 1, defiisce la successioe 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ). 5) La formula a = / + 1), co 0, defiisce la successioe 0, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5,... ). 6) Dato u qualuque umero reale λ R, possiamo formare la successioe i cui valori soo tutti uguali a λ, ossia a = λ per ogi N. Ua siffatta successioe verrà detta successioe costate. 7) Date due successioi a ) 0 e b ) 0 si può aturalmete defiire la somma e il prodotto el modo aturale: la loro somma sarà la successioe a + b, deotata a + b ) 0, metre il loro prodotto sarà a b, e sarà deotato a b ) 0. Quest ultima defiizioe comprede ache il caso i cui b ) 0 sia ua successioe costate, e quidi possiamo formare ache la successioe λa ) 0 per ogi λ R. È importate osservare che la particolare struttura di N cosete di defiire successioi mediate ua procedura che ricorda il pricipio di iduzioe. Si tratta della defiizioe per ricorreza. Vediamo u esempio. Cosideriamo le formule a 0 = 1 a +1 = a. Se prediamo = 0, esse implicao e quidi per = 1 abbiamo a 1 = a 0 = = 1 2 a 2 = a 1 = = 2 3. È chiaro che cosa succede: la coosceza di a 0 cosete di calcolare a 1, la coosceza del quale cosete di calcolare a 2, e cosí via. Nota l immagie di possiamo cooscere l immagie del successivo, cioè di +1 e quidi possiamo cooscere tutta la successioe, almeo i liea di pricipio. Il procedimeto ha seso proprio perché tra umeri aturali esiste la ozioe di successivo. Si osservi che se avessimo dato ad a 0 u valore

5 Limiti e cotiuità 87 diverso da 1, avremmo otteuto ua successioe diversa, acorché otteuta mediate la stessa formula ricorsiva. L esempio precedete può essere geeralizzato. Cosideriamo per esempio la famosa successioe di Fiboacci 3, ossia la successioe 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Dal terzo i poi, ciascu elemeto della successioe è otteuto sommado i due precedeti. I altre parole, abbiamo la regola a +2 = a + a +1. Essa permette di costruire la successioe di Fiboacci quado siao oti i primi due valori, cioè a 0 = a 1 = 1. Cambiado questi valori si ottegoo successioi diverse; se ad esempio a 0 = a 1 = 0 si ottiee la successioe costatemete ulla. Il puto importate che vogliamo mettere i evideza, è che ogi coppia di valori a, a +1 ) cosete di calcolare il successivo a +2, metre la coosceza di uo solo di essi, a oppure a +1, o è sufficiete. Il lettore avrà ituito che esistoo metodi ricorsivi di passo arbitrario: ulla vieta ifatti di defiire ua successioe assegadoe esplicitamete i primi k valori dove k è u itero positivo qualsiasi e di procedere mediate ua formula che attribuisca u valore all elemeto a +k a partire dalla coosceza della k-upla a, a +1,..., a +k 1 ). Nel caso della successioe di Fiboacci k = 2. L itero k, ossia il miimo umero di valori cosecutivi che devoo essere oti per poter calcolare il successivo si dice il passo della successioe defiita per ricorreza. Abbiamo già osservato che ua successioe è, i particolare, ua fuzioe del tipo f : I R R. Come tale, essa avrà certamete u grafico. Siccome i tutti i casi I = N o quasi, el seso discusso sopra), il grafico di ua successioe avrà u aspetto del tutto peculiare: esso è costituito da puti di ascissa itera o egativa. Quidi, il grafico di ua successioe sarà tipicamete Successioi covergeti. Il problema che ci iteressa soprattutto di affrotare è come si possa formalizzare l idea che i valori di a tedao ad u valore limite al crescere di, come discusso all iizio del capitolo. 3 Leoardo Fiboacci, matematico pisao del secolo XII, fu il primo ad itrodurre i Italia e i Europa la umerazioe araba.

6 88 Aalisi Matematica 1 Proviamo ad esempio a tracciare il grafico della successioe a = / + 1). I questo caso, sarà opportuo utilizzare u sistema di coordiate o moometrico. 1 2/3 1/ La successioe che stiamo aalizzado è 0, 1, 2, 3, 4,... ) e aturalmete ipotizziamo che il valore limite sia 1. Siccome a 1 = ) = + 1 = < 1, la distaza a 1 diviee piccola quato vogliamo. Meglio: fissato ad arbitrio u umero reale ε > 0, per la proprietà archimedea di R esiste certamete u N N tale che Nε > 1. Al cambiare di ε cambierà ache N e quidi scriviamo N ε ivece di N. Per u siffatto N ε, e a maggior ragioe per ogi N ε, si ha ε > 1. Per tutti gli iteri N ε risulta quidi a 1 < 1 < ε. Abbiamo provato: per ogi ε > 0 esiste u N ε tale che se N ε, allora a 1 < ε. Questa affermazioe ispira la defiizioe che segue, di grade importaza. Defiizioe 1.2. Siao a ) 0 ua successioe e l R. Diremo che a ) 0 coverge ad l, oppure che tede ad l, oppure acora che il limite di a ) 0 è uguale ad l, e i tal caso scriveremo lim a = l oppure a l, se per ogi ε > 0 esiste u itero positivo N ε tale che se N ε, allora a l < ε. Il seso della defiizioe è questo: fissato u qualuque margie di errore 4, ossia u qualuque umero reale positivo ε, la differeza tra il valore limite e il valore di a è più piccola di ε per tutti gli da u certo N ε i poi. Acora ua iterpretazioe, di 4 La lettera greca ε che si legge epsilo è ua e, idica proprio il termie errore.

