ATOMI CON UN ELETTRONE 1

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1 Corso di laura i Fisica Corso di Struttura dlla Matria G. Riaudo - Gaio 00 ATOMI CON UN ELETTRONE Itroduzio Iiziamo lo studio dgli atomi riassumdo l id fodamtali sulla struttura atomica. Ogi atomo ha ua dimsio global di circa 10-9 m. E' composto di u uclo rlativamt psat (l cui dimsioi soo dll'ordi di m) itoro al qual si muov u crto umro di lttroi, ciascuo di carica -, ch occupao il rsto dl volum atomico. Il uclo è composto di A particll (A è il umro di massa) chiamat ucloi, di cui Z soo protoi (Z è il umro atomico), ciascuo di carica +, N (=A-Z) soo utroi, ch o hao carica lttrica. Il uclo possid quidi ua carica positiva ch val +Z. Il umro di lttroi i ogi atomo è ugual al umro di protoi (ch è Z) prciò u atomo è u sistma lttricamt utro. Tuttavia, i crti casi u atomo può acquistar o prdr alcui lttroi, divtado così carico gativamt o positivamt; i qusto caso è dtto io. La massa dl uclo è circa 1850 volt la massa dll'lttro. Duqu la massa di u atomo è praticamt ugual a qulla dl suo uclo. Tuttavia, gli Z lttroi di u atomo soo rsposabili dlla maggior part dll proprità atomich ch si riflttoo ll proprità dlla matria, com l proprità lastich d lttromagtich di matriali diffrti. L itrazioi lttromagtich tra gli lttroi i ucli di atomi diffrti soo dtrmiati l lgam chimico, ch ti isim gli atomi pr formar molcol, ll razioi chimich, i quasi tutt l proprità dlla matria codsata. Si può spigar il moto dgli lttroi attoro al uclo s si cosidrao solo l itrazioi lttromagtich tra gli lttroi i compoti dl uclo (protoi utroi). Poiché l itrazioi lttromagtich soo b comprs, è stato possibil sviluppar u'accurata dscrizio dl moto dgli lttroi. Il problma corrispodt pr il uclo è ivc più complsso, poiché trao i gioco altr itrazioi ch o soo comprs così b. Quado aalizziamo il moto dgli lttroi, dobbiamo usar i mtodi dlla mccaica quatistica. I qusto capitolo discutrmo l proprità dgli atomi dgli ioi ch hao u solo lttro, il più smplic di quali è l'atomo di idrogo, ch ha Z=1. S la Z dll atomo è maggior di 1, si tratta ovviamt di uo io, cioè di u atomo ch o è lttricamt utro, avdo u umro di lttroi mior dl umro di carich positiv dl uclo. Tutti gli atomi ch hao u solo lttro, siao ssi utri o ioizzati, vgoo chiamati atomi idrogoidi. Il problma dgli atomi co molti lttroi vrrà discusso l prossimo capitolo. 3. Atomi idrogoidi Il più smplic di tutti gli atomi è l'atomo di idrogo. Il suo uclo è composto da ua sola particlla, u proto, così ch ha A=1 Z=1. Attoro al proto si muov u uico lttro. Pr potr applicar i calcoli agli altri atomi dovrmo tuttavia assumr ch il uclo cotga Z protoi co ua carica positiva total ugual a +Z (Fig. 1). Pr il momto dovrmo far du approssimazioi. 1 Il cotuto di qusto capitolo è sszialmt la traduzio dl capitolo 3 di Aloso Fi, Fudamtal Uivrsity Physics, d. Addiso-Wsly Publishig Compay: l modifich pricipali riguardao l uso dl sistma di uità di misura di Gauss, aziché dll uità SI, l aggiuta di alcui commti o drivazioi. Soo ioltr stat tagliat alcu szioi o smpi cosidrati o ssziali. La traduzio è stata fatta a cura dlla dott.ssa Aa Musso. 1

