Equazioni goniometriche

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1 7 A Problema a Osserviamo iazitutto che cos ÖˇÜà cos Si uò quidi riscrivere l equazioe data come si à cos Questa equazioe o ammette come soluzioi i valori di er cui è cos à, cioè o ammette come soluzioi i valori à ák Ifatti, sostituedo questi valori ell equazioe, si ha: si á k à cos á k L uguagliaza è falsa erché il rimo membro è e il secodo membro è zero Quato detto ci ermette di dividere rimo e secodo membro er cos, otteedo l equazioe equivalete: ta à à à á k o á k b Le soluzioi dell equazioe recedete si ossoo iterretare come le ascisse dei uti d itersezioe tra il grafico della fuzioe à si e quello della fuzioe à cos Si ricordi, a tale roosito, che il grafico della fuzioe à si si uò otteere dal grafico della fuzioe à si mediate ua dilatazioe verticale di raorto Per determiare le coordiate dei uti d itersezioe A, B e C aarteeti all itervallo âˇ, ä, basta sostituire ella formula à á k i valori di k i corrisodeza dei quali si ottegoo valori di aarteeti all itervallo âˇ, ä Dalla formula à á k, er k à, si ha à Sostituedo tale valore i ua delle due equazioi à si o à cos, er esemio ella secoda, si ha à cos à Quidi si ha A, Dalla formula à á k, er k à, si ha à 7 Sostituedo tale valore ell equazioe à cos, si ha: à cos 7 àˇ Quidi si ha B 7, ˇ Dalla formula à á k, er k àˇ, si ha àˇ5 Sostituedo tale valore ell equazioe à cos, si ha: à cos ˇ 5 àˇ Quidi si ha C ˇ 5, ˇ = cos C A = si B c L equazioe diveta si ˇ cos ˇ à Associado a questa equazioe la relazioe fodametale si á cos à e oedo cotemoraeamete si à Y e cos à X, sihail sistema: Y ˇ X ˇ à X à Y ˇ X á Y à X á Y à X à Y ˇ ˇ Y ˇ áy X à Y ˇ à Y ᡠY áy ˇ à X à Y ˇ Y ˇ X à ˇ Y ˇ Y à Y Y ˇ à X à _ X àˇ Y à Y à I u sistema XOY la retta di equazioe Y ˇ X ˇ à icotra la circofereza di equazioe X á Y à ei due uti P, e P Öˇ, Ü P L agolo â, ä che ha come uto associato P è L agolo P â, äche ha come uto associato P è L equazioe data è soddisfatta er à á k _ à á k o á k, á k d Poedo si à t ˇ t e cos à á t á t co t à ta si ha: t á t ˇ ˇ t á t ˇ à t ˇ á t ˇ ˇ t à t ˇ à t à à Teedo coto che t à ta, si ha: ta à à á k à á k Poiché l equazioe risolvete è di rimo grado, alle soluzioi otteute bisoga aggiugere le soluzioi à á k o á k, á k LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA, 59

2 e U equazioe del tio a si Å á b cos á c à si uò riscrivere ella forma equivalete a á b si Ö á Üác à, essedo la misura dell agolo tale che cos à Å e a a á b b Å si à Å : Nel ostro caso è a á b à ÅÅ á à, a á b cos à e si àˇ U agolo che soddisfa queste codizioi è àˇ L equazioe data diveta duque: si ˇ ܡ à si ˇ à ˇ à á k _ ˇ à ˇ á k à á k _ à á k o á k, á k f Le soluzioi dell equazioe di cui al uto c si ossoo iterretare come le ascisse dei uti d itersezioe tra il grafico della fuzioe à si e quello della fuzioe à cos á Si ricordi, a tale roosito, che il grafico della fuzioe à si si uò otteere dal grafico della fuzioe à si mediate ua dilatazioe verticale di raorto e che il