7 Limiti e cotiuità 89 atura più grafica: fissato l R, i puti x, y) del piao per i quali y l < ε soo quelli coteuti ella striscia di semiampiezza ε cetrata attoro all ordiata l: l + ε l l ε x, y) La richiesta a l < ε per > N ε equivale perciò alla richiesta che il puto, a ) sia itero alla striscia. Ricapitolado: per ogi ε > 0 deve esistere u itero N ε tale che tutti i puti del grafico della successioe che soo a destra della retta verticale di ascissa N ε risultao iteri alla striscia di semiampiezza ε cetrata i l. l = N ε Nella defiizioe di limite appare la frase: esiste u itero positivo N tale che se N, allora... Essa può essere parafrasata mediate la frase italiaa da u certo puto i poi, oppure trae al più per u umero fiito di termii. Questo cocetto verrà richiamato i molte circostaze e merita sez altro ua defiizioe. Defiizioe 1.3. Diremo che la successioe a ) 0 soddisfa defiitivamete la proprietà P se esiste u itero positivo N tale che a soddisfa P per ogi N.

8 90 Aalisi Matematica 1 Prima di discutere alcui esempi, u commeto circa le otazioi. Oltre a quelle che abbiamo itrodotto, soo ache molto usate, e certamete accettabili, le segueti: lim a = l, lim a = l, + che vegoo lette, rispettivamete, il limite di a per che tede all ifiito è uguale a l e il limite di a per che tede a più ifiito è uguale a l. Esse o soo molto ecoomiche. I effetti, come sarà più chiaro quado tratteremo limiti di fuzioi, la variabile itera e positiva, se tede da qualche parte, o può che tedere all ifiito azi, a + ) ed è duque pleoastico specificarlo ella otazioe. Esempi. 8) Cosideriamo la successioe 2 ) 0 da cui siamo partiti. Vogliamo mostrare che essa tede a zero. Fissiamo ε > 0. Dobbiamo provare che esiste N ε tale che la diseguagliaza 2 < ε vale per ogi N ε. Passado al logaritmo i base 2, che come sappiamo è crescete, la diseguagliaza per N ε è equivalete a N ε > log 2 ε). L esisteza di u itero N ε che la soddisfi è garatita dalla proprietà archimedea si osservi che per ε < 1 si ha log 2 ε > 0). Tale diseguagliaza vale a maggior ragioe se N ε. I coclusioe: fissato ε > 0 sia N ε tale che N ε > log 2 ε). Se N ε, allora 2 < ε. Questo dimostra che ) Ache la successioe a = 1/, co 1 tede evidetemete a zero. Fissato ε > 0 sia N ε u itero tale che N ε ε > 1. Per ogi N ε si ha ε > 1 e quidi 1/) < ε, come volevasi. 10) Ua successioe costate coverge evidetemete a quel valore costate. 11) Che cosa sigifica dire che ua successioe o coverge? Sigifica che essu l R e è u valore limite, ossia, che per ogi l R si ha: 1.25) ε > 0 tale che N N : N tale che a l ε. 12) Proviamo che la successioe a = 1) o coverge. Fissiamo allora l R e proviamo che vale 1.13) per la successioe i esame. L idea da seguire è la seguete: i puti della successioe soo alteratamete 1 e 1 ed hao quidi mutua distaza uguale a 2. Se scegliamo ua striscia abbastaza sottile cetrata itoro ad l, per esempio di semiampiezza 1/2, essa o potrà coteere sia 1 sia 1. Scegliamo quidi ε = 1/2 e fissiamo N. Dobbiamo esibire u N per il quale risulti a l 1/2. Si dao tre casi che come vedremo) si escludoo a viceda: la distaza di 1 da l è miore di 1/2, oppure la distaza di 1 da l è miore di 1/2, oppure è 1 è 1 distao da l meo di 1/2. I quest ultimo caso, tutti gli a soddisfao a l 1/2, e quidi 1.13) è verificata. Se risulta 1 l < 1/2, allora iazitutto l > 1/2. Ma allora l 1) = l + 1 = l + 1 > 3/2. Perciò se la distaza di 1 da l è miore di 1/2, allora la distaza di 1 da l è maggiore di 1/2. Quidi, ad ogi dispari e perciò certamete a qualche N ) corrispode u a per il quale a l 1/2. Ache i questo caso 1.13) è verificata. Lasciamo al lettore la coclusioe del ragioameto, cioè la disamia del caso i cui 1) l < 1/2.

9 Limiti e cotiuità 91 Passiamo ora a dimostrare le pricipali proprietà dei limiti delle successioi. Proposizioe 1.4. Se ua successioe coverge, il limite è uico. Dimostrazioe. Suppoiamo che l e l siao due limiti di a ) 0. Fissiamo ε > 0. Allora esisterao N ε/2 e N ε/2 co le segueti proprietà: N ε/2 = a l < ε 2 N ε/2 = a l < ε 2. Se N = max{n ε/2, N ε/2 } si avrà allora per ogi N : l l = l a + a l l a + a l < ε 2 + ε 2 = ε. Abbiamo provato che per ogi fissato ε > 0 si ha l l < ε. Per il Corollario 5.2 del Capitolo 2 e segue che l = l. Nel corso della precedete dimostrazioe è emerso u fatto di cui faremo uso implicito o esplicito i diverse circostaze, e che vale la pea euciare formalmete. Lemma 1.5. Se ua successioe soddisfa defiitivamete la proprietà P e soddisfa defiitivamete ache la proprietà Q, allora essa soddisfa defiitivamete la proprietà P Q, cioè P e Q valgoo defiitivamete i modo cogiuto. Dimostrazioe. Se a soddisfa P per N e soddisfa Q per M, allora a soddisfa P Q per max{n, M}. Teorema 1.6 Cofroto I). Siao a ) 0 e b ) 0 due successioi e suppoiamo a a e b b. i) Se defiitivamete a < b oppure a b, allora a b; ii) se a < b, allora defiitivamete a < b ; iii) se a < λ R, allora defiitivamete a < λ; se a > µ R, allora defiitivamete a > µ. Dimostrazioe. Proviamo dapprima ii). Fissiamo ε > 0 e suppoiamo ioltre che ε < b a)/2. Applicado il Lemma 1.5, le disuguagliaze a < a + ε, b > b ε, soo etrambe defiitivamete vere. Ne segue che defiitivamete si ha b a > b a 2ε > 0, come volevasi. Questo implica subito i), i quato se viceversa si avesse a > b, allora si avrebbe defiitivamete a > b. Ifie, per quato riguarda iii), basta applicare ii) al caso particolare di ua successioe costate λ = λ, oppure µ = µ. Il puto i) del teorema precedete o è migliorabile, el seso che i effetti ache se vale la disuguagliaza stretta a < b defiitivamete, o si può cocludere che la disuguagliaza stretta valga ache tra i limiti. Basta cosiderare ad esempio a = 1/ e b = 2/. Ache se a è la metà di b, etrambe le successioi covergoo a zero.

