Algebra Polinomiale. Capitolo S-02. Indice del capitolo. Autore: Mirto Moressa.

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1 Capitolo S-0 Algebra Poliomiale Autore: Mirto Moressa Cotatto: Sito: Data iizio: 0/09/009 Data fie: 3/09/009 Ultima modifica: 5//0 Versioe:.5 Idice del capitolo ) Equazioi lieari (e altre): )def; )due regole di equivaleza; 3)equazioi fratte; 4)regola aullameto del prodotto; ) Sistemi di equazioi lieari: )metodi risoluzioe sistemi i equazioi e icogite (sostituzioe, cofroto, riduzioe, Cramer); )metodi risoluzioe sistemi lieari di più equazioi (sostituzioe e sottrazioe); 3) Disequazioi lieari (e altre): )def.; )due regole di equivaleza; 3)itervalli; 4)frazioarie; 5)regola dei segi; 4) Moduli: )def.; )equazioi/disequazioi co moduli; 3)fuzioi co moduli; 5) Radicali: )def.; )esisteza; 3)proprietà; 4)esisteza evoluta; 5)somma; 6)razioalizzazioe del deomiatore; 7)radicali doppi; 8)otazioe espoete frazioario; 6) Equazioi di º grado (e altre): )def.; )risoluzioe; 3)frazioarie, parametriche; 4)relazioi tra i coefficieti e le radici; 5)scomposizioe di u triomio di º grado; 6)regola dei segi di Cartesio; 7)equazioi triomie (e biquadratiche); 8)equazioi biomie di grado ; 9)equazioi irrazioali; 7) Disequazioi di º grado (e altre): )def.; )risoluzioe; 3)sego di u triomio; 4)disequazioi frazioarie, co valore assoluto e biquadratiche; 5)disequazioi biomie di grado ; 6)irrazioali; 8) Poliomi: )def. moomi; )def. poliomi; 3)operazioi; 4)raccoglimeti; 5)poliomi i x di grado ; 6)prodotti otevoli; 7)divisioe tra poliomi; 8)def. divisibilità; 9)regola di Ruffii; 0)teorema di Ruffii; )applicazioe; )scomposizioi; 9) Sistemi o lieari: )sistemi di equazioi o lieari i due icogite; )sistemi di disequazioi i ua icogita;

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3 .) Equazioi lieari (e altre) es. 3 x 7 = 30 ; ge. a x b = 0..) Def: U'equazioe lieare è u'uguagliaza i cui l'icogita x compare solo al umeratore e co espoete ; la parte a siistra dell'uguale si chiama primo membro, quella di destra secodo membro...) Le due regole FONDAMENTALI di equivaleza di equazioi ) Posso sommare (o sottrarre) a SX e a DX la stessa quatità. Allora l'equazioe otteuta è equivalete a quella iiziale. es. 3 x 7=30 => 3 x 7 7= 30 7 => 3 x=30 7 (che equivale a portare u termie da SX a DX e cambiarlo di sego) ) Posso moltiplicare (o dividere) a SX e a DX per la stessa quatità, purché diversa da 0. Allora l'equazioe otteuta è equivalete a quella iiziale. es. 3 x=3 => 3 3 x = 3 3 => x = 3 3 (che equivale a portare il coefficiete della x da SX a DX ivertedolo)..3) Equazioi fratte Si hao quado la x compare al deomiatore e pertato o soo lieari; si risolvoo facedo prima il campo di esisteza (poedo tutti i deomiatori diversi da 0), poi facedo il deomiatore comue, e quidi applicado le due regole fodametali di equivaleza per semplificare i deomiatori, i quato sicuramete diversi da 0, per le codizioi di esisteza. es. x 7=3x CE x 0 => 7x = 3x x x => 7x=3x l'ultimo passaggio è giustificato dalla II regola di equivaleza e dal fatto che x 0 ;..4) Regola dell'aullameto del prodotto Si applica quado il primo membro è ua produttoria e il secodo membro è 0; es. x x x x 7 x x 3 =0 => x=0 ; x= ; x= ; x=7 ; x= ; x=3 ; e le soluzioi si trovao poedo ciascu fattore uguale a 0.

