Sui teoremi di Vitali-Hahn-Saks e di Dieudonné

Transcript

1 Sui teoremi di Vitali-Hah-Saks e di Dieudoé DOMENICO CANDELORO, GIORGIO LETTA Red.Accad.Naz.Detta XL, 9,1985,pp SUMMARY. We give a geeral versio of the well-kow Vitali-Hah-Saks theorem, cocerig coverget sequeces of measures. The we use this result to obtai a abstract form of the theorem of Dieudoé, related to coverget sequeces of regular measures. 0 Itroduzioe Sebbee sia trascorso piú di mezzo secolo dalla prima formulazioe (dovuta a Nikodým, [10] del cosiddetto teorema di Vitali-Hah-Saks, questo suggestivo risultato cotiua ad esser oggetto di ricerca; e si puó be dire che i ogua delle sue svariate formulazioi fiora ote ci sia qualcosa di sorpredete: cioé il fatto che certe proprietá cotiuio a valere, quasi isperatamete, i strutture e situazioi tato lotae da quelle origiarie. Il processo di geeralizzazioe si é sviluppato essezialmete i tre direzioi: estesioe della struttura algebricotopologica dell isieme i cui le misure i gioco predoo i loro valori; passaggio dall additivitá umerabile alla fiita additivitá; ideboeto della struttura di σ-algebra per il domiio di defiizioe delle misure. Ua ricca rassega dei risultati otteuti al riguardo si puó trovare i [4]. Tra i teoremi tradizioalmete legati a quello di Vitali-Hah-Saks, figura, oltre a u classico teorema di Nikodým sull uiforme itatezza (si veda [9], [3], [8], [11]), u teorema, assai piú profodo, dovuto a Dieudoé [5]: Se ua successioe di misure di Borel regolari, su uo spazio di Hausdorff compatto, coverge su ogi isieme aperto, essa coverge su ogi isieme boreliao. I tal caso, ioltre, le misure della successioe soo uiformemete regolari. Le estesioi di questo teorema esisteti ella letteratura sembrao alquato artificiose: e ache le dimostrazioi appaioo spesso piuttosto complicate, e comuque poco ituitive: si veda ad es. [1], [2] (recetemete il Prof. Morales ci ha comuicato di aver trovato u estesioe al caso di misure a valori i u semigruppo topologico). Nella presete ota si dimostra dapprima ua versioe assai geerale del teorema di Vitali-Hah-Saks (Teorema 2.4), valida per fuzioi fiitamete additive i u algebra A, a valori i u gruppo abeliao topologico Γ. Questo 1

