Indipendenza tra due caratteri

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1 Idipedeza tra due caratteri Defiizioi: 1) due caratteri soo idipedeti se tra essi o esiste ua relazioe di causa ed effetto; 2) due caratteri soo idipedeti se la coosceza di ua modalità di uo dei due caratteri o migliora la previsioe sulla modalità dell altro; 1

2 Esempio di Distribuzioe Bivariata: X/Y y 1 y 2 y 3 y 4 Tot. x x x Tot X f(x y 1 ) f(x y 2 ) f(x y 3 ) f(x y 4 ) f(x) x 1 12/36=0.33 4/12= /48=0.33 8/24= /120=0.33 x 2 15/36=0.42 5/12= /48= /24= /120=0.42 x 3 9/36=0.25 3/12= /48=0.25 6/24= /120=0.25 Tot Domada: se sulla 121^ uità si rileva Y=y 3 questa iformazioe migliora la ostra previsioe su quale potrebbe essere il valore di X? La risposta è NO! Perché il sapere che Y=y 3 o aggiuge ulla rispetto all iformazioe che ci viee 2 data dalla semplice distribuzioe margiale di X.

3 Pertato possiamo cocludere che: X è idipedete da Y Y f(y x 1 ) f(y x 2 ) f(y x 3 ) f(y) y 1 12/40= /50=0.30 9/30= /120=0.30 y 2 4/40=0.10 5/50=0.10 3/30= /120=0.10 y 3 16/40= /50= /30= /120=0.40 y 4 8/40= /50=0.20 6/30= /120=0.20 Tot Nota: se tutte le distribuzioi di X codizioate ad Y soo uguali tra loro ed uguali alla margiale di X ache tutte le distribuzioi di Y codizioate ad X soo uguali tra loro ed uguali alla margiale di Y. Pertato, ache i questo caso, se sulla 121^ uità dovesse essere rilevato, ad esempio, X=x 1 la ostra previsioe circa la modalità di Y o migliorerebbe rispetto all iformazioe che ci viee data dalla distribuzioe margiale della stessa Y. Quidi Y è idipedete da X. Domada: come soo le medie codizioate di X e di Y? 3

4 Torado, ivece, alle 100 barrette d acciaio ed esamiado la tabelle delle distribuzioi di Y codizioate ad X, sapedo, ad esempio che: 0<X<0,75 quale previsioe potremmo fare su Y? Y f( Y x 1 ) f( Y x 2 ) f( Y x 3 ) f( Y x 4 ) 2-4 0,7143 0,1667 0,0571 0, ,2857 0,5417 0,1714 0, ,0000 0,2500 0,1429 0, ,0000 0,0417 0,4286 0, ,0000 0,0000 0,2000 0,4500 Totali 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4

5 Teorema: Se (1) f(x i y 1 )=...=f(x i y j )= =f(x i y s )=k i per (,..,r) allora: (2) f(x i )=k i per (,..,r) (3) f(y j x 1 )=...=f(y j x i )=...=f(y j x r )=h j per (j=1,..,s) (4) f(y j )=h j per (j=1,..,s) (5) X è idipedete da Y e Y è idipedete da X. 5

6 Dimostrazioe: dalla (1) avremo che: i1 /.1 =... = ij /.j =... = is /.s = k i cioè: i1 =.1 k i ;.; ij =.j k i ;. ; is =.s k i sommado membro a membro avremo che: cioè per (,..,r) ovvero: k i = i. / per (,..,r), che dimostra la (2). 6

7 Da (1) e (2) deduciamo che: f(x i y j ) = f(x i ) = k i per (,..,r) e (j=1,..,s) che equivale a: per (,..,r) e (j=1,..,s) da cui: per (,..,r) e (j=1,..,s) che dimostrao la (3) e la (4). Se soo tutte vere: (1), (2), (3) e (4) esse implicao ache la (5), che è dalle stesse defiita. Ifie la codizioe di Idipedeza Statistica tra X e Y è data da: per (,..,r) e (j=1,..,s) c.d.d.. 7

8 I sitesi, abbiamo dimostrato che: {idipedeza} { f(x i y j )=f(x i )} { f(y j x i )=f(y j )}; i,j ovvero: {idipedeza} { ij /.j = i. /} { ij / i. =.j /}; i,j Codizioe d Idipedeza: ij = i..j i = 1,..,r j = 1,..,s Verificare la codizioe d idipedeza sulle ultime due distribuzioi bivariate (pagie 138 e 144). 8