10 92 Aalisi Matematica 1 Corollario 1.7 Permaeza del sego). Se la successioe a ) 0 coverge a l 0, allora a ) 0 ha defiitivamete il sego di l. Dimostrazioe. Si applichi il puto iii) del Teorema 1.6 al caso λ = 0 se l < 0), oppure al caso µ = 0 se l > 0). Teorema 1.8 Cofroto II, o Teorema dei carabiieri ). Siao a ) 0, b ) 0 e c ) 0 tre successioi e suppoiamo che A) a l e c l; B) defiitivamete a b c. Allora esiste ache lim b e lim b = l. Dimostrazioe. Sia ε > 0 fissato. Dall ipotesi A) e per via del Lemma1.5, risultao cogiutamete verificate defiitivamete le segueti disuguagliaze: l ε < a, c < l + ε. Applicado perciò l ipotesi B) si ha defiitivamete l ε < a b c < l + ε, cosicché b l < ε defiitivamete. Quidi b l. Il sigificato del curioso titolo Teorema dei carabiieri è dovuto all idea seguete: se due carabiieri accompagao u mariuolo, l uo a destra e l altro a siistra, e se etrambi i carabiieri vao i guardia, ci va ache il mariuolo. Esempi. 13) Cosideriamo la successioe defiita per 1 dalla formula b = si1/). Come abbiamo già osservato all iizio del capitolo, vale per archi x che siao piccoli e positivi la diseguagliaza 0 < six) < x. I particolare, essa si applica a x = 1/ per ogi itero positivo. Quidi, avremo 1 0 < si < ) 1.

11 Limiti e cotiuità 93 Iterpretiamo lo zero a siistra come l elemeto -esimo della successioe costate a = 0. Poiché sappiamo che c = 1/ 0, il Teorema dei carabiieri implica si1/) 0. Defiizioe 1.9. Diremo che la successioe a ) 0 è limitata se l isieme dei suoi valori A = {a : 0} è limitato. I particolare, a ) 0 è limitata se e solo se esiste M 0 tale che a M per ogi N. Proposizioe Ua successioe covergete è limitata. Dimostrazioe. Sia l = lim a e sia ε > 0 fissato. Esisterà allora N ε tale che a l a l < ε per ogi N ε. I particolare, per tali risulta a l +ε. Posto allora M = max { a 0, a 1,..., a Nε 1, l + ε }, avremo che a M per ogi N. Quidi a ) 0 è limitata. Facciamo otare che l implicazioe opposta a quella euciata ella proposizioe precedete o è vera, ossia o è vero che se a ) 0 è limitata, allora essa è covergete. Come abbiamo visto ell Esempio 12, la successioe defiita da a = 1) o coverge, pur essedo ovviamete limitata da M = 1. Teorema 1.11 Algebra dei limiti). Siao a ) 0 e b ) 0 due successioi, e suppoiamo a a e b b. Allora: i) a a ; ii) a + b a + b; iii) a b ab; iv) per ogi λ R, λa λa; v) se b 0, allora 5 a /b a/b. Dimostrazioe. i) Siccome defiitivamete a a < ε, segue che defiitivamete a a a a < ε. ii) Fissiamo ε > 0. Defiitivamete abbiamo a a < ε/2 e b b < ε/2. Utilizzado il Lemma 1.5 possiamo dire che defiitivamete risulta a + b a + b) a a + b b < ε/2 + ε/2, come volevasi. iii) Sia ε > 0. Siccome a ) 0 è covergete, essa è limitata per via della Proposizioe Quidi a M 0 per u qualche M 0 > 0. Poiamo M = max{m 0, b } ed osserviamo che M > 0 ache se fosse b = 0. Dal fatto che etrambe le successioi covergoo, defiitivamete risulta a a < ε/2m) e b b < ε/2m), sempre 5 Per il seso da attribuire al quoziete a /b, si veda la dimostrazioe.

12 94 Aalisi Matematica 1 per via del Lemma1.5. Quidi defiitivamete si ha a b ab = a b a b + a b ab a b b) + a a)b = a b b + a a b M b b + a a ) ε < M 2M + ε ), 2M come richiesto per provare l asserto. iii) Discede da ii) el caso particolare i cui b ) 0 sia la successioe costate uguale a λ. iv) Poiché b 0, per permaeza del sego, ossia per il Corollario 1.7, ache b è defiitivamete diverso da zero ed ha quidi seso cosiderare il quoziete a /b, perlomeo defiitivamete. Ora, da i) abbiamo b b > 0 e quidi i virtù del puto iii) del Teorema 1.6, scelto µ 0, b ) risulta b > µ defiitivamete. D altra parte, acora ua volta per via del Lemma1.5, si ha defiitivamete a a < µ b ε 2M, b b < µ b ε 2M, dove M = max{ a, b }. Quidi a a = a b ab b b b b = a b ab + ab ab b b b a a + a b b b b come volevasi. M µ b a a + b b ) < ε 2 + ε 2, Come cosegueza del precedete teorema abbiamo, siteticamete: 1 a b a b, 1, se a 0. a a Utilizziamo tutti i risultati esposti per forire u certo umero di esempi sigificativi. Alcui di essi rietrao ella categoria dei cosiddetti limiti otevoli, ossia limiti di particolare rilevaza cui spesso capita di ricodursi. Altri soo semplici illustrazioi di teciche stadard.

