Capitolo Parte IV

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1 Capitolo 1 11 Parte IV Exercise 11 Siao A, B,C tre eveti i uo spazio di probabilità discreto (Ω, P) Si assuma che A,B,C siao idipedeti Si mostri che (1) A B è idipedete da C () A B è idipedete da C Solutio 11 (1) Quasi ovvio: P[(A B) C] = P(A B C) = P(A)P(B)P(C) = P(A B)P(C) () È equivalete dimostrare che (A B) c = A c B c è idipedete da C Poichè gli eveti A c,b c,c soo idipedeti, ci siamo ricodotti al caso precedete visto i a Exercise 1 Siao A 1,A,,A eveti idipedeti tali che P(A 1 A A ) = 1 Si mostri che esiste k {1,,,} tale che P(A k ) = 1 Solutio 1 Si ha 0 = P(A c 1 Ac ) = Perciò k tale che P(A c k ) = 0, cioè P(A k = 1) P(A c i ) Exercise 1 Siao A,B eveti Ricordado che A B := (A B)\(A B), si mostri che P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Siao ora A,B,C tre eveti Si mostri che Solutio 1 Scusate, già assegato P(A C) P(A B) + P(B C) 1

2 1 Exercise 14 Siao A e B due eveti arbitrari di uo spazio di probabilità (Ω,P) Si dimostri la disuguagliaza P(A B) P(A) + P(B) 1 Si mostri quidi per iduzioe che, per ogi e per ogi scelta degli eveti A 1,A,,A, si ha P(A 1 A A ) Solutio 14 Scusate, già assegato P(A i ) ( 1) Exercise 15 Da u ura coteete pallie di cui k rosse e k verdi, co 1 k 1, si estrae ua pallia e quidi, seza reimmetterla ell ura, si estrae ua secoda pallia Si cosiderio gli eveti iformalmete descritti da A 1 := la prima pallia estratta è rossa, A := la secoda pallia estratta è rossa Si mostri che gli eveti A 1 e A o soo idipedeti Solutio 15 Basta osservare che P(A 1 A ) = k 1 1 k = P(A 1) Exercise 16 Si voglia illumiare ua staza co u certo umero di lampadie Assumiamo che la probabilità che ua lampadia sopravviva almeo giori vale p, co p = 09 Si può riteere che le lampadie si comportio i modo idipedete Quate lampadie occorre istallare affiché, co probabilità almeo 099, dopo 10 giori vi sia almeo ua lampadia fuzioate? Solutio 16 La probabilità che dopo 10 giori tutte le N lampadie istallate abbiao smesso di fuzioare è (1 p 10 ) N 001 N log(001) log(1 p 10 ) Exercise 17 Ho due dadi regolari: il dado α ha sei facce, su cui soo scritti i umeri da 1 a 6, metre il dado β ha dodici facce, su cui soo scritti i umeri da 1 a 1 Scelgo uo dei due dadi a caso, co la stessa probabilità, e lo lacio per volte, dove N è u umero fissato (1) Qual è la probabilità che tutti i laci diao come risultato il umero? () Qual è la probabilità che tutti i laci diao come risultato lo stesso umero? () Se tutti i laci dao come risultato il umero, qual è la probabilità che il dado scelto sia stato α? Si mostri che tale probabilità (codizioale) è sempre strettamete maggiore di 1 e se e studi il comportameto per