9 Regioe Y X Piemote 174,2 287 Valle d'aosta 174, Lombardia 173, Tretio A.A. 175, Veeto 174, Friuli V.G. 176, Liguria 174, Emilia R. 174, Toscaa 174, Umbria 173, Marche 173, Lazio 173, Abruzzi 172,3 243 Molise 171, Campaia 171,2 148 Puglia 171, Basilicata 169, Calabria 169, Sicilia 170, Sardega 169, (X): Numero degli abboameti alla RAI (1982) per 1000 abitati per Regioe; (Y) Statura media i cm. degli iscritti di leva (classe 1962). Stabiliamo le segueti Classi di Modalità di X ; ; ; e di Y: ; ; ; X/Y Totali Totali Essedo ij i..j per tutti gli (i,j) i caratteri (X,Y) soo statisticamete dipedeti, ma o essedo logicamete dipedeti, diremo che si tratta di dipedeza spuria. Nel seguito Dipedeza 9 sigificherà Dipedeza Statistica.

10 Esempio: collettivo di 50 famiglie classificate per figli e per settore d attività ecoomica del capofamiglia; Frequeze cogiute ij Frequeze cogiute d idipedeza ij Y/X Tot. A I S Tot Cotigeze c ij Y/X Tot. A I S Tot

11 Misure sitetiche di Dipedeza Statistica Idiche Chi-Quadro di Pearso: dove le c ij = ( ij ij ) e le ij = ( i..j / ). Proprietà di χ 2 : a) se X ed Y soo idipedeti allora χ 2 = 0; b) se X ed Y o soo idipedeti χ 2 > 0, ed è tato più grade quato più le ij si differeziao dalle ij ; c) χ 2 è ua misura di dipedeza per X ed Y caratteri quatitativi e/o qualitativi ed il suo calcolo o si basa é sulle modalità di X é su quelle di Y; d) χ 2 è ua misura assoluta di dipedeza statistica. 11

12 Calcolo di χ 2 : 1)Tabella dati origiari: ij ; 2)Tabella di Idipedeza: ij; 3)Tabella delle cotigeze: c ij ; 4)Tabella dei rapporti: c 2 ij / ij ; 5) χ 2 =10,49. Y/X Tot. A I S Tot Y/X Tot. A 1,3 3,12 4,94 2,34 1,04 0,26 13 I 1,9 4,56 7,22 3,42 1,52 0,38 19 S 1,8 4,32 6,84 3,24 1,44 0,36 18 Tot Y/X Tot. A -0,3-1,12-1,94 1,66 0,96 0,74 0 I -0,9-0,56 1,78 0,58-0,52-0,38 0 S 1,2 1,68 0,16-2,24-0,44-0,36 0 Tot Y/X Tot. A 0,07 0,40 0,76 1,18 0,89 2,11 5,40 I 0,43 0,07 0,44 0,10 0,18 0,38 1,59 S 0,80 0,65 0,00 1,55 0,13 0,36 3,50 Tot. 1,30 1,12 1,20 2,82 1,20 2,85 10,49 Nota: il valore di χ 2 otteuto ci assicura che tra X ed Y c è dipedeza statistica ma o dice quato essa è forte, perché χ 2 è ua misura assoluta di dipedeza. 12

13 r s j=1 2 ij ij ij 2 ij ij r s j=1 ij 2 ij ij r s j=1 ij ij 2 2 )= ( 1 = = ) - ( = c = r s j=1 ij r s j=1 r s j=1 ij ij 2 ij r s j=1 ij 2 ij r s j=1 ij ij ij r s j=1 ij 2 ij = = = = 2+ - = r s j=1 ij 2 ij = 1 )= )( ( 1 = = s j=1.j r i. r s j=1.j i. r s j=1 ij Calcolo alterativo di χ 2 : poiché :