13 Limiti e cotiuità 95 Esempi. 14) Proveremo che cos1/) 1. I effetti, dalla formula di bisezioe cos x = 1 2 si x ) 2 2 abbiamo i particolare per ogi itero positivo cos1/) = 1 2 si 1 ) 2. 2 Applicado il Teorema dei carabiieri come fatto ell Esempio 13, otteiamo facilmete che si1/2) 0. Poi, applicado i sequeza come idicato) i vari puti del Teorema 1.11, otteiamo: iii) si 1 ) iv) 2 si 1 ) ii) cos1/) = 1 2 si 1 ) 2 1, 2 come desiderato. 15) Cosideriamo la circofereza trigoometrica e archi piccoli e positivi x, ossia 0 < x < π/2. Riprediamo, affiadole, le cosiderazioi svolte all iizio del capitolo. ta x si x Valgoo evidetemete le disuguagliaze 0 < si x < x < ta x. Passsado ai reciproci e moltiplicado poi per si x > 0 otteiamo 0 < cos x si x < 1 x < 1 si x = 0 < cos x < si x x < 1.

14 96 Aalisi Matematica 1 I particolare, per ogi itero positivo risulta 0 < cos1/) < si1/) 1/) e quidi applicado il Teorema dei carabiieri e il risultato cos1/) 1 abbiamo il limite otevole 1.26) lim si1/) = lim si1/) 1/) < 1 = 1. Questa è ua versioe del risultato cui si faceva ceo all iizio di questo capitolo. 16) Cosideriamo la successioe defiita da a = + a 0 + b 0, dove a 0 e b 0 soo due umeri reali qualuque. Essa è sicuramete defiita per ogi se b 0 N ed è ivece defiita per > b 0 se b 0 N. I ogi caso, potremo scrivere a = 1 + a 0/) 1 + b 0 /). Partiamo dalla coosceza del limite 1/ 0 e applichiamo i sequeza come idicato) i vari puti del Teorema 1.11: iv) a 0 / 0 e b 0 / 0 ii) 1 + a 0 /) 1 e 1 + b 0 /) 1 v) 1 + a 0/) 1 + b 0 /) 1 1 = 1 I coclusioe a 1. La pedatesca cura ell evideziare tutti i sigoli passaggi sarà rispiarmiata al lettore d ora i poi. 17) Si può applicare la stessa tecica utilizzata ell esempio precedete per provare che per ogi scelta di umeri reali a 0, a 1, b 0, b 1 si ha 2 + a 1 + a b 1 + b 0 1 e immagiare facilmete che per ogi itero positivo k ed ogi scelta di umeri reali a 0, a 1,..., a k 1 e b 0, b 1,..., b k 1 si ha k + k 1 j=0 a j j k + k 1 j=0 b j j 1. 18) Geeralizziamo ora l esempio base 1/ 0 e proviamo il limite otevole ) lim = 0 per ogi α > 0. α

15 Limiti e cotiuità 97 Sia α > 0 e fissiamo ε > 0. Il umero reale ε 1/α è be defiito e certamete positivo. Per la proprietà archimedea di R, possiamo allora trovare u itero N ε tale che N ε ε 1/α > 1. A maggior ragioe, se > N ε si ha ε 1/α > 1 e quidi 1 < 1 ε1/α = < ε. α Perciò fissato ε > 0 si ha 1/ α < ε defiitivamete e 1.27) è provata. 19) Illustriamo ora ua tecica stadard, basata baalmete sul prodotto otevole a b)a + b) = a 2 b 2. Ad esempio, sia Siccome 0 < + 1 = a = + 1. = + 1 ) ) ) 1 ) < 1, il limite otevole 1.27) co α = 1/2) ed il Teorema dei carabiieri permettoo di cocludere che a 0. 20) Applichiamo la tecica precedete per derivare di u altro limite otevole. Per ogi x R valgoo le idetità 1 cos x 1 cos x) 1 + cos x) = x 2 x cos x) 1 cos x)2 = x cos x) si x = x I particolare, per ogi itero positivo si avrà 1 cos1/) si1/) = 1/ 2 1/) ) cos x. ) cos1/). Usado l algebra dei limiti e i limiti cos1/) 0 e 1.26) otteiamo il limite otevole 1.28) lim 1 cos1/) 1/ 2 = ) Questo esempio è più sofisticato, ed è basato sulla diseguagliaza di Beroulli 1.29) 1 + h) 1 + h valida per ogi umero reale h 1. La dimostrazioe di 1.29) è u facile esercizio 6 sul metodo di iduzioe. Sia p > 1 u umero reale. Quidi per ogi itero positivo ache p 1/ è u umero reale maggiore di uo la radice -esima è crescete e la 6 Si veda l Esercizio 2 del Capitolo 1.

16 98 Aalisi Matematica 1 radice -esima di uo è uo) e possiamo pertato defiire il umero reale positivo h = p 1/ 1. Dalla defiizioe di h e dalla disuguagliaza di Beroulli si ha p = 1 + h ) 1 + h = 0 < h p 1. Per il Teorema dei carabiieri si ha quidi h 0 e coseguetemete, ossia dalla uguagliaza h + 1 = p 1/, si coclude p 1/ 1. Cosideriamo ora il caso i cui p < 1. Ache la sua radice -esima sarà miore di uo e duque per ogi itero positivo esisterà u umero reale positivo k tale che p 1/ = k Sempre i virtù di 1.29) risulterà 1 p = 1 + k ) 1, 1 + k da cui 0 < k 1/p 1. U ulteriore applicazioe del Teorema dei carabiieri implica k 0 e quidi acora p 1/ 1. Abbiamo provato il limite otevole 1.30) lim p 1/ = lim p = 1 per ogi p > 0. 22) Proviamo ora il limite otevole 1.31) lim = 0 per ogi A > 1 A facedo uovamete ricorso alla disuguagliaza di Beroulli 1.29). Posto A = 1+h, essa forisce A /2 = A) = 1 + h) 1 + h > h, da cui A > 2 h 2 = 0 < A < 1 h 2 e 1.31) segue uovamete dal Teoema dei carabiieri e dal limite oto 1/) Successioi divergeti. Siamo ora iteressati a successioi i cui elemeti divegoo arbitrariamete gradi, oppure arbitrariamete grademete egativi. Ad esempio a = 2 diviee arbitrariamete grade, metre log1/) diviee, al crescere di, sempre più grade i valore assoluto ma egativo. Defiizioe Diremo che la successioe a ) 0 diverge a +, e scriveremo lim a = + oppure a +, se per ogi K > 0 esiste u itero positivo N K tale che se N K, allora a > K. Similmete, diremo che la successioe a ) 0 diverge a, e scriveremo lim a = oppure a, se per ogi K > 0 esiste u itero positivo N K tale che se N K, allora a < K.