grafico della fuzioe à cos á si uò otteere dal grafico della fuzioe à cos mediate ua traslazioe ella direzioe dell asse di ua uità verso l alto Quesiti Per determiare le coordiate dei uti d itersezioe A, B e C aarteeti all itervallo âˇ, ä, basta sostituire elle formule à á k _ à á k i valori di k i corrisodeza dei quali si ottegoo valori di aarteeti all itervallo âˇ, ä Dalla formula à á k, er k à, si ha à Sostituedo tale valore i ua delle due equazioi à si o à cos á, er esemio ella secoda, si ha: à cos á à á à Quidi si ha A, Dalla formula à á k, er k à, si ha à Sostituedo tale valore ell equazioe à cos á, si ha: à cos á àˇá à Quidi si ha BÖ, Ü Dalla formula à á k, er k àˇ, si ha àˇ Sostituedo tale valore ell equazioe à cos á, si ha: à cos ÖˇÜá àˇá à Quidi si ha CÖˇ, Ü = = cos + A C si g L equazioe è simmetrica erché, scambiado si co cos, l equazioe rimae immutata Si risolve oedo à t ˇ e sviluado, quidi, co le formule di sottrazioe B si Ö á Üà si Ö á Üà á à 9 á k _ á à 7 á k à á k _ à á k à 5 á k _ à 5 á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è f5 á k, 5 á k g ˇ Öta 5 ˇ Ü cos ˇ à ta 5 à 5 à 5 á k à 9 á k cos à à á k à á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è f9 á k, á k g L equazioe o ammette come soluzioi i valori di er cui è cos Ö5 á Üà, cioè o ammette come soluzioi i valori 5 á à 9 á k à 5 á k Ifatti, sostituedo questi valori ell equazioe, si ha: si Ö5 á 5 á k Ü à cos Ö5 á 5 á k Ü uguagliaza falsa erché il rimo membro è e il secodo membro è zero Quato detto ci ermette di dividere rimo e secodo membro er cos Ö5 á Ü, otteedo l equazioe equivalete: ta Ö5 á Üà 5 á à á k à 55 á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è f55 á k g si àˇsi si à si ÖˇÜ àˇák _ à ˇÖˇÜák 9 à k _ ˇ à á k à k 9 _ àˇ á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è si ˇ se è si j à ˇ si se è si < k < < 5 j si ˇ k 9, ˇ á k o á k ale ale 5 á k á k _ 5 á k < < k LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,

3 caso si ˇ ˇ si á à si àˇ à á k La soluzioe o è accettabile erché al di fuori delle codizioi di accettabilità caso ˇ si ˇ si á à si à à á k La soluzioe o è accettabile erché al di fuori delle codizioi di accettabilità L equazioe data, quidi, o ammette essua soluzioe 5 cos ˇ si cos ˇ à 5 cos ˇ si cos ˇ si ˇ cos à cos ˇ si cos ˇ si à Dividedo er cos, si ha: ta á ta ˇ à ta à ˇ ÅÅ 9 á à ˇ 5 L isieme delle soluzioi dell equazioe data è ta à _ ta àˇ à á k _ à arcta ÖˇÜák á k, arcta Ö ˇ o Üák 7 Il deomiatore della fuzioe è uguale a si formula di trilicazioe del seo La fuzioe è defiita urché il deomiatore sia diverso da zero, duque si ha: si à à k à k si Ö ˇ Üàˇ cos Ö á Üà ˇ àˇ á k _ ˇ à á á k á à á k _ á àˇ á k Il sistema dato equivale, duque, all isieme dei segueti quattro sistemi: ˇ àˇ á k á à á k sommiamo membro a membro le due equazioi à Ök á k Ü à á Ö ˇk á k Ü ˇ àˇ á k àˇ á Ö k á k Ü sommiamo membro a membro le due equazioi á àˇ á k à Öˇk á k Ü ˇ à á á k à 5 á Ö k á k Ü á à sommiamo membro a membro le due equazioi á k àˇ á Ö ˇk