CAPITOLO 3: ANALISI DI SOLIDI ELASTO-PLASTICI

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1 CAPIOLO 3: ANALISI I SOLII ELASO-PLASICI 3.1 Itroduzioe Scoo di questo caitolo è mostrare come il calcolo a rottura ossa essere alicato, i reseza di uo stato di sollecitazioe geerico, ache a strutture i e tridimesioali. Nel rimo aragrafo vegoo revemete riortati i criteri di servameto luri-assiali di iù frequete imiego tecico, eraltro i arte resetati el corso di Scieza delle Costruzioi. Nel secodo aragrafo viee resetata i modo uitario la classica teoria della lasticità (flow theory) a artire dal ostulato della dissiazioe massima metre el aragrafo successivo vegoo discusse le equazioi costitutive elasto-lastiche, icremetali. 3. Criteri di servameto e di crisi luri-assiali No si riete i questi auti la discussioe delle asi meccaiche dei criteri di crisi er i materiali metallici o laidei er cui si rimada al testo di Scieza delle Costruzioi (L. Gamarotta, L. Nuziate, A. ralli o. cit. caitolo 7, ). Suosto di oter cosiderare u comortameto lastico e sufficietemete duttile er il materiale solido i esame e ciò è ossiile o solo er i materiali metallici ma ache, i molte circostaze, er i terrei si ricorda che la fuzioe di servameto (yield surface) f() = defiisce l isieme degli stati di tesioe er cui il materiale reseta flusso lastico: f( ) < Stati elastici; f( ) = Stati lastici; f( ) > Stati o ammissiili. Per semlicità si cosidererao solo materiali che resetao fuzioi di servameto di tio isotroo (ossia uguali i tutte le direzioi) che diedoo ertato solo dalle tesioi (tesioi riciali) e/o dagli ivariati di tesioe. Nel seguito co Σ si idicherà il tesore delle tesioi e co il vettore di delle tesioi secodo la covezioe di Voigt Σ= 1 3 Σ= = { } = { 1 3 } riferimeto geerico riferimeto riciale Nel seguito si farà riferimeto sia al tesore delle tesioi di Cauchy Σ er cui si ha: I = tr Σ = + +, ( ) I = 1 tr tr Σ Σ = + +, I = detσ = ; o al tesore degli sforzi deviatorici Σ 1

2 + + =, Σ = Σ I, dove co si idica la ressioe idrostatica dal quale ivece si ottiee: J1 = tr = J J Σ, 1 ( Σ ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 6, = tr = = = detσ = I riciali criteri che comuemete vegoo utilizzati elle alicazioi soo: Fuzioe di servameto di Huer Heky vo Mises: τ arametro del materiale. Fuzioe di servameto di resca: 1 max ( ) f J = J τ = τ= ( ) =τ ( ) I III I II III ( ) f I, J, J = 4J 7 J + 36 τ J + 96τ J 64τ =. Fuzioe di servameto di Mohr.Coulom: c = coesioe ; ϕ=agolo di attrito itero. Fuzioe di servameto di rucker-prager: max τ = c ta ϕ ( ) f I, I =α I + J τ = Il comortameto dei materiali i camo lastico (Flow heory of Plasticity) Si assumoo le segueti iotesi : Nel caso moo-assiale, studiato el rimo caitolo, si ossoo avere deformazioi lastiche se e solo se = ; i geerale è ossiile uo stato di deformazioe lastica caratterizzato dal vettore ε solo se il vettore degli sforzi, che rareseta u uto ello sazio delle tesioi, verifica la codizioe di servameto: f()=. Nell iotesi di iccoli sostameti, come el caso moo-assiale, il vettore di deformazioe ε uò essere decomosto ella somma di ua arte elastica ε e e di ua arte lastica ε (decomosizioe additiva). ε = ε e + ε Il tesore degli sforzi diede liearmete dal tesore delle deformazioi elastiche ε e = C ε e