17 Limiti e cotiuità 99 Diamo u iterpretazioe grafica delle defiizioi appea viste. I puti x, y) del piao per i quali y > K soo quelli coteuti el semipiao limitato iferiormete dall ordiata K. Se K marca l orizzote, essi stao sopra l orizzote. x, y) K La richiesta a > K per > N K equivale perciò alla richiesta che, a ) sia itero al semipiao. Per ogi K > 0 deve esistere N K tale che tutti i puti del grafico della successioe che soo a destra della retta x = N K risultao iteri al semipiao limitato iferiormete da K : essi stao sopra ogi orizzote e quidi tedoo all ifiito. K N K Avedo dato le defiizioi di successioe covergete e di successioe divergete, o ci resta che dare u ome alle rimaeti. Defiizioe Diremo che ua successioe o ha limite se essa o è é covergete é divergete.

18 100 Aalisi Matematica 1 Esempi. 23) U esempio ovvio di successioe che diverge a + è a = : fissato K > 0 sia N > K ; se N allora a = > K. Di altrettato facile dimostrazioe è il fatto che per ogi umero reale positivo α si ha α +, che completa 1.27). 24) Dimostriamo il limite otevole 1.32) lim A = + per ogi A > 1 Fissato K > 0, sia N > log A K. Per ogi N risulta a maggior ragioe log A K e quidi, applicado la mappa espoeziale exp A che è crescete i quato A > 1, abbiamo exp A exp A log A K) = K, come desiderato. 25) La successioe a = 1) o ha limite. Sappiamo già che essa o coverge. Per provare che essa eppure diverge, basta osservare che essa o è mai maggiore di 1 é mai miore di 1, quidi o diverge é a +, é a. Ci chiediamo se sia possibile estedere i qualche seso il Teorema 1.11 al caso i cui almeo ua delle successioi coivolte sia divergete, oppure se sia possibile ua qualche versioe di u teorema di cofroto. Iiziamo da quest ultimo tipo di risultato. Teorema 1.14 Cofroto III). Siao a ) 0 e b ) 0 due successioi, e suppoiamo che defiitivamete risulti a b. Allora: i) se a +, allora b + ; ii) se b, allora a. Dimostrazioe. i) Fissiamo K > 0. Soo allora defiitivamete verificate etrambe le disuguagliaze b a > K. Quidi per ogi K > 0 si ha b > K defiitivamete. Ciò prova i). La dimostrazioe di ii) è aaloga. Per quato riguarda l algebra estesa) dei limiti, aziché formulare u teorema, ci limitiamo ad ua tabella riassutiva. 1.33) lim a lim b lima + b ) lima b ) a > a > 0 a < a < F.I. 0 F.I F.I. La tabella va iterpretata el modo pressoché ovvio: ad esempio, la terza riga dice che se a a < 0 e b + allora a + b + metre a b. L uico commeto aggiutivo è relativo all acroimo F.I. che sta per forma idetermiata. Esso si riferisce al fatto che l iformazioe a disposizioe o è suficiete per cocludere

19 Limiti e cotiuità 101 qualcosa circa il comportameto della successioe i esame, a + b oppure a b : vi soo esempi i cui essa coverge, esempi i cui diverge ed esempi i cui o ha limite. È bee chiarire che i simboli + e soo dei meri segi grafici che abbreviao complesse defiizioi. Essi o soo umeri reali e come tali o si sommao a umeri reali, é ad essi si moltiplicao. Quidi scritture del tipo 1 + = +, π ) = soo scorrette e sicuramete da evitare. D altra parte, può essere utile avere delle abbreviazioi per le forme idetermiate, per ragioi essezialmete memoiche. Nella letteratura, o perlomeo ella prassi, si è soliti fare riferimeto alle forme idetermiate che compaioo ella quita e sesta riga come forme idetermiate del tipo zero per ifiito, co abbreviazioe 0, e alla forma idetermiata che compare ell ultima riga come alla forma idetermiata del tipo ifiito meo ifiito, co abbreviazioe. Esempi. 26) Cosideramo esempi di forme idetermiate del tipo 0. Se a = 1/ e b =, allora a 0, b + e a b = +. Se a = 1/2 e b =, allora a 0, b + e a b = /2 0 per via del limite otevole 1.31). Se a = 1) / e b =, allora a 1/ mostra che a 0. Ioltre b +, metre a b = 1) o ha limite. 27) Cosideramo la forma idetermiata del tipo. Se a = + 1, b = allora a + b = + 1 0, come visto ell Esempio 19. Se a =, b = allora a + b = = 1) + i quato + e 1 + : il risultato segue dalla terza riga della tabella. Se a = 2 + 1), b = 2 allora 2 + 1) 2 1 +, e a + i virtù del Teorema Chiaramete a + b = 1) che o ha limite. La tabella 1.33) può essere completata dal risultato seguete. Proposizioe Sia a ) 0 ua successioe. i) Se a ) 0 diverge, allora a 1 0; ii) se a ) 0 è defiitivamete positiva e a 0, allora a 1 iii) se a ) 0 è defiitivamete egativa e a 0, allora a 1 + ;. Dimostrazioe. i) Suppoiamo che a ) 0 diverga a + e sia ε > 0. Esiste allora N ε tale che se N ε, allora a > ε 1, ossia a 1 < ε. Dimostrazioe aaloga vale el caso i cui a ) 0 diverga a. ii) Fissiamo K > 0. Siccome a 0, e a ) 0 è defiitivamete positiva, risulterà defiitivamete 0 < a < K 1, ossia a > K. La dimostrazioe di iii) è simile e viee lasciata per esercizio.