2 La prima: cosidrrmo il uclo i quit i u sistma irzial. Qusta è u ipotsi ragiovol prché il uclo, ssdo più psat dll'lttro, praticamt coicid co il ctro di massa dll'atomo, ch crtamt è i quit i u sistma irzial fio a ch o agiscoo forz str sull'atomo. La scoda: assumrmo ch il campo lttrico dl uclo sia qullo di u puto carico. Ach qusto è ragiovol, poiché il uclo ha ua dimsio molto piccola (circa m), cofrotata co la distaza mdia dll'lttro dal uclo (circa m). Tuttavia, i ua aalisi più raffiata, la dimsio la forma dl uclo dovrà ssr prsa i cosidrazio. Fig. 1: U lttro ch si muov attoro al uclo Il moto dll'lttro rlativo al uclo è dtrmiato dall itrazio coulombiaa tra i du. Qusta itrazio è sprssa da ua forza ctral attrattiva agt sull'lttro, data da Z F = u r r (3.1) L'rgia potzial dl sistma lttro-uclo è allora Z E p ( r) = r (3.) Tuttavia, poiché si dv aalizzar il moto dll'lttro scodo la v mccaica quatistica, o si può risolvr il problma applicado l'quazio di Nwto dl moto F dp = / dt ; dobbiamo ivc applicar l'quazio di Schrödigr dl moto, co u'rgia potzial data dall'q. (3.). Poiché il moto dll'lttro è tridimsioal, si dv usar l'quazio di Schrödigr lla forma h ψ m x ψ + y ψ Z + z r ψ = Eψ (3.3) Pr il momto, ci limitrmo a ua cosidrazio sugli stati stazioari. Discutrmo succssivamt l fuzioi d'oda ψ. Itroduciamo ua costat, dtta costat di Rydbrg, dfiita da 4 mc 7 1 R = = m (3.4) 3 4π ( hc) I possibili livlli di rgia pr gli stati lgati stazioari dll'lttro, ch ottiamo dall'q.(3.3), soo dati dall'sprssio La ragio dl pdic sarà chiara l sguito.

3 R hcz E = (3.5) dov = 1,, 3, (itri positivi). Covi chiamar rgia di Rydbrg, E Ry, la costat R hc, pr cui, sprimdo il risultato i lttrovolt, si trova Z Z E = ERy = V (3.6) Si può otar ch i valori dll'rgia total soo gativi. Qusto è i accordo co il risultato classico pr il moto dovuto a ua forza proporzioal all'ivrso dl quadrato dlla distaza, ch coduc a u orbita llittica lgata. Il puto zro dll'rgia è assgato allo stato l qual l du particll (lttro uclo) soo i quit a ua distaza ifiita. Prciò, l'q. (3.6) è quivalt, lla mccaica classica, all'rgia total l moto di particll i orbit llittich; tuttavia ricordiamo ch i mccaica quatistica o si parla di orbit dfiit. L'sprssio (3.6) si applica a ogi atomo ch ha u sigolo lttro. Prciò ssa val pr l'idrogo (Z=1) i suoi isotopi, il dutrio (A=, Z=1) il trizio (A=3, Z=1), pr l'lio ioizzato ua volta, H + (u atomo di lio ch ha prso uo di suoi du lttroi, Z=), pr il litio ioizzato du volt Li + (u atomo di litio ch ha prso du di suoi tr lttroi, Z=3), cc. La figura mostra i corrispodti livlli rgtici torici. I valori appropriati di soo idicati pr alcui livlli i ogi sri. Si può otar ch, i figura, alcui livlli soo coicidti. Pr smpio, i livlli dll'idrogo coicidoo rispttivamt co i livlli dll'h + ch ha =, 4, 6, ach co qulli dl Li +, ch ha = 3, 6, 9, Il motivo di ciò è rapprstato dal fatto ch ll'q. (3.6) si otti lo stsso valor pr divrsi valori di Z di ma ugual rapporto Z/. La coicidza tuttavia o è satta. Il uclo ifatti o è i quit i u rifrimto irzial; piuttosto il uclo l'lttro ruotao attoro al loro ctro di massa. Tuttavia, si può aalizzar il moto rlativo dll'lttro dl uclo sostitudo ll'q. (3.4) la massa ridotta dl sistma lttro-uclo al posto dlla massa dll'lttro. Fig. : Alcui livlli rgtici di H, H + Li + 3