4 .) Sistemi di equazioi lieari es. { 3 y x= y 3 x= (caso due equazioi i due icogite, è l'itersezioe di due rette sul piao)..) Risoluzioe Si risolvoo applicado i segueti tre metodi equivaleti: ) sostituzioe: dalla I y= x 3 e mettedolo ella II risulta x 3 3 x= e si risolve; ) cofroto: dalla I y= x 3, dalla II y= 3 x ed isieme x 3 = 3 x e si risolve; 3) riduzioe: moltiplico ad es. la I per -3, e diveta 9 y 3 x= 6 e quidi la sommo alla II otteedo 7 y 0 x= 5 ovvero 7 y= 5 ( 4) Cramer: si riporta il ome di questo 4º metodo solo per dare coosceza dell'esisteza, ma si tralascia la spiegazioe che risulta essere u po' elaborata)...) Risoluzioe sistemi di più equazioi Per sistemi più complessi (es. 3 equazioi i 3 icogite, o 4 equazioi i 4 icogite...) le regole da applicare soo le stesse, ma si cosiglia di utilizzare il cofroto e la riduzioe e di procedere i maiera ordiata, i quato i questi casi la difficoltà pricipale è rappresetata dalla cofusioe. I particolare, si espoe la seguete strategia risolutiva, valida per tutti i sistemi a 3eq/3ic:. si elimia ua lettera (ad es. la z), co u metodo a piacere (ad es. co la riduzioe), utilizzado la I e la II equazioe, otteedo u'equazioe i icogite (x e y);. si elimia la stessa lettera (z), utilizzado altre due equazioi (ad es. la I e la III o la II e la III), otteedo u'altra equazioe i icogite (x e y); 3. si mettoo le due equazioi otteute a sistema, ricavado i valori di x e di y; 4. si sostituiscoo i valori di x e di y otteuti, i u'equazioe a scelta a 3 icogite del sistema origiale, otteedo il valore di z;

5 .3) Disequazioi lieari (e altre) es. 3 x 7 30 ; ge. a x b 0.3.) Def: Ua disequazioe lieare è ua disuguagliaza i cui l'icogita x compare solo al umeratore e co espoete..3.) Le due regole FONDAMENTALI di equivaleza di disequazioi ) Posso sommare (o sottrarre) a SX e a DX la stessa quatità. Allora la disuguagliaza otteuta è equivalete a quella iiziale. es. 3 x 7 30 => 3 x => 3 x 30 7 (che equivale a portare u termie da SX a DX e cambiarlo di sego) ) Posso moltiplicare (o dividere) a SX e a DX per la stessa quatità, purché diversa da zero, facedo attezioe al fatto che se la quatità è egativa, il verso della disequazioe cambia. Allora la disuguagliaza otteuta è equivalete a quella iiziale. es. 3 x 3 => 3 3x > 3 3 => x 3 3 (che equivale a portare il coefficiete della x da SX a DX ivertedolo, cambiado il verso se è egativo).3.3) Itervalli x 5 => soo tutti i puti a SX del 5 (cioè ua semiretta che parte da 5 e procede verso SX, estremo escluso) x => soo tutti i puti a DX del - (cioè ua semiretta che parte da - e procede verso DX, estremo escluso) x 3 => soo tutti i puti compresi tra e 3 (cioè il segmeto che va da a 3, estremi esclusi) x 5 => soo tutti i puti a SX del 5 (cioè ua semiretta che parte da 5 e procede verso SX, estremo icluso) x => soo tutti i puti a DX del - (cioè ua semiretta che parte da - e procede verso DX, estremo icluso) x 3 => soo tutti i puti compresi tra e 3 (cioè il segmeto che va da a 3, estremi iclusi).3.4) Disequazioi fratte Si hao quado la x compare al deomiatore e pertato o soo lieari; si risolvoo facedo prima il campo di esisteza (poedo tutti i deomiatori diversi da 0), poi facedo il deomiatore comue, e quidi applicado la regola dei segi; NON SI POSSONO MANDARE VIA I DENOMINATORI (come per le equazioi), i quato o si sa se soo positivi o egativi e quidi o si può sapere se cambiare il verso o meo della disuguagliaza. es. x x CE x 0 => x x x x => x x 0 x e l'ultima si risolve applicado la regola dei segi.