á k Ü ˇ à á á k à á Ö k á k Ü sommiamo membro a membro le due equazioi á àˇ á k àˇ5 á Ö ˇk á k Ü 7 B Problema a Osserviamo iazitutto che cos ÖˇÜ à cos Si uò quidi riscrivere l equazioe data el seguete modo: ˇ si à ˇ cos Questa equazioe o ammette come soluzioi i valori di er cui è cos à, cioè o ammette come soluzioi i valori à á k Ifatti, sostituedo questi valori ell equazioe, si ha: si á k à ˇ cos á k L uguagliaza è falsa erché il rimo membro è e il secodo membro è zero Quato detto ci ermette di dividere rimo e secodo membro er cos, otteedo l equazioe equivalete ta à ˇ à á k o á k LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,

4 b Le soluzioi dell equazioe recedete si ossoo iterretare come le ascisse dei uti d itersezioe tra il grafico della ˇ fuzioe à si e quello della fuzioe à ˇ cos Si ricordi, a tale roosito, che il grafico della fuzioe ˇ à ˇ cos si uò otteere dal grafico della fuzioe à cos mediate ua dilatazioe verticale di raorto ˇ Per determiare le coordiate dei uti d itersezioe A, B e C aarteeti all itervallo âˇ, ä, basta sostituire ella formula à á k i valori di k i corrisodeza dei quali si ottegoo valori di aarteeti all itervallo âˇ, ä Dalla formula à ák, er k à, si ha à Sostituedo tale valore i ua delle due equazioi à si o ˇ à ˇ cos, er esemio ella rima, si ha: à si à ˇ Quidi si ha A, ˇ Dalla formula à á k, er k à, si ha à Sostituedo tale valore ell equazioe à si, si ha: à si àˇsi àˇ ˇ Quidi si ha B, ˇ ˇ Dalla formula à á k, er k àˇ, si ha àˇ Sostituedo tale valore ell equazioe à si, si ha: à si ˇ àˇsi àˇ ˇ Quidi si ha C ˇ, ˇ ˇ C = cos A = si B ˇ c L equazioe diveta si à ˇ cos ˇ Associado a questa equazioe la relazioe fodametale si á cos à e oedo cotemoraeamete si à Y e cos à X, si ha il sistema: ˇ Y à ˇ X ˇ Y à ˇ ˇ X ˇ ˇ X á Y à X á á ˇ ˇ X á ˇ ˇ Y à ˇ ˇ X ˇ X à X ˇ ˇ X ˇ ˇ X à Y à ˇ ˇ < X ˇ : ˇ X ˇ ˇ ˇ ˇ Y àˇ Y àˇ _ X à X à X à ˇ I u sistema XOY la retta di equazioe Y à ˇ X ˇ icotra la circofereza di equazioe X á Y à ei due uti P Ö, ˇÜ e P, ˇ L agolo â, ä che ha come uto associato P è ˇ L agolo â, äche ha come uto associato P è ˇ L equazioe data è soddisfatta er àˇ á k _ àˇ á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è quidi ˇ á k, ˇ o á k d Poedo si à t ˇ t e cos à á t á t co t à ta, si ha: P ˇ P t á t ˇ ˇ ˇ ˇ t á à t ˇ á t á ˇ t á á t à á t qå t ˇ á t ˇ á ˇ ˇ ˇ ˇ á ˇ ˇ à t à ˇ à ˇ á ˇ ˇ á ˇ à à ˇ ˇ qå á ˇ à ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ à ˇ t à ˇ ˇ á ˇ àˇˇ ˇ àˇ ta àˇ àˇ á k àˇ á k t à ˇ á ˇ ˇ àˇ ˇ ˇ àˇ ˇ ta àˇ àˇ á k àˇ á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è quidi ˇ á k, ˇ o á k LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,