2 risultato permette poi di otteere, i modo abbastaza diretto e aturale, ua formulazioe astratta del teorema di Dieudoé (teorema 4.1), la quale riguarda acora fuzioi fiitamete additive ell algebra A, a valori el gruppo topologico Γ. I questa formulazioe, il cocetto topologico di regolaritá (per ua misura di Borel su uo spazio di Hausdorff compatto) é sostituito co u cocetto astratto di regolaritá, defiito mediate ua coppia F, G di reticoli (coteuti ell algebra A e aveti rispettivamete il ruolo del reticolo degli isiemi compatti e di quello degli isiemi aperti). Ioltre il ruolo della umerabile additivitá é svolto da ua ozioe assai piú debole: quella di G-esaustivitá (v. Def. 1.1). 1 Esaustivitá I tutto il seguito, Γ desiga u gruppo abeliao topologico separato, il cui elemeto eutro viee idicato co 0. Se (B ) é ua successioe di parti di Γ, la scrittura B = 0 é u modo abbreviato per sigificare che, per ogi itoro U di 0, si ha defiitivamete B U. Ua massa (a valori i Γ) é ua fuzioe fiitamete additiva, a valori i Γ, defiita i u algebra di isiemi. Ua misura é ua massa che sia defiita su ua tribú (o σ-algebra d isiemi) e che sia umerabilmete additiva. I tutto il seguito, A desiga ua fissata algebra d isiemi, ammettete Ω come elemeto massimo, metre F, G deotao due reticoli d isiemi, etrambi coteuti i A, tali che il complemetare (rispetto a Ω) di ciascu elemeto di F appartega a G. U esempio tipico di questa situazioe si ottiee suppoedo che Ω sia uo spazio topologico, el quale A sia la tribú boreliaa, G il reticolo degli isiemi aperti, F u reticolo d isiemi chiusi (per esempio, quello degli isiemi chiusi e compatti). Se λ é ua fuzioe defiita i ua classe H d isiemi, si poe, per ogi elemeto B di H, λ + (B) = {λ(a) : A H, A B} Defiizioe 1.1 Ua massa µ sull algebra A si dice G-esaustiva se, per ogi successioe (G ) di elemeti di G, a due a due disgiuti, si ha µ(g ) = 0. (I tal caso, se si deota co λ la restrizioe di µ a G, si ha ache λ + (G ) = 0 per ogi successioe (G ) di elemeti di G, a due a due disgiuti). Defiizioe 1.2 Ua successioe (µ i ) di masse su A si dice uiformemete G- esaustiva se, per ogi successioe (G ) di elemeti di G a due a due disgiuti, si ha i λ + i (G ) = 0 dove, per ciascu i, λ i deota la restrizioe di µ i a G. 2

3 Ua massa su A, che sia A-esaustiva, si dice semplicemete esaustiva. Cosí pure ua successioe di masse su A, che sia uiformemete A-esaustiva, si dice uiformemete esaustiva. Defiizioe 1.3 Diremo che il reticolo G gode della proprietá (E) (v. [11]) se, per ogi successioe (G ) di elemeti di G, a due a due disgiuti, esiste ua sottosuccessioe (G k ) tale che G cotega tutte le uioi d isiemi del tipo G k. Il lemma elemetare che segue é utile perché permette, i certe situazioi, di ricodursi al caso i cui il gruppo Γ sia metrizzabile. Lemma 1.4 Sia U u itoro dello zero i Γ. Esistoo allora u gruppo abeliao metrizzabile Γ 1, u omomorfismo cotiuo h di Γ su Γ 1, e u itoro W dello zero di Γ 1, tali che si abbia h 1 (W ) U. Dimostrazioe. Per iduzioe si puó costruire ua successioe (U ) 1 d itori simmetrici dello zero i Γ, tale che si abbia: U 1 + U 1 U, U +1 + U +1 U per ogi 1. Deotiamo co Γ 0 il gruppo topologico (o ecessariamete separato) otteuto muedo il gruppo Γ dell uica topologia, compatibile co la sua struttura di gruppo, che ammetta (U ) 1 come sistema fodametale d itori dello zero. Poiamo poi V = 1 U. Allora V é u sottogruppo chiuso di Γ 0, e il gruppo quoziete Γ 1 = Γ 0 /V é metrizzabile. Deotiamo co h l omomorfismo caoico di Γ 0 su Γ 1, e poiamo W = h(u 1 ). Poiché la topologia di Γ 0 é meo fie di quella di Γ, h é a maggior ragioe u omomorfismo cotiuo di Γ su Γ 1. Ioltre W é u itoro dello zero i Γ 1, e si ha: Il lemma é cosí dimostrato. h 1 (W ) = U 1 + V U 1 + U 1 U. 2 Il Teorema di Vitali-Hah-Saks La seguete forma del teorema di Vitali-Hah-Saks é be ota, e facilmete dimostrabile co le teciche usuali (v.[6]): Teorema 2.1 Se ua successioe di misure (a valori i Γ), tutte assolutamete cotiue rispetto a ua medesima misura reale positiva, coverge putualmete, essa é uiformemete esaustiva. Useremo questo euciato per giugere a euciati piú geerali. Premettiamo, a questo scopo, alcui lemmi. 3