6 .3.5) Regola dei segi Si applica a disequazioi che coivolgoo solo prodotti o divisioi; es. x x 0 x CE x 0 si poe: ) x x 0 => x 0 => x 0 => mai (e vale 0 per x= ) ) x 0 grafico dei segi: 0 el totale il rapporto tra umeratore e deomiatore è positivo per x 0 co x. NOTA BENE: richiededo l'esercizio solo maggiore di 0 (e o maggiore o uguale), bisoga avere l'accortezza di escludere dalle soluzioi il valore x=, per il quale il umeratore (e di cosegueza l'itera frazioe) vale 0. NOTA BENE : ei puti risolutivi ) e ) si poe sempre la domada > 0 o 0 se è richiesto ache l'uguale (deomiatori esclusi però), perché questa iformazioe serve per disegare il grafico, dal quale poi si scelgoo gli itervalli positivi o egativi, a secoda di quella che era la domada origiale.

7 .4) Moduli.4.) Defiizioe 5 = 5 5 = 5 è la parte positiva di quello che c'è detro (duque u modulo ha valore SEMPRE positivo) x =? o si sa, o sapedo quato vale x! i realtà iteressa solo sapere se x è positiva o egativa, quidi si distiguoo i segueti casi: se x ha valore positivo ( x > 0 ), allora x = x se x ha valore egativo ( x < 0 ), allora x = x (di modo che -x assuma valore positivo) se x ha valore ullo ( x = 0 ), allora x = 0 = x NOTA IMPORTANTE: essedo 9 defiita come ua quatità POSITIVA (che elevata al quadrato dà 9) questa espressioe assume il valore +3 (e o -3, che pure al quadrato dà 9); quidi 9 = 3, ovvero 9 = 3, da cui segue i geerale: x = x x.4.) Equazioi, disequazioi co moduli Nello svolgere questa tipologia di esercizi, si pogoo due sistemi: ) il primo ha ella prima riga il coteuto del modulo posto 0 e ella secoda l'equazioe origiale co il modulo tolto co il sego + (perché il modulo è positivo); ) il secodo ha ella prima riga il coteuto del modulo posto <0 e ella secoda l'equazioe origiale co il modulo tolto co il sego - (perché il modulo è egativo); es. x 4 = 3 => mai: u modulo è sempre ua quatità el complesso positiva o ulla; es. x =7 => sistema ) { x 0 x =7 sistema ) { x 0 x =7 si geerao così due sistemi, ei quali la prima riga rappreseta il vicolo di lavoro, metre la secoda rappreseta l'equazioe iiziale co il modulo risolto (secodo il vicolo). Nel caso i cui ci siao moduli, si distiguerao 4 casi, co 3 moduli 9 casi... complicado di molto le cose. Co le disequazioi co moduli si adotta lo stesso metodo. es. x 4 3 => mai; es. x 4 3 => sempre; es. x 7 => sistema ) { x 0 x 7 sistema ) { x 0 x 7 per la risoluzioe vedi.9..

8 .4.3) Fuzioi co moduli Il modulo di ua fuzioe (vedi cap.6) cosiste i u raddrizzameto co filtro: se la fuzioe dava i uscita u risultato positivo, questo viee propagato dal modulo seza alterazioi; se la fuzioe dava u risultato egativo, questo viee trasformato dal modulo i positivo. I parole semplici, se si guarda il grafico della fuzioe origiale, basta ribaltare la parte egativa (facedoe la simmetrica rispetto all'asse delle x), per otteere il grafico del modulo della fuzioe di parteza. es. f x f x