3 11 Parte IV Solutio 17 (1) Itroduciamo gli eveti A := il dado scelto è A e C := tutti i laci dao come risultato il umero Allora P(A) = 1, metre P(C A) = ( 1 6 ) e P(C B) = ( 1 1 ), da cui P(C) = P(C A)P(A) + P(C A c )P(A c ) = = 1 {( ) 1 ( ) 1 } ( ) 1 ( ) () Itroduciamo l ulteriore eveto D := tutti i laci dao come risultato lo stesso il umero Allora P(D A) = 6( 1 6 ) metre P(D B) = 1( 1 1 ), duque P(D) = P(D A)P(A) + P(D A c )P(A c ) = 1 () Per la formula di Bayes {( ) 1 1 ( ) 1 1 } P(A C) = P(C A)P(A) P(C) = ( 1 6 ) ( 1 6 ) + ( 1 1 = 1 ) 1 + ( 1 = ) + 1 Dato che > 1 per ogi N e che lim ( 1 ) = 0, segue che P(A C) > 1 e che P(A C) 1 per Exercise 18 Ho u ura iizialmete vuota e u isieme di pallie umerate coi umeri aturali Il primo gioro iserisco ell ura le pallie umero 1 e, dopodiché e estraggo ua a caso (ell ura rimae duque ua sola pallia) Il secodo gioro iserisco ell ura le pallie umero e 4, dopodiché estraggo a caso ua delle tre pallie coteute ell ura Itero duque la procedura: l i-esimo gioro iserisco ell ura le pallie umero i 1 e i, dopodiché estraggo a caso ua delle i + 1 pallie coteute ell ura Si itroduca per i N l eveto A i := la pallia umero 1 è presete ell ura alla fie dell i-esimo gioro (1) Si spieghi perchè vale l iclusioe A i+1 A i per ogi i N e si deduca la formula P(A ) = P(A 1 ) P(A A 1 ) P(A A 1 ), N () Si mostri che P(A ) = +1 1 per ogi N Solutio 18 (1) L iclusioe A i+1 A i è equivalete a A c i A c i+1, che è immediatamete verificata: ifatti se la pallia umero 1 o è presete ell ura alla fie dell i-esimo gioro, o potrà ovviamete essere presete alla fie dell (i + 1)-esimo

4 4 1 La formula si dimostra per iduzioe: per 1, dato che A +1 A, si ha P(A +1 ) = P(A +1 A ) = P(A )P(A +1 A ) e applicado l ipotesi iduttiva per P(A ) si coclude () Chiaramete P(A 1 ) = 1, P(A A 1 ) = e più i geerale P(A i A i 1 ) = i+1 i Applicado la formula dimostrata al puto a) si ha duque P(A ) = = Exercise 19 Si cosideri il seguete modello per la distribuzioe dei sessi dei figli i ua famiglia: il primo figlio ha proabilità 1 di essere maschio (o femmia); la probabilità che l ( + 1)-esimo figlio sia maschio, codizioalmete ai sessi dei figli precedeti, è 5 se l -esimo figlio è maschio, 5 se l -esimo figlio è femmia Si determii quidi: (1) la probabilità che il primo figlio sia maschio, codizioale al fatto che il secodo è maschio; () la probabilità che il primo figlio sia maschio, codizioale al fatto che il terzo è maschio Solutio 19 (1) Itroduciamo gli eveti A = il primo figlio è maschio e B = il secodo figlio è maschio I dati del problema ci dicoo che P(A) = 1, P(B A) = 5, P(B Ac ) = 5 La formula delle probabilità totali dà P(B) = P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ) = 1 ( 5 + ) = 1 5 Applicado quidi la formula di Bayes si ottiee P(A B) = P(B A)P(A) P(B) = = 5 b) Itroducedo l eveto C = il terzo figlio è maschio, dobbiamo calcolare P(A C) Si osservi che Per la Formula di Bayes P(A C) = P(A B C) + P(A B c C) P(A B C) = P(C A B)P(A B) P(C) Azitutto P(C A B) = 5