5 e U equazioe del tio a si Å á b cos á c à si uò riscrivere ella forma equivalete a á b si Ö á Üác à, essedo la misura dell agolo tale che cos à Å e a b a á b si à Å a á b Å ÅÅ Nel ostro caso è a á b à á á ˇ à r à ˇ à ˇ, cos à à ˇ ˇ á ˇ ˇ á à e si à à à ˇ ˇ á ˇ à U agolo che soddisfa queste codizioi è àˇ L equazioe data diveta duque: ˇ si ˇ á à si ˇ á àˇ àˇ ˇ ˇ àˇ5 á k _ ˇ à á 5 á k àˇ á k _ àˇ á k ˇ á k, ˇ o á k f Le soluzioi dell equazioe di cui al uto c si ossoo iterretare come le ascisse dei uti d itersezioe tra il grafico della fuzioe à si e quello della fuzioe ˇ à ˇ cos ˇ Si ricordi, a tale roosito, che il grafico della fuzioe ˇ à ˇ cos ˇ si uò otteere dal grafico della fuzioe à cos mediate ua dilatazioe verticale di raorto ˇ ˇ e ua traslazioe ella direzioe dell asse di ua uità verso il basso Per determiare le coordiate dei uti d itersezioe A, B, C e D aarteeti all itervallo âˇ, ä, basta sostituire elle formule àˇ á k _ àˇ á k i valori di k i corrisodeza dei quali si ottegoo valori di aarteeti all itervallo âˇ, ä Dalla formula àˇ á k, er k à, si ha àˇ Sostituedo tale valore i ua delle due equazioi à si o ˇ à ˇ cos ˇ, er esemio ella rima, si ha à si ˇ àˇ Quidi si ha A ˇ, ˇ Dalla formula àˇ á k, er k à, si ha à 5 Sosti tuedo tale valore ell equazioe à si, si ha: à si 5 àˇ Quidi si ha B 5, ˇ Dalla formula àˇ á k, er k à, si ha àˇ Sostituedo tale valore ell equazioe à si, si ha: à si ˇ àˇ Quidi si ha C ˇ, ˇ Dalla formula àˇ á k, er k à, si ha à Sostituedo tale valore ell equazioe à si, si ha: à si àˇ Quidi si ha D, ˇ A C = si B D = cos g U equazioe si dice omogeea se tutti i suoi termii soo dello stesso grado U equazioe di quarto grado del tio a si á b si cos á c cos á d à si risolve scrivedo il termie oto d come d àösi á cos Ü d, effettuado la riduzioe dei termii simili e dividedo er cos otteedo i tal modo u equazioe di quarto grado ella tagete Quesiti cos Ö ˇ Üà cos Ö ˇ Üà ˇ à k _ ˇ à á k à á k _ à á k à 5 á k9 _ à á k9 L isieme delle soluzioi dell equazioe data è f5 á k9, á k9 g Ösi ˇ ÜÖcos á Üà si à à 9 á k à á k cos àˇ à á k à á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è f á k, á k g L equazioe o ammette come soluzioi i valori di er cui è cos Ö5 á Üà, cioè o ammette come soluzioi i valori 5 á à 9 á k à 75 á k Ifatti, sostituedo questi valori ell equazioe, si ha: si Ö5 á 75 á k Üà cos Ö5 á 75 á k Ü LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,

6 L uguagliaza è falsa erché il rimo membro è e il secodo membro è zero Quato detto ci ermette di dividere rimo e secodo membro er cos Ö5 á Ü otteedo l equazioe equivalete: ta Ö5 á Üà 5 á à 5 á k à á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è f á k g si 5 à cos si 5 à si ˇ 5 à ˇ á k _ 5 à á á k à á k 9 _ à á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è á k 9, o á k cos á se è cos ˇ er tutti i valori di 5 jcos á j à ˇ ˇ cos se è cos < ˇ er essu valore di 9 cos á à ˇ cos cos à à á k cos ˇ si cos á à cos ˇ si cos á si á cos à cos ˇ si cos á si à Dividedo er cos, si ha: ta ˇ ta á à ta à ÅÅ 9 ˇ à ta à _ ta à à á k _ à arcta á k L isieme delle soluzioi dell equazioe data è o á k, arcta á k 7 Il deomiatore della fuzioe è uguale a cos formula di trilicazioe del coseo La fuzioe è defiita urché il deomiatore sia diverso da zero, duque si ha: cos à à á k à á k ta Ö á Üà ta Ö ˇ Üàˇ á à á k ˇ àˇ á k à á Ö k á k Ü sommiamo membro a membro le due equazioi à 7 á Ö k ˇ k Ü LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,