4 Lemma 2.2 Si suppoga che il reticolo G goda della proprietá (E). Sia µ ua massa G-esaustiva su A, e sia (G i ) i I ua famiglia ifiita umerabile di elemeti di G a due a due disgiuti. Sia ifie U u itoro di 0 i Γ. Esiste allora ua parte ifiita I 0 di I co la proprietá seguete: ( ) Per ogi parte H di I 0, risulta µ( G i ) U. Dimostrazioe. Seza perdita di geeralitá, possiamo supporre che G cotega tutte le uioi d isiemi del tipo G i. Sia (I k ) ua successioe di parti ifiite di I, a due a due disgiute. Se essua di esse possiede la proprietá desiderata ( ), si puó trovare, per ogi k, ua parte H k di I k verificate la relazioe µ( G i ) U c. i H k Ma ció cotraddice la supposta G-esaustivitá di µ. Il lemma é cosí dimostrato. i H Lemma 2.3 Si suppoga che il gruppo Γ sia metrizzabile e che il reticolo G possieda la proprietá (E). Sia µ ua massa G-esaustiva su A, e sia (G i ) ua famiglia ifiita umerabile di elemeti di G, a due a due disgiuti. Allora esiste ua parte ifiita J di I, tale che la restrizioe di µ alla tribú geerata dalla famiglia (G j ) j J sia ua misura. Dimostrazioe. Sia (U ) ua successioe decrescete che costituisca u sistema fodametale d itori di 0 i Γ. Sfruttado il lemma precedete, si puó costruire, per iduzioe, ua successioe decrescete (I ) di parti ifiite di I, tale che, per ogi, si abbia I +1 I e µ( G i ) U per ogi parte H di I. i H Si scelga allora, per ogi, u elemeto j di I \ I +1, e si poga J = {j : 1}. L isieme J cosí costruito possiede la proprietá desiderata. Siamo ora i grado di dimostrare il seguete euciato, piú geerale di (2.1). Teorema 2.4 Si suppoga che il reticolo G possieda la proprietá (E) (v. Def.(1.3)). Sia (µ i ) ua successioe di masse G-esaustive ell algebra A, covergete su ogi elemeto di G. Allora la successioe (µ i ) é uiformemete G-esaustiva. Dimostrazioe. Il Lemma (1.4) permette di ricodursi facilmete al caso i cui Γ sia metrizzabile. Ragioado per assurdo, eghiamo la tesi. Esistoo allora: u itoro U di 0 i Γ, ua successioe strettamete crescete (i ) d iteri e ua successioe (G ) di elemeti di G a due a due disgiuti, tali che si abbia µ i (G ) U c, per ogi. (1) 4

5 La tribú I geerata su Ω dagli isiemi G é coteuta ell algebra A e ammette come atomi gli isiemi G e il complemetare della loro riuioe. Pertato esiste su di essa ua misura reale positiva che si aulli solo sull isieme vuoto. Grazie al Lemma (2.3), si puó supporre (pur di passare a opportue sotto-successioi) che, per ogi, la restrizioe di µ i a I sia ua misura. Grazie a (2.1), queste restrizioi formao allora ua successioe uiformemete esaustiva. Ma ció cotrasta co la relazioe (1). Il teorema é cosí dimostrato. Corollario 2.5 Ua successioe di masse esaustive su ua medesima tribú, che coverga su ogi elemeto di questa, é uiformemete esaustiva. 3 Regolaritá e suoi rapporti co l esaustivitá Defiizioe 3.1 Ua massa µ sull algebra A si dice regolare se verifica le due codizioi segueti: (a) per ogi elemeto A di A, esiste ua coppia (F ), (G ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi F F, G G, F F +1 A G +1 G (2) per ogi, e tale che si abbia µ + (G \ F ) = 0 (e quidi, i particolare, µ(a) = µ(f )); (b) per ogi elemeto B di F, esiste ua coppia (G ), (F ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi per ogi, e tale che si abbia G G, F F, B F +1 G F (3) µ + (G \ B) = 0. Osservazioe 3.2 Si suppoga i particolare che l isieme Ω sia muito di ua topologia di spazio ormale (risp. di spazio di Hausdorff localmete compatto), che A sia la tribú boreliaa di Ω, F il reticolo degli isiemi chiusi (risp. compatti), G quello degli isiemi aperti, e che µ sia ua misura reale ella tribú boreliaa. Si vede allora che, ella defiizioe precedete, la codizioe (b) é ua cosegueza della codizioe (a), e che quest ultima si riduce semplicemete all usuale codizioe di regolaritá per la misura µ (cosistete ell imporre l approssimabilitá dall estero co isiemi aperti, e dall itero co isiemi chiusi (risp. compatti)). 5