4 S M è la massa dl uclo, la massa ridotta dll'atomo è mm m µ = = m + M 1+ m / M Prciò ll'q.(3.5) dobbiamo sostituir la costat di Rydbrg R co 4 µ c µ 1 R = = R = R 3 4π ( hc) m 1+ m / M (3.7) così ch i livlli rgtici soo dati da E=-RhcZ /. Il valor di R pr alcui ucli è dato lla tablla 1. Ovviamt R corrispod al caso i cui il uclo ha massa (M) ifiita qusto spiga il motivo dll'idic i basso: com si vd, la diffrza maggior si ha pr l idrogo d è molto piccola, dll ordi di Tablla 1: Costati di Rydbrg Fio ad ora abbiamo cosidrato solo stati co rgia gativa, o stati lgati. Gli stati co rgia positiva, ch lla dscrizio classica corrispodoo all orbit iprbolich, soo stati o lgati, i cui u lttro dotato di sufficit rgia citica si avvicia al uclo da ua grad distaza, dopo ssr stato dviato dal moto rttilio a causa dll'itrazio coulombiaa co il uclo, si allotaa di uovo vrso l'ifiito. Gli stati co rgia positiva o soo quatizzati, poiché l'rgia citica iizial può assumr qualsiasi valor arbitrario formar così u isim cotiuo di stati. ESEMPIO 1: drivazio smiclassica dll'sprssio di livlli rgtici dll'idrogo. Si può giustificar l'q.(3.5) pr gli stati stazioari dgli atomi idrogoidi, i modo uristico, usado, pr dscrivr il moto dll lttro sull orbita chiusa, u modllo di od stazioari simil a qullo adottato da Bohr (1913) lla sua origial drivazio dlla quatizzazio di livlli rgtici dll idrogo. Suppoiamo ch l'lttro dscriva u'orbita circolar, com mostrato i figura 3. Il suo momto p è costat pr u'orbita circolar. Affiché l'orbita corrispoda a ua stato stazioario, smbra logico ch dbba ssr i grado di sostr od stazioari di lughzza d'oda λ= h/p. Fig 3: Od stazioari su ua circofrza 4

5 Possiamo ossrvar, dalla figura 3, ch qusto richid ch la lughzza dll'orbita sia ugual a u multiplo itro di λ; cioè π r = λ = h/p, prciò: h rp = (3.8) π ossrvado ch rp è il momto agolar dll'lttro, vdiamo ch gli stati stazioari soo qulli pr i quali il momto agolar è u multiplo itro di h/π. Poiché p=m v, possiamo ach scrivr l'q. (3.8) com h m vr = (3.9) π D'altra part l'quazio dl moto pr l'lttro richid ch F=m v /r, dov F è la forza ctripta. Ma l caso di u lttro ch si muov itoro al uclo, la forza ctripta è la forza coulombiaa data dall'q. (3.1). Prciò m v Z Z = oppur m v r r r = (3.10) Elimiado v tra l'q (3,9) la (3.10), ottiamo h ε0 r = = a 0 (3.11) π mz Z dov ( hc) 11 a0 = = m (3.1) mc è dtto raggio di Bohr. L'sprssio (3.11) forisc i raggi dll orbit circolari prmss il raggio di Bohr, a 0, è il "raggio" dll'orbita più bassa (=1) ll'idrogo (Z=1). Usado l'q. (3.) pr l'rgia potzial dl sistma lttro-uclo, possiamo sprimr l'rgia dll'lttro su u'orbita circolar com 1 Z E = Ek + E p = mv r Quidi, s usiamo l'q. (3.10) pr limiar m v, ottiamo Z E = (3.13) r Itroducdo il valor di r dato dall q. (3.11), abbiamo 4 mc Z R hcz E = = ( hc) ch è i accordo co l q. (3.4) (3.6). Riguardo alla drivazio fatta, ricordiamo tuttavia ch, oltr ad ssr applicabil solo a orbit circolari, dipd dalla validità dll q. (3.8), ch discutrmo i dttaglio più avati (szio 3.4). D altra part, il coctto di orbita qui dv ssr cosidrato com rifrito alla rgio lla qual è più probabil ch si trovi l lttro, l q. (3.11) è solo u idicazio dll ordi di gradzza dlla rgio lla qual l lttro si muov pr la maggior part dl tmpo, quidi dll dimsioi dll atomo. Mttdo isim l q. (3.9) (3.11), si trova ch la vlocità dll lttro i u orbita stazioaria è 5 hc hc Z Z 1 v = = = ms mc r m c a0 Dobbiamo cosidrar qusto risultato idicativo solo dll ordi di gradzza dlla vlocità dll lttro. Si può otar ch la vlocità dimiuisc s l rgia aumta (pr valori crscti di 3 ). Abbiamo ach ch v / c 7 10 Z /, prciò v<<c, cctto ch pr gradi valori di Z 5