20 102 Aalisi Matematica Successioi ifiitesime. Di iteresse particolare soo le successioi che covergoo a zero. Ad esse è riservato u ome speciale: Defiizioe Ua successioe a ) 0 si dice ifiitesima se a 0. Abbiamo aturalmete già visto diversi esempi di successioi ifiitesime. Cosideriamo ora la successioe defiita dalla formula a = 1) /. Noostate a sia positiva per pari e egativa per dispari, il suo valore assoluto diviee arbitrariamete piccolo ed è quidi aturale atedersi che essa sia ifiitesima. Questa coclusioe può essere ifatti dedotta dal Teorema dei carabiieri e dalla semplicissima diseguagliaza 1) 0 < a = 1. Ora, a ) 1 è il prodotto delle successioi defiite da b = 1) e c = 1/. Siccome b ) 1 o ha limite, come be sappiamo, o sarebbe stato possibile dedurre la covergeza di a ) 1 utilizzado l algebra dei limiti. Ifatti, il prodotto di ua successioe che o ha limite per ua che ivece coverge o diverge è ua forma idetermiata. Lasciamo al lettore la verifica dettagliata del fatto b c ) 1 o ha limite se b = 1) e se per esempio c = + 1)/ oppure c = 2. Nel caso i esame, abbiamo il prodotto di due successioi ua delle quali è o solo covergete ma ifiitesima e l altra, pur o avedo limite, ha ua caratteristica che, per così dire, la redime: essa è limitata. Proposizioe Il prodotto di ua successioe ifiitesima e di ua successioe limitata è ua successioe ifiitesima. Dimostrazioe. Siao a ) 0 ifiitesima e b ) 0 limitata. I particolare, sia M > 0 tale che b M per ogi. Si ha allora per ogi 0 < a b M a e l asserto segue dal Teorema dei carabiieri Successioi mootoe.. Siccome ogi successioe è ua fuzioe a valori reali defiita su u sottoisieme di R, ci si può aturalmete chiedere se ua successioe sia mootoa oppure o. Ricordiamo che ua fuzioe f : I R si dice, ad esempio, crescete se e solo se per ogi x, y I si ha 1.34) x < y = fx) < fy). Nel caso di ua successioe si ha I N. I particolare, se la successioe a ) 0 è crescete, poedo x = e y = + 1 i 1.34) si avrà 1.35) N : a < a +1. Quidi la codizioe 1.35) è certamete ecessaria affiché a ) 0 sia crescete. La particolare struttura di N implica che i effetti essa è ache sufficiete. Abbiamo ifatti la seguete: Proposizioe Sia a ) 0 ua successioe. i) a ) 0 è crescete se e solo se a < a +1 per ogi N;

21 Limiti e cotiuità 103 ii) a ) 0 è decrescete se e solo se a > a +1 per ogi N; iii) a ) 0 è o decrescete se e solo se a a +1 per ogi N; iv) a ) 0 è o crescete se e solo se a a +1 per ogi N. Dimostrazioe. Ci limitiamo a provare i); la dimostrazioe degli altri euciati è aaloga e viee lasciata per esercizio. Suppoiamo che a < a +1 per ogi N. Per stabilire che a ) 0 è crescete utilizzado 1.34), dobbiamo appurare che se p e q soo due iteri o egativi e p < q, allora a p < a q. D altra parte, se q > p esiste u itero positivo k tale che q = p + k. Verifichiamo allora per iduzioe su k che 1.35) implica a p < a p+k per ogi p e per ogi k > 0. Se k = 1, questo è esattamete 1.35) el caso = p. Suppoiamo iduttivamete che a p < a p+k. Applicado 1.35) a = p + k otteiamo a p+k < a p+k+1, che uitamete all ipotesi iduttiva a p < a p+k implica a p < a p+k+1. Questo coclude la dimostrazioe per iduzioe che a p < a p+k è vera per ogi k > 0 e che quidi a p < a q se p < q. Osserviamo che la codizioe fx) < fx + 1) per ua fuzioe defiita su u sottoisieme qualuque di R o implica affatto che la fuzioe sia crescete. Si cosideri ad esempio la fuzioe defiita su tutto R da Essa ha u grafico del tipo fx) = si2πx) + 3) /2 se x [, + 1)). È evidete che se x [, + 1), allora x + 1 [ + 1, + 2) e quidi fx+1) = 1 si2πx + 1)) )) = 1 si2πx) )) = fx)+3/2 > fx). 2 2 D altra parte x si2πx) cotiee u ciclo siusoidale completo se x [, + 1), cosicché i tale itervallo f o è mootoa. Teorema Siao a ) 0 ua successioe e A = {a : 0}. i) Se a ) 0 è crescete oppure o decrescete, allora lim a = sup A; ii) se a ) 0 è decrescete oppure o crescete, allora lim a = if A