6 Osservazioe 3.3 Sia (µ i ) ua successioe di masse regolari su A. Assegato u elemeto A di A, si puó allora costruire (usado u classico procedimeto diagoale) ua coppia (F ), (G ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi (2) e tali che si abbia µ + i (G \ F ) = 0 per ogi i. (4) I modo aalogo, assegato u elemeto B di F, si puó costruire ua coppia (G ), (F ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi (3) e tali che si abbia µ + i (G \ B) = 0 per ogi i. (5) Defiizioe 3.4 Ua successioe (µ i ) di masse sull algebra A si dice uiformemete regolare se verifica le due codizioi segueti: (a) per ogi elemeto A di A esiste ua coppia (F ), (G ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi (2) e tale che si abbia i µ + i (G \ F ) = 0; (6) (b) per ogi elemeto B di F esiste ua coppia (G ), (F ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi (3) e tale che si abbia i µ + i (G \ B) = 0; (7) Sussiste il seguete teorema: Teorema 3.5 Si suppoga che la successioe (µ i ), di masse regolari su A sia uiformemete G-esaustiva. Allora essa é uiformemete esaustiva e uiformemete regolare. Allo scopo di dimostrare il teorema sopra euciato, premettiamo alcui lemmi. Lemma 3.6 Sia µ ua massa regolare su A e si deoti co λ la sua restrizioe a G. Allora, per ogi elemeto G di G, l isieme µ + (G) é coteuto ell adereza dell isieme λ + (G) λ + (G). Dimostrazioe. Ifatti, per ogi elemeto A di A coteuto i G, µ(a) é aderete all isieme {µ(f ) : F F, F A}, il quale, essedo idetico all isieme {µ(g) µ(g \ F ) : F F, F A}, é coteuto ell isieme λ + (G) λ + (G). Lemma 3.7 Si suppoga che la successioe (µ i ) di masse regolari su A sia uiformemete G-esaustiva. Assegato u elemeto B di F, sia (G ), (F ) ua coppia di successioi d isiemi, verificate le relazioi (3),(5) (cfr.(3.3). Allora sussiste ache la relazioe (7). 6