14 Pertato avremo ache: ifie, se o si vuole passare per il calcolo delle ij= i..j /, avremo: 2 = r s 2 ij j=1 i..j -1 14

15 Defiizioe di Massima Dipedeza La dipedeza è massima se per ogi riga o per ogi coloa o più di ua frequeza cogiuta è diversa da zero. Esempio: X/Y y 1 y 2 y 3 y 4 Tot. x x x Tot Per le caselle co ij 0 avremo: 2 ij = i..j e di cosegueza r s 2 ij j=1 i..j t, dove t = miore ( r, s ) e max χ 2 =( t 1) Defiiamo, quidi, l idice relativo di dipedeza di Cràmer: C 2 = χ 2 / max χ 2 = χ 2 / [ ( t 1 ) ] co [0 C 2 1]. 15

16 Esempio collettivo di 50 famiglie classificate per figli e per settore d attività ecoomica del capofamiglia: Il max χ 2 per la tabella precedete è quello che si otterrebbe da ua tabella co le stesse dimesioi (3 x 6) e co lo stesso totale (=50). I tal caso: max χ 2 = ( t 1 ) = [ mi (3,6) 1 ] 50 = 100, quidi: C 2 = χ 2 /max χ 2 = 10,49/100 = 0,1049

17 Misure di dipedeza lieare o correlazioe Se due caratteri quatitativi risultao statisticamete dipedeti possiamo ipotizzare che essi siao legati da ua relazioe lieare, cioè del tipo Y= a + b X. Per verificare questa ipotesi misureremo la: strettezza della relazioe lieare, ovvero, misurado il grado di correlazioe tra X e Y. Si cosiderio le coppie di modalità (x i, y j ), riportati elle tabelle che seguoo, ed i relativi di diagrammi scatter che mettoo i luce ua possibile relazioe lieare tra X e Y: 17

18 Data Set (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y X Y X Y X Y X Y 1,00-3,70 6,00-1,98 11,00 24,07 17,00 13,06 1,00 14,53 6,60 2,42 10,30-4,60 17,00 6,18 1,30-3,62 7,00 6,03 11,00 12,81 17,40 12,10 1,00-4,46 7,00-7,16 11,40-1,16 18,00 15,31 1,00-1,54 7,00-1,70 12,00 10,76 18,00 7,33 1,60-7,99 7,00 19,24 12,00 5,14 18,10 12,97 1,70 10,86 7,10-7,68 12,10 21,17 19,00 13,56 1,50 11,97 7,00 9,32 13,00 7,38 19,00 9,45 2,00 9,11 7,80 9,02 13,00 25,59 20,30 26,55 2,00-11,32 8,00 15,06 13,00 14,81 21,00 14,07 2,40-6,60 8,00 19,28 13,40 9,64 22,90 22,42 3,00 2,83 8,70 19,33 13,00 24,97 23,10 26,72 3,00 5,71 8,00 17,56 13,00 0,54 24,00 29,89 3,40 9,73 8,00 7,99 14,00 24,08 24,00 33,89 3,00-7,08 8,20 19,50 14,50 0,26 25,10 14,39 3,00 7,64 8,00 13,02 14,00 0,33 25,00 15,87 3,60 13,74 9,00 2,40 14,00 23,64 25,00 9,13 4,00-1,76 9,00 11,69 14,20 2,79 25,00 15,41 4,10 3,66 9,10 17,11 15,00 14,89 26,70 29,08 5,00-6,50 9,00-1,30 15,00-2,37 26,00 17,58 5,40 5,54 9,60 17,32 15,00 14,56 26,20 22,06 5,00 19,50 10,00 16,51 16,00 1,66 27,00 10,48 5,00-6,96 10,00 4,00 16,00 17,61 27,00 25,73 5,20 3,47 10,30-5,79 16,00 3,23 28, ,30 5,00 14,39 10,00 20,30 16,00 5,68 29,00 18,37

19 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 19

20 40,00 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y (i sovrimpressioe la retta d equazioe: Y = 1,5 + 0,71 X ) 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 20