6 piccoli valori di. Duqu l corrzioi rlativistich o soo molto importati cctto quado si dsidra grad prcisio. Tuttavia qust corrzioi soo molto importati dal puto di vista torico. 3.3 Lo spttro dgli atomi idrogoidi Com abbiamo potuto ossrvar i figura, l rgia dgli stati stazioari aumta al crscr dl umro quatico. La diffrza di rgia tra i livlli corrispodti a 1 (co > 1 ) pr uo io idrogoid è Z Z = = 1 1 E E1 E Ry E Ry E RyZ 1 1 Quado applichiamo la codizio di Bohr, ν = ( E E1) / h, trascuriamo gli fftti di riculo, la frquza dlla radiazio lttromagtica mssa o assorbita dall atomo i ua trasizio tra gli stati corrispodti a 1 è = E E ν = RcZ = Z Hz (3.14) h 1 1 Qualch volta gli spttroscopisti prfriscoo usar il umro d oda ν ~ = ν / c = 1/ λ piuttosto ch la frquza. 3 Il loro ragioamto è ch l misur spttroscopich di solito dao la lughzza d oda o la frquza. Il umro d oda l sistma MKSC è dato i m -1, tuttavia l uità più comu è cm -1. I qusto caso l q. prcdt divta = ν ~ RZ = Z cm Qusta sprssio (o qulla prcdt) è dtta formula di Balmr, si può applicar solo agli atomi idrogoidi. Poiché i uo spttroscopio (sia prisma ch rticolo), ogi trasizio appar com ua lia (ch è l immagi dlla fditura), lo spttro è chiamato spttro a righ, frqutmt l parol riga trasizio soo usat com sioimi. Lo spttro dll idrogo (Z=1) ( aalogamt pr gli spttri dgli altri atomi) è classificato i trmii di sri di righ spttrali, ciascua formata da trasizioi ch hao il livllo rgtico più basso i comu. La figura 4 rapprsta l sguti sri dll idrogo: (1) sri di Lyma: 1 =1, =, 3, 4, () sri di Balmr: 1 =, = 3, 4, (3) sri di Pasch: 1 =3, = 4, 5, (4) sri di Bracktt: 1 =4, = 5, 6, (5) sri di Pfud: 1 =5, = 6, 7, La sri di Balmr, ch si trova pr la maggior part lla rgio dl visibil, è facilmt ossrvabil co uo spttroscopio comu. La sri di Lyma cad lla rgio dll ultravioltto l altr ll ifrarosso. L trasizioi idicat lla figura 4 corrispodoo allo spttro di missio; l trasizioi ivrs si trovao llo spttro di assorbimto. Storicamt, il problma di spigar gli spttri a righ dll idrogo dgli altri lmti did origi alla prima applicazio dlla toria quatistica all atomo. Il matmatico svizzro J. Balmr ( ), molto prima dll avvto dlla toria quatistica, ott mpiricamt la formula 3 Il umro d oda ν ~ forisc il umro di lughzz d oda i ua uità di lughzza, o dv ssr cofuso co il umro d oda k=π / λ, ch è associato al moto di ua particlla libra ch diffrisc da ν ~ pr il fattor π. 6

7 (3.14) l 1885, sza ssua spigazio torica cocrt la struttura atomica. Nl 1913 il fisico das Nils Bohr, all poca all Uivrsità di Cambridg, drivò l q. (3.14) itroducdo, pr la prima volta, il coctto di stati stazioari. Poiché la mccaica quatistica o ra acora stata formulata, il mtodo di Bohr cosistva i ua sri di ipotsi ad hoc molto somigliati ai calcoli fatti ll smpio 1. Fig. 4: Trasizioi radiativ ll idrogo ESEMPIO : Dtrmiazio dl primo potzial di ccitazio dll rgia di ioizzazio dll'idrogo. La prima rgia di ccitazio è l rgia richista pr portar u atomo dal suo stato fodamtal al suo primo stato ccitato (o livllo rgtico più basso). Qusti stati gli atomi idrogoidi corrispodoo, rispttivamt, a =1 =. Podo =1 = ll q. (3.6) co Z=1, abbiamo E 1 =-13.6 V E =-3.4 V. Prciò l rgia richista pr ccitar l atomo dallo stato fodamtal al primo stato ccitato è E E 1 = 10. V. S u atomo di idrogo è portato al suo primo stato ccitato da ua collisio alastica co u lttro, com succd, ad smpio, co ua scarica i u tubo a gas, sso ritora allo stato fodamtal mttdo radiazio di frquza 7