9 .5) Radicali.5.) Def: a è ua simbologia che rappreseta quel umero b, che ha la proprietà: b =a ; a è il radicado ed è l'idice della radice. es. 4= perché =4 3 8= perché 3 =8 NOTA BENE: se si cosidera 4, si potrebbe avere dubbi sul valore che assume, i quato = =4 e quidi ci soo due valori che soddisfao alla defiizioe; per ovviare a questo icoveiete, le radici di idice pari soo defiite come quel umero b positivo, tale che b =a (vedi ache.4.). quidi 4=.5.) Esisteza idice pari: a esiste solo se a 0 (l'idice è pari perché divisibile per ); idice dispari: a esiste a R (l'idice + è dispari perché successivo di u umero pari); es. 4 7 esiste; 4 NON ESISTE (essu umero elevato alla 4 dà u umero egativo) 3 8 esiste e vale.5.3) Proprietà (i ipotesi di esisteza) a = a = a per defiizioe es = = 7 a m = p a p m ivariativa es. 3 = a b = a b prodotto a b = a b quoziete a b = a b = a b coefficiete detro e fuori radice es. 3 = 3 a m = a m poteza detro e fuori radice m a = m a radice di radice

10 .5.4) Esisteza evoluta La proprietà ivariativa (.5.3) etra i coflitto co l'esisteza per le radici di idice dispari (.5.). es. se a 3 8 che per (.5.) esiste e vale ( ), applico la (.5.3) ottego: 3 8 = 6 64 = diverso dal risultato precedete; Questa icogrueza (che chiamiamo del raddrizzameto del sego) è ovvia quado si eleva ad u espoete pari. Purtroppo o esiste ua regola geerale per risolvere questo problema, ma dipede dal cotesto di lavoro. Bisoga teere a mete che se si lavora co le codizioi (.5.), allora la (.5.3) o vale e o si può applicare; viceversa se si vuole lavorare co la (.5.3), allora bisoga porre il seguete CAMPO DI ESISTENZA EVOLUTO: idice dispari: a esiste solo se a 0 (come per le radici di idice pari).5.5) Somma a 3 a = 5 a somma a b a b soo quatità DIVERSE.5.6) Razioalizzazioe del deomiatore È u'operazioe che ha lo scopo di togliere le radici dal deomiatore; si ottiee moltiplicado la frazioe iiziale per u'opportua frazioe che ha umeratore e deomiatore uguali (e che quidi vale, garatedo l'equivaleza del risultato co la frazioe data); caso ) 3 => = 3 3 caso ) 5 3 => = = caso 3) 3 => = 3 3 = 3 3 caso 4) 3 7 => = ed eseguedoi calcoli,ci si riduce al caso o3 ; caso 5) 3 a± b 3 => si applica la regola della somma o differeza di cubi vedi prodotti otevoli a.8.6 ;

11 .5.7) Radicali doppi Si tratta di u argometo secodario, di poche applicazioi geerali e fie a sè stesso; riporto per completezza la formula: a± b = a a b ± a a b ha seso usarla quado a b è u quadrato perfetto; es. 8 5 => (verifica di utilità:) a b = 64 5 = 49 (ok) 8 5 = = 5 che è ua scrittura sicuramete più gestibile di quella iiziale;.5.8) Notazioe ad espoete frazioario a = a a m m = a a b = b a a b m = b a m = b m a

12 .6) Equazioi di º grado (e altre) es. x 3 x = 0 ; ge. a x b x c = 0.6.) Def: È u'uguagliaza i cui il primo membro è u poliomio di º grado ed il secodo membro è 0 (vedi.8 per i poliomi). OSSERVAZIONE: u poliomio di º grado, iterpretato come ua fuzioe (vedi 6.) si disega sul piao cartesiao come ua parabola (vedi 5.4)..6.) Risoluzioe Si distiguoo 3 casi, a secoda della completezza del poliomio i x; caso ) maca il termie i x di primo grado ( pura): es. x 7 = 0 => x = 7 => x = ± 7 es. x 3 = 0 => x = 3 => impossibile caso ) maca il termie oto ( spuria): es. x 3x = 0 => x x 3 = 0 => x=0; x= 3 caso 3) completa : per la legge dell'aullameto del prodotto (vedi..4) a x b x c = 0 => = b 4 ac se 0 => x, = b± a se 0 => impossibile (cioè per qualsiasi valore dato alla x, il triomio o si aulla mai, ovvero assume sempre valori positivi (se a >0) oppure sempre egativi (se a<0)) es. x 7x 4 = 0 => = = 7 => x, = 7± 7 4 es. x 7x 6 = 0 => = = 79 0 => impossibile.6.3) Frazioarie, parametriche Si risolvoo come visto i..3;