5 11 Parte IV 5 Ioltre P(A B) = P(B A)P(A) = 1 5 = 10 Ifie, per la formula delle probabilità totali, P(C) = P(C B)P(B) + P(C B c )P(B c ) = 1 ( 5 + ) = 1 5 Perciò P(A B C) = Lo stesso coto co B c al posto di B coduce a da cui = 9 5 P(A B c C) = 4 5, P(A C) = 1 5 Exercise 110 Il sigor Biachi da Roma e il sigor Rossi da Milao decidoo di icotrarsi a Roma All ultimo mometo, Rossi, che è u tipo molto ideciso, rimette al caso la decisioe di partire, laciado ua moeta Successivamete, i caso di esito positivo, per scegliere quale dei 6 trei a sua disposizioe predere, tira u dado regolare a sei facce Se Biachi va i stazioe e osserva che Rossi o è su essuo dei primi 5 trei, qual è la probabilità che Rossi arrivi co l ultimo treo? Solutio 110 Siao T i Rossi parte co l i-esimo treo, V Rossi parte per Roma, N Rossi o prede essuo dei primi 5 trei P(T i ) = P(T i V )P(V ) = = 1 1 P(N) = P(V c ) + P(T 6 ) = = 7 1 P(T 6 N) = P(N T 6)P(T 6 ) P(N) = = 1 7 Exercise 111 Atoio e Berta si icotrao per ua gara di scacchi Covegoo di fare due partite, assegado u puto i caso di vittoria, zero puti i caso di scofitta e mezzo puto i caso di pareggio o patta Nel caso i cui dopo le due partite i due giocatori abbiao lo stesso puteggio, lacerao ua moeta equilibrata per determiare il vicitore della gara Atoio sa giocare co due diversi approcci, uo offesivo e uo difesivo, metre Berta gioca sempre i maiera offesiva Se Atoio gioca i maiera offesiva,

6 6 1 vice co probabilità p (0,1] e perde co probabilità 1 p Se ivece gioca i maiera difesiva, pareggia co probabilità q (0,1] e perde co probabilità 1 q Atoio decide di adottare la seguete strategia Gioca la prima partita i maiera offesiva Se perde, gioca ache la secoda i maiera offesiva, metre se vice gioca la secoda partita i maiera difesiva (1) Si calcoli, i termii di p e q, la probabilità p che Atoio vica la gara () Si assuma che q = 09 Per quali valori di p si ha p > 1? È possibile che Berta sia la giocatrice più forte el seso che ha maggiore probabilità di vicere ua partita rispetto ad Atoio e ciooostate Atoio abbia maggiore probabilità di vicere la gara? (1) Atoio vice la gara se si verifica ua delle segueti alterati- Solutio 111 ve: vice la prima partita e pareggia la secoda; vice la prima partita, perde la secoda, e vice el lacio della moeta; perde la prima partita, vice la secoda, e vice el lacio della moeta Pertato p = pq + 1 p(1 q) + 1 p(1 p) () Posto q = 09, si ha pq + 1 p(1 q) + 1 p(1 p) > 1 se e solo se p > 04 Quidi se p (04,05), Berta è più forte ma Atoio ha maggiore probabilità di vicere la gara Exercise 11 Ua guida alpia orgaizza abitualmete salite alla cima del Mote Archimede Talvolta, i preseza di cattive codizioi atmosferiche, la guida decide di torare prima di aver raggiuto la cima, ache a secoda delle capacità delle persoe accompagate I caso di pioggia seza raffiche di veto, la guida riucia a raggiugere la cima il 0% delle volte; i caso di raffiche di veto ma seza pioggia, la guida riucia il 0% delle volte; co pioggia e raffiche di veto, la guida riucia l 80% delle volte; ifie, se o piove e o ci soo raffiche di veto, la cima viee sicuramete raggiuta Assumiamo che gli eveti si trova pioggia lugo il percorso e ci soo raffiche di veto lugo il percorso siao idipedeti e abbiao probabilità rispettivamete 0 e 0 Oggi u gruppo è partito co la guida, ma è torato seza aver raggiuto la cima Qual è la probabilità che abbia trovato pioggia? Solutio 11 Cosideriamo gli eveti A = la guida riucia a raggiugere la cima, B = si trova la pioggia lugo il percorso, C = ci soo raffiche di veto lugo il percorso Sappiamo che P(A B \C) = 0, P(A C \ B) = 0, P(A B C) = 08, P(A B c C c ) = 0 Ioltre, P(B) = 0 e P(C) = 0 Ifie, essedo B e C idipedeti P(B \C) = P(B) P(B C) = P(B) P(B)P(C) = 0 08 = 04