7 Dimostrazioe. Comiciamo co l osservare che che, per ogi coppia i, d iteri e per ogi elemeto A di A, co A G \ B, risulta µ i (A) = m µ i (A F c m). (8) Per covicersee, basta scrivere, per ogi m >, l ovvia relazioe µ i (A) µ i (A F c m) = µ i (A F m ) µ + i (G m 1 \ B). Osserviamo i secodo luogo che, grazie al lemma precedete, la relazioe (7) da dimostrare é equivalete alla relazioe i λ + i (G \ B) = 0 dove, per ciascu i, λ i deota la restrizioe di µ i a G. Ragioado per assurdo, suppoiamo che quest ultima relazioe sia falsa. Esiste allora u itoro chiuso U di 0 i Γ co la proprietá seguete: per ogi itero p, esistoo u itero > p, u itero i e u elemeto A di G, tali che si abbia A G \ B, µ i (A) U c e quidi ache (i virtú di (8)) µ i (A F c m) U c per m abbastaza grade. Sfruttado questa proprietá di U, si possoo costruire, per iduzioe, tre successioi d iteri, ( k ), (i k ), (m k ), e ua successioe (A k ) di elemeti di G, i modo tale che si abbia, per ogi k, A k G k \ B, µ ik (A k F c m k 1) U c, k < m k < k+1. Poiché gli isiemi A k Fm c k appartegoo a G e soo a due a due disgiuti, ció cotraddice l ipotesi di uiforme G-esaustivitá. Se si applica il lemma ora dimostrato prededo F=G=A e B =, si ottiee il corollario seguete: Corollario 3.8 Si suppoga che la successioe (µ i ) di masse su A sia uiformemete esaustiva, e sia (A ) ua successioe decrescete di elemeti di A tale che si abbia µ + i (A ) = 0 per ogi i. Si ha allora i µ + i (A ) = 0. Siamo ora i grado di dimostrare il teorema (3.5) sopra euciato. Comiciamo col provare che la successioe (µ i ) é uiformemete esaustiva. Supposto vero il cotrario, esisterao: ua successioe (A ) di elemeti di A a due a due 7

8 disgiuti, u itoro chiuso U di 0 i Γ e ua successioe d iteri (i ), tali che si abbia: µ i (A ) U c per ogi. (9) Grazie alla codizioe (a) che figura ella defiizioe (3.1) di regolaritá, si puó supporre, seza ledere la geeralitá, che gli isiemi A appartegao a F. Poiamo allora B = A 1... A e scegliamo i Γ u itoro U di 0, co U +U U, e due successioi (U ), (V ) d itori di 0, tali che si abbia, per ogi U U, U + V U 1. Vogliamo provare che é possibile costruire ua coppia (G ), (F ) di successioi d isiemi, la quale verifichi, per ogi, le relazioi segueti: G G, F F, B G F G +1, i µ + i (F \ B ) U. (10) Si puó procedere per iduzioe: (a) sfruttado il Lemma (3.7), si puó azitutto trovare ua coppia d isiemi G 1, F 1 verificate le relazioi G 1 G, F 1 F, B 1 G 1 F 1, i µ + i (F 1 \ B 1 ) U 1 ; (b) supposta poi giá costruita la coppia d isiemi (G ), (F ), verificate le relazioi G G, F F, B G F G +1, i µ + i (F \ B ) U, si puó trovare (sempre sfruttado il lemma (3.7)) ua coppia d isiemi G +1, F +1 tale che si abbia G +1 G, F +1 F, B +1 F G +1 F +1, i µ + i (F +1\(B +1 F )) V, e quidi, per ogi i, µ + i (F +1 \ B +1 ) µ + i (F +1 \ (B +1 F )) + µ + i (F B c +1) V + µ + i (F \ B ) V + U U +1. Costruita cosí, per iduzioe, la coppia di successioi (G ), (F ) verificate le relazioi (10), osserviamo che si ha, per ogi coppia i, d iteri, µ + i (A +1) µ + i (G +1 \ F ) + µ + i (F \ B ) µ + i (G +1 \ F ) + U. (11) D altra parte, poiché gli isiemi G +1 \ F appartegoo a G e soo a due a due disgiuti, si ha i λ + i (G +1 \ F ) = 0 8