13 .6.4) Relazioi tra i coefficieti e le radici Data l'equazioe geerica: ax bx c = 0 raccolgo la a: a x b a x c a = 0 e se le soluzioi x, x esistoo, allora si ha: b a = x x c a = x x es. x 6x 4 = 0 => x 3x = 0 3 = x x = x x e si vede che x = e x = soddisfao le codizioi, e siccome le soluzioi devoo essere soltato due, allora queste soo ache le uiche..6.5) Scomposizioe di u triomio di º grado Dato il triomio geerico: ax bx c (otare che o è u'equazioe!) si calcolao (se esistoo) le soluzioi x, x dell'equazioe associata ( ax bx c = 0 ). Allora il triomio iiziale ax bx c si può scrivere ache come a x x x x. Se le soluzioi o esistoo ( 0 ) allora il triomio o è scompoibile. es. x 6x 4 = 0 => x = e x = => [x ( )] [x ( )] => ( x+) ( x+).6.6) Regola dei segi di Cartesio Def: Data l'equazioe ax bx c = 0 si cofrotao i segi tra a e b e tra b e c: se soo cocordi si dice permaeza, se discordi, variazioe. es. x x = 0 preseta ua variazioe (tra a e b) e ua permaeza (tra b e c) La regola dei segi di Cartesio afferma che i ua equazioe di º che abbia soluzioi (cioè co 0 ), ad ua variazioe corrispode ua soluzioe positiva, ad ua permaeza ua egativa. dim. caso ) variazioe tra a e b e permaeza tra b e c (sigifica a e b discordi, b e c cocordi e quidi a e c discordi); sfruttado le relazioi tra coefficieti e soluzioi si ha che c a = x x ; sapedo a e c discordi il loro quoziete sarà egativo, così come il prodotto tra x e x, che sarao quidi a loro volta discordi ( sol. + e ua sol. -). Gli altri casi soo lasciati come esercizio, poiché soo dimostrabili i maiera aaloga, sfruttado sempre le relazioi tra coefficieti e radici.

14 .6.7) Equazioi triomie (e biquadratiche) Def: Soo equazioi del tipo a x +b x +c = 0, per la cui risoluzioe ci si ricoduce ad equazioi di º grado. Se ell'equazioe geerica precedete sostituiamo =, gli espoeti della x divetao 4 e, e l'equazioe si dice biquadratica; per ogi altro valore di N co >, l'equazioe si dice triomia. es. x 4 3x = 0 (equazioe biquadratica) => si poe x = t => t 3t = 0 che dà t = ; t = adesso bisoga ritorare alle soluzioi i x, usado la relazioe x = t : x = => x =± e x = => x =±.6.8) Equazioi biomie di grado Def: Soo equazioi del tipo x = c, per la cui risoluzioe si distiguoo due casi; caso ) espoete pari: x 0 = 7 => x =± 0 7 ( soluzioi) x 8 = 3 => impossibile (0 soluzioi) caso ) espoete dispari: x = 5 => x =+ 5 ( soluzioe) x 7 = 4 => x = 7 4 ( soluzioe).6.9) Equazioi irrazioali Def: È u'equazioe i cui la x compare sotto il sego di radice. es. x = 7 => C.E. x 0 => x ; soluzioi: mai (ua radice è sempre positiva) es. x =x 7 => C.E. x 0 => x si risolve co u sistema di disequazioi/equazioi i ua icogita (vedi.9.): C.E. º membro positivo elevameto al quadrato { x x 7 0 x = x 7 NOTA BENE: il sigificato del sistema è che per poter elevare al quadrato, la radice deve esistere e il secodo membro deve essere o egativo.