8 o lughzza d oda 15 ( E E )/ =.47 ν = h Hz λ = m ch i qusto caso cad lla rgio dll ultravioltto. L rgia di ioizzazio è l rgia richista pr portar l lttro dallo stato fodamtal (=1) allo stato co rgia 0 (= ) prciò è ugual a E 1 =13.6 V. La ioizzazio può ssr causata sia da ua collisio alastica dll atomo di idrogo co u lttro o co u altra particlla carica o co u altro atomo, sia dall assorbimto di u foto co frquza maggior o ugual di Hz o co lughzza d oda mior o ugual di m. 3.4 La quatizzazio dl momto agolar Fio ad ora abbiamo visto ch l rgia di u sistma atomico è quatizzata. Dobbiamo scoprir s altr quatità fisich soo quatizzat, cioè limitat a dtrmiati valori pr il sistma. Sappiamo r r r ch pr il moto dovuto a forz ctrali, il momto agolar L = p rlativo al ctro dlla forza è ua costat dl moto. Qusto è ach vro i mccaica quatistica. L aalisi torica i dati sprimtali mostrao ch il momto agolar è quatizzato, cioè può avr solo valori discrti. Si può mostrar (vdi smpio 3.3) ch i valori prmssi dl momto agolar soo L = l( l + 1) h (3.15) dov l=0, 1,, 3, è u itro positivo. Tuttavia i u atomo idrogoid i valori di l pr ogi livllo rgtico soo limitati dai valori di corrispodti al livllo rgtico il massimo valor di l è -1. Prciò i u campo coulombiao, pr ogi valor di, ch idtifica u livllo rgtico, ci soo valori distiti dl momto agolar da l=0 a l=-1. E cosutudi dsigar i possibili valori di l mdiat lttr, scodo lo schma dlla tablla 3. Prciò pr =1 abbiamo l = 0 o stato s; pr = abbiamo l = 0 1 oppur stati s p. Pr =3 abbiamo l = 0, 1 oppur stati s, p d, cc. Tablla 3: Simboli spttroscopici dgli stati dl momto agolar grado di dgrazio pr il moto sotto forz ctrali I calcoli torici l vidza sprimtal (ch sarà discussa più avati) idicao ch il momto agolar è limitato i dirzio, situazio chiamata quatizzazio spazial. Qusto sigifica ch l agolo ch L r forma co l ass Z (figura 5) o è arbitrario; i altr parol si può mostrar (cfr smpio 3) ch i valori dlla compot L z soo quatizzati dati da L z = mlh (3.16) dov m l =0, ± 1, ±,, ± l; cioè m l è u itro positivo o gativo da 0 a l. 8

9 Fig. 5 Il umro quatico m l o può ssr maggior di l prché L z sarbb maggior di L, ch è impossibil. Prciò cocludiamo ch: pr ogi valor dl momto agolar, ci soo l+1 valori di m l o l+1 divrs oritazioi di L r Fig. 6: quatizzazio spazial pr l=1 l= 9

10 La figura 6 illustra qusta situazio pr l=1 l=. La quatità g =l+1 è dtta dgrazio dllo stato dl momto agolar. Si può provar ch qusta dgrazio è ua cosguza dlla simmtria sfrica dl moto sotto forz ctrali. I valori di g pr alcui valori di momto agolar soo dati i tablla 3. I mccaica classica il momto agolar sotto ua forza ctral è costat i itsità dirzio. I mccaica quatistica, l itsità dl momto agolar è data dall q. (3.15) qulla dlla sua compot L z dall q. (3.16). Ma pr spcificar la dirzio dl momto agolar, avrmmo bisogo di cooscr l altr du compoti, L x L y : ciò o è lcito i mccaica quatistica, prché si dimostra ch è impossibil cooscr, sattamt, più di ua compot dl momto agolar S coosciamo L z, la ostra cooscza di L x L y è al massimo tro l icrtzz L z L y, ch soddisfao la rlazio di idtrmiazio 1 Lx Ly hlz Qusta rlazio è simil alla rlazioi di idtrmiazio pr posizio momto pr rgia tmpo. I altr parol, i mccaica quatistica, è impossibil dtrmiar prcisamt la dirzio dl momto agolar. Poiché possiamo cooscr solo L r L z, covi immagiar il vttor momto agolar L r lla figura 5 com s prcdss attoro all ass Z, co u agolo costat θ. Da qusta discussio possiamo cocludr ch i livlli rgtici dgli atomo idrogoidi soo qualcosa di più complsso dlla smplic immagi suggrita dall q.(3.6) dalla fig.. I u campo coulombiao ogi livllo rgtico, corrispodt a u dato, coti divrsi stati di momto agolar, tutti co la stssa rgia co l ch va da 0 a -1 (qusto è mostrato i figura 7). Qusti livlli soo idicati co s, p, d, cc. (Qusto risultato è i accordo co la dscrizio classica dl moto sotto forz ch dipdoo dall ivrso dl quadrato dlla distaza, pr l quali l rgia è idipdt dal momto agolar, mtr l cctricità dll orbit llittich dipd dal momto agolar.) I ua trattazio più raffiata sugli atomi co u lttro ch tga coto di altri fftti (com corrzioi rlativistich), gli stati divrsi pr il momto agolar corrispodti allo stsso hao rgi diffrti. Fig 7: Trasizioi tra stati di divrso momto agolar. 10