21 Data Set (b) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y X Y X Y X Y X Y 1,00 2,20 6,00 4,07 11,00 9,03 17,00 10,85 1,00 2,81 6,60 9,34 10,30 8,08 17,00 12,66 1,30 3,38 7,00 8,92 11,00 9,03 17,40 14,43 1,00 5,20 7,00 8,44 11,40 9,95 18,00 15,46 1,00 1,73 7,00 9,16 12,00 11,18 18,00 16,83 1,60 5,42 7,00 6,01 12,00 13,36 18,10 13,41 1,70 5,67 7,10 5,84 12,10 8,15 19,00 17,98 1,50-0,24 7,00 7,34 13,00 9,22 19,00 15,84 2,00 5,83 7,80 9,06 13,00 9,81 20,30 19,51 2,00 3,43 8,00 8,14 13,00 11,60 21,00 14,52 2,40 2,87 8,00 6,99 13,40 13,09 22,90 19,53 3,00 4,07 8,70 7,68 13,00 10,76 23,10 15,52 3,00-0,01 8,00 7,40 13,00 10,05 24,00 21,27 3,40 0,83 8,00 10,34 14,00 12,58 24,00 16,62 3,00 2,99 8,20 5,35 14,50 12,02 25,10 20,13 3,00 5,88 8,00 6,40 14,00 8,41 25,00 16,99 3,60 3,97 9,00 5,86 14,00 10,32 25,00 22,60 4,00 6,19 9,00 10,57 14,20 12,28 25,00 22,30 4,10 3,24 9,10 9,44 15,00 15,48 26,70 23,49 5,00 6,01 9,00 7,01 15,00 9,40 26,00 19,85 5,40 8,38 9,60 6,41 15,00 11,13 26,20 18,04 5,00 3,64 10,00 11,00 16,00 13,41 27,00 17,89 5,00 3,53 10,00 6,12 16,00 14,06 28,20 22,45 5,20 3,56 10,30 11,54 16,00 11,43 28, ,28 5,00 7,35 10,00 10,26 16,00 15,69 29,00 20,23

22 Diagramma Scatter (b) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 22

23 30,00 Diagramma Scatter (b) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y (i sovrimpressioe la retta d equazioe: Y = 1 + 0,75 X ) 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 23

24 La differeza tra i due diagrammi scatter (a) e (b) cosiste el fatto che il primo diagramma mostra ua uvola di puti più dispersa che o el secodo caso, pur mostrado etrambe ua sottostate relazioe lieare tra X e Y. Più precisamete diremo che el caso (b) la relazioe lieare tra X e Y è più stretta che o el caso (a). Misure di strettezza della relazioe lieare o di Correlazioe tra X e Y La Covariaza Date le coppie di modalità (x 1, y 1 ) (x, y ) chiameremo Covariaza la media dei prodotti degli scarti dalle rispettive medie di X e di Y: cov(x, y)= 1 x - M(x) y - M(y) i i 24

25 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 25

26 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 26

27 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 27

28 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate 30,00 25,00 20,00 P i 15,00 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 (x i M x ) < 0-10,00-15,00 28

29 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate 30,00 25,00 20,00 15,00 (y i M y ) > 0 P i 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 (x i M x ) < 0-10,00-15,00 29

30 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate NEGATIVO 30,00 25,00 20,00 15,00 (y i M y ) > 0 P i 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 (x i M x ) < 0-10,00-15,00 30

31 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate NEGATIVO II Quadrate POSITIVO 30,00 25,00 20,00 15,00 (y i M y ) > 0 P i 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 (x i M x ) < 0-10,00-15,00 31

32 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate NEGATIVO II Quadrate POSITIVO 30,00 25,00 20,00 15,00 (y i M y ) > 0 P i 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 (x i M x ) < 0-10,00-15,00 III Quadrate POSITIVO 32

33 Diagramma Scatter (a) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y 40,00 35,00 I Quadrate NEGATIVO II Quadrate POSITIVO 30,00 25,00 20,00 15,00 (y i M y ) > 0 P i 10,00 M y =9,9 5,00 0,00 M x =11,9 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00-10,00-15,00 (x i M x ) < 0 III Quadrate POSITIVO IV Quadrate NEGATIVO 33

34 Per il data set (a) soo prevaleti i prodotti degli scarti [(x i - M(X)] [y i M(Y)] > 0, essedo X ed Y cocordi, quidi Cov(X,Y)>0, i particolare: Cov(X,Y) = 41,42.