15 .7) Disequazioi di º grado (e altre) es. x 3 x+ > 0 ; ge. a x b x c 0.7.) Def: È ua disequazioe i cui il grado massimo della x è. OSSERVAZIONE: u poliomio di º grado, iterpretato come ua fuzioe (vedi 6.) si disega sul piao cartesiao come ua parabola (vedi 5.4)..7.) Risoluzioe - suppoiamo a 0 (se è a 0 moltiplichiamo per ed ivertiamo il verso); - risolviamo l'equazioe associata (ad ogi soluzioe corrispode u'itersezioe della parabola co l'asse x); - disegamo la parabola (co cocavità verso l'alto visto che è a 0 ); - scegliamo le soluzioi corrette secodo il grafico disegato; caso ) l'equazioe associata dà soluzioi distite ( 0 ): - se la domada è >0 (cioè quado la parabola sta sopra l'asse delle x), la risposta è x x ; x x (soluzioi estere); x x - se la domada è <0 (cioè quado la parabola sta sotto l'asse delle x), la risposta è x x x (soluzioi itere); caso ) l'equazioe associata dà soluzioi coicideti ( =0 ): - se la domada è >0 (cioè quado la parabola sta sopra l'asse delle x), la risposta è sempre co x x ; x - se la domada è <0 (cioè quado la parabola sta sotto l'asse delle x), la risposta è mai; caso 3) l'equazioe associata o dà soluzioi ( 0 ): - se la domada è >0 (cioè quado la parabola sta sopra l'asse delle x), la risposta è sempre; - se la domada è <0 (cioè quado la parabola sta sotto l'asse delle x), la risposta è mai;

16 .7.3) Sego di u triomio È ua variate dell'esercizio precedete, i quato dato u triomio (es. x x ) o si possoo cambiare i segi a proprio piacimeto (come ivece si poteva el caso di ua equazioe/disequazioe) e quidi bisoga cosiderare ache i casi i cui a 0 e la parabola va disegata co la cocavità verso il basso. (I disegi per a 0 soo già stati visti i.7.). x a 0 x a 0 a 0 x 0 =0 0 Il triomio è positivo sugli itervalli della x sui quali la parabola è disegata sopra l'asse delle x, egativo sugli itervalli sui quali è sotto, ullo sui valori di itersezioe..7.4) Disequazioi frazioarie, co valore assoluto e triomie Vedi.3.4,.4.,.6.7, avedo cura di apportare le correzioi ecessarie, dovute alle piccole differeze che etrao i gioco..7.5) Disequazioi biomie di grado Def: Soo disequazioi del tipo x c, x < c, per la cui risoluzioe si fa riferimeto all'equazioe biomia associata (vedi.6.8); caso ) espoete pari: x 0 > 7 => sol. equaz. x =± 0 7 ( soluzioi) => sol. diseq. x < 0 7 U x >+ 0 7 x 9 => sol. equaz. x =± 9 ( soluzioi) => sol. diseq. 9 x + 9 x 8 > 3 => sol. equaz. impossibile (0 soluzioi) => sol. diseq. sempre x 0 < 5 => sol. equaz. impossibile (0 soluzioi) => sol. diseq. mai caso ) espoete dispari: x 5 => sol. equaz. x =+ 5 ( soluzioe) => sol. diseq. x + 5 x 7 > 4 => sol. equaz. x = 7 4 ( soluzioe) => sol. disquaz. x > 7 4

17 .7.6) Disequazioi Irrazioali Si risolvoo co u ragioameto simile alle equazioi irrazioali (.6.9). es. x+< => C.E. x 0 => x ; soluzioi: mai (ua radice è sempre positiva) es. x 7 x => C.E. x 7 0 => x 7 e ci si ricoduce a due sistemi di disequazioi i ua icogita (vedi.9.): C.E. { x 7 { x 7 C.E. º membro positivo x 0 U x 0 º membro egativo elevameto al quadrato x 7 x x 7 x disequazioe origiale NOTA BENE: la 3º riga del º sistema dà come risposta sempre se la domada è >, e mai se la domada è <, dal mometo che ua radice è sempre positiva ed il secodo membro è stato posto egativo; poiché avere u sistema co ua riga mai dà come risposta totale di quel sistema mai, se e deduce che el caso i cui la domada sia <, il º sistema può essere omesso.