7 Disequazioi goiometriche ed equazioi arametriche A Problema a La fuzioe cos ha eriodo T à La fuzioe si ˇ ha eriodo T à Poiché è T à T, il eriodo T della fuzioe è il mcm fra T e T, quidi è T à b La fuzioe è defiita urché sia si ˇ à si à à á k _ à 5 á k Quidi il domiio della fuzioe è R ˇ á k, 5 á k c Per determiare gli zeri della fuzioe, oiamo: cos à à á k à á k d Essedo à si ˇ, er trovare il domiio di questa cos fuzioe bisoga orre: cos à à á k à á k Quidi il domiio della fuzioe è R ˇ Quesiti cos > si á iâ,ä á k o e Risolviamo la disequazioe cos á si ˇ si ˇ si si ˇ Ö Ü > si ˇ si > < < cos si ˇ < ˇ: < ˇ si á si ˇ si ˇ si ˇ > er essu valore di 9 si ˇ > < < 5 sego di sego di si sego di si sego di si si si si < ale E E 5ale Poiché il eriodo della disequazioe è, le soluzioi i R soo: k < < á k _ 5 á k < < á k E E + ale ˇ si ˇ si ˇ > si á si < si Ö si á Ü < si > < < si á > si > ˇ < < 7 _ < < ale sego di si + sego di si sego di si si ale 7ale ale La disequazioe è soddisfatta er < < 7 _ < < La disequazioe log jcos já jcos j á > jcos já < jcos j > ˇ jcos j < > equivale al sistema: La disequazioe jcos j > ˇ è semre soddisfatta La disequazioe jcos j < risulta soddisfatta er á k < < á k, er cui la disequazioe iiziale è soddi sfatta er á k < < á k Per determiare il domiio della fuzioe devoo avere sigificato il logaritmo e la frazioe, er cui si ha: jsi jˇ > jsi j > l jsi jˇ à jsi jˇ à si < ˇ _ si > jsi j à La disuguagliaza jsi j à è semre verificata, metre le due disequazioi soo verificate er: á k < < 5 á k _ 7 á k < < á k LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA, 5

8 Disequazioi goiometriche ed equazioi arametriche Queste due ultime scritture ossoo essere sitetizzate da á k < < 5 á k che rareseta, quidi, il domiio della fuzioe < cos Si ha ˇ : si < La fuzioe cos ha eriodo T à La fuzioe ˇ si ha eriodo T à Poiché è T à T, il eriodo T del sistema è il mcm fra T e T, quidi è T à Pertato ossiamo risolvere iizialmete etrambe le disequazioi ell itervallo â, ä e oi comletare le soluzioi su tutto l asse reale teedo coto della eriodicità del sistema: cos ale ale _ ale ale ale ale _ ale ale ˇ si < si > < < _ 9 < < Raresetiamo el seguete schema l isieme S delle soluzioi della rima disequazioe, l isieme S delle soluzioi della secoda disequazioe e l isieme S delle soluzioi del sistema: S S S ale ale Il sistema ha duque er soluzioe: á k < < á k < si ˇ si ˇ ˇ k à 5 Si ha : ale ale 5 ale 9ale ale Poedo si à t, l equazioe diveta t ˇ t ˇ à k Per determiare le limitazioi idotte su t dalle limitazioi su tracciamo, i u sistema di assi Ot, il grafico della fuzioe t à si t O ale Dal grafico si vede che, quado varia tra ale ale 5, t varia tra ale t ale Co la sostituzioe effettuata e oedo à k, si ha: à k à t ˇ t ˇ ale t ale 5ale ale ale Bisoga quidi studiare, al variare di k, il umero dei uti di itersezioe tra l arco della arabola di vertice V, ˇ 9 e asse arallelo all asse delle