35 Aalogamete, per il data set (b), essedo i caratteri quatitativi X e Y cocordi, soo prevaleti i prodotti di scarti positivi, quidi Cov(X,Y)>0, i particolare: Cov(X,Y) = 41,64. 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00

36 Aalogamete, per il data set (b), essedo i caratteri quatitativi X e Y cocordi, soo prevaleti i prodotti di scarti positivi, quidi Cov(X,Y)>0, i particolare: Cov(X,Y) = 41,64. 30,00 25,00 I Quadrate NEGATIVO II Quadrate POSITIVO 20,00 15,00 10,00 M y =10,3 5,00 IV Quadrate NEGATIVO 0,00 0,00 5,00 10,00 M x =11,9 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00-5,00 III Quadrate POSITIVO

37 Se X ed Y soo cocordi soo prevaleti i puti che cadoo el II e el III quadrate. A tali puti corrispodoo scarti di X e di Y che hao, rispettivamete, lo stesso sego e che producoo, pertato, prodotti di scarti positivi. La Covariaza, essedo pari alla media dei prodotti degli scarti, sarà positiva. Nel caso i cui X ed Y siao discordi i puti del diagramma scatter sarao prevaleti el I e el IV quadrate. A tali puti corrispoderao scarti di X e di Y che avrao sego opposto e darao luogo, pertato, a prodotti di scarti egativi. La Covariaza, i questo secodo caso, essedo pari alla media dei prodotti degli scarti, sarà egativa. 37

38 Data Set (c) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y X Y X Y X Y X Y 1,00 23,94 6,00 18,37 11,00 19,17 17,00 7,80 1,00 21,20 6,60 22,22 10,30 13,95 17,00 13,15 1,30 24,83 7,00 21,30 11,00 16,49 17,40 11,26 1,00 21,85 7,00 17,87 11,40 13,47 18,00 13,36 1,00 25,48 7,00 15,97 12,00 15,54 18,00 13,01 1,60 23,63 7,00 18,58 12,00 14,54 18,10 13,75 1,70 23,86 7,10 17,18 12,10 12,96 19,00 7,76 1,50 25,80 7,00 19,95 13,00 16,75 19,00 9,38 2,00 21,82 7,80 18,65 13,00 14,36 20,30 7,35 2,00 23,42 8,00 18,12 13,00 16,25 21,00 9,57 2,40 22,87 8,00 19,17 13,40 16,28 22,90 4,96 3,00 20,89 8,70 16,29 13,00 13,49 23,10 3,34 3,00 18,78 8,00 21,12 13,00 17,64 24,00 7,68 3,40 21,24 8,00 16,61 14,00 10,71 24,00 7,25 3,00 18,82 8,20 19,54 14,50 10,20 25,10 5,37 3,00 22,33 8,00 18,44 14,00 13,69 25,00 8,31 3,60 19,50 9,00 18,44 14,00 16,53 25,00 2,94 4,00 19,75 9,00 20,61 14,20 13,60 25,00 4,40 4,10 22,09 9,10 18,68 15,00 9,51 26,70 4,93 5,00 23,13 9,00 15,28 15,00 16,05 26,00 5,94 5,40 18,74 9,60 19,04 15,00 9,86 26,20 4,24 5,00 17,99 10,00 16,42 16,00 14,48 27,00 1,29 5,00 18,87 10,00 16,13 16,00 11,52 28,20 3,87 5,20 23,06 10,30 17,10 16,00 9,51 28,00 385,92 5,00 23,12 10,00 18,63 16,00 15,08 29,00 5,05

39 Diagramma Scatter (c) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y

40 Diagramma Scatter (c) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y M y =15, M x =10,

41 Nel data set (c) soo prevaleti i prodotti di scarti egativi, cioè [(x i -M(X)] [y i M(Y)] < 0 (essedo i caratteri quatitativi X e Y discordi), quidi Cov(X,Y)<0, i particolare: Cov(X,Y)= - 43, I caso di bilaciameto tra prodotti degli scarti positivi e egativi si ha: Cov( X, Y ) = 0.