3 Avedo idicato co C=C il tesore costitutivo (ier)elastico, simmetrico e defiito ositivo. Materiale lastico icremetale stadard Materiale lastico icremetale stadard Nel caitolo, el caso moo-assiale, il ostulato risulta ua semlice cosegueza delle codizioi di ammissiilità lastica, el caso geerale, ivece, esso deve essere assuto a riori. Postulato della massima dissiazioe lastica (o di Hill) ε idichi u geerico stato di deformazioe lastica icremetale, fra tutti gli stati di tesioe ε = ε. ammissiili, lo stato di tesioe effettivo rede massima la oteza dissiata ( ) ( ε ) ε ( ε ) max = = I materiali il cui comortameto verifica questo ostulato vegoo detti materiali stadard. Per questi materiali i cosegueza del ostulato risultao verificate le segueti rorietà che sotaeamete risultao verificate dal domiio di iterazioe N-M: La suerficie f()= di servameto è covessa ( Covessità: u domiio di servameto è covesso se dati due stati di tesioe ammissiili 1 ed risulta ammissiile u qualuque stato = α 1 + β (<α, β<1, α+β=1) otteuto mediate ua loro comiazioe lieare) La direzioe del flusso lastico è diretta secodo la ormale alla suerficie di servameto. E ciò viee usualmete defiita Legge di ormalità o flusso lastico associato Come cosegueza del ostulato euciato risulta: ( ) ε ε ε. I Fig.3.1 soo illustrate alcue cosegueze del ostulato. O - ε f () = O ε f () = ( ) ε ( ) f ( ) ε < 3

4 f () = ε O ( ) ε < Fig.3.1 Osservazioi 1-Nel testo di L. Corradi, a ag. 53, la relazioe ( ) ε viee assuta come iotesi idiedete e defiita Postulato di Stailità di rucker. Coviee ricordare come rucker sulla ase di cosiderazioi di carattere termodiamico aia roosto due disuguagliaze. I disuguagliaza o stailità i iccolo. ε Questa codizioe esrime semlicemete che occorre forire dall estero eergia er modificare lo stato di deformazioe del materiale. Si osservi tuttavia che u materiale che i ua rova moo-assiale reseta u tratto softeig viee a violare questa disuguagliaza. uttavia er otteere u tratto discedete ella curva carico-sostameto occorre sottoorre il camioe serimetale (di cls o di qualuque altro materiale elasto-fragile o co icrudimeto egativo) ad ua rova a sostameto cotrollato i grado di seguire il materiale i u tratto istaile. II disuguagliaza o ostulato di rucker Il secodo riciio della termodiamica ( disuguagliaza di Clausius-uhem) richiede eraltro che sia o egativa la oteza lugo u qualuque ciclo chiuso ello sazio delle deformazioi. Se si cosidera u ciclo a artire da u geerico uto di tesioe itero alla fuzioe di servameto fio a giugere al uto di tesioe sulla suerficie estera, oiché il lavoro associato alle deformazioi elastiche è ullo erché uguale ei due sesi, la oteza dissiata totale risulta ( ) ε. -La legge di ormalità si scrive duque el modo seguete: ε = λ= λ λ moltilicatore lastico 4

5 I alcui casi, e.g. i terrei che resetao feomei di dilataza ossia i materiali di tio attritivo, le deformazioi lastiche o soo dirette lugo la ormale alla fuzioe di servameto. Leggi di flusso di questo tio vegoo dette leggi di flusso o associate: g materiali co legame o associato ε = vλ= λ ( v ) La fuzioe g() viee defiita oteziale lastico e el caso associato il oteziale viee assuto coicidete co la fuzioe di servameto: g() = f(). 3-I u uto o liea di discotiuità della suerficie limite ove f è o differeziaile (uti o liee di discotiuità soo reseti i vari criteri e.g. resca, Mohr-Coulom.. oltre che ei materiali che resetao criteri co iù suerfici di servameto, Fig.3.) il ostulato della massima dissiazioe imlica che ε deve aarteere al coo delle ormali usceti ε =λ ii λ i. Co riferimeto alla Fig.3.9 si uò scrivere: fh ε = hε h = h λ h 1 1 f k () β ε f 1 () = α f h () = Fig Forma icremetale dell equazioe costitutiva elasto-erfettamete lastico (EPP) Qualitativamete cotiuao a valere tutte le cosiderazioi fatte i recedeza er le equazioi costitutive moo-assiali, occorre tuttavia teer coto del fatto che lo stato di tesioe e di deformazioe soo ora raresetati da due gradezze e ε. Le relazioi che reggoo il rolema ora risultao: ( ) = C ε ε legge costitutiva elastica ε = λ regola del flusso associato f ( ) codizioe di ammissiilità lastica f ( ) λ= codizioe di cosisteza λ. 5