22 104 Aalisi Matematica 1 Dimostrazioe. Proviamo solo la i); la dimostrazioe di ii) è aaloga e viee lasciata per esercizio. Poiamo l = sup A e distiguiamo a secoda che si abbia l = + oppure l R. Se l = +, allora A o è superiormete limitato e quidi per ogi K > 0 esiste u elemeto di A maggiore di K, cioè esiste N K tale che a NK > K. Siccome a ) 0 è o decrescete oppure crescete), se N K avremo a maggior ragioe a a NK > K. Quidi per ogi K > 0 esiste N K tale che se > N K allora a > K, ossia a ) 0 diverge a +. Suppoiamo ora l R. Per la Proposizioe 6.5, sappiamo che l è u maggiorate di A e che per ogi x R co x < l esiste u elemeto di A maggiore di x. Quidi, per ogi ε > 0 esiste u N ε tale che a Nε > l ε. Poiché a ) 0 è o decrescete oppure crescete), se N ε avremo a maggior ragioe l ε < a Nε a l < l + ε. I coclusiuoe, per ogi ε > 0 esiste u N ε tale che se N ε si ha a l < ε, ossia a ) 0 coverge a l Il umero di Nepero e, l espoeziale e il logaritmo aturale. Suppoiamo che su u capitale C vega applicato u iteresse auo pari a I. Dopo u ao il capitale sarà C1 + I). Se ivece viee pagato mesilmete u iteresse composto di I/12, dopo u mese il capitale sarà C1 + I/12), dopo due mesi esso sarà [C1+I/12)]1+I/12) = C1+I/12) 2 ed evidetemete, dopo u ao, C1+I/12) 12. Dal puto di vista dell ivestitore, la soluzioe del pagameto mesile sarebbe preferibile, el seso che C1 + I/12) 12 > C1 + I). Se l iteresse composto fosse corrisposto addirittura ogi gioro, co u tasso pari a I/365, si avrebbe dopo u ao C1 + I/365) 365. E se veisse corrisposto ogi ora? Ogi miuto? Ogi secodo? Che capitale risulterebbe a fie ao? È forse sorpredete scoprire che se il tasso I è basso, la frequeza co la quale vegoo corrisposti gli iteressi, cioè il umero itero che appare ella formula C = C1+I/) cui stiamo facedo implicito riferimeto, o ifluisce graché sul risultato fiale C, ache se più alto è il tasso, maggiore è la differeza. Riportiamo i ua tabella i risultati corrispodeti ad u ivestimeto di mille euro ai tassi I rispettivamete del 5% e del 20%: Frequeza C, I = 5% C, I = 20% 1 ao 1.050, , mese 1.051, , gioro 1.051, , ora 1.051, , miuto 1.051, , secodo 1.051, , 40 La domada che ci poiamo è aturalmete se al tedere di all ifiito si perviee ad u limite e se esso è esprimibile mediate ua formula sesata. La risposta è che il limite esiste e vale Ce I, dove e è u umero compreso tra 2 e 3, di fodametale importaza i matematica.

23 Limiti e cotiuità 105 Per dimostrare la correttezza della affermazioe appea fatta, studiamo il caso pilota di capitale uitario C = 1 e iteresse uitario I = 1, corrispodete ad u tasso del 100%. I altre parole, ci occupiamo solo del problema matematico di fodo. 1.36) Proposizioe La successioe a = ) è crescete e limitata. Dimostrazioe. Applichiamo la formula del biomio di Newto: ) = = = k=0 k=0 k=0 ) 1 k k 1) k + 1) 1 k! k ) ) ) 1 1 k + 1 k! Vogliamo utilizzare questa espressioe per mostrare che la successioe è crescete, ossia che a < a +1 per ogi. Iazitutto 1.37) ) ) ) 1 k + 1 = < 1 k 1 ) 1 1 ) 1 k ) Quidi ogi addedo i 1.36) diviee più grade se sostituiamo + 1 ad. Ioltre, la sommatoria corrispodete a a +1 cotiee u addedo i più di quella per a. È quidi chiaro che a < a +1. Ripartiamo da 1.36) per provare che la successioe è limitata. Utilizzado la prima uguagliaza i 1.37), si vede subito che il prodotto di tutti i termii etro paretesi è u umero strettamete positivo e miore di uo. Vale perciò la stima ) k=0 1 k! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1! = ) 3 2 < } 2 {{ 2} = ) ) fattori )

24 106 Aalisi Matematica 1 Sfruttado ora 7 la formula N x k = 1 x N+1 )/1 x) valida per ogi x 1, si ha k=0 1 + ) 1 1 ) 1 k 1 + = /2) k= /2 < /2 = 3. Quidi la successioe a ) 1 è limitata superiormete da 3, e iferiormete da zero. Dalla precedete proposizioe e dal Teorema 1.19 segue che la successioe a ) 1 i esame è covergete ad u umero reale, detto umero di Nepero e deotato tradizioalmete e. I sitesi, 1.38) lim = e. ) Co veti cifre decimali esatte risulta e = Il umero e è irrazioale e quidi la sua espasioe decimale o è fiita. Esso viee utilizzato come base aturale per il logaritmo. Le ragioi di questa scelta emergerao i modo chiaro ei prossimi capitoli. Scriveremo exp x = e x log x = log e x per l espoeziale ed il logaritmo i base e. Salvo esplicito avviso del cotrario, i logaritmi sarao sempre i base e. Cocludiamo questa sezioe discutedo alcue proprietà otevoli della fuzioe espoeziale e x. Proposizioe Se x R \ {0} si ha 1.39) 0 < 1 + x ) < 1 + x ) per ogi aturale > x. Dimostrazioe. La codizioe > x garatisce che 1 + x/) > 0, ossia la prima diseguagliaza i 1.39). Riscriviamo la secoda ella forma + x ) ) x +1 <, + 1 che certamete o vale per x = 0 perché etrambi i membri soo i tal caso uguali a uo. Se x 0 moltiplichiamo ambo i membri per / + x) +1, che è ua quatità positiva, ed otteiamo: 1.40) ) x) + x <. + 1) + x) 7 Essa è ell Esercizio 2 del Capitolo 1 per x Q \ {1}, ma vale aturalmete per x R \ {1}.