42 Data Set (d) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y X Y X Y X Y X Y 1,00-3,39 6,00 4,33 11,00 5,65 17,00-2,62 1,00 1,81 6,60 5,89 10,30-2,73 17,00-1,86 1,30-0,89 7,00 4,86 11,00 3,63 17,40-2,42 1,00-0,55 7,00 2,87 11,40 3,24 18,00-1,38 1,00-1,00 7,00 4,21 12,00 0,11 18,00 2,09 1,60 3,88 7,00 1,40 12,00 3,29 18,10 4,68 1,70-2,77 7,10 4,22 12,10 5,13 19,00 4,35 1,50 0,41 7,00 5,49 13,00-1,17 19,00 5,72 2,00-2,94 7,80-2,84 13,00 5,85 20,30-3,54 2,00 4,95 8,00-1,27 13,00 2,19 21,00 4,64 2,40-1,26 8,00 2,07 13,40-3,99 22,90-0,91 3,00 1,03 8,70 0,97 13,00 0,72 23,10 0,10 3,00 2,34 8,00-3,66 13,00 3,66 24,00 5,02 3,40-2,29 8,00-3,08 14,00 2,85 24,00-3,86 3,00-3,40 8,20-2,15 14,50 3,93 25,10 4,57 3,00 2,64 8,00 4,54 14,00-2,57 25,00 2,24 3,60 3,44 9,00 0,39 14,00-2,64 25,00 4,07 4,00 3,34 9,00 4,11 14,20 0,72 25,00-1,17 4,10-3,03 9,10-0,27 15,00-3,72 26,70 0,75 5,00 4,53 9,00 5,72 15,00-2,18 26,00 3,98 5,40 4,03 9,60 5,17 15,00-0,56 26,00-1,94 5,00-3,19 10,00 1,33 16,00 0,70 26,20-3,77 5,00 4,94 10,00 0,87 16,00-1,87 27,00 4,55 5,20 2,24 10,30 4,15 16,00-1,60 27,00 1,93 5,00 1,27 10,00 4,20 16,00 3,54 27,00-0,23

43 Data Set (d) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y M y =1, M x =11,

44 Nel data set (d) i prodotti di scarti positivi equivalgoo quelli egativi, o solo, ma a valori di X piccoli corrispodoo sia valori di Y piccoli che gradi e lo stesso succede per i valori gradi di X. I altre parole, o si riesce a ricooscere alcua relazioe fuzioale tra i valori di Y i fuzioe di X (ma ache viceversa). I questa situazioe se i ua uità si coosce la modalità co la quale si maifesta uo dei due caratteri è impossibile fare ua previsioe razioale circa la modalità del secodo carattere. Per cui cocluderemo che: X ed Y soo INDIPENDENTI I particolare, i questo data set (d) si ha: Cov(X,Y)= - 0,20.

45 Medie Codizioate e Margiale di Y (Data Set D) Classi X Val. Cetr. X Somma(Y) Frequeze M(Y x) 0-5 2,5 2, , ,5 56, , ,5 38, , ,5 2, , ,5 1,44 6 0, ,5 14, ,36 Totali , ,17

46 Data Set (d) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y (M(Y x) = medie di Y codizioate ad x ) M y =1,2 2,10 1,75 0 1,36 0 0, M x =11,8 15 0,19 0,

47 Data Set (e) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y X Y X Y X Y X Y 2,24 1,32 0,83-2,45 4,78-2,80 4,36 0,16 3,01 4,13 3,13 1,85 3,80 2,12 3,57 1,99 1,96 1,96 4,80-0,75 1,90-0,48 4,57-1,08 1,74-0,73 1,63-0,85 5,22-4,20 1,99 2,47 2,74 2,42 3,78 2,51 2,20 1,24 1,49 2,13 3,00 3,18 2,67 2,77 2,50 1,06 5,42-5,50 3,25 1,73 4,06 0,99 1,68-0,01 1,86 0,31 3,07 4,47 5,15-2,64 3,13 2,80 3,72 1,17 4,31-0,66 3,97 2,68 5,43-4,82 1,48 0,80 1,75 0,51 4,78-1,30 2,43 1,16 1,81 2,03 2,40 2,58 3,42 1,75 4,59-2,51 4,45 1,00 4,96-2,01 4,97-1,26 3,85 1,00 0,72-2,88 3,46 3,03 3,19 2,95 0,86-2,78 3,08 2,21 1,76 0,38 0,80-2,30 1,34-0,95 2,48 0,69 1,41 0,00 1,18-1,83 5,45-4,71 3,76 2,78 3,97 1,20 2,02 2,50 1,59 0,20 4,72-1,36 2,91 1,40 0,53-5,97 3,58 2,65 0,65-4,15 5,07-3,62 0,88-3,71 5,48-5,19 0,96-2,25 2,92 2,51 2,36 2,64 2,45 1,66 1,79 1,45 5,02-1,57 1,38 0,57 4,03 1,94 0,79-2,75 4,84-2,10 3,57 3,32 0,82-3,27 1,64 0,84 3,41 2,06 4,13-0,14 0,75-3,63 2,43 2,64 2,41 1,68 3,68 1,77 4,24 1,92 0,71-3,73 3,37 2,00 4,86-2,18 3,64 0,91 2,72 4,69 0,65-3,46 3,18 3,41 1,70 1,34 1,35-0,62