7 11 Parte IV 7 P(C \ B) = P(C) P(B C) = P(C) P(B)P(C) = 0 07 = 014 e, chiaramete P(B C) = P(B)P(C) = 006 Per la Formula di Bayes P(B A) = P(B \C A) + P(B C A) P(A B \C)P(B \C) = P(A B \C)P(B \C) + P(A C \ B)P(C \ B) + P(A B C)P(B C) + P(A B c C c )P(B c C c ) P(A B C)P(B C) + P(A B \C)P(B \C) + P(A C \ B)P(C \ B) + P(A B C)P(B C) + P(A B c C c )P(B c C c ) = 16 Exercise 11 (1) Si dimostri che, se α 1,α,,α 0 e α i = 1, allora per ogi scelta di x 1,x,,x R si ha mi x i,, α i x i max x i,, () Siao ora A 1,A,,A eveti disgiuti di uo spazio di probabilità (Ω,P), tali che P(A i ) > 0 per ogi i = 1,, Si mostri che per ogi eveto B mi P(B A i) P(B A 1 A A ) max P(B A i),,,, Solutio 11 (1) Sia m := mi,, x i () α i x i Aalogamete per l altra disuguagliaza dove α i m = m P(B A 1 A A ) = P(B (A 1 A A )) P(A 1 A A ) α j := P(A j) P(A i) La coclusioe segue dal puto precedete = P(B A i) P(A i) = α i P(B A i ), Exercise 114 Siao A e B due eveti co probabilità o ulla Diciamo che A è positivamete correlato a B se P(A B) P(A)

8 8 1 Si mostri che le segueti tre affermazioi soo equivaleti (1) A è positivamete correlato a B () B è positivamete correlato a A () A c è positivamete correlato a B c Solutio 114 Si osservi che P(A B) P(A) P(A B) P(A)P(B) P(B A) P(B), che dimostra a) b) Ioltre P(A B) P(A) P(A B) P(A)P(B) P(A) P(A B c ) P(A)[1 P(B c )] P(A B c ) P(A)P(B c ) Ripetedo lo stesso argometo si trova P(A B c ) P(A)P(B c ) P(A c B c ) P(A c )P(B c ) Mettede assieme queste ultime due equivaleze si coclude che a) c) Exercise 115 U ura cotiee pallie, che possoo essere di due colori, rosso e verde No coosciamo la composizioe dell ura e riteiamo che tutti i possibili valori k = 0,1,,, del umero di pallie rosse siao equiprobabili (1) Si estrae ua pallia dall ura, che si rivela essere rossa Sapedo ciò, per quale valore di k la probabilità che ell ura vi fossero k pallie rosse è massimizzata? () Si rispoda alla medesima domada, ma assumedo che dall ura siao state estratte due pallie, ua rossa e ua verde Solutio 115 (1) Defiiti gli eveti A = la pallia estratta è rossa e B k = l ura cotiee k pallie rosse, sappiamo che P(A B k ) = k e P(B k) = +1 1 Duque, per la formula di Bayes, P(B k A) = P(A B k)p(b k ) j=0 P(A B j)p(b j ) = k ( + 1), dove è stata usata la formula 0 j = (+1) Tale probabilità, evidetemete crescete i k, è massimizzata per k = () Sia ora C = le due pallie estratte soo ua rossa e ua verde Questa volta abbiamo k( k) P(C B k ) = ( ) Essedo P(B k C) = P(C B k)p(b k ) j=0 P(C B j)p(b j ),