6 (Si osserva come le ultime tre relazioi ossao essere iterretate come codizioe di vicolo-la codizioe di ammissiilità- come moltilicatore Lagragiao del vicolo il moltilicatore lastico λ e come codizioe di comlemetarietà. Nel loro isieme vegoo defiite codizioi di Karush- Kuh-ucker). Si ha risosta elastica del materiale se il uto tesioe è : a- all itero del domiio di ammissiilità (a) f ( ) < λ> ε = ( λ = ) - sulla suerficie di servameto ma è i atto uo scarico elastico f =, f < λ= ε = () ( ) ( ) Si ha ua risosta lastica se il uto è sulla suerficie e o tede a rietrare i camo elastico. f f ( ) = f ( ) = λ> ε = λ Per quato riguarda il tesore costitutivo si ha: a- el caso i cui il uto si trovi all itero del domiio si ha l equazioe costitutiva elastica f < ε =, ε = ε ( ) e = Cε Si ha la stessa risosta icremetale el caso i cui f()= e si ha scarico elastico C ε < codizioe di scarico - el caso i cui il uto tesioe resti sulla suerficie di servameto f f ( ) = = L equazioe costitutiva elastica come oto è = Cε, duque si ha: = C ε λ Procededo come riortato el seguito, i aalogia al modulo elasto-lastico E e del caso mooassiale (ar. 1.3), è utile defiire i vista di aalisi agli elemeti fiiti il tesore costitutivo elasto-lastico C e. Imoedo la ermaeza i fase lastica f = si ottiee: f f C ε λ = λ= C ε C Essedo er defiizioe λ si ottiee il criterio di ermaeza i fase lastica ella forma: e > 6

7 C ε > cui corrisode l icremeto della deformazioe lastica i fuzioe dell icremeto di deformazioe totale: e quidi l icremeto di tesioe: ε C ε f C = f essedo 1 = C ε C = Cε Ceε, C C la matrice di rigidezza tagete elasto-lastica e 1 Ce = C C C, C simmetrica e semi defiita ositiva C = C. e e Esemio: Le equazioi costitutive di Pradtl-Reuss er i metalli Fuzioe di servameto di Huer-Heky-Vo Mises ( ) f = J τ = = = λ = + + = τ τ f 1 ε ε 1 ε ε3 icomrimiilità lastica dove e risultao risettivamete i segueti vettori raresetati i u riferimeto geerico: Ricordado la forma aalitica di J { } { } = = J = 1 ( 11 ) ( 33) ( 33 11) 6( ) , la fuzioe di servameto diveta: f ( ) = ( 11 ) ( 33 ) ( 33 11) 3( ) τ =. erivadola er la rima e la quarta comoete del vettore si ottiee: 7

8 f = ( ) = ( + + ) = = τ τ J 3 3 3J f = ( 6 ) = = = τ τ τ J f = τ c.v.d.. Saedo che f = τ è ossiile scrivere la matrice elasto-lastica ella seguete forma: Elasticità isotroa 1 Ce = C C C. C Nel caso di elasticità la arte deviatorica della risosta rede la forma: C = G, dove E G= è il modulo di elasticità tageziale 1+v ( ) C C= C C = C C = 4G ( ) C = G = G J = 4G τ G C C. e = τ 3.4. Modelli di icrudimeto Per descrivere l evolversi della suerficie di servameto al variare della storia di deformazioe si assume che essa dieda dalla arte lastica della deformazioe: ( ε ) f, = Icrudimeto isotroo Si assume che la fuzioe di servameto dieda da ua variaile scalare χ (work hardeig) Ed evolva i modo omotetico come mostrato i Fig.3.3. χ ( ) ε ε dε Lavoro lastico icrudete = ( ) Fuzioe di servameto ( ε ) f, χ = 8

9 f (, χ ( ε )) = 1 fuzioe di servameto attuale f ( ) = fuzioe di servameto iiziale Fig.3.3 dχ = d ε χ = ε icremeto di lavoro lastico Puto tesioe sulla suerficie di servameto: f f f f = + χ = h ε = avedo defiito f h =. χ È ossiile determiare ora il moltilicatore lastico λ, il vettore delle deformazioi lastiche ε e la matrice elasto-lastica tagete. Cε = C + h λ ε 1 = C ε C 1 e = C C C 9

10 Icrudimeto ciematico Per descrivere l effetto Bauschiger si trasla l origie degli assi ello sazio delle tesioi i cui è defiita la fuzioe di servameto f di uo stato di sforzo detto ack stress, Fig.3.4. f, = f Fuzioe di servameto ( ) ( ) I geere il ack stress è defiito el modo seguete: regola di icrudimeto di Mela-Prager = Cε f ( ) = Fuzioe di servameto attuale 1 f ( )= Fuzioe di servameto iiziale Fig.3.4 Puto tesioe sulla suerficie di servameto: f f = ( ) = = È ossiile determiare ora il moltilicatore lastico λ, il vettore delle deformazioi lastiche ε e la matrice elasto-lastica tagete. C ε λ C λ = Cε = C + C λ ε 1 = C ε 1 Ce = C C C 1