48 Data Set (e) relativo a 100 coppie di modalità (x i, y i ) dei caratteri quatitativi X e Y M y =0,1 M x =2,

49 Ache per il data set (e) c è u bilaciameto ei quattro quadrati, come el caso del data set (d), quidi la covariaza, se o proprio ulla, sarà vicia a zero. Ifatti i questo data set (e) si ha: Cov(X,Y)= - 0,03. Rispetto al data set (d), i puti del diagramma scatter relativo al data set (e) mostrao, però, ua chiara relazioe fuzioale di Y rispetto alla X. I particolare, al crescere della X la Y prima cresce e poi decresce. Pertato, i ua uità, cooscedo la modalità di X adesso siamo i grado di poter fare ua previsioe sul valore della Y, quidi possiamo cocludere che Y DIPENDE da X, ache se la dipedeza o è LINEARE, cioè la CORRELAZIONE è quasi NULLA.

50 Da tutto quello è stato mostrato egli esempi si evice chiaramete che: se tra i due caratteri X ed Y c è perfetta INDIPENDENZA allora la COVARIANZA è pari a zero. No vale il viceversa, cioè: se la COVARIANZA è ulla o è detto che i due caratteri X ed Y siao INDIPENDENTI perché Y potrebbe essere legata ad X da ua relazioe diversa da quella lieare. I altre parole: se c è INDIPENDENZA c è (a fortiori) INCORRELAZIONE, se c è INCORRELAZIONE o è detto che ci sia INDIPENDENZA. I simboli: Idipedeza Cov(X,Y)=0 Cov(X,Y)=0 Idipedeza

51 Richiami sulle equazioi di II grado: y = a x 2 + b x + c La precedete equazioe geometricamete rappreseta ua parabola che si disporrà el piao i fuzioe dei valori assuti dai parametri a, b e c. Se ad esempio a > 0, la cocavità è rivolta verso l alto. Idicado co Δ = b 2-4ac, poichè le radici dell equazioe y=0 soo: x 1 = (-b - Δ) / 2 a, x 2 = (-b + Δ) / 2 a se Δ > 0, le radici soo reali e distite, se Δ = 0 le radici soo reali e coicideti ed, ifie, se Δ < 0, le radici soo immagiarie coiugate: Caso 1: Δ > 0 Caso 2: Δ = 0 Caso 3: Δ < 0 NB: ei casi 2 e 3 si ha sempre: y 0 ed a>0)

52 Diseguagliaza di Cauchy-Schwarz Cov( X, Y ) 2 V( X ) V( Y ) Dimostrazioe: zi = xi wi = y i - M(X) - M(Y) (z = = (z z i 2 i 2 i +lw +2 l +2 l i ) z 2 i = w +l z i i w +l i 2 w 2 2 i )= w 2 i 0 52

53 Poiché l espressioe precedete è o egativa, cioè si ha sempre y 0 ed a > 0, quidi il poliomio i l, (a) (b) (c) o ammette radici reali e distite, cioè il suo discrimiate Δ è Δ 0, cioè: 53

54 ma, sostituedo al posto di z i e w i gli scarti di x i e y i dalle rispettive medie, avremo: cioè: da cui cosegue: Cov( X, Y ) 2 V( X ) V( Y ) c.d.d. - V(X) V(Y) Cov(X,Y) V(X) V(Y) 54

55 Nella diseguagliaza di Cauchy-Schwarz vale il sego = quado X ed Y soo legate da ua perfetta relazioe lieare, cioè Y=a+bX. Ifatti, se Y=a+bX allora y i = a + b x i, i, quidi, ricordado che M(Y) = a + b M(X), avremo: Cov(X,Y)= = = 1 1 = b 1 1 x - M(X) y - M(Y) x - M(X) c+b x - a - b M(X) x - M(X) b x - M(X) i i x - M(X) = bv(x) i i 2 i i i = = = 55

56 ioltre, essedoci ua relazioe lieare tra le medie avremo ache: M(X)=-(a/b)+M(Y)/b pertato: 56