18 .8) Poliomi.8.) Def: u moomio è ua produttoria di umeri e lettere (es. a 3 bc );.8.) Def: u poliomio è ua sommatoria di moomi (es. a 3 bc a cd );.8.3) Operazioi - somma: si può fare solo tra moomi simili (cioè che hao la stessa parte letterale): es. a 3 bc 3a 3 bc = 5a 3 bc es. ad ac => o soo simili - prodotto: tra moomi: abd a 3 cd = a 4 bcd tra poliomi (distributiva): a b c d = ac ad bc bd.8.4) Raccoglimeti - totale (quado riguarda tutti i termii di u poliomio): x 5 3x 4 x 3 x = x x 4 3x 3 x - parziale (quado riguarda solo alcui termii di u poliomio): ax ax bx bx = a x x b x x OSSERVAZIONE: il massimo che si può raccogliere è il MCD (vedi.3.4) dei termii i esame..8.5) Poliomi i x di grado Def: u poliomio i x di grado (otazioe espoete massimo. P x ) è u poliomio i cui compare solo la lettera x e co es. P x di grado 5 icompleto: 4x 5 x 3 x es. P x di grado completo: x x = x x x 0 NOTA BENE: il termie oto (il umero seza la x) è cosiderato come il coefficiete del termie i x di grado 0, poiché vale l'uguagliaza 5 = 5 = 5 x ) Prodotti otevoli a b = a b ab quadrato di biomio a b c = a b c ab ac bc quadrato di triomio (a+b) 3 = a 3 + b 3 + 3a b + 3ab cubo di biomio a b = a b a b differeza di quadrati (NB: a b o è scompoibile) a 3 +b 3 = (a+b) (a ab+b ) somma di cubi a 3 b 3 = (a b) (a +ab+b ) differeza di cubi (x+a) ( x+b) = x + (a+b) x + a b triomio caratteristico (vedi.6.4 e.6.5)

19 .8.7) Divisioe tra poliomi ) dividedo divisore 4 x 5 x 4 x x x si divide il termie di testa del dividedo col termie di testa del divisore e si aota il risultato sotto al divisore ) 4 x 5 x 4 x x x x 3 si moltiplica il risultato per il divisore, lo si cambia di sego e lo si aota allieato sotto al dividedo 3) 4 x 5 x 4 x x 4 x 5 x x 3 x 3 si tira ua riga e si fa la somma dei poliomi che compaioo sulla parte del dividedo 4) 4 x 5 x 4 x x 4 x 5 x 3 x 4 x 3 x x x 3 si ripetoo le operazioi dal puto ) al puto 4) cosiderado come dividedo il risultato appea otteuto, fio ad otteere u resto che abbia grado iferiore a quello del divisore; all'ultima iterazioe, la divisioe si preseta così: 4 x 5 x 4 x x x 4 x 5 x 3 x 3 x x x 4 x 3 x x quoziete x 4 x x 3 x x 3 x x resto Vale la formula geerale: Dividedo x = Divisore x Quoziete x Resto x cioè: 4 x 5 x 4 x x = x x 3 x x x Alcue cosiderazioi sugli espoeti: el ostro esempio, essedo il dividedo di grado 5 ed il divisore di grado, ci aspettiamo sicuramete u quoziete di grado 3 ed u resto co u grado iferiore a, cioè il resto può avere grado (come è successo el ostro caso), o grado 0 (cioè essere u umero puro).