9 (dove λ i deota la restrizioe di µ i a G), e quidi ache, i virtú di (3.6), i µ + i (G +1 \ F ) = 0. Dalla relazioe (11) segue duque, per abbastaza grade, i µ + i (A +1) U + U U, e ció cotraddice l ipotesi (9). É cosí provato che la successioe (µ i ) é uiformemete esaustiva. Rimae da provare che essa é ache uiformemete regolare, ossia che soo soddisfatte le codizioi (a), (b) della defiizioe (3.4). Per quel che riguarda la codizioe (b), basta applicare il Lemma (3.7). Occupiamoci duque della codizioe (a). A questo scopo, assegato l elemeto A di A scegliamo (cfr.(3.3)) ua coppia (F ), (G ) di successioi d isiemi, verificate le relazioi (2),(4). Per provare che ha luogo ache la relazioe (6), basta applicare il Corollario (3.8) alla successioe (A ) defiita da: A = G \ F. Il teorema é cosí dimostrato. 2 4 Il teorema di Dieudoé Il teorema che segue si puó cosiderare come u estesioe del classico teorema di Dieudoé (cfr. [5]). Teorema 4.1 Si suppoga che il gruppo Γ sia completo e che il reticolo G (coteuto ell algebra A) sia stabile rispetto all uioe umerabile d isiemi disgiuti. Sia poi (µ i ) ua successioe di masse regolari e G-esaustive su A, la quale coverga su ogi elemeto di G. Allora essa coverge su ogi elemeto di A ed é uiformemete esaustiva (e quidi ache (cfr. (3.5)) uiformemete regolare). Pertato la massa ite é a sua volta esaustiva e regolare. Dimostrazioe. Grazie alla versioe (2.4) del teorema di Vitali-Hah-Saks, la successioe (µ i ) é uiformemete G-esaustiva. Dal teorema (3.5) segue allora che essa é ache uiformemete esaustiva e uiformemete regolare. Rimae soltato da provare che, per ogi elemeto A di A, la successioe (µ i (A)) é di Cauchy i Γ. A questo scopo, assegato i Γ u itoro V di 0, si determii u itoro simmetrico U di 0, verificate la relazioe U + U + U V. Sia poi (F ), (G ) ua coppia di successioi d isiemi, verificate le relazioi (2), (6), e sia u itero tale che si abbia i µ + i (G \ F ) U. Poiché la successioe (µ + i (G )) i 1 é di Cauchy, esiste u itero k tale che risulti µ i (G ) µ j (G ) U 9

10 per ogi coppia i, j d iteri maggiori di k. d iteri Si ha allora, per ua tal coppia µ i (A) µ j (A) = µ i (G ) µ j (G ) + µ j (G \ A) µ i (G \ A) U + U + U V. Ció prova che la successioe (µ i (A)) é di Cauchy. Refereces [1] J.K.BROOKS: O a theorem of Dieudoé; Advaces i Math. 36 (1980), [2] J.K.BROOKS, R.V.CHACON: Cotiuity ad compactess of measures; Advaces i Math. 37 (1980), [3] N.CONSTANTINESCU: O Nikodým s boudedess theorem; Libertas Mathematica, 1 (1981), [4] J.DIESTEL, J.J.UHL: Vector measures; A.M.S. Providece (1977). [5] J.DIEUDONNE : Sur la covergece des suites de mesures de Rado; Aais.Acad.Brasil.Ci., 23 (1951), 21-38, [6] N.DUNFORD, J.SCHWARTZ: Liear Operators, Part I, Wiley (1951). [7] B.T.FAIRES: O Vitali-Hah-Saks-Nykodým type theorems; A.Ist. Fourier, 26 (1976), [8] D.LANDERS, T.ROGGE: The Hah-Vitali-Saks ad the uiform boudedess theorem i topological groups; Mauscripta Math. 4 (1971), [9] O.NIKODYM: Sur les familles borées de foctios parfaitemet additives d esemble abstrait; Moatsch.Math.Phys. 40 (1933), [10] O.NIKODYM: Sur les suites covergetes de foctios parfaitemet additives d esemble abstrait; Moatsch.Math.Phys. 40 (1933), [11] W.SCHACHERMAYER: O some classical measure-theoretical theorems for o-sigma-complete Boolea algebras; Dissertatioes Math. 214 (1982),