9 11 Parte IV 9 e osservado che tato P(B k ) quato j=0 P(C B j)p(b j ) o dipedoo da k, sia ha che k( k) P(B k C) =, Z dove Z è ua costate che o dipede da k Quidi massimizzare P(B k C) equivale a massimizzare k( k) su k {0,1,,} Se è pari, k = è l uico puto di massimo, metre se è dispari vi soo due puti di massimo: k = ±1 Exercise 116 Si cosideri il seguete modello di distribuzioe dei figli ei uclei familiari La probabilità che u ucleo familiare scelto a caso abbia figli, co 0, vale e λ λ! (dove λ > 0 è u parametro fissato), e ciascu figlio è maschio co probabilità 1/, idipedetemete da tutti gli altri Cosideriamo l eveto A k := il ucleo familiare scelto (a caso) ha esattamete k figli maschi, per k 0 Si mostri che P(A k ) = e λ/ (λ/) k k! [Sugg Si cosideri l eveto B = il ucleo familiare scelto ha figli Si determii iazitutto P(A k B ) e poi si calcoli P(A k ) Si ricordi la serie espoeziale] Solutio 116 Dalle ipotesi del modello segue che, se k, P(A k B ) = 1 ( ) k Ovviamete, P(A k B ) = 0 se k > Pertato P(A k ) = + =0 = e λ 1 k λ k P(A k B )P(B ) = k! + =k + =k 1 λ k k ( k)! 1 ( )e λ λ k! = e λ (λ/)k k! + (λ/) λ/ (λ/)k = e =0! k! Exercise 117 Sia S = {1,,,}, Ω := P(S) P(S), e P la probabilità uiforme su Ω Duque gli elemeti di Ω soo coppie ordiate (A,B), co A,B S Cosideriamo l eveto E := {(A,B) Ω : A B} Ioltre, per B S, defiiamo F B := {(A,B ) Ω : B = B} = {(A,B) : A S} (1) Si determii P(E F B ) () Usado la formula di disitegrazioe si mostri che P(E) = (/4) P(E) = P(E F B )P(F B ), B S [Sugg Si ricordi il biomio di Newto e il fatto che P(S) = S ]

10 10 1 Solutio 117 (1) Azitutto P(E F B ) = E F B F B Gli elemeti di F B soo tati quati i sottoisiemi di S, cioè Gli elemeti di E F B soo tati quati i sottoisiemi di B, cioè B Duque P(E F B ) = B () Essedo P(F B ) = F B / Ω = 1/, si ha P(E) = B B S 4 = 1 4 k=0 B S: B =k k = 1 4 k=0 dove abbiamo usato il fatto che k=0 ( k) k = (1 + ) ( ) k = k 4, Exercise 118 È stato idetto u referedum i ua popolazioe di 1 idividui (tutti aveti diritto al voto) Ciascu idividuo adrà a votare co probabilità 1, idipedetemete dagli altri Ioltre, se u idividuo adrà a votare, voterà SÌ co probabilità 1, idipedetemete dagli altri (1) Qual è la probabilità p che u idividuo scelto a caso vada a votare e voti SÌ? () Qual è la probabilità che il umero di voti SÌ sia k, per k {0,,}? () Assumedo che i voti SÌ siao k, si determii la probabilità (codizioale) che i votati totali siao m, dove m {k,,} Si mostri che tale probabilità vale ( k m k ) ( 1 ) m k ( ) m Solutio 118 (1) Cosideriamo gli eveti A = l idividuo va a votare e B = l idividuo vota SÌ Allora p = P(A B) = P(A) P(B A) = 1 1 = 1 4 () Dobbiamo calcolare la probabilità dell eveto C = esattamete k idividui vao a votare e votao SÌ Dato che ciascu idividuo, idipedetemete dagli altri, va a votare e vota SÌ co probabilità p = 4 1, siamo i preseza di uo schema di prove ripetute e idipedeti: duque P(C) = ( k )( 1 4 ) k ( ) k 4 () Itroducedo l eveto D = esattamete m idividui vao a votare, dobbiamo calcolare P(D C) Applicado la formula di Bayes

11 11 Parte IV 11 P(D C) = P(C D) P(D) P(C) Applicado lo schema di prove ripetute e idipedeti si ha ( )( ) 1 ( )( ) m 1 m P(D) =, P(C D) =, m k metre P(C) è stata determiata al puto precedete Sostituedo ed effettuado le opportue semplificazioi, si trova P(D C) = ( m )( k( m) k) ( 1 )m ( 1 ) ( 1 )k ( 4 ) k = ( k m k ) ( 1 ) m k ( ) m