ordiate, limitato dalle codizioi ale t ale, e il fascio di rette arallele all asse di equazioe à k Tale arco ha er estremi i uti AÖ, ˇÜ e BÖ, ˇ Ü A O,5 V B t k = k = 9 Retta assate er V, tagete alla arabola: k àˇ9 Retta assate er A e B: k àˇ Aalizziamo al variare di k le soluzioi: k < ˇ 9 k àˇ9 essua soluzioe due soluzioi coicideti ˇ 9 < k < ˇ due soluzioi distite ordiarie k àˇ k > ˇ due soluzioi distite e limite essua soluzioe Iterretiamo i risultati otteuti risetto alla variabile Per k < ˇ 9 _ k > ˇ, l equazioe t ˇ t ˇ à k o ammette soluzioi er ale t ale, quidi eache l equazioe si ˇ si ˇ ˇ k à ammette soluzioi er ale ale 5 Per ˇ 9 ale k aleˇ, l equazioe t ˇ t ˇ à k ammette due soluzioi Idicado queste soluzioi co t e t, dalla figura recedete si ota che ale t ale e ale t ale Avedo osto si à t, le soluzioi dell equazioe si ˇ si ˇ ˇ k à corrisodeti a questi valori di t soo le soluzioi delle equazioi si à t e si à t Dalla figura si ota che l equazioe si à t ammette ua sola soluzioe er ale ale 5 L equazioe ale ale 5 si à t, ivece, ammette due soluzioi er LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,

9 Disequazioi goiometriche ed equazioi arametriche B = t = t O Problema ale ale 5ale ale = = a La fuzioe si ha eriodo T à La fuzioe cos á ha eriodo T à Poiché è T à T, il eriodo T della fuzioe è il mcm fra T e T, quidi è T à b La fuzioe è defiita urché sia cos á à cos à ˇ à á k Quidi il domiio della fuzioe è R ˇ f á kg c Per determiare gli zeri della fuzioe bisoga orre si à à k à k d Essedo à cos á, er trovare il domiio di questa si fuzioe bisoga orre si à à k à k Quidi il domiio della fuzioe è R ˇ k o Da quato detto si vede che o c è corrisodeza biuivoca tra il umero delle soluzioi dell equazioe t ˇ t ˇ à k risetto alla variabile t e il umero delle soluzioi dell equazioe si ˇ si ˇ ˇ k à risetto alla variabile Ifatti, a ua soluzioe dell equazioe i t corrisodoo due soluzioi dell equazioe i I geerale, a ua soluzioe dell equazioe risetto alla variabile t uò caitare che corrisoda iù di ua soluzioe dell equazioe origiaria I coclusioe, l equazioe si ˇ si ˇ ˇ k à ammette comlessivamete, ell itervallo ale ale 5 er ˇ 9 ale k aleˇ, tre soluzioi Per k àˇ9 e k àˇdue delle tre soluzioi coicidoo e Risolviamo la disequazioe si cos á > : si > < < < < cos á > cos > ˇ del domiio Si ha duque si cos á > er < < Poiché il eriodo della disequazioe è, le soluzioi della disequazioe i R soo: k < < á k Quesiti si > cos i â, ä si cos ˇ cos > cos si ˇ > cos > < < _ < < si > < < sego di cos sego di si sego di cos si ale ale + ale + ale + ale La disequazioe è soddisfatta er < < _ < < La disequazioe log Öjcos já Ü < equivale al sistema: jcos já > < jcos j > ˇ Si ha : jcos já > : jcos j > La disequazioe jcos j > ˇ èsemre soddisfatta La disequazioe jcos j > èsemre soddisfatta trae che er à á k, er cui la disequazioe iiziale è soddisfatta er à á k Poiché il deomiatore della fuzioe è semre diverso da zero, deve essere: jsi jˇ jsi j si aleˇ _ si Il domiio della fuzioe è á k ale ale á k < si Si ha ale ˇ : á cos La fuzioe si ha eriodo T à LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA, 7