25 Limiti e cotiuità 107 Siccome il umeratore del membro destro è x) = + 1) + x metre il deomiatore è + 1) + x) = + 1) + x + x = x) + x, esso si riscrive ) +1 ) x) x = ) + x) + 1) + x) La disuguagliaza di Beroulli 1.29) ci permette di cocludere allora ) +1 x x 1 + > ) + 1) + x) + 1) + x) = + x i quato x/ + 1) + x) > 1 elle ipotesi fatte. Quidi 1.40) è dimostrata e 1.39) è ad essa equivalete. Proposizioe Per ogi x R la successioe di termie geerale 1.41) e x) = 1 + ) x. è limitata. Dimostrazioe. Se x < 0, ovviamete 1 + x/ < 1 e o appea il umero itero positivo soddisfa > x si ha 0 < 1 + x/. Siccome 0 < 1 + x/ < 1, si ha ache 0 < 1 + x/) = e x) < 1, il che prova l asserto per x < 0. Se x = 0 si ha e 0) = 1 e o c è ulla da dimostrare. Sia ifie x > 0. I tal caso, dalla Proposizioe 1.21 applicata a x risulta che per > 0 > x = x) si ha e quidi 1.42) 0 < 1 + x ) > 1 + x 0 ) 0 > 0 1 x ) < 1 x ) 0. 0 D altra parte, per tali si ha ache 0 < x/ < 1, cosicché 0 < x/) 2 < 1 e quidi ) 0 < 1 x2 = 1 x ) 1 + x < 1, 2 ) da cui acora 0 < 1 + x ) < 1 x. ) Combiado quest ultima diseguagliaza e 1.42) si ha che per 0 > x risulta 0 < e x) < 1 x ) 0 per > 0, 0 il che prova la limitatezza di e x)) 1 per ogi x R. Dalle due proposizioi precedeti risulta che per ogi umero reale x, la successioe e x)) 1 è positiva, defiitivamete crescete e limitata. Sappiamo pertato che essa coverge ad u umero reale positivo. Più precisamete, poiamo: 1.43) Ex) = lim 1 + x ) = sup { 1 + x ) } : = 1, 2,... > 0.

26 108 Aalisi Matematica 1 È evidete che E1) = e. Si può dimostrare che la fuzioe x Ex), che è defiita per ogi x R, soddisfa Ex + y) = Ex)Ey) per ogi x, y R. Il lettore curioso trova questa dimostrazioe i [?]. Osserviamo che Ex) è mootoa o decrescete. Se ifatti x < y ed 0 è u itero positivo co 0 > x > y, allora per ogi > 0 tale diseguagliaza è verificata a fortiori e quidi 0 < 1 + x/ < 1 + y/. Prededo le poteze -esime, 0 < e x) < e y) defiitivamete. Dal Teorema 1.6 segue che Ex) = lim e x) lim e y) = Ey), come affermato. Le osservazioi appea fatte assumoo ua particolare rilevaza alla luce del risultato che segue, la cui dimostrazioe può essere trovata i [?]. Teorema Per ogi umero reale positivo a esiste ua ed ua sola fuzioe mootoa E a : R R che soddisfa le due segueti codizioi: E0) E a 1) = a; E1) E a x + y) = E a x)e a y). Essa ioltre gode delle segueti proprietà: E2) E a 0) = 1; E3) E a R) = 0, + ) se a 1; E4) E a è strettamete crescete se a > 1 e strettamete decrescete se a < 1; Poiché le fuzioi espoeziali itrodotte ella Sezioe 8 del Capitolo 3 soo mootoe, e soddisfao E0) ed E1), si ha E a = exp a per ogi a > 0. Il lettore è aturalmete ivitato a cofrotare le precedeti co le E0)-E4) della Sezioe 8 del Capitolo 3. Dal teorema precedete si evice che la fuzioe Ex) itrodotta i 1.43 è ua fuzioe espoeziale, e poiché E1) = e ci riferiamo alla fuzioe espoeziale di base e. I altre parole 1.44) lim 1 + ) x = e x. per ogi x R. y = e x e 4 x) e 2 x) e 5 x) e 3 x) e 1 x)

27 Limiti e cotiuità 109 Aggiugiamo alla ostra coosceza di e x le fodametali stime segueti. Proposizioe Valgoo le diseguagliaze 1.45) e x 1 + x per ogi x R 1.46) e x 1 1 x per ogi x < 1. Dimostrazioe. Se x = 0, la 1.45) è ua uguagliaza. Se x > 1 e x 0, allora ogi umero itero positivo soddisfa > x e quidi dalla Proposizioe 1.21 si ottiee la stretta mootoia e x) < e +1 x). I particolare abbiamo 1 + x = e 1 x) < e x) < e x, cioè la 1.45) per x > 1. Se x 1 allora 1 + x 0 < e x, cosicché 1.45) vale ache i questo caso. Per quato riguarda la 1.46), scriviamo la 1.45) per x, ossia 1 x e x. Siccome 0 < 1 x, passado ai reciproci si ottiee 1 1 x 1 e = x ex, come volevasi. Nel disego è raffigurato il sigificato grafico delle stime coteute ella Proposizioe y = e x ramo di y = 1 1 x y = x + 1 ramo di y = 1 1 x

28 110 Aalisi Matematica 1 Corollario Valgoo le diseguagliaze 1.47) log1 + x) x per ogi x > ) log1 + x) x per ogi x > 1. x + 1 Dimostrazioe. Si applichi il logaritmo ad etrambi i membri i 1.45) per otteere 1.47): aturalmete va supposto 1 + x > 0. Si cosideri poi 1.46) co t al posto di x. Poedo y = 1/1 t) si ha y > 0 e t = 1 y 1, cosicché da 1.46) si ottiee e 1 1 y y, y > 0. e per la mootoia del logaritmo, 1 1 y log y, y > 0. Scrivedo ifie y = x + 1 si ha x > 1 e x log1 + x), x + 1 come desiderato. Nel disego è raffigurato il sigificato grafico delle stime coteute ella Proposizioe y = x y = log1 + x) ramo di y = x x+1 ramo di y = x x+1 Vale la pea osservare che il disego precedete è otteuto mediate ua opportua simmetria dal corrispettivo disego per l espoeziale. Quale?

29 Limiti e cotiuità 111 Esercizi 1. Per ogi itero o-egativo, sia a = i) Calcolare, se esistoo, sup A, if A, max A e mi A, dove A = {a : = 0, 1, 2,... }. ii) Calcolare, se esiste, lim a Sia a = si π ). Stabilire il carattere di ciascua delle segueti successioi cioè 2 dire se è covergete, divergete oppure idetermiata). i) b ) 1, dove b = a ; ii) c ) 1, dove c = 1 a ; iii) d ) 1, dove d = cos π )a 2. { } Sia A = : = 0, 1, 2, 3,.... Determiare, se esistoo, sup A, if A, max A e mi A. 4. Sia A = : = 1, 2, Determiare, se esistoo, sup A, if A, 3 max A e mi A. 5. Si calcoli il limite lim a della successioe a ) 1, dove + a = { ) log 1 }.