57 quidi, i ultima aalisi: Cov(X,Y)=bV(X) Cov(X,Y)=V(Y)/b pertato se: Y=a+bX allora Cov(X,Y) 2 =V(X)V(Y) ioltre, se b>0 si ha Cov(X,Y)=bV(X) 0, quidi: c.d.d. Cov(X,Y) = V(X) V(Y) se, ivece, b<0 si ha Cov(X,Y)=bV(X) 0, quidi: Cov(X,Y) = - V(X) V(Y) 57

58 Idice relativo di dipedeza lieare o correlazioe: r(x,y) = Cov (X,Y) max Cov (X,Y) = Cov (X,Y) V(X) V(Y) -1 r(x,y) 1 il sigificato di r(x,y), detto coefficiete di correlazioe di Bravais Pearso, è idetico a quello di Cov(X,Y) ma, a differeza di quest ultima, r(x,y) è ua misura relativa di correlazioe. 58

59 Per il Data Set (a) avremo: M(X)=11,87; M(Y)=9,87; V(X)=58,74; V(Y)=102,84; Cov(X,Y)=41,42; r(x,y)=0,53. Per il data set (b) avremo: M(X)=11,87;M(Y)=10,29;V(X)=58,78;V(Y)=33,21; Cov(X,Y)=41,64; r(x,y)=0,94. Per il data set (c) avremo: M(X)=11,88; M(Y)=15,40; V(X)=59,05; V(Y)=36,31; Cov(X,Y)=-43,72; r(x,y)=-0,94. Per il data set (d) avremo: M(X)=11,82;M(Y)=1,17;V(X)=57,42;V(Y)=9,28; Cov(X,Y)=-0,20; r(x,y)=-0,01. Per il data set (e) avremo: M(X)=2,91; M(Y)=0,14; V(X)=2,01; V(Y)=6,17; Cov(X,Y)=-0,03; r(x,y)=-0,01. 59

60

61 Sio ad ora, ello studio dei delle distribuzioi bivariate abbiamo supposto che i dati siao foriti sotto forma di coppie di modalità rilevate (x i, y i ). Aalizzeremo ora il caso i cui, ivece, essi siao foriti sotto forma di: tabella a doppia etrata o tabella di cotigeza. I dati da predere i cosiderazioe sarao ora le r x s coppie (x i, y j ) di modalità diverse ciascua cosiderata co la propria frequeza ij. 61

62 Tabella a Doppia Etrata X/Y y 1 y 2 y 3... y j... y s Tot x j... 1s 1. x j... 2s x i i1 i2 i3... ij... is i x r r1 r2 r3... rj... rs r. Tot j....s La covariaza rimae defiita come la media aritmetica, i questo caso poderata, dei prodotti degli scarti dalla media, 62 rispettivamete, di X e di Y.

63 Si oti che se le variabili X e Y soo idipedeti allora si avrà che: ij = i..j /, (i,j), sostituedo ella formula della covariaza avremo: r s 1 Cov(X,Y)= i..j xi - M(X) y j - M(Y) = = 1 r j=1 1 x - M(X) y - M(Y) = i = 0 0 = 0 I coclusioe: se (X, Y) soo Idipedeti Cov(X, Y)=0, r(x, Y)=0. i. s j=1 j.j NON E VERO IL VICEVERSA 63

64 = Calcolo semplificato della Covariaza Cov(X,Y)= 1 1 x - M X y - M Y - y M X + M Y M X x y - x M Y = i i i i i i = = = 1 1 x y - M(Y) xi - M(X) i i yi +M(Y)M(X) x i y i - M(Y)M(X)- M(Y)M(X)+ M(Y)M(X) = da cui: Cov(X,Y)= 1 x i y i - M(X) M(Y) 64

65 Verifichiamo co u cotro esempio che Cov(X, Y)=0 o implica l idipedeza: X Y X Y Ifatti ella tabella, di cui sopra, M(X)=0, M(Y)=2, quidi Cov(X,Y)=r(X,Y)=0 ma, chiaramete, Y dipede da X secodo ua legge quadratica. I questo caso X ed Y si dicoo icorrelati. 65

66 se i dati soo orgaizzati i ua tabella a doppia etrata avremo aalogamete: Cov(X,Y)= 1 r s j=1 M(X) M(Y) il calcolo del coefficiete di correlazioe si effettuerà come di cosueto: x i y j ij - r(x,y) = Cov (X,Y) V(X) V(Y) 66