10 La fuzioe ˇ á cos ha eriodo T à Poiché è T à T, il eriodo T del sistema è il mcm fra T e T, quidi è T à Pertato ossiamo risolvere etrambe le disequazioi ell itervallo â; ä e oi comletare le soluzioi su tutto l asse reale teedo coto della eriodicità del sistema si ale ale ale ale ale ˇ á cos cos ale ale _ ale ale _ ale ale _ ale ale Raresetiamo el seguete schema l isieme S delle soluzioi della rima disequazioe, l isieme S delle soluzioi della secoda disequazioe e l isieme S delle soluzioi del sistema: S S S Disequazioi goiometriche ed equazioi arametriche ale ale ale ale ale ale Il sistema ha duque er soluzioe: á k ale ale á k, á k ale ale á k 5 Si ha si ˇ si á ˇ k à ale ale Poedo si à t, l equazioe diveta t ˇ t á à k Per determiare le limitazioi idotte su t dalle limitazioi su, tracciamo, i u sistema di assi Ot, il grafico della fuzioe t à si t Bisoga quidi studiare, al variare di k, il umero dei uti di itersezioe tra l arco della arabola di vertice V, e asse arallelo all asse delle ordiate, limitato dalle codizioi ale t ale ; e il fascio di rette arallele all asse di equazioe à k Tale arco ha er estremi i uti AÖ, Ü e BÖ, Ü Retta assate er V, tagete alla arabola: k à Retta assate er A e B: k à Aalizziamo al variare di k le soluzioi: k < essua soluzioe k à due soluzioi coicideti < k < due soluzioi distite ordiarie k à k > due soluzioi distite e limite essua soluzioe Iterretiamo i risultati otteuti risetto alla variabile Per k < _ k >, l equazioe t ˇ t á à k o ammette soluzioi er ale t ale, quidi eache l equazioe si ˇ si á ˇ k à ammette soluzioi er ale ale Per ale k ale, l equazioe t ˇ t á à k ammette due soluzioi Idicado queste soluzioi co t e t, dalla figura recedete si ota che ale t ale e ale t ale Avedo osto si à t, le soluzioi dell equazioe si ˇ si á ˇ k à corrisodeti a questi valori di t soo le soluzioi delle equazioi si à t e si à t Dalla figura sottostate si ota che l equazioe si à t ammette due soluzioi er ale ale : Ache l equazioe si à t ammette due soluzioi er ale ale O ale Dal grafico si vede che, quado varia tra ale ale, t varia tra ale t ale Co la sostituzioe effettuata e oedo à k, si ha: à k à t ˇt á ale t ale = t = t O ale ale = = A B k = V k = O t Da quato detto si vede che o c è corrisodeza biuivoca tra il umero delle soluzioi dell equazioe t ˇ t á à k risetto alla variabile t e il umero delle soluzioi dell equazioe si ˇ si á ˇ k à risetto alla variabile Ifatti, a ua soluzioe dell equazioe i t corrisodoo due soluzioi dell equazioe i I geerale, a ua soluzioe dell equazioe risetto alla variabile t uò caitare che corrisoda iù di ua soluzioe dell equazioe origiaria I coclusioe, l equazioe si ˇ si á ˇ k à ammette comlessivamete, ell itervallo ale ale er ale k ale, quattro soluzioi Per k à e k à due delle quattro soluzioi coicidoo LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE Petrii La matematica a colori F De Agostii Scuola SA,