11 S la forza o dipd dall ivrso dl quadrato dlla distaza, qui livlli ch hao lo stsso valor di ma momti agolari divrsi (cioè i livlli s, p, d, ) o hao cssariamt tutti la stssa rgia. Prciò sotto forz ctrali, l rgia dipd i gral da l. Tuttavia, ach s il potzial o è più di tipo coulombiao, l rgia o può dipdr da m l, poiché i u campo di forz ctrali l oritazio dll orbita è irrilvat. Il fatto ch ogi livllo i u atomo idrogoid sia composto da molti stati di momto agolar è, tuttavia, importat dal puto di vista dll trasizioi. Pr il moto i u potzial di ua forza ctral, l rgol di slzio pr l trasizioi di dipolo lttrico soo l = ±1, ml = 0, ± 1 (3.17) Qust rgol di slzio soo impost dalla lgg di cosrvazio dl momto agolar, poiché i fotoi mssi o assorbiti possidoo u momto agolar; prciò il momto agolar dll atomo dv cambiar pr compsar il momto agolar portato via dai fotoi mssi o assorbiti. La lgg di cosrvazio dl momto agolar la rgola quatistica pr la composizio di momti agolari (cfr. szio 3.8) prmttoo l = 0, ± 1. Tuttavia, la parità dlla fuzio d oda i u potzial ctral (ch sarà discussa lla szio 3.5) o prmtt l = 0. L rgol di slzio (3.17) richidoo ch l trasizioi avvgao solo tra stati di momto agolar ch stao i colo adiacti lla figura 7. Alcu di qust possibili trasizioi soo stat idicat lla figura. Notiamo ch, i accordo co qust rgol, lo stato s o può passar allo stato 1s, ch è l uico livllo di rgia più bassa utilizzabil. Pr qulla ragio lo stato s è dtto stato mtastabil. L rgol (3.17) soo valid pr l trasizioi di dipolo lttrico, ch soo l più probabili. Pr l altr trasizioi, com qull di u dipolo magtico o di u quadrupolo lttrico, l rgol di slzio soo divrs; qust trasizioi hao ua probabilità molto più bassa di qulla dll trasizioi di u dipolo lttrico. Pr qusta ragio, gli spttri atomici, di solito si prdoo i cosidrazio solo l trasizioi di dipolo lttrico. Commtiamo ora l q. (3.8). Notiamo ch pr u orbita circolar rp è il momto agolar L, quidi l q. (3.8) si può scrivr L = h. Ma qusto risultato o è i accordo co l q. (3.15) ch dic L = l( l +1) h. Quidi il modllo smplic ituitivo usato ll smpio 1 pr ottr l q. (3.8) o è corrtto (sbb il risultato ottuto sia corrtto). Qusto di uovo mtt i guardia lo studt ch o è possibil, a mo ch si faccia grad attzio, strapolar alla mccaica quatistica coctti odulatori drivati classicamt. Nl caso dl momto agolar, la discrpaza è dovuta al fatto ch è impossibil cofiar i u cammio prfttamt circolar l oda ch dscriv l lttro. Tuttavia, podo l=-1 ll q. (3.15) ottiamo L = 1 h = h ( ) ( ) S è grad possiamo approssimar qust sprssio scrivdo L = h o L = h ch è i accordo co l q. (3.8). Prciò l=-1 co grad approssima l orbit circolari classich. Qusto è smpio dl pricipio di corrispodza di Bohr, ch affrma ch pr gradi umri quatici la dscrizio quatistica approssima la dscrizio classica. 11