20 .8.8) Def: Se il Resto di ua divisioe tra poliomi è 0 (cioè u poliomio di grado 0 e co termie oto uguale a 0), allora si dice che il dividedo è divisibile per quel divisore, e la formula geerale diveta: Dividedo x = Divisore x Quoziete x che è il caso di maggior iteresse pratico, i quato permette di scrivere u poliomio i forma di produttoria e rede quidi possibili le semplificazioi..8.9) Regola di Ruffii È u modo veloce per eseguire la divisioe tra poliomi, applicabile SOLO se il divisore è del tipo x c, cioè se è u poliomio di grado co coefficiete della x uitario. OSSERVAZIONE: secodo quato visto ella divisioe tra poliomi, risulta che i tali codizioi, il Quoziete avrà grado iferiore di al grado del Dividedo, metre il Resto avrà grado 0 (cioè sarà u umero). es. x 3 x : x riga dei coefficieti del dividedo (D) riga del termie oto del divisore cambiato di sego (d) 0 0 ) si ricopia il coefficiete di testa del dividedo i 3ª riga 0 ) si moltiplica d per il termie appea otteuto i 3ª riga e lo si ricopia alla 4 coloa successiva i ª riga 0 3) 4 si fa la somma della coloa appea otteuta e lo si ricopia i 3ª riga 5 e si ripetoo i puti ) e 3) fio ad arrivare all'ultima casella a questo puto i 3ª riga abbiamo otteuto i coefficieti del Quoziete, che el ostro esempio avrà grado ; i 3ª riga e ultima coloa abbiamo, ivece, il Resto. Quoziete = x 5 x 0 ; Resto = 8 Da cui segue che: x 3 x = x x 5 x 0 8

21 .8.0) Teorema di Ruffii (o del Resto) È u modo veloce per calcolare il Resto i ua divisioe tra poliomi, applicabile SOLO se il Divisore è del tipo x c, cioè se è u poliomio di grado co coefficiete della x uitario. Tale Resto si calcola valutado il Dividedo per x= c : es. x x : x => Resto = Dividedo(+) = = 7 dimostrazioe: dalla relazioe geerale: Dividedo x = Divisore x Quoziete x Resto x sostituiamo il ostro Divisore = x c, otado che il Resto diveta u umero (oss..8.9): Dividedo x = x c Quoziete x Resto se adesso sostituisco alla x il valore c, ottego: Dividedo c = c c Quoziete c Resto Dividedo c = Resto cvd.8.) Applicazioe del Teorema di Ruffii (o del Resto) Dato u poliomio P x, si cercao quei valori (cercati di orma tra i divisori del termie oto) che sostituiti alla x, lo aullao. es. P x = x 3 x x => P = = 4 o P = = 0 sì ciò sigifica che P x è divisibile per x e si applica la regola di Ruffii per trovare il quoziete: otteedo velocemete che: P x = x x.8.) Scomposizioe di poliomi È la tecica di trasformare u poliomio dalla scrittura a somme a quella più utile a prodotti. es. x 3 x x = x x Per arrivare a questo, si utilizzao le teciche di: raccoglimeto (totale o parziale) => vedi.8.4 la formula del => vedi.6.5 prodotti otevoli => vedi.8.6 Ruffii => vedi.8. (.8.9,.8.0)

22 .9) Sistemi o lieari.9.) Sistemi di equazioi o lieari i due icogite No esistoo regole risolutive geerali; si mostra u esempio risolto: { x y=4 x y 3 x y 8 = 0 => { y= 4 x x 4 x 3 x 4 x 8 = 0 x 6 6x 4 x 3 x 4 x 8 = 0 => 9 x 37x 8 = 0 => x = ; x = 8 9 { x = y = U {x = 8 9 y = ) Sistemi di disequazioi i ua icogita Si pogoo le soluzioi di ciascua disequazioe su u grafico, e quidi si scelgoo quelle comui. es. => => { x 0 x 7 { x x 5 5 risposta: x 5 NOTA BENE: il grafico delle soluzioi comui, per quato simile, NON È IL GRAFICO DELLA REGOLA DEI SEGNI (.3.5), ed ha u sigificato